Vành nửa nhóm của nửa nhóm số có nhiều nhúng bằng 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ANH TUẤN VÀNH NỬA NHÓM CỦA NỬA NHÓM SỐ CĨ CHIỀU NHÚNG BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ANH TUẤN VÀNH NỬA NHÓM CỦA NỬA NHÓM SỐ CÓ CHIỀU NHÚNG BẰNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2018 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị vành nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Vành phân bậc 10 1.3 Vành nửa nhóm số 13 Vành nửa nhóm số có chiều nhúng 15 2.1 Iđêan định nghĩa vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng 16 2.2 Vành nửa nhóm số với iđêan định nghĩa có hệ sinh tối tiểu phần tử 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 MỞ ĐẦU Nửa nhóm số vị nhóm vị nhóm cộng số tự nhiên N cho phần bù N tập hợp hữu hạn Giả sử H nửa nhóm số Khi ln tồn hệ sinh H gồm hữu hạn phần tử, nghĩa là, tồn a1 , , an ∈ H cho H = {a1 λ1 + + an λn | λ1 , , λn ∈ N} Ước chung lớn phần tử hệ sinh H Hơn nữa, nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu Lực lượng hệ sinh tối tiểu nửa nhóm số H gọi chiều nhúng H , ký hiệu e(H) Giả sử H =< a1 , , an > nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu a1 , , an Vành nửa nhóm nửa nhóm số H (gọi tắt vành nửa nhóm số), ký hiệu k[H], xác định sau: k[H] = k[th | h ∈ H] = k[ta1 , , tan ] cn tn ∈ k[t] | cn = n ∈ N \ H ⊆ k[t], = n≥0 k trường t biến Như vành nửa nhóm số k[H] = k[ta1 , , tan ] vành vành đa thức k[t], đẳng cấu với vành thương vành đa thức k[t1 , , tn ]/IH , IH hạt nhân tồn cấu k -đại số ϕ : k[t1 , , tn ] → k[H], xác định ϕ(ti ) = tai với i = 1, , n Iđêan IH xác định gọi iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số k[H] Vành nửa nhóm số k[H] hồn tồn xác định iđêan định nghĩa IH Trường hợp chiều nhúng nửa nhóm số H n = 3, iđêan IH mô tả Herzog [5] vào năm 1970 Khi n = 4, trường hợp H nửa nhóm số đối xứng (khi k[H] vành Gorenstein) hệ sinh tối tiểu IH tính tốn Bresinsky năm 1975 trường hợp H nửa nhóm số giả đối xứng hệ sinh tối tiểu IH tính tốn Komeda năm 1982 Như mô tả IH trường hợp số phần tử sinh H bé Thậm chí trường hợp chiều nhúng H ta có phần câu trả lời Gần nhất, báo dạng tiền ấn phẩm, nhà toán học Shiro Goto, Đỗ Văn Kiên, Nayuki Matsuoka Hồng Lê Trường tìm mối liên hệ hệ sinh IH tập số giả Frobenius PF(H) nửa nhóm số H Nội dung luận văn dựa vào báo [5] J Herzog tài liệu liên quan khác để mơ tả iđêan định nghĩa IH xác định vành nửa nhóm số k[H] trường hợp nửa nhóm số H có chiều nhúng Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị vành nửa nhóm số Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị nửa nhóm số vành nửa nhóm số nhằm mục đích phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau Chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4] Chương 2: Vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng Nội dung chương trình bày kết [5] vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cơ, người tận tình hướng dẫn, dạy dỗ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Ngành Toán trường Đại học Vinh trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 24 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Trân trọng! Nghệ An, tháng 06 năm 2018 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ VÀNH NỬA NHĨM SỐ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở nửa nhóm số vành nửa nhóm số để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Nửa nhóm số Các kiến thức mục này, tham khảo từ [1] Tập hợp S gọi nửa nhóm trang bị phép tốn có tính chất kết hợp Tập hợp số tự nhiên N với phép cộng vị nhóm tức nửa nhóm có đơn vị Một tập H = ∅ N khép kín phép cộng H nửa nhóm N Trong số nửa nhóm N có lớp nửa nhóm đặc biệt gọi nửa nhóm số 1.1.1 Định nghĩa Cho H tập chứa tập hợp số tự nhiên N Giả sử H đóng kín với phép cộng N \ H hữu hạn H gọi nửa nhóm số Cho A tập khác rỗng N \ {0} Nửa nhóm nhỏ N (theo quan hệ bao hàm) chứa A gọi nửa nhóm sinh A, kí hiệu < A > xác định bởi: < A >= {λ1 a1 + + λn an |λ1 , , λn ∈ N; a1 , , an ∈ A} A gọi hệ sinh nửa nhóm < A > 1.1.2 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm số tồn hệ sinh tối tiểu hệ sinh tối tiểu hữu hạn Như vậy, nửa nhóm số nửa nhóm hữu hạn sinh Cho A tập khác rỗng N Ta nói ước chung lớn A 1, ký hiệu gcd(A) = ước chung lớn tập hữu hạn A Định lý sau cho thấy nửa nhóm N sinh A nửa nhóm số ước chung lớn phần tử A 1.1.3 Định lý Cho A tập khác rỗng N \ {0} Khi đó, < A > nửa nhóm số gcd(A) = Chứng minh Đặt d = gcd(A) Rõ ràng s ∈ A d | s Do A nửa nhóm số nên N \ A tập hữu hạn tồn số nguyên dương x cho d | x d | (x + 1) Suy d = Ngược lại, ta cần chứng minh N \ A tập hợp hữu hạn Thật vậy, = gcd(A) nên tồn số nguyên z1 , z2 , , zn a1 , a2 , , an ∈ A cho z1 a1 + z2 a2 + + zn an = Bằng cách chuyển zi sang vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl ∈ 1, , n cho zi1 ai1 + + zik aik = − zj1 aj1 − − zjl ajl Do tồn s ∈ A cho s + thuộc A Chúng ta chứng minh n ≥ (s − 1)s + (s − 1) n ∈ A Thật vậy, lấy q r số nguyên cho n = qs + r với ≤ r < s Do n ≥ (s − 1)s + (s − 1) ta suy q ≥ s − ≥ r Vì vậy, n = (rs + r) + (q − r)s = r(s + 1) + (q − r)s ∈ A 1.1.4 Định nghĩa Cho H nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu A = {a1 , , ae } thỏa mãn a1 < a2 < < ae Số nguyên e gọi chiều nhúng H kí hiệu e(H ) Số nguyên a1 gọi số bội H kí hiệu m(H ) 1.1.5 Mệnh đề Cho nửa nhóm số H , ta có: e(H) ≤ m(H) Chứng minh Nếu e(H) = H = N Vì m(N) = nên e(H) = m(H ) Nếu e(H) ≥ H có hệ sinh tối thiểu A = {a1 , , an } xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó, e(H) = n m(H) = a1 Giả sử n > a1 , tồn tập A hai số < aj cho ≡ aj (mod a1 ) Điều có nghĩa tồn số nguyên dương k cho aj = k.ai + a1 , suy A hệ sinh tối thiểu H (mâu thuẫn với giả thiết) từ ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp e(H) =m(H ) ta nói nửa nhóm số H có chiều nhúng tối đại Trong giảng mình, nhà toán học Frobenius đề cập đến vấn đề đưa công thức xác định số nguyên lớn mà khơng biểu thị tuyến tính qua tập hợp số nguyên dương có ước chung lớn với hệ số nguyên không âm Sử dụng thuật ngữ nửa nhóm số, vấn đề diễn đạt lại là: tìm số nguyên lớn khơng thuộc nửa nhóm số H xác định số ngun thơng qua phần tử hệ sinh tối tiểu H Số nguyên gọi số Frobenius nửa nhóm số H Vậy số Frobenius H kí hiệu F (H) xác định sau: F (H) = max(Z \ H) 1.1.6 Ví dụ 1) Cho nửa nhóm số H =< 5, 7, > Khi H = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14 →} 10 Ta tính F(H )=13 2) Giả sử H =< 4, > Ta có H = {0, 4, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 18 →} Khi ta tính F(H )=17 1.1.7 Định nghĩa Cho nửa nhóm số H với số Frobenius F(H ) Ta nhận thấy F(H) − n ∈ / H, ∀n ∈ H Xét tương ứng ϕ : H −→ Z \ H, h → F(H) − h Ta dễ dàng chứng minh tương ứng ánh xạ, ϕ đơn ánh Trong trường hợp ϕ song ánh ta nói nửa nhóm số H nửa nhóm số đối xứng Như vậy, nửa nhóm số đối xứng H nửa nhóm số mà tập hợp H Z \ H tương đương 1.2 Vành phân bậc Các kiến thức mục tham khảo từ [2] 1.2.1 Định nghĩa Một vành R gọi vành phân bậc hay vành Z-phân bậc, tồn họ nhóm {Ri }i∈Z nhóm cộng R thỏa mãn: (i) R = Ri xét nhóm cộng; i∈Z (ii) Ri Rj ⊆ Ri+j với i, j ∈ Z Một vành phân bậc R gọi phân bậc dương hay N−phân bậc Ri = với i < Mỗi phần tử = x ∈ Ri gọi phần tử bậc i R kí hiệu bậc x degx = i Phần tử coi phần tử bậc tùy ý 22 vành thương S/K Vậy Y λ2 − X λ1 −α1 Y α2 Z α3 = X λ1 − Y λ2 = h ∈ K ∩ Sn Mặt khác, lại có −X λ1 −α1 (X α1 − Y α2 Z α3 ) + (Y λ2 − X λ1 −α1 Y α2 Z α3 ) = Y λ2 − X λ1 = −h ∈ / I Khi đó, ta có Y λ2 − X λ1 −α1 Y α2 Z α3 ∈ K ∩ Sn \I Theo Khẳng định (*), ta có λ2 = α2 = Vì λ2 > nên α2 = Vậy Y λ2 − X λ1 −α1 Y α2 Z α3 = Y λ2 − X λ1 −α1 Z α3 ∈ K ∩ Sn \I Nếu α3 = α1 = 0, α3 > Vì theo Khẳng định (*), ta có λ1 = α1 Do đó, Y λ2 − Z α3 ∈ K ∩ Sn \I ta có h = X α1 − Y λ2 Do h = X α1 − Y λ2 ∈ K ∩ Sn \I nên X α1 − Y λ2 ∈ K Ta có Y λ2 − Y λ2 −β1 Z β2 X β3 = Y λ2 −β1 (Y β1 − Z β2 X β3 ) ∈ K Suy X α1 = Y λ2 = Y λ2 − Y λ2 −β1 Z β2 X β3 S/K Do X α1 − Y λ2 = Y λ2 − Y λ2 −β1 Z β2 X β3 = X α1 − Y λ2 ∈ K ∩ Sn Mặt khác, X α1 − Y λ2 −β1 Z β2 X β3 + Y λ2 −β1 (Z β2 X β3 − Y β1 ) = X α1 − Y λ2 ∈ / I Từ đó, suy X α1 − Y λ2 −β1 Z β2 X β3 ∈ K ∩ Sn \I Theo Khẳng định (*), ta có β3 = λ2 = β1 Khi h = X α1 − Y β1 , Y β1 − Z α3 , X α1 − Z β2 ∈ K ∩ Sn \I 23 Do đó, Z α2 − Z α3 = (X α1 − Z α3 ) − (X α1 − Z β2 ) ∈ K ∩ Sn \I Suy α3 = β2 Vậy F1 = X α1 − Y α2 Z α3 = X α1 − Z β2 ∈ K ∩ Sn \I α2 = 0, α3 = β2 F1 ∈ / I điều khơng thể F1 phần tử sinh I Vì vậy, giả sử ban đầu I K sai Do I = K hay K = (F1 , F2 , F3 ) Định lý 2.1.1 chứng minh hoàn toàn 2.1.3 Nhận xét Để xác định vành nửa nhóm k[H] nửa nhóm số H ta cần xác định iđêan định nghĩa K Theo Định lý 2.1.1, để xác định K ta cần xác định phần tử sinh F1 , F2 , F3 Các phần tử sinh xác định số nguyên αi , βi , γi , i = 1, 2, 3, α1 , β1 , γ1 tương ứng số nhỏ tập hợp T1 , T2 , T3 số αi , βi , γi , i = 2, thỏa mãn Bổ đề 2.1.2 Các tập hợp T1 , T2 , T3 mơ tả cụ thể sau: T1 = {d ∈ N∗ | ≤ ∃d1 , d2 ∈ Z, X d − Y d1 Z d2 ∈ K} = {d ∈ N∗ | ≤ ∃d1 , d2 ∈ Z, tad − tbd1 tcd2 = 0} = {d ∈ N∗ | ≤ ∃d1 , d2 ∈ Z, tad = tbd1 +cd2 } = {d ∈ N∗ | ≤ ∃d1 , d2 ∈ Z, ad = bd1 + cd2 } = {d ∈ N∗ | ad ∈< b, c >} Tương tự ta có T2 = {d ∈ N∗ | bd ∈< c, a >}, T3 = {d ∈ N∗ | cd ∈< a, b >} Sau đây, chúng tơi trình bày số ví dụ minh họa cho việc xác định vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng 24 2.1.4 Ví dụ Cho H =< 3, 4, > nửa nhóm số sinh phần tử 3, 4, Ta cần xác định nửa nhóm số k[H] Trước hết ta xác định số α1 , β1 , γ1 nhờ Nhận xét 2.1.3 α1 = T1 = min{d ∈ N∗ | 3d ∈< 4, >} = β1 = T2 = min{d ∈ N∗ | 4d ∈< 3, >} = γ1 = T3 = min{d ∈ N∗ | 5d ∈< 3, >} = Tiếp theo ta xác định số nguyên αi , βi , γi , i = 2, thỏa mãn Bổ đề 2.1.2: × = 4α2 + 5α3 , × = 5β2 + 3β3 , × = 3γ2 + 4γ3 Do ta chọn α2 = α3 = 1, β2 = β3 = 1, γ2 = γ3 = Do đó, F1 = X − Y Z, F2 = Y − ZX, F3 = Z − X Y Iđêan định nghĩa nửa nhóm số k[H] K = (X − Y Z, Y − ZX, Z − X Y ) vành nửa nhóm k[H] nửa nhóm số H k[H] = k[t3 , t4 , t5 ] ∼ = k[X, Y, Z] (X − Y Z, Y − ZX, Z − X Y ) 2.1.5 Ví dụ Cho nửa nhóm số H =< 4, 5, 11 > • Xác định số α1 , β1 , γ1 : α1 = T1 = min{d ∈ N∗ | 4d ∈< 5, 11 >} = β1 = T2 = min{d ∈ N∗ | 5d ∈< 4, 11 >} = 25 γ1 = T3 = min{d ∈ N∗ | 11d ∈< 4, >} = • Xác định số nguyên αi , βi , γi , i = 2, thỏa mãn Bổ đề 2.1.2: × = 5α2 + 11α3 , × = 11β2 + 4β3 , 11 × = 4γ2 + 5γ3 Do ta chọn α2 = α3 = 1, β2 = β3 = 1, γ2 = γ3 = Do đó, F1 = X − Y Z, F2 = Y − ZX, F3 = Z − X Y Iđêan định nghĩa nửa nhóm số k[H] K = (X − Y Z, Y − ZX, Z − X Y ) vành nửa nhóm k[H] nửa nhóm số H k[H] = k[t4 , t5 , t11 ] ∼ = k[X, Y, Z] (X − Y Z, Y − ZX, Z − X Y ) 2.1.6 Ví dụ Cho nửa nhóm số H =< 4, 5, > Khi ta có α1 = T1 = min{d ∈ N∗ | 4d ∈< 5, >} = β1 = T2 = min{d ∈ N∗ | 5d ∈< 4, >} = γ1 = T3 = min{d ∈ N∗ | 6d ∈< 4, >} = × = 5α2 + 6α3 , × = 6β2 + 4β3 , × = 4γ2 + 5γ3 Do ta chọn α2 = 0, α3 = 2, β2 = β3 = 1, γ2 = γ3 = Do đó, F1 = X − Z , F2 = Y − ZX, F3 = Z − X 26 Iđêan định nghĩa nửa nhóm số k[H] K = (X − Z , Y − ZX, Z − X ) Tuy nhiên ta nhận thấy F1 , F2 , F3 hệ sinh tối tiểu K F3 = −F1 Vậy K = (X − Z , Y − ZX) vành nửa nhóm số k[H] k[H] = k[t4 , t5 , t6 ] ∼ = k[X, Y, Z] (X − Z , Y − ZX) Qua ví dụ ta nhận thấy F1 , F2 , F3 khơng phải hệ sinh tối tiểu iđêan định nghĩa K Như số phần tử hệ sinh tối tiểu K Định lý sau cho ta đặc trưng trường hợp 2.1.7 Định lý Các khẳng định sau (1) α3 = γ2 = K = (F1 , F3 ) (2) β3 = α2 = K = (F1 , F2 ) (3) γ3 = β2 = K = (F2 , F3 ) Chứng minh Ta cần chứng minh (1), phát biểu (2) (3) chứng minh tương tự Điều kiện cần Giả sử α3 = 0, ta viết lại F1 = X α1 − Y α2 Do tính nhỏ β1 nên từ bα2 = cα3 + aα1 ta suy Y α2 − Z α3 X α1 = Y α2 − X α1 ∈ K α2 ≥ β1 Suy X α1 − Y α2 −β1 Z β2 X β3 = (X α1 − Y α2 ) − Y α2 −β1 (Z β2 X β3 − Y β1 ) = F1 + Y α2 −β1 F2 ∈ K 27 Khi α1 ≤ β3 X α1 − Y α2 = X α1 − Y α2 −β1 Z β2 X β3 + Y α2 −β1 Z β2 X β3 − Y α2 = X α1 (1 − Y α2 −β1 Z β2 X β3 −α1 ) + Y α2 −β1 (Z β2 X β3 − Y β1 ) hay F1 = X α1 (1 − Y α2 −β1 Z β2 X β3 −α1 ) + Y α2 −β1 F2 ∈ K Từ đó, suy − Y α2 −β1 Z β2 X β3 −α1 ∈ K Điều kéo theo ϕ(1 − Y α2 −β1 Z β2 X β3 −α1 ) = Do α2 = β1 ; β2 = 0; β3 = α1 Ta viết lại F2 = Y β1 − Z β2 X β3 = Y α2 − X α1 = −F1 Vì vậy, ta có K = (F1 , F2 , F3 ) = (F1 , F3 ) Bây ta xét trường hợp α1 > β3 Khi ta có X α1 − Y α2 = X α1 − Y α2 −β1 Z β2 X β3 + Y α2 −β1 Z β2 X β3 − Y α2 = X β3 (X α1 −β3 − Y α2 −β1 Z β2 ) + Y α2 −β1 (Z β2 X β3 − Y β1 ) Suy F1 = X β3 (X α1 −β3 − Y α2 −β1 Z β2 ) − Y α2 −β1 F2 Do X α1 −β3 − Y α2 −β1 Z β2 ∈ K Vì α1 ≥ α1 − β3 > α1 = T1 nên β3 = Ta viết lại F = Y β1 − Z β2 X β3 = Y β1 − Z β , tức F2 = Y β1 − Z β2 Do γ1 = T3 nên γ1 ≤ β2 Suy Y β1 − Z β2 = Y β1 − X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 + X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 − Z β3 = (Y β1 − X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 ) + Z β2 −γ1 (X γ2 Y γ3 − Z γ1 ) Do Y β1 − X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 ∈ K 28 Nếu β1 ≤ γ3 ta có Y β1 − Z β2 = Y β1 − X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 + X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 − Z β2 = Y β1 (1 − X γ2 Y γ3 −β1 Z β2 − γ1 ) + Z β2 −γ1 (X γ2 Y γ3 − Z γ1 ) Suy − X γ2 Y γ3 −β1 Z β2 −γ1 ∈ K Do γ2 = 0, γ3 = β1 , β2 = γ1 Vậy F3 = Z γ1 − X γ2 Y γ3 = Z β2 − Y β1 = −F2 ∈ K Suy K = (F1 , F3 ) Nếu β1 > γ3 Y β1 − Z β2 = Y β1 − X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 + X γ2 Y γ3 Z β2 −γ1 − Z β2 = Y γ3 (Y β1 −γ3 − X γ2 Z β2 − γ1 ) + Z β2 −γ1 (X γ2 Y γ3 − Z γ1 ) Suy Y β1 −γ3 − X γ2 Z β2 −γ1 ∈ K Do γ2 = 0, β1 = γ3 , β2 = α1 Vì T2 = β1 ≥ β1 − γ3 > nên γ3 = Ta viết lại F3 = Z γ1 − X γ2 Y γ3 = Z γ1 − X γ2 ∈ K Do T1 = α1 nên α1 ≤ γ2 Như ta chứng minh α3 = β3 = γ3 = α1 ≤ γ2 ; β1 ≤ α2 ; γ1 ≤ β2 F1 = X α1 − Y α2 , F2 = Y β1 − Z β2 , F3 = Z γ1 − X γ2 Mặt khác, ta lại có aα1 = bα2 ≥ bβ1 = cβ2 ≥ cγ1 = aγ2 nên α1 ≥ γ2 Khi đó, ta có α1 = γ2 Chứng minh tương tự, suy β1 = α2 , γ1 = β2 F1 + F2 = (X α1 − Y α2 ) + (Y β1 − Z β2 ) = X α1 − Z β2 = X γ2 − Z γ1 = −F3 29 Vậy, trường hợp ta có F2 ∈ (F1 , F3 ), nghĩa là, K = (F1 , F3 ) Nếu γ2 = 0, chứng minh tương tự ta có K = (F1 , F3 ) Điều kiện đủ Giả sử K = (F1 , F2 , F3 ) Khi F2 ∈ (F1 , F3 ) Do đó, tồn đa thức f, g ∈ S không đồng thời cho F2 = Y β1 − Z β2 X β3 = f (X α1 − Y α2 Z α3 ) + g(Z γ1 − X γ2 Y γ3 ) = (f.X α1 + g.Z γ1 ) − (f.Y α2 Z α3 + g.X γ2 Y γ3 ) Từ suy α3 = γ2 = α3 γ2 khác khơng thể tồn f, g ∈ S để xảy đẳng thức Ký hiệu µS (K) số phần tử hệ sinh tối tiểu iđêan K Định lý 2.1.7 cho ta điều kiện cần đủ để µS (K) ≤ Định lý dẫn đến hệ sau để nhận biết µS (K) = 2.1.8 Hệ µS (K) = αi , βi , γi số nguyên dương với i ∈ {2; 3} Chứng minh Điều kiện cần suy từ Định lý 2.1.7 Vì tồn số nguyên αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} theo Định lý 2.1.7 ta có µS (K) ≤ Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử αi , βi , γi số nguyên dương với i ∈ {2; 3} Ta cần chứng minh µS (K) = Giả sử ngược lại µS (K) ≤ Đặt M = (X, Y, Z) Khi M iđêan cực đại vành S Bằng cách chuyển qua vành địa phương hóa SM ta giả thiết K = (F1 , F2 ) Khi theo Định lý 2.1.7 số αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} phải Điều mẫu thuẫn với giả thiết αi , βi , γi số nguyên dương với i ∈ {2; 3} Vì giả sử µS (K) ≤ sai ta có µS (K) = Bây trở lại với ví dụ xét Ở Ví dụ 2.1.4 Ví dụ 2.1.5, ta có αi , βi , γi số nguyên dương với i ∈ {2; 3} 30 nên µS (K) = {F1 , F2 , F3 } hệ sinh tối tiểu K Ở Ví dụ 2.1.6, ta có α2 = γ3 = µS (K) ≤ Điều có nghĩa {F1 , F2 , F3 } hệ sinh tối tiểu K Thực tế ví dụ {F1 , F2 } hệ sinh tối tiểu K µS (K) = Như dựa vào Định lí 2.1.7 Hệ 2.1.8 tính tốn giá trị αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} cho ta kết luận số phần tử hệ sinh tối tiểu iđêan K Tuy nhiên, số trường hợp kết luận µS (K) = cần dựa vào hệ sinh nửa nhóm số H 2.1.9 Hệ Cho H =< a, b, c > nửa nhóm số Nếu a, b, c ngun tố đơi µS (K) = Chứng minh Giả sử α3 = Khi α1 a = α2 b gcd(a, b) = nên α1 ≥ b Mặt khác, lại có b ∈ T1 nên b ≥ α1 Từ đó, suy α1 = b Mặt khác, tồn x ∈ {1, 2, , b − 1} cho xa ≡ c (mod b) Do xa = zb + c, với z ∈ Z Vì {a, b, c} hệ sinh tối tiểu S nên z ∈ N Suy α1 ≥ x b điều mâu thuẫn với α1 = b Vậy α3 số nguyên dương Tương tự ta chứng minh α2 , β1 , β2 , γ1 , γ2 số nguyên dương Theo hệ 2.1.8 suy µS (K) = 2.2 Vành nửa nhóm số với iđêan định nghĩa có hệ sinh tối tiểu phần tử Vẫn sử dụng ký hiệu Mục 2.1 Trong mục ta xét trường hợp µS (K) = 3, nghĩa F1 , F2 , F3 hệ sinh tối tiểu K Trước hết ta có bổ đề sau 2.2.1 Bổ đề Các khẳng định sau α1 ≥ β3 , α1 ≥ γ2 , β1 ≥ γ3 , β1 ≥ α2 , 31 γ1 ≥ α3 , γ1 ≥ β2 Chứng minh Do tính đối xứng ta cần chứng minh α1 ≥ β3 Giả sử ngược lại α1 < β3 Khi F = Y β1 − Z β2 X β3 = Y β1 − Z β2 X β3 −α1 (X α1 − Y α2 Z α3 ) − Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 = (Y β1 − Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 ) − (Z β2 X β3 −α1 )F1 Suy Y β1 − Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 ∈ K F1 ∈ K F2 ∈ K Khi β1 ≤ α2 Y β1 − Z β2 X β3 = Y β1 − Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 + Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 − Z β2 X β3 = Y β1 (1 − Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 −β1 ) + Z β2 X β3 −α1 (Z α3 Y α2 − X α1 ) Từ đó, suy − Z β2 +α3 X β3 −α1 Y α2 −β1 ∈ K Do đó, ta có β2 + α3 = 0, α1 = β3 , α2 = β1 Mặt khác ≤ β2 , α3 ∈ Z nên α3 = β2 = Vì vậy, F1 = X α1 − Y α2 F2 = Y β1 − X β3 = Y α2 − X α1 = −F1 Suy µS (K) ≤ Điều mâu thuẫn với giả thiết µS (K) = Vậy β1 > α2 , suy Y α2 (Y β1 −α2 − Z β2 +α3 X β3 −α1 ) = (Y β1 − Z β2 X β3 ) − Z β2 X β3 −α1 (Z α3 Y α2 − X α1 ) = F2 + Z β2 X β3 −α1 F1 ∈ K Do K iđêan nguyên tố nên từ suy Y β1 −α2 − Z β2 +α3 X β3 −α1 ∈ K Do β1 − α2 ∈ T2 Mặt khác µS (K) = nên theo Hệ 2.1.8 ta có α2 > Suy < β1 − α2 < β1 Tuy nhiên điều khơng thể β1 = T2 Do giả sử ban đầu α1 < β3 sai Suy α1 ≥ β3 điều ta cần chứng minh Các khẳng định α1 ≥ γ2 , β1 ≥ γ3 , β1 ≥ α2 ; γ1 ≥ α3 , γ1 ≥ β2 chứng minh tương tự 32 Đối với nửa nhóm số H =< a, b, c >, rõ ràng số nguyên α1 , β1 , γ1 xác định α1 = T1 , β1 = T2 γ1 = T3 Theo Bổ đề 2.1.2, số nguyên αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} xác định nhờ hệ thức aα1 = bα2 + cα3 , bβ1 = cβ2 + aβ3 , cγ1 = aγ2 + bγ3 Như chúng khơng Tuy nhiên trường hợp µS (K) = mệnh đề sau chứng tỏ chