(SKKN 2022) Hướng dẫn HS lớp 11 giải một số bài toán hình học không gian từ một số bài toán hình học phẳng

MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… .3 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… .3 1.5 Những điểm SKKN………………………………… ………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận đề tài………………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN …………………… 2.3 Giải pháp thực ……………………………………………… 2.4 Hiệu SKKN .16 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận …….………………………………………………… .17 3.2 Kiến nghị …….………………………………………………… 19 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 21 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông, đặc biệt môn tốn, mơn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng môn học công cụ học tốt mơn Tốn tri thức Tốn với phương pháp làm việc tốn trở thành cơng cụ để học tốt mơn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ toán học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng tính thẩm mĩ Một phân môn cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn hình học khơng gian Để học mơn học sinh cần có trí tưởng tượng, kỹ trình bày, vẽ hình khơng gian giải Như người bỉết, hình học khơng gian mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú so với hình học phẳng Trong q trình dạy học trường phổ thơng để giải vấn đề hình học khơng gian nhiều giáo viên chuyển vấn đề hình học phẳng chia kiến thức hình khơng gian thành phần đơn giản mà giải tốn phẳng Đó việc làm đắn, nhờ làm cho q trình nhận thức, rèn luyện lực lập luận, sáng tạo, tính linh hoạt khả liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học khơng gian học sinh Trong mối liên hệ hình học phẳng hình học không gian, với sở mặt phẳng phận không gian ta trọng tách phận phẳng khỏi khơng gian hình vẽ (các phần tách thường thiết diện, giao tuyến…) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến tốn hình học phẳng để từ giải tốn ban đầu Trong q trình giảng dạy nhận thấy học sinh e ngại học môn hình học khơng gian, đặc biệt em học sinh lớp 11 làm quen với hình học không gian từ lớp 8, lớp Các em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này,về phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Để giải tập hình học khơng gian cách thành thạo yếu tố quan trọng biết kết hợp kiến thức hình học khơng gian, hình học phẳng, phải tìm mối liên hệ chúng tương tự hình học phẳng hình học không gian, giúp học sinh ghi nhớ lâu kiến thức hình học, vận dụng tốt kiến thức học Vì để giúp học sinh học tốt mơn hình học lớp 11 tơi chọn đề tài : “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn hình học khơng gian từ số tốn hình học phẳng " 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, từ củng cố kiến thức học THCS Nhằm giúp học sinh thấy mối liên quan hình học phẳng hình học khơng gian Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học - Hệ thống hóa kiến thức, kĩ nhận dạng số toán hình học phẳng hình học khơng gian mức độ vận dụng, để từ có hướng giải toán - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng, khả tương tự hóa - Việc đưa hướng giải cho số tốn giúp cho học sinh có nhìn sâu hơn, phát triển tư tưởng tượng cho học sinh trung học phổ thông 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu, tổng kết vấn rèn luyện tư cho học sinh lớp 11 thông qua mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian - Học sinh khối lớp 11 mà phân công trực tiếp giảng dạy - Một số tốn hình học phẳng có liên quan đến hình học khơng gian số tốn hình học khơng gian giải tốn hình học lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp sưu tầm, điều tra, nghiên cứu chương trình, phân tích tài liệu, đề thi thử trung học phổ thông quốc gia tốt nghiệp trung học phổ thông, xây dựng sở lí thuyết - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Tốn 11,12 phần hình học khơng gian - Gặp gỡ, trao đổi, đàm thoại, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp học sinh thông qua trao đổi trực tiếp làm sở cho việc nghiên cứu đề tài - Thông qua thực tế dạy học lớp, quan sát, giao tập, củng cố học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị kết hợp với kiểm tra, đánh giá, tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đưa tương tự hóa hình học phẳng hình học khơng gian, phát triển trí tưởng tượng cho học sinh - Phát triển tư hình học mẻ - Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy hình học khơng gian nhà trường trung học phổ thông Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lí luận đề tài Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hoàn cảnh đất nước người Mơn Tốn trường trung học phổ thơng môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Mơn Tốn có tầm quan trọng to lớn, mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Nó có khả giáo dục lớn việc rèn luyện tư duy,suy luận logic, đem lại niềm vui, hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Bài toán rèn tư giúp học sinh tư hình học tốt hơn, hình thành phẩm chất người lao động động, sáng tạo, làm chủ tương lai 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình dạy học mơn Tốn, mơn Hình học q trình học tập học sinh cịn nhiều em học tập chưa tốt Đặc điểm mơn học mơn u cầu em có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao tập hình không gian Ở trường em học sinh học sách hình học bản, tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao làm tập đề thi khảo sát chất lượng tập có u cầu cao nên gây phần lúng túng cho học sinh Nhiều em khơng biết cách trình bày giải, sử dụng kiến thức hình học học chưa thục, lộn xộn giải Cá biệt có vài em vẽ hình q xấu, khơng đáp ứng đươc yêu cầu giải hình học Vậy nguyên nhân cản trở trình học tập học sinh? Khi giải tốn hình học khơng gian giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân : + Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt gặp tốn hình khơng gian + Do đặc thù mơn hình khơng gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử dụng kiến thức hình khơng gian vấn đề khó học sinh + Học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình khơng gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy kết hình học phẳng sử dụng hình khơng gian, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình khơng gian + Một số tốn khơng gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việc định hướng cách + Bên cạnh cịn có ngun nhân em chưa xác định đắn động học tập, chưa có phương pháp học tập cho mơn, phân môn hay chuyên đề mà giáo viên cung cấp cho học sinh Cũng thầy cô chưa trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức học sinh Để hiểu rõ nguyên nhân yếu tiến hành trắc nghiệm khách quan 20 câu hỏi cho phiếu (gồm 02 phiếu) khả học tập mơn tốn mơn hình học trường phổ thơng Từ số nguyên nhân mạnh dạn đưa hướng giải nhằm nâng cao chất lượng dạy học thầy trị mơn hình học không gian, tạo hứng thú cho học sinh trình học hình trường phổ thơng cách “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn hình học khơng gian từ số tốn hình học phẳng " 2.3 Giải pháp thực - Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là: - Hướng dẫn học sinh vẽ hình khơng gian, giải thích vẽ nhằm giúp học sinh vẽ hình đẹp, dễ dàng giải tập - Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình khơng gian quan hệ song song hai đưịng thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng… - Sử dụng đồ dùng dạy học cách hợp lý mơ hình khơng gian, phần mềm giảng dạy Cabir, GSPS, Geogebra… - Dạy học theo chủ đề, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà có, vận dụng chúng cách tốt Trong q trình dạy học tơi đề hướng giải : “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn hình học khơng gian từ số tốn hình học phẳng " Để hình thành kiến thức cho học sinh soạn hai tiết liên tục với thời lượng 90 phút minh họa phương pháp nhằm đào sâu kiến thức cho học sinh Tiết 1: LUYỆN TẬP A MỤC TIÊU Kiến thức Hiểu, nhớ kiến thức học trường trung học sở từ vận dụng vào để giải số tập hình học khơng gian Kỹ - Dựng ảnh điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng - Rèn kỹ vẽ hình khơng gian - Biết vận dụng kiến thức định lý Talets mặt phẳng; tính chất hình bình hành Tư thái độ - Biết qui lạ quen, phát triển trí tưởng tượng khơng gian, suy luận logic khơng gian - Tích cực phát chiếm lĩnh tri thức - Biết tốn học có ứng dụng thực tiễn - Biết vai trị tốn học thực tiễn B CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ - Giáo viên: dụng cụ dạy học, bảng phụ, phiếu học tập, máy vi tính (computer) máy chiếu (projector) - Học sinh: dụng cụ học tập, cũ C GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC - Về sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp - Đan xen hoạt động nhóm D TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ Ví dụ 1:Trong mặt phẳng,cho tam giác ABC vng A AB  c; BC  a; AC  b; AD  ; BC  c '; CD  b ' Nêu hệ thức lượng tam giác vuông học lớp Giáo viên: Đây câu hỏi khơng khó u cầu học sinh trình bày - Yêu cầu học sinh khác nhận xét câu trả lời bạn bổ sung có - Nhận xét xác hóa kiến thức cũ - Đánh giá học sinh cho điểm - Mở rộng không gian Học sinh: - Phát vấn đề nhận thức - Hiểu yêu cầu đặt trả lời câu hỏi - Nhận xét câu trả lời bạn bổ sung cần Hoạt động 2: Bài Ví dụ 1’: Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S Đặt SA  a; SB  b ; SC  c hạ SH  (ABC);S H  h Chứng minh : A b c b' c' B D a C a) 1 1    2 h a b c 2 2  S SAB  S SBC  SSAC b) S ABC Hướng dẫn: a) 1 1 1 1  2  2 2  2 2 2 2 h SA SF SA SB SC a b c b) Gợi ý S SCB  cos((SCB),(ABC))=cosSFA S ABC = SF bc  AF a 2b  b c  c a 2 ( a b  c 2b  a c ) 1 S BAC  BC AF  (b  c ).(a  SF ) 4 b2c  (b  c ).(a  )  ( a 2b  c 2b  a c ) b c 2 2 Vậy S ABC  S SAB  S SBC  SSAC 2 S SAC  S SBC  S SAB  Giáo viên học sinh: - Gọi học sinh đứng chỗ giải, tính theo a, b, c tỉ số S SCB S ABC - Hướng dẫn học sinh chứng minh ý a) dựa vào ví dụ - Yêu cầu học sinh chứng minh tương tự ý b) đưa kết luận Nhận xét: Có thể coi ý b) định lí Pitago khơng gian Học sinh phát biểu thành lời mở rộng hệ thức lại lớp thành tốn hình học khơng gian Ví dụ 2: Trong mặt phẳng, cho ∆ ABC diện tích tam giác: Cơng thức Hê-rơng S  p(p  a)(p  b)(p  c) (p  abc ) Giáo viên : - Yêu cầu học sinh nêu cơng thức Hê-rơng để tính diện tích ∆ ABC Học sinh: - Sử dụng công thức toán giải tam giác biết độ dài ba cạnh Ví dụ 2’: Trong khơng gian, cho tứ diện SABC có SA; SB; SC đơi vng góc Tính thể tích tứ diện theo AB  a; AC  c; BC  b Hướng dẫn: SA2  SB  a SC  SB  b SA2  SC  c VSABC  SA.SB.SC (a  b  c )(a  c  b )(b  c  a )  VSABC  a  b2  c , x  a2 , y  b2 , z  c2 Hay VSABC  ( p  x)( p  y)( p  z ) với p  Công thức gần giống cơng thức Hê rơng Nhận xét: - Ở ví dụ học sinh gần chuyển từ cơng thức Hê rơng thành tốn mà giáo viên đưa ln ví dụ đặt câu hỏi: SA, SB, SC đơi vng góc thể tích khối chóp tính nào? Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho ∆ABC giao trung tuyến đồng qui G G chia đoạn trung tuyến theo tỉ số 1:2 Ví dụ 3’: Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi Ga ; Gb ; Gc ; Gd trọng tâm mặt (BCD), (ACD), (ABD); (ABC) Chứng minh đường thẳng AGa ; B Gb ;C Gc ; D Gd đồng qui G AG BG CG DG     AG a BG b CG c DG d Hướng dẫn: Ta có đoạn MN; PQ; RS đồng qui G.Ta chứng tỏ AGa qua G chia theo tỷ số - Nối AG cắt BM X Kẻ NP //AG cắt BM P Ta chứng minh X Ga - Trong ∆ NMP có XG // NP qua trung điểm MN nên XP = XM; ∆ ABX có NP // AX qua trung điểm AB nên BP = PX Hay BP = PX = XM 2 Vậy X trọng tâm ∆ BCD NP  AX;GX= NP nên AG BG CG DG     (đpcm) AG a BG b CG c DG d Giáo viên : - Xét ∆ABM có MN đường đặc biệt tam giác; G nằm MN thỏa mãn điều kiện gì? - Hướng dẫn học sinh giải tập hình học phẳng chuyển kết sang không gian Học sinh: - Nêu tính chất trung tuyến tam giác Nhận xét: - Học sinh dễ bị nhầm tính chất trọng tuyến tứ diện với trọng tâm tam giác - Chuyển từ uhình uu r uhọc uu r phẳng uuur rsang hình học khơng gian uuu r thơng uuu r thường uuur uvà uur hình r học véc tơ như: GA  GB  GC  tứ diện ABCD GA  GB  GC  GD  giống trọng tâm tứ giác ABCD Ví dụ 4: Trong mặt phẳng, cho ∆ABC đường thẳng bất kỳ cắt hai cạnh AB; AC M; N SAMN AM AN  SABC AB AC Học sinh: - Nêu cách chứng minh tập Ví dụ 4’: Trong khơng gian, cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt cạnh SA; SB; SC; SD M; N; P; Q SA SC SB SD    SM SP SN SQ Hướng dẫn: Ta có I giao điểm MP QN I nằm SO S SM SP S SM SI S SI SP SMP  ; SMI  ; SIP  - Trong tam giác SAC ta có: S SA SC S SA SO SSOC SO SC SAC SAO Mà SSOA  SSOC (O trung điểm AC)   SMP     Vậy S   SA SO SO SC SO  SA SC  SAO Do : S SM SI SI SP SI SM SP SI  SM SP  SM SP SI   2SM.SP  (SM.SC  SA.SP)   SO  SA SC  SA SC SO 2SO SC SA    (1) SI SP SM 2SO SB SD - Tương tự ∆ SBD : SI  SN  SQ (2) từ (1) (2) ta có đpcm Giáo viên : - Hướng dẫn học sinh chứng minh kết ví dụ - Áp dụng kết vào ∆ SAC; ∆SAO; ∆ SOC Học sinh: - Tìm giao tuyến (ACS) (BSD) Tìm giao điểm (P) SO Nhận xét: - Có thể sử dụng đồng phẳng điểm chuyển thành véc tơ để chứng minh Coi tập nhà sử dụng kiến thức thể tích lớp để giải toán Tiết 2: LUYỆN TẬP Hoạt động 3: Vào tiết thứ Ví dụ 5: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d hai điểm A, B cố định khơng thuộc d Tìm điểm M d cho tổng MA + MB nhỏ Ví dụ 5’: Trong không gian,cho mặt phẳng (  ) hai điểm A; B Tìm M (  ) cho MA + MB nhỏ Học sinh: - Theo dõi đề nhận xét đề không gian đề hình phẳng? Giáo viên học sinh: - Kiểm tra cũ - Mở rộng đề không gian - Đặt câu hỏi cho học sinh gợi ý bước để giải toán * Nếu A; B khác phía mặt phẳng(  ) điểm M xác định nào? * Nếu A; B phía mặt phẳng (  ) điểm M xác định nào? + Xác định điểm đối xứng B qua mặt phẳng (  ) + Lập mặt phẳng (ABC) cắt (  ) giao tuyến Ex + Nối AC cắt Ex M Khi M điểm cần tìm Nhận xét: Bài toán dùng nhiều phần cực trị hình học kể sử dụng tọa độ để giải 10 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng, cho góc xOy, Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho 1   (d số) Chứng minh AB qua điểm cố định OA OB d Hướng dẫn: + Dựng phân giác góc AOB + Kẻ DC // OB sử dụng định lí Ta lét tìm tỷ số Ta có ∆ ODC cân đỉnh D Học sinh: +Vẽ hình, kẻ hình phụ để chứng minh kết + Phát vấn đề nhận thức Theo Ta lét AD DC AO  OD OD    OD  DC AO OB AO OB 1     OD  d OA OB OD Vậy C điểm cố định cần tìm Giáo viên: - Đặt vấn đề: ta mở rộng khơng gian khơng? Ví dụ 6’: Trong khơng gian, cho hai đường thẳng chéo a; b Trên đường thẳng a lấy hai điểm A,B đưòng thẳng b lấy hai điểm C; D cho B; D nằm phía so với A; C (A; C cố định) 1   AB CD k Chứng minh mặt phẳng qua BD song song với AC qua điểm cố định Học sinh: - Chuyển từ tốn hình học phẳng chuyển sang tốn hình học không gian nhận xét đề không gian đề hình phẳng? - Học sinh nhận xét mặt phẳng (CKD) kết có ví dụ khơng? Giáo viên: - Nêu bước giải: + Qua C dựng đường thẳng Cc // a + Trong mp (a,c) dựng BK//AC + Mặt phẳng (BKD) mặt phẳng cần dựng + Theo dựng ta có AB = CK nên 1 1 1      AB CD k CI CD k + Theo ví dụ H điểm cố định - Hướng dẫn học sinh chứng minh H thỏa mãn điều kiện 11 Ví dụ 7: Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD có M; N; P; Q trung điểm cạnh AB; BC; CD; DA Chứng minh MNPQ hình bình hành Học sinh: - Nêu cách chứng minh tập Giáo viên: - Trong khơng gian có tốn tương tự khơng? Hãy phát biểu - Hướng dẫn học sinh chứng minh u cầu phát triển tốn từ hình học phẳng sang hình học khơng gian Ví dụ 7’: Trong không gian, cho tứ diện ABCD, gọi M; N; P; Q; R; S trung điểm cạnh AB; CD; CA; BD; AD; BC Chứng minh đoạn thẳng MN; PQ; RS đồng qui điểm Ta có tứ giác MRNS; NPMQ; PRQS hình bình hành Vậy đường chéo đồng qui điểm đoạn thẳng MN; PQ; RS đồng qui điểm Nhận xét: - Điểm G trọng tâm tứ diện, đến ta có nhìn rộng điểm đặc biệt từ ví dụ 3’ Ví dụ 8: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, trọng tâm G, M điểm nằm tam giác Đường thẳng MG cắt đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự A', B', C' Chứng minh rằng: A'M B 'M C 'M    A 'G B ' G C 'G Hướng dẫn:  MK  BC ( K  BC ) MA ' MK  theo Ta lét ta có: A ' G GH GH  BC ( H  BC ) Hạ  Gọi I; J chân đường cao hạ từ M xuống cạnh AB; AC Khi ta có: MB ' MJ MC ' MI  ;  B ' G GH C ' G GH Vậy : A'M B 'M C 'M    ( MK  MJ  MI ) A 'G B 'G C 'G h Lại có : S ABC  S MBC  S AMC  S ABM 1 1  h.BC  MI AB  MK BC  MJ AC 2 2  12  MK  MI  MJ  h Suy ra: A'M B'M C 'M    (đpcm) A'G B 'G C 'G Giáo viên: - Hướng dẫn học sinh chứng minh u cầu phát triển tốn từ hình học phẳng sang hình học khơng gian Học sinh: -Tiếp nhận đề chứng minh MK  MI  MJ khơng đổi Ví dụ 8’: Trong khơng gian, cho tứ diện ABCD, trọng tâm G Một điểm M tứ diện, đường thẳng MG cắt mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) điểm A', B', C', D' Chứng minh rằng: A' M B ' M C 'M D ' M    4 A'G B 'G C 'G D 'G Ví dụ 9: Cho tam giác ABC M điểm thuộc tam uuur miềnuutrong ur uuur giác r Gọi S1, S2, S3 S MBC , S MCA , S MAB Chứng minh: S1 MA  S MB  S3 MC  Hướng dẫn: Gọi S diện tích tam giác ABC, từ M ta dựng hai đường thẳng song song với AB AC, cắt AB B’ AC C’ uuuu r S uuu r S uuur Biểu thức cần chứng minh biến đổi dạng : AM  AB  AC (*) S S uuuu r uuur uuuu r AB ' uuu r AC ' uuur AB  AC Ta có: AM  AB '  AC '  AB AC Dễ chứng minh AB ' MC ' S MAC S2 AC ' MB ' S MAB S3    ;    nên ta có điều phải chứng minh AB AB S BAC S AC AC SCAB S (*) Nhận xét: Bài tốn mở rộng khơng gian xét cho tứ diện diện tích tam giác cần chứng minh chuyển thành thể tích tứ diện 13 Ví dụ 9’: Cho tứ diện ABCD, O điểm thuộc miền tứ diện Gọi V1, V2, V3, V4 thể tích tứ diện OBCD, OCDA, OABD OABC Chứng uuu r minh: uuu r uuur uuur r V1 OA  V2 OB  V3 OC  V4 OD  Hướng dẫn: Tương tự toán mặt phẳng ta biến đổi đẳng thức cần chứng minh uuur V uuu r V uuur V uuur AO  AB  AC  AD dạng: V V V (Với V thể tích tứ diện) Từ ta định hướng giải tốn cách dựng hình hộp nhận AO làm đường chéo ba cạnh kề nằm ba cạnh tứ diện xuất phát từ A (hình bên) uuur AM uuu r AS uuur AP uuur AO  AB  AC  AD Ta có AB AC AD AM OR OK OK S ACD V2     Có AB AB BH BH S ACD V AS V2 AP V3  ,  Tương tự ta có nên AC V AD V ta có đpcm Hoạt động 4: Củng cố toàn Câu hỏi 1: Em cho biết nội dung học này? Câu hỏi 2: Em nêu lại số kết liên quan đến trọng tâm tứ diện Bài tập nhà: Chứng minh định lí Mêlelauyt mặt phẳng; khơng gian Một số kí hiệu, tên viết tắt Diện tích tam giác ABC: S∆ ABC ; hb ; hc : độ dài đường cao hạ từ A; B; C đến cạnh đối diện ∆ABC Hoạt động 5: Một số toán cung cấp cho học sinh kĩ giải tập hình học khơng gian Tơi chủ động đưa cho học sinh số tốn hình học phẳng mở rộng kết khơng gian Các toán sau khai thác vài mở rộng số toán phẳng sang tốn khơng gian vận dụng phương pháp giải toán phẳng để giải toán mở rộng Bài 1: Cho  ABC vng A, M điểm BC AM tạo với AB, AC góc theo thứ tự   14 Chứng minh cos2  + cos2  = Bài 1’: Cho hình chóp tam diện vng SABC đỉnh S, M điểm thuộc miền  ABC SM hợp với cạnh SA, SB, SC góc theo thứ tự  ,  ,  Chứng minh cos2  + cos2  + cos2  = Bài 2: Trong tam giác ABC gọi G giao điểm đường trung tuyến Chứng minh GA  GB  GC 0 Bài 2’: Cho tứ diện ABCD Gọi G giao điểm đường trọng tuyến tứ diện Chứng minh GA  GB  GC  GD 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho tam giác ABC trọng tâm G a) Chứng minh MA2 +MB2 + MC2 = 3MG2 +GA2 + GB2 + GC2 (Với điểm M) b) Tìm tập hợp điểm M cho MA2 +MB2 + MC2 = k2 (k cho trước) Bài 2: Cho tứ diện ABCD trọng tâm G a) Chứng minh : MA2 +MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 +GA2 + GB2 + GC2 +GD2 (mọi điểm M) b) Tìm tập hợp điểm M cho MA2 +MB2 + MC2+ MD2 = k2 (k cho trước) Bài 3: Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ diện ABCD có hình cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện là: AB + CD = AC + BD = AD + BC Bài 4: Chứng minh điều kiện cần đủ để tồn hình cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD là: AB + CD = AC + BD = AD + BC S Bài : a) Chứng minh ∆ ABC r  p b) Chứng minh rằng: Nếu hình chóp tồn hình cầu nội tiếp bán kính 3V r r  S Bài 6: Trong ∆ ABC ta có a b a b c   Chứng minh chóp tam giác ta sin A sin B sin C c có sin   sin   sin  với a; b; c độ dài ba cạnh tam giác đáy,  ;  ;  góc tạo mặt bên chóp tam giác với tam giác đáy ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT VÀ ĐÁP ÁN TRƯỚC THỰC NGHIỆM 15 ĐỀ 1: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Chứng minh tổng bình phương cạnh tổng bình phương đường chéo ĐÁP ÁN - Vẽ hình đẹp Xét hình bình hành ABCD học sinh chứng minh AC2 + BD2 = 2(AD2 +AB2) tương tự hình bình hành AA'C'C Hình bình hành BB'D'D - Kết luận : ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT VÀ ĐÁP ÁN SAU THỰC NGHIỆM ĐỀ 2: Trong không gian cho tia Ox; Oy; Oz không đồng phẳng đôi vng góc Trên Ox lấy điểm A; Oy lấy điểm B; Oz lấy điểm C Chứng minh ∆ ABC tam giác nhọn ĐÁP ÁN - Hình vẽ đúng, đẹp - Đặt OA = a; OB = b; OC = c Ta có AB  a  b (định lí Pitago tam giác AOB) BC  c  b (định lí Pitago tam giác COB) AC  a  c (định lí Pitago tam giác AOC) - Xét AB  BC  a  b  c  b  a  c  2b  a  c  AC Vậy góc B góc nhọn, tương tự góc A, C góc nhọn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa tác động khác lên trình lĩnh hội kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, hình thành kĩ học sinh giáo viên không sử dụng sử dụng đề tài, tiến hành kiểm nghiệm kết kết học tập học sinh, thu thập liệu qua số học sinh nhằm kiểm chứng chất lượng học tập học sinh Sau kết nghiên cứu - Tôi so sánh kết thực nghiệm 11 học sinh lớp 11A năm học 2018 – 2019 chưa áp dụng đề tài với hai kiểm tra Họ tên STT Nguyễn Thị Chiến Lê Đình Cương Điểm kiểm tra trước tác động 8,5 Điểm kiểm tra sau tác động 8,5 16 10 11 12 13 14 Phạm Ngọc Bình Phan Anh Đức Nguyễn Thị Hoàng Hà Vũ Trọng Hậu Lê Phương Huyền Trần Thị Lan Mai Thị Khánh Linh Lê Thị Ly Đỗ Trà My Hoàng Văn Nghĩa Nguyễn Nho Phong Lê Thanh Sơn 8 7,5 7,5 6,5 7.5 7.5 9,5 8 8,5 8,5 - Từ kết kiểm tra lớp, phần làm 14 học sinh học bồi dưỡng ôn thi trung học phổ thông quốc gia, tốt nghiệp trung học phổ thông, nhận thấy việc đưa đề tài vào giảng dạy thiết thực, phát huy hiệu cao Từ nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi, thi trung học phổ thông quốc gia, tốt nghiệp trung học phổ thơng hàng năm Từ tăng cường điểm số phần câu hỏi phân loại thí sinh, góp phần làm bật thành tích mũi nhọn học sinh giỏi tỉnh nhà trường - Trong trình giảng dạy tơi đưa hệ thống tốn để học sinh nhận dạng lựa chọn phương pháp làm phù hợp Các toán thực số học sinh trung bình trở lên tiếp thu vận dụng tốt đảm bảo yêu cầu xác, tiết kiệm thời gian Mặt khác tập tài liệu mà thành viên tổ Toán học hỏi bổ sung kiến thức cho thân nhằm nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Qua kết đánh giá tổng quan q trình có ý nghĩa Kết kiểm tra cho ta thấy trước tác động số em điểm thấp, chênh lệch có tác động cao Sau tác động với phương pháp phù hợp kết em có nâng lên điểm thấp sụ chênh lệch điểm số khơng cịn nhiều Ngồi ra, điểm trung bình em có nâng lên Kết học tập học sinh nâng cao sau kết hợp số kết tốn hình học phẳng sang hình học khơng gian, học sinh cảm thấy hứng thú với mơn hình học, khơng bị áp lực phải ngồi học hình học, tạo niềm tin hứng thú học tập Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 17 Trên hai tiết dạy số tập minh họa cho việc rèn tư hình học khơng gian cho học sinh lớp 11 qua mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian nhằm giúp học sinh phát tìm tương tự hóa chúng, giúp cho việc dạy học tốn có hiệu hơn, kiểu tư áp dụng thực tế giảng dạy học tập tùy theo yêu cầu chương trình, người học, người dạy mà ta lựa chọn tập phù hợp Sau thực đề tài này, thấy có số vấn đề cần rút sau: - Thứ qua cách định hướng em tự hệ thống hoá để giải cho lớp tập - Thứ hai nâng cao tính sáng tạo học tập, bước đầu giúp em có phong cách nghiên cứu khoa học Đặc biệt biết phát triển vào giải toán khác Qua thời gian viết sáng kiến kinh nghiệm vận dụng chuyên đề vào giảng dạy, thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực công cụ hiểu hiệu giúp học sinh giải tốn nhanh gọn xác Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kì thi quan trọng Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, tơi nhận thấy chun đề tiếp tục áp dụng vào năm học tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh Tất nhiên phải tiếp tục hoàn thiện đề tài Đã hình thành phương pháp tư ,suy luận toán học cho học sinh trung học phổ thơng, bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm Bên cạnh sáng kiến giúp cho giáo viên, học sinh yêu cầu nhằm thúc đẩy trình giảng dạy học tập mơn hình học khơng gian tốt Giáo viên tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm ngại, sợ tiếp cận nội dung mơn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học trở nên hấp dẫn người học thấy ý nghĩa môn học Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri thức học sinh, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập, nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em Phải thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh 18 Cho học sinh thấy ứng dụng lý thuyết vào thực hành Khi giải tốn hình khơng gian nên đặt câu hỏi gặp đâu chưa, có tương tự hình học phẳng khơng? phân thành tốn nhỏ dễ giải khơng? Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh có khả tiếp thu kiến thức tốt biết phân tích tốn hình học khơng gian Các em vận dụng qui trình hay phương pháp giải tốn khơng gian vào tập cụ thể Các em biết huy động kiến thức bản, tri thức liên quan để giải tập toán, biết lựa chọn hướng giải tập phù hợp Trình bày lời giải hợp lý chặt chẽ, ngắn gọn rõ ràng Có ý thức học tập, hiểu vấn đề cách sâu sắc Liên hệ với kiến thức học Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán 3.2 Kiến nghị Qua nghiên cứu đề tài này, rút số kiến nghị sau: - Khi giảng dạy hình học khơng gian giáo viên nên dành số tiết nhắc lại kiến thức hình học phẳng học trung học sở - Nên có chuyên đề tự chọn để giáo viên học sinh trao đổi thẳng thắn với vấn đề, từ rút phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh - Phải thường xuyên học hỏi, trau dồi chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Cần phải phát huy tối đa vai trò phương pháp dạy học tư gắn liền với thực tiễn học sinh (phân loại học sinh trung bình, yếu, kém) -Trong lớp giáo viên nên phân nhóm học theo trình độ nhận thức em Thường xun tạo tình có vấn đề kích thích tìm tịi học hỏi học sinh - Rất mong thầy cô giáo quan tâm, dựa vào trình độ khối lớp để đưa dạng tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho em quen dần với phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học - Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài tơi khơng tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Bên cạnh đề nghiên cứu phạm vi lớp 11 nên phần mặt cầu lớp 12 đường tròn lớp chưa bổ sung cho nhằm hoàn thiện đề tài Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Tôi xin chân thành cảm ơn ! 19 Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 Tơi cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Trọng Hoàng Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa, sách tập 11 (cơ nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007 20 [2] Phan huy Khải- Nguyễn Đạo Phương Các phương pháp giải tốn sơ cấp Hình học không gian Nhà xuất Hà Nội Năm 2000 [3] IF.Sharygin Tuyển tập 340 tốn hình học khơng gian Nhà xuất tổng hợp Nghĩa Bình Năm 1988 [4] Phan Huy Khải Tốn nâng cao hình học lớp 11 Nhà xuất Hà Nội Năm 2002 [5] Đỗ Thanh Sơn Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề Nhà xuất Giáo dục Năm 2008 [6] Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thi vào ĐH- CĐ mơn tốn, Nhà xuất Giáo dục Năm 2010 [7] http://www diễn dàn toán học.net [8] http://www.thuvientailieu… [9] http://www.thuvienbaigiang [10] http://www.toanmath [11] Các đề thi ôn thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 11 năm 2018, 2019, 2020, 2021 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI TỪ LOẠI C TRỞ LÊN STT Tên đề tài SKKN Một số ứng dụng phương pháp lượng giác hóa Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12 Cấp đánh giá xếp loại Kết Năm học đánh đánh giá xếp giá xếp loại loại Ngành giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2013-2014 Ngành giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2018-2019 22 ... giúp học sinh học tốt mơn hình học lớp 11 tơi chọn đề tài : “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn hình học khơng gian từ số tốn hình học phẳng " 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tìm phương pháp dạy học. .. cách “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải số tốn hình học khơng gian từ số tốn hình học phẳng " 2.3 Giải pháp thực - Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học. .. tưởng từ hình học phẳng sang hình học khơng gian học sinh Trong mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian, với sở mặt phẳng phận không gian ta trọng tách phận phẳng khỏi không gian hình vẽ