Khai thác một bài toán cơ bản để giải một số bài toán hình học không gian

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong thực trạng dạy học nay, Kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia đặc biệt thời gian tới Kỳ thi học sinh giỏi môn văn hóa lớp 12 cấp tỉnh thi hình thức thi trắc nghiệm, thời gian làm tập ít, số lượng tập lớn, phủ kiến thức rộng gây trở ngại, khó khăn cho hoạt động giảng dạy thầy hoạt động trị Với hình thức thi tự luận trước đây, đứng trước vấn đề khó, vấn đề lạ, học sinh có thời gian suy ngẫm tìm cách giải vấn đề, quy lạ quen hay chí cách giải Tuy nhiên, với thi trắc nghiệm, trước vấn đề khó, lạ, việc tìm cách để giải vấn đề vơ khó khăn Do đó, việc quy lạ quen vơ quan trọng Trong q trình ơn tập, sau giải tập, học sinh cần phải rút kinh nghiệm để giải tập tương tự suy ngẫm xem tập phát triển hành tập dạng Có vậy, học sinh đáp ứng đa dạng, biến hóa đề thi trắc nghiệm Yêu cầu vậy, trình dạy học, khơng phải giáo viên, học sinh thực phân tích rút kinh nghiệm sau tập Việc có nguyên nhân chủ quan nguyên nhân khách quan, dẫn đến việc học sinh giải dạng tập nào, hướng dẫn dạng biết dạng tập đó, từ dẫn hình thành cho học sinh tính ỷ lại, mong chờ may mắn, chưa thấy hay, ý nghĩa tốn học; kích thích hứng thú sau tập Trước thực trạng trên, trình giảng dạy, đặc biệt dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, sau tập thường dành khoảng thời gian định để học sinh suy ngẫm tập, định hướng để em phát triển tập thành dạng tập khó hơn, đa dạng hơn, từ tạo hứng thú, ham tìm tịi nghiên cứu học sinh, làm em hiểu kiến thức rộng hơn, sâu Để nhân rộng, lan tỏa ý tưởng mình, có tài liệu để học sinh đồng nghiệp nghiên cứu, hạn chế thời gian khung giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên chọn đề tài: “Khai thác tốn để giải số tốn hình học khơng gian” Trong q trình thực hiện, khơng tránh khỏi cịn hạn chế, thiếu sót mong đồng nghiệp, học sinh góp ý chia sẻ để đề tài hoàn thiện hơn, mang lại hiệu thiết thực Xin chân thành cảm ơn! 1.2 Mục đích nghiên cứu + Cung cấp cho đồng nghiệp học sinh tài liệu hữu ích trình dạy, học nghiên cứu khoa học Nâng cao kiến thức, trình độ chun mơn thân + Khơi dậy hứng thú, ham học hỏi, tìm tịi nghiên cứu toán học học sinh, giúp em chủ động nắm vững kiến thức, đáp ứng yêu cầu kỳ thi trình học tập sau + Giúp em nhận dạng nhanh số tốn hình học khơng gian (Chứng minh, tính thể tích, … ) có liên quan đến tỷ số đoạn thẳng việc ứng dụng toán đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài trình từ tập ban đầu, hình thành ý tưởng, kỹ để vận dụng để giải số tốn hình học khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết + Phương pháp thực nghiệm + Phương pháp phân tích, tổng kết rút kinh nghiệm + Phương pháp khảo sát điều tra thực tế, thu thập thông tin + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận đề tài 2.1.1 Cơ sở khoa học của đề tài Hình học mơn học xây dựng sở hệ thống khái niệm, tiên đề, định lý Do đó, để hiểu học tốt phân mơn hình học, người học cần tảng kiến thức vững vàng, trí tưởng tượng tốt, khả tư lô gic, vận dụng lý thuyết cách sáng tạo Đối với đa số học sinh, môn học khó, đặc biệt học sinh tìm hiểu lĩnh vực hình học khơng gian lớp 11 lớp 12 Ngồi lớp tốn chứng minh yếu tố song song, vng góc, dựng hình (tìm giao tuyến, thiết diện ), tính số yếu tố quen thuộc góc, khoảng cách, thể tích , sách giáo khoa sách tập hình học 11 12 cịn giới thiệu số tốn yêu cầu chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức hình học, tìm giá trị lớn hay nhỏ diện tích đa giác, thể tích khối đa diện Đó tốn khó, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức tổng hợp, sáng tạo, tương tự hóa, nhận chung lớp tốn để tìm hướng giải tập cụ thể 2.1.2 Cơ sở thực tiễn Qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi nhận thấy, tìm chung lớp toán, tức phát gốc vấn đề cần chứng minh hay tính tốn, học sinh tương tự hóa, dùng kết cách suy luận để chứng minh tìm cách giải hầu hết tập tương tự cách dễ dàng Vì thế, cơng việc người thầy giúp học sinh phát tốn bản, từ đó, học sinh khai thác, sử dụng kết tốn cho tập khác Bản sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày tốn toán thế, xem xét ứng dụng việc giải số tập khó hình học khơng gian lớp 11 12 Tên đề tài chọn: “Khai thác toán để giải số toán hình học khơng gian” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy, trước khối lượng lớn kiến thức cần phải học so với thời gian dành cho học sinh tự học ngày ít, tơi thấy rằng: Học sinh thụ động việc tìm hiểu, tự lĩnh hội kiến thức Giáo viên giới thiệu dạng tốn học sinh biết dạng tốn Trước tốn mới, học sinh chủ động, hăng say tự tìm hiểu; nhiều học sinh ỷ lại, chờ giáo viên hướng dẫn, gợi ý sử dụng máy tính để kiểm tra kết mong may rủi Điều gây khó khăn ức chế nhiều giáo viên trình giáo dục học sinh Trước thực trạng trên, trình giảng dạy, để gây hứng thú cho học sinh, để học sinh thấy hay, ý nghĩa thực tế toán học thường gắn tập với việc giải tình thực tế, gắn với linh hoạt sử dụng tốn học như: Một tốn giải nhiều cách, áp dụng nhiều trường hợp, nhiều lĩnh vực Nội dung đề tài nhiều nội dung mà triển khai trình giảng dạy Khi triển khai đề tài cảm nhận thay đổi đáng kể học sinh Ban đầu triển khai lớp 10, cơng việc vất vả học sinh chưa quen, chưa chủ động qua trình kiên trì thực hiện, cuối lớp 10, đầu lớp 11 lớp 12, công việc thuận lợi nhẹ nhàng, đối tượng học sinh - giỏi, em chủ động phân tích, tìm tịi đề xuất giải pháp giải vấn đề 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp giải vấn đề KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Tìm hiểu tốn sau: Cho tam giác ABC hai điểm M ,N di động hai cạnh AB,AC ( M N khác A ) Gọi D trung điểm BC , K giao AB AC AD   AM AN AK Lời giải +) Qua M ,N ,K kẻ ba đường thẳng song song với BC , đánh dấu điểm Q,H ,F ,G,E,O hình vẽ +) Dễ chứng minh O,Q trung điểm EN MH ; đồng thời E,H ,K thẳng hàng �1 AB AC AD AD �     AD �  +) Ta có: �  1 AM AN AQ AO �AQ AO � điểm MN AD Chứng minh AK AK FK GK FK 2GK      AQ AO MQ NO MH NE FK EF NK GK HG KM   ;   +) Mà MH EM NM NE HN NM �FK GK � �NK KM �   2�  +) Vậy � � � �MH NE � �NM NM � +) Lại có:  2  3 �1 � 1 2�    4 +) Từ (2), (3) suy AK �  � AQ AO AQ AO AK � � AB AC 2 AD   AD  +) Thay (4) vào (1) ta được: đpcm AM AN AK AK Nhận xét : Hai điểm M ,N cần điều kiện khác A ; M trùng với B,N trùng với C ta kết Cách 2: Sử dụng phương pháp diện tích � S AMK AM AK sin MAK AM AK   Ta có : S ABD AB AD � AB AD.sin MAK S ANK AN AK  Suy luận tương tự, ta suy S ACD AC AD Lại có S ACD  S ABD  S ABC S AMK  S ANK �AM AN �AK �  � Do vậy, AB AC AD � � S ABC � S AMK  S ANK 2S AMN AM AN sin MAN AM AN   2 Mặt khác, 1 S ABC AB AC � S ABC AB AC.sin BAC 2 Từ đó, ta có AK �AM AN �AK AM AN  �  AM AC  AN AB   AM AN �  � AB AC AD �AB AC �AD AM AC  AN AB AD AC AB AD  �   (dpcm)  AM AN AK AN AM AK II Khai thác tốn Trong hình học, ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học chứng minh tính chất hình học (cố định, song song ) theo ràng buộc qua đại lượng thay đổi Để giải tốn này, ta phải tìm hệ thức liên hệ đại lượng thay đổi từ đưa điều cần chứng minh, tính toán Để minh hoạ, ta xét số tập ví dụ sau : Bài 1: Cho tứ diện SABC hai điểm M ,N di động AB,AC thỏa mãn : AB AC   Chứng minh mặt phẳng  SMN  qua đường thẳng AM AN cố định Phân tích: - Nhận thấy ngay, học sinh, toán tốn khó vì: Với điểm S cố định, để chứng minh mặt phẳng  SMN  qua đường thẳng cố định ta cần  SMN  qua điểm cố định khác điểm S - Khó khăn việc tìm điểm G , thơng thường học sinh tìm điểm G sau: * Xét cố định điểm M vị trí đặc biệt trung điểm AB Từ giả thiết suy AC   N trùng C  MN trùng với trung tuyến CM AN * Tương tự xét cố định N trung điểm AC  MN trung với trung tuyến BN * Với hai trường hợp  MN qua điểm G cố định trọng tâm tam giác ABC - Khẳng định rằng, xác định  SMN  qua SG việc chứng minh khơng đơn giản Nhưng là đơn giản học sinh áp dụng bài toán trên, cụ thể: Lời giải +) Gọi D trung điểm BC , G  AE �MN AB AC AD  3 Vậy G AM AN AG điểm cố định, G trọng tâm tam giác ABC +) Vậy đường thẳng SG cố định nằm  SMN  +) Áp dụng toán bản, chứng minh AB AC   k  , AM AN việc vận dụng tốn bản, ta giải cách dễ dàng Nhận xét: Bài tốn hồn tồn tổng qt Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm SB SD a Xác định thiết diện tạo mặt phẳng  AMN  hình chóp SE b Gọi E   AMN  �SC Tính tỷ số SC c Tổng quát : Giả sử SM  xSB ; SN  ySD ; E giao điểm  AMN  đoạn SC Tính tỷ số SE SC Lời giải a Xác định thiết diện : +) Xác định giao điểm G MN  SAC  : Gọi O giao điểm AC BD , G giao điểm SO MN , chứng minh G giao điểm MN  SAC  +) Gọi E giao điểm AG SC E giao điểm  AMN  SC Vậy thiết diện AMEN b Tính tỷ số SE : SC +) Trong tam giác SBD , O trung điểm BD nên +) Trong tam giác SAC , ta có : SB SC 2SO    SM SN SG SC SA 2SO    SE SA SG SC SE 3�  SE SC c Giả sử SB  xSM ; SD  ySN , với x, y �1 E giao điểm  AMN  +) Vậy đoạn SC Tính tỷ số SE SC  x  y  : Lập luận hoàn tồn tương tự ta có SC SE SE  SC x  y  Bài 3: Cho hình chóp S.ABC , lấy điểm A',B',C' SA,SB SC Vậy Biết SA SB SC    8, chứng minh  A' B' C'  qua điểm cố SA ' SB ' SC ' định Lời giải +) Gọi D trung điểm BC , D' giao điểm B' C' với SD Áp dụng Bài tốn 1, ta có : SB SC 2SD   SB ' SC ' SD ' +) Gọi K trung điểm AD' , G giao điểm SK A' D' K điểm cố định G thuộc  A' B' C'  , đồng thời ta có: 2SA SB SC   8 � SA ' SB ' SC ' 4SK SK �SA SD � 2�   �  �   * � SG SG �SA ' SD ' � +) Đẳng thức (*) chứng tỏ G điểm cố định,  A' B' C'  qua điểm cố định Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N hai điểm nằm đoạn thẳng AB AD ( M ,N không trùng A ) cho AB AD 2  AM AN 1) Chứng minh MN thay đổi, đường thẳng MN qua điểm cố định 2) Gọi V V’ thể tích khối chóp S.ABCD S.MBCDN Chứng minh rằng: V’ � � V Lời giải 1) Chứng minh M ,N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm cố định +) Lấy E đối xứng với A qua D , AE  AD EB cắt CD I I trung điểm EB I điểm cố định Gọi G giao điểm AI MN +) Áp dụng toán ta có: AB AD AB AE AI 2 4�  4�  � AI  AG  * AM AN AM AN AG +) Hệ thức (*) chứng tỏ G điểm cố định Vậy đường thẳng MN qua điểm cố định G 2) Gọi V V ' thể tích khối chóp S ABCD S MBCDN V' � � V V V' V   SAMN   SAMN +) Ta có V VS ABCD VSABD Chứng minh rằng: +) Ta có VSAMN AM AN    với �x �2 VSABD AB AD xy x   x  +) Xét hàm số f  x   +) Ta có f '  x   đoạn  1;2 x  x 4 x  2 x2   x  �0, x � 1;2 V 2 V'  f   �f  x   SAMN �f  1  Vậy ta có � � VSABD 3 V Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , SA  2a Trên SB SD lấy hai điểm +) Từ M ,N thỏa mãn SM  SB, SN  SD, mặt phẳng  AMN  cắt SC E Tính thể tích khối tứ diện S.AMEN Lời giải 10 +) Dựng thiết diện AMEN : tương tự 2, O giao điểm AC BD SB SD 13 2SO   3   +) Trong tam giác SBD , ta có: SM SN 3 SG +) Trong tam giác SAC , ta có: SA SC 2SO 13 SC 13 10    �  1 SA SE SG SE 3 +) Tính VS ABC  VS ACD  a VS AME SA SM SE 1 a3    � VSAME  a  +) VS ABC SA SB SC 10 10 10 30 VS ANE SA SM SE 1 a3    � VSAME  a  +) VS ADC SA SB SC 10 10 10 30 Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mộtmặt phẳng    thay đổi cắt cạnh SA,SB,SC,SD điểm M ,N ,P,Q Chứng minh : 1 1    SM SN SP SQ Lời giải +) Dựng mặt phẳng  MNPQ  , cho MN PQ cắt điểm I thuộc đường cao SO hình chóp +) Do S.ABCD chóp tứ giác nên SA  SB  SC  SD +) OI trung tuyến tam giác SAC SBD , nên ta có: 11 SA SC SO   (trong tam giác SAC ) (1) SM SN SI SB SD 2SO   (trong tam giác SBD ) (2) SP SQ SI SA SC SB SD 1 1    �    Từ (1) (2) ta có SM SN SP SQ SM SN SP SQ Bài 7: Cho hình chóp tứ giácđều S.ABCD có tám cạnh a M ,N trung điểm SA SC Một mặt phẳng    thay đổi qua MN , cắt cạnh SB,SD điểm P Q Tìm diện tích nhỏ tứ giác MNPQ Lời giải +) Gọi I giao điểm MN đường cao SO hình chóp, suy PQ phải qua I Dễ thấy I trung điểm SO +) Từ giả thiết ta có : SB  SD  2a  AB  AD  BD Vậy tam giác SBD vuông S +) Tương tự tam giác SAC vuông S Suy SO  a AC  2 �AC   SBD  � MN   SBD  � MN  PQ +) Dễ chứng minh được: � MN // AC � +) Vậy S MNPQ  1a a PQ  PQ 2  1 12 �x  SP +) Đặt � �y  SQ � PQ  x  y   ;   x, y  a  a 2 x  y2  3 SB SD 2SI SA SC     +) Áp dụng toán gốc: x y SO SM SN SA SC 1 �  4�   SM SN x y a 1 +) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm , ta được: x y +) Thay (2) vào (1) ta được: S MNPQ  1 �۳۳ a x y xy a xy xy a  4 a 2 a a a a a2 x y � xy  xy �  4 2 �1 1 a �x  y , x  y  a � x  y  , tức P , Đẳng thức xảy � �x  y � Q trung điểm SB,SD +) Từ (3) (4) có : S MNPQ  a Vậy tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm A1, B1 , C1 thuộc SA, SB, SC cho : SA1 SB1 SC1  ,  ,  Mặt SA SB SC SD1 SD Lời giải phẳng  A1B1C1  cắt SD D1 Tính tỷ số 13 +) Gọi O giao điểm AC BD , I giao điểm A1C1 SO +) Theo tốn gốc ta có : SA SC 3 SO      SA1 SC1 2 SI SB SD SD 2SO      SB1 SD1 SD1 SI SD SD1    Vậy  SD 2 SD Nhận xét : Bằng việc áp dụng tốn gốc ta dễ dàng tính tỷ số +) Suy SD1  Từ ta xây dựng số câu hỏi dạng trắc nghiệm mức SD độ vận dụng vận dụng cao Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi K trung điểm SC Mặt phẳng  P  qua AK , cắt SB,SD M ,N Chứng VSAMNK � minh � VSABCD Lời giải +) Gọi O giao điểm AC BD ; I  SO �AK , MN qua I Ta dễ thấy I trọng tâm tam giác SAC 14 V1 VSAMNK  VSAMK  VSANK � SM SN , y �� V  VSABCD  2VSABC  2VSACD SB SD � V V1 VSAMK V SK �SM SN �   SANK �  +) Ta có : �  � V 2VSABC 2VSACD V SC �SB SD � +) Đặt x  V1   x  y   1 V +) Trong tam giác SBD , có SO đường trung tuyến, áp dụng kết Vậy SB SD 2SO     SM SN SI 1 x �   � xy   x  y  � y   2 x y 3x  x �� x, y 0� � x  +) Mà � 3x  tốn bản, ta có : V1 3x � � , x �� ; 1� +) Thay (2) vào (1) ta được:  V  x  1 � � 3x � � , x �� ; 1� +) Xéthàm số f  x   , dễ tìmđược:  x  1 � � max f  x   ; f  x   � � �1 ;1� ;1 � � � � � � � � VSAMNK � +) Vậy � VSABCD 15 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành mặt phẳng  P  thay đổi, cắt cạnh SA,SB,SC,SD A’, B’, C’, D’ Chứng SA SC SB SD    SA’ SC’ SB’ SD’ Bài tập2: Cho tam giác ABC , cạnh a G trọng tâm tam giác Một đường thẳng qua G , cắt cạnh AB,AC M ,N Chứng minh : minh : 3a 3a �S AMN � Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC , có cạnh đáy a Lần lượt lấy hai điểm M ,N cạnh AB,AC cho  SMN  vuông góc với  ABC  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ khối chóp S.AMN Bài tập4: Cho tứ diện ABCD , gọi G trọng tâm tam giác ACD , đường thẳng qua G cắt cạnh SB,SC M ,N Chứng minh VABMN � � VABCD Bài tập5: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC , cắt SB,SC,SD B',C' D' Biết SB’  , tính thể tích SB khối chóp S.AB' C' D' Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết AB  AD  2a, góc SC  ABCD  600 Lấy điểm M thuộc SC thỏa mãn 3SC  5SM Một mặt phẳng qua AM , song song với BD cắt SB,SD E,F Tính thể tích khối tứ diện S.AEMF Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC hai điểm M ,N di động hai cạnh AB AC   10 Chứng minh NM qua AM AN điểm cố định Tìm giá trị nhỏ khối chóp S.ANM AB,AC thỏa mãn 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi triển khai ý tưởng nội dung đề tài, thân nhận thấy hiệu rõ rệt qua năm học Học sinh có ý thức việc phân tích đề bài, sau tập có nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm Những tập tính khoảng cách, thể tích khối đa diện … có liên quan đến tỷ lệ đoạn thẳng, học sinh hào hứng phát vấn đề nhanh Điều thân kiểm nghiệm, so sánh nhiều lớp mà thân phụ trách dạy so với lớp khác phân công dạy thay, lớp dạy thay, học sinh lúng túng việc xác định vấn đề, hướng giải vấn đề mục tiêu oàn thành nhiệm vụ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Qua trình triển khai thực đề tài, tơi nhận thấy: Khi tìm chung lớp toán, tức phát gốc vấn đề cần chứng minh hay tính tốn, học sinh tương tự hóa, dùng kết cách suy luận để chứng minh tìm cách giải hầu hết tập tương tự cách dễ dàng Vì thế, cơng việc người thầy giúp học sinh phát toán bản, từ đó, học sinh khai thác, sử dụng kết tốn cho tập khác 3.2 Kiến nghị Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 CAM KẾT KHƠNG COPY Người viết Phạm Hùng Bích 17 ... tích, tìm tịi đề xuất giải pháp giải vấn đề 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp giải vấn đề KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Tìm hiểu tốn sau:... nghiệm tơi trình bày tốn toán thế, xem xét ứng dụng việc giải số tập khó hình học khơng gian lớp 11 12 Tên đề tài chọn: ? ?Khai thác toán để giải số toán hình học khơng gian? ?? 2.2 Thực trạng vấn... AK AN AM AK II Khai thác tốn Trong hình học, ta phải giải tốn tìm đại lượng hình học chứng minh tính chất hình học (cố định, song song ) theo ràng buộc qua đại lượng thay đổi Để giải tốn này,