12 Chương 2 Biểu diễn nửa nhúm của một số lớp nhúm
2.2 Số khuyết của cỏc biểu diễn nửa nhúm
Giả sử A là một bảng chữ cỏi, ký hiệu A+ là nửa nhúm tự do trờn A, gồm tất cả cỏc từ khỏc rỗng trờn A; ký hiệu A*
là vị nhúm tự do A+ {} trong đú là từ rỗng. Ta nhắc lại rằng một biểu diễn nửa nhúm ( hay vị nhúm ) là một tập hợp được sắp thứ tự A R trong đú R A+ ì A+ (hay R A* ì A*). Một nửa nhúm (hay vị nhúm) S được gọi là xỏc định được bởi biểu diễn nửa nhúm (hay vị nhúm) A R nếu S
A (hay S
*
A ), trong đú là tương đẳng trờn A+ (tương ứng A* ) được sinh bởi quan hệ R.
2.2.1. Định nghĩa.
a) Giả sử nửa nhúm S được biểu diễn bởi p = A R . Khi đú hiệu
A
R được gọi là số khuyết của biểu diễn p và được ký hiệu bởi def (p).
b) Giả sử S là một nửa nhúm biểu diễn được hữu hạn. Khi đú số khuyết của S được xỏc định bởi defS(S) = min {def(p) p là một biểu diễn hữu hạn đối với S}.
2.2.2.Chỳ ý.
a) Giả sử M là một vị nhúm. Khi đú số khuyết vị nhúm của M được xỏc định bởi defM(M) = min {def(p)| p là một biểu diễn vị nhúm hữu hạn của M}.
Mặt khỏc, M cũng là một nửa nhúm nờn ta cú thể xỏc định số khuyết nửa nhúm defS(M) như trong Định nghĩa 2.2.1(b).
b) Giả sử G là một nhúm. Khi đú số khuyết nhúm của G được xỏc định bởi
defG(G) = min{def(p) | p là một biểu diễn nhúm hữu hạn của M}. Mặt khỏc, vỡ G lại là một nửa nhúm và cũng là một vị nhúm nờn ta cú thể xỏc định số khuyết nửa nhúm defS(G) và số khuyết vị nhúm defM(G) của G theo Định nghĩa 2.2.1(b) và theo chỳ ý (a) ở trờn.
2.2.3.Chỳ ý. Theo [6], nếu S là một nửa nhúm (hoặc vị nhúm hay nhúm ) hữu hạn thỡ defS(S)0.
Hơn nữa mỗi biểu diễn nửa nhúm hay biểu diễn vị nhúm của nhúm G cũng là một biểu diễn nhúm của G nờn
def (G)S def (G)G và def (G)M def (G)G .
Định lý 2.2.5 sau đõy chứng tỏ rằng def (G) = def (G)M G .
Để chứng minh định lý đú, ta cần đến bổ đề sau đõy ( xem [5] ).
2.2.4. Bổ đề . Giả sử p = A R là một biểu diễn nửa nhúm.
i) Nếu tồn tại một từ e A+ sao cho đối với mỗi a A , ea = a (đơn vị trỏi) và uaa = e đối với ua A+ nào đú (nghịch đảo trỏi), thế thỡ nửa nhúm được xỏc định bởi p là một nhúm.
ii) Nếu nửa nhúm S được xỏc định bởi p là một nhúm, thế thỡ S đẳng cấu với nhúm được xỏc định bởi p khi chỳng ta xột p như là một biểu diễn nhúm.
2.2.3. Định lý. Giả sử pG = A R là một biểu diễn nhúm hữu hạn đối với G. Xột biểu diễn vị nhúm pM = A , A’ R’ , aa’ = 1 (a A) trong đú A’ = { a,
, a A} là bản sao của A và R’ nhận được từ R bằng cỏch thay thế a-1
(nếu nú xuất hiện) bằng a a, trong mỗi hệ thức thuộc R. Thế thỡ pM xỏc định G như một vị nhúm.
a2a, = a,a2= aa,a = 1 do đú a2 là một nghịch đảo của a, và aa, là nghịch đảo của a. Từ đú pM xỏc định một nhúm. Rừ ràng nhúm này đẳng cấu với nhúm G. Chỳ ý rằng đối với nhúm G tổng quỏt, cú thể xảy ra:
defs(G) > defG(G) .
Bất đẳng thức đú suy ra trực tiếp từ kết quả sau.
2.2.6. Định lý. Nếu A R là một biểu diễn nửa nhúm đối với nhúm G thỡ R > A
Chứng minh. Nếu R chứa một hệ thức dạng a = b, trong đú a và b là cỏc phần tử sinh khỏc nhau thuộc A, thỡ ta cú thể khử a hoặc b mà khụng làm thay đổi hiệu quả của biểu diễn. Như vậy, khụng mất tổng quỏt, cú thể giả thiết rằng R khụng chứa hệ thức nào như vậy. Thế thỡ đối với a A tuỳ ý, giả sử wa A+ là một từ biểu diễn nghịch đảo của a trong G. Khi đú hệ thức a = aw,a a đỳng trong G, nghĩa là aw,a a
cú thể nhận được từ a bởi cỏc hệ thức ỏp dụng từ R. Ta kết luận rằng đối với mỗi a A cú một hệ thức dạng a = ua trong R. Ngoài ra, vỡ
uaA nờn tất cả cỏc hệ thức đú là khỏc nhau, từ đúR>A. Trong tiết sau ta sẽ chứng tỏ rằng đối với một số lớp nhúm quen
thuộc, đẳng thức defG(G) = defS(G) là đỳng.
Bõy giờ ta trở lại kiểm tra defM(M) và defs(M) đối với một vị nhúm M. Dễ thấy defM(M) < defs(M)+1, Thật vậy, nếu A R là một biểu diễn của nửa nhúm tựy ý đối với M, và nếu e A+ là từ biểu diễn 1M , thế thỡ A R,e1 là một biểu diễn vị nhúm đối với M.
Ta cú thể chứng minh kết quả mạnh hơn defM(M) < defs(M) trong trường hợp sau đõy.
2.2.7. Định lý. Nếu M là một vị nhúm mà trong nú mỗi phần tử khả nghịch trỏi cũng như khả nghịch phải (núi riờng, nếu M hữu hạn) thỡ defs(M) > defM(M).
Chứng minh. Ký hiệu G là nhúm cỏc phần tử khả nghịch của M. Vỡ mỗi phần tử của M khả nghịch trỏi cũng như khả nghịch phải nờn M \ G là một iđờan của M. Từ đú suy ra rằng biểu diễn nửa nhúm tuỳ ý p = A R của M chứa một biểu diễn con p1= A1R1 trong đú A1
A, R1 = R A+ xỏc định G. Vỡ P1 cũng là một biểu diễn nhúm đối với G, nờn tồn tại một biểu diễn vị nhúm p2 = A2 R2 đối với G thoả
món def( p2) = def( p1) theo Định lý 2.2.5.
2.3. Biểu diễn của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n;p) và nhóm nhị diện D2n.
Tiết này ta xột biểu diễn của cỏc nhúm hữu hạn. Một vấn đề đặt ra: khi nào defG(G) = defs(G) đỳng đối với nhúm hữu hạn G. Chỳng ta sẽ xột một số lớp nhúm quen thuộc hữu hạn mà đẳng thức trờn được thoả món.
Biểu diễn nửa nhúm của nhúm tuyến tớnh đặc biệt xạ ảnh PSL(2,p) đó được nhiều tỏc giả nghiờn cứu: H.J.Zanssenhaus (1969), M.J.Beetham (1971), J.G.Sunday (1972). Bõy giờ chỳng ta xột Biểu diễn của nú như một nửa nhúm.
2.3.1. Định lý. Biểu diễn nửa nhúm
GP =
1
3 4 2 2 p 1
x, y|x x, yxyxy x, (xy xyy ) y y
p
xỏc định nhúm tuyến tớnh đặc biệt xạ ảnh PSL( 2,p).
Chứng minh. Từ hệ thức thứ hai của GP, ta cú x2y = (yx yx) xy yx (yx yxy) = yx2 do đú x2 là phần tử trung tõm. Tiếp theo, từ cỏc hệ thức thứ hai và thứ ba cú ((xy4 x 2 1 p y )2 p y ) x = (xy4 x 2 1 p y )2 yp+1xy xy = xy xy = x. Từ đú và từ hệ thức thứ ba suy ra (xy4 x 2 1 p y )2 p y là đơn vị trỏi. Rừ ràng (xy4x 2 1 p y )2 p1
Bõy giờ chỳng ta chứng tỏ rằng x là nghịch đảo trỏi của chớnh nú. Thật vậy, vỡ (xy4 x 2 1 p y )2 yp1 là đơn vị trỏi và x2 là phần tử trung tõm, nờn x2 = ((xy2 x 2 1 p y )2 p y ) x2 = x3y4x 2 1 p y xy4x 2 1 p y yp = (xy4 x 2 1 p y )2 yp là điều cần thoả món.
Do đú theo Mệnh đề 2.2.4. GP xỏc định một nhúm với đơn vị là (xy4x 2
1
p
y )2yp
Khi ta xột GP như là một biểu diễn nhúm, nú xỏc định PSL(2,p) đối với p là một số nguyờn tố lẻ (xem Định lý 3, [8]) và do đú cũng xỏc định nú như một biểu diễn nửa nhúm .
2.3.2. Định lý. Biểu diễn nửa nhúm
pp,k = x,y yxy xy = x , ( xy4x 2 1
p
y )2y px2ky = y xỏc định một nhúm đối với tất cả cỏc số nguyờn dương p và k. Nếu p là một số nguyờn tố lẻ và k = 3 P là phần nguyờn của 3 P, thế thỡ pP,k xỏc định nhúm tuyến tớnh đặc biệt SL(2,p) .
Chứng minh. Từ cỏc hệ thức thứ nhất và thứ hai của pp,k cú
((xy4x 2 1 p y )2yp x2k)x = (xy4x 2 1 p y )2yp x2k) ypx2kyxy xy= yxyxy = x. Từ hệ thức thứ hai suy ra: (xy4x 2
1 p y )2ypx2klà một đơn vị trỏi. Vỡ (xy4x 2 1 p
y )2y px2k-1 là nghịch đảo trỏi của x và (xy4x 2 1
p
y )2ypx2k-1yyxx
là nghịch đảo trỏi của y, nờn từ Bổ đề 2.2.4. suy ra pp,k xỏc định một
nhúm. Phần cũn lại định lý suy ra từ Định lý 4 [8].
2.3.3. Định lý. Biểu diễn nửa nhúm
p = x, y y3 x2y = y, ((y2 xyx)4y2x)2(xy)7xy3 = x
Xỏc định nhúm tuyến tớnh đặc biệt SL(2,23
).
Chứng minh. Theo [6] , nhúm được xỏc định bởi p là SL(2,23). Bổ đề 2.2.4 chứng tỏ rằng p - như một biểu diễn nửa nhúm - xỏc định một nhúm.
y3x2((y2 xyx )4y2x)2 = (xy)7xy3 = ((y2xyx)4y2x2)2.(xy)7 = xy3 = x.
Từ hệ thức thứ nhất suy ra y3x2 là một đơn vị trỏi vỡ y3x là một nghịch đảo trỏi của x và y3
x((y2xyx)4 y2x)2 (xy)7xy2 là nghịch đảo trỏi của y, do đú từ Bổ đề 2.2.4 suy ra p xỏc định như một nửa nhúm . Cho đến nay, bài toỏn: Tỡm nhúm hữu hạn G để defS(G) defG(G) vẫn cũn mở.
Nhắc lại khỏi niệm nhúm nhị diện.
2.3.4. Định nghĩa. Giả sử Rn (n> 2) là một n - giỏc đều trong mặt phẳng P. Cỏc chuyển động của mặt phẳng (tương đẳng của P) giữ Rn bất biến là phộp quay gúc k
n
2
(k = 0,1,...,n-1) quanh tõm O của Rn, và
cỏc phộp đối xứng trục hoặc là cỏc đường trung trực của cỏc cạnh của Rn , hoặc là cỏc đường phõn giỏc trong của cỏc gúc ở đỉnh. Nếu n lẻ, phộp đối xứng với trục là đường trung trực của một cạnh sẽ trựng với phộp đối xứng trục là phõn giỏc của gúc đối diện, vỡ vậy với n tuỳ ý cú đỳng 2n sự chuyển động giữ Rn bất biến. Một sự chuyển động trờn P chuyển một điểm p của P thành một điểm q của P được ký hiệu bởi q = (p).
Nếu ρ là một chuyển động khỏc trờn P thế thỡ điểm (p) được chuyển thành điểm ρ((p)) lại là một chuyển động, và nú được đồng nhất với phộp toỏn được định nghĩa trờn.
Nếu là một chuyển động, phộp biến đổi ngược -1
của nú cũng là một chuyển động. Nếu , và là cỏc chuyển động, thế thỡ cả hai ( ) và ( ) cũng là những chuyển động biến điểm p thành cựng một điểm (((P))) và như vậy luật kết hợp được thoả món . Do đú tất cả cỏc chuyển động của P tạo thành một nhúm với phộp toỏn được xỏc định như trờn; và tập hợp 2n sự chuyển động của P giữ n - giỏc đều Rn bất biến cũng tạo thành một nhúm hữu hạn cấp 2n với cựng phộp toỏn. Nhúm bao gồm 2n chuyển động này được gọi là nhúm nhị diện cấp 2n và thường được ký hiệu bởi D2n.
2.3.5. Mệnh đề. Đối với n > 3 và n lẻ, biểu diễn nhúm sau đõy xỏc định nhúm nhị diện D2n cấp 2n. Pn 1 1 1 2 2 2 3 2 , 1, n n n y x y y x y x x y x .
Chứng minh. Từ hệ thức thứ nhất suy ra x2 là phần tử trung tõm trong nhúm G được xỏc định bởi pn . Tớnh giao hoỏn của G chứng minh rằng x2 G’. Vỡ nhúm thương 2
G x đẳng cấu với G và vỡ D2n cú
nhõn tử tầm thường đối với n lẻ, nờn x2 = 1 và do đú G D2n.
2.3.6. Định lý. Đối với n chẵn, n > 2, nhúm nhị diện D2n cấp 2n được xỏc định bởi biểu diễn nửa nhúm a,b a3 = a, a2 = bn , abn-1 a = b
và đối với n lẻ, n > 3, nú được biểu diễn nửa nhúm bởi
x y m y y y x y y x Q n n n n 2 1 3 2 1 2 , , .
Chứng minh. Biểu diễn nửa nhúm của D2n với n chẵn, n > 2 đó được xỏc định (Định lý 2.2.[5]).
Bõy giờ, ta xột trường hợp n lẻ. Từ cỏc hệ thức ynx2y = y
và ynx3 = ynx2 2 1 n y x3 2 1 n y = 2 1 n y x3 2 1 n
y = x suy ra ynx2 là một đơn vị trỏi đối với nửa nhúm được xỏc định bởi Qn và ynx là một nghịch đảo trỏi của x. Kiểm tra trực tiếp được ynx 2
1 n y x3y 2 1 n y là một nghịch đảo trỏi của y. Từ Bổ đề 2.2.2(i) suy ra Qn xỏc định một nhúm. Theo Bổ đề 2.2.2 (ii) và lập luận chứng minh Mệnh để 2.3.1 suy ra nhúm này chớnh là D2n.
KẾT LUẬN
Luận văn đó thực hiện được những nội dung sau :
1. Hệ thống một số kiến thức cơ sở về nửa nhúm cỏc từ và nửa nhúm tự do, vị nhúm cỏc từ và Định lý khuyết; biểu diễn nửa nhúm và
biểu diễn vị nhúm bởi cỏc cấu trỳc tự do tương ứng .
2. Hệ thống lại cỏc kết quả về nhúm tuyến tớnh đặc biệt xạ ảnh trờn trường hữu hạn .
3. Trỡnh bày chứng minh biểu diễn của nhúm nhị diện D2n (Mệnh đề 2.3.5 và Định lý 2.3.6), biểu diễn nửa nhúm của một số nhúm tuyến tớnh đặc biệt và nhúm tuyến tớnh xạ ảnh đặc biệt (Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3).
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] A. H Cliphớt và G.B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội .
[2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm. Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm và Lý thuyết nhóm, Đại học Vinh.
[4] S.Lang (1974), Đại số, Bản dịch của Trần văn Hạo và Hoàng Kỳ, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội .
Tiếng Anh
[5] H. Ayik, C. M. Campbell, J. J. O‘Connor and N. Ruskuc (2000), Minimal presentations and efficiency of semigoups, Semigoup Forum,
60, 231-242.
[6] H. Ayik, C.M.Campbell, J.J.O’Connor and N. Ruskuc (2000), The semigroup eficiency of groups and monoids, Math. Proceedings of Royal Irish Academy,100/(2), 171-176 .
[7] J. G. Sunday (1972), Presentations of the groups PSL(2,m) and SL(2,m), Canadian Juornal of Mathematical, 24, 1129-1131.
[8] H. J. Zassenhaus (1969), A presntation of the groups PSL(2,p) with three defining relations, Canadian Journal of Mathematics, 21 , 310-11.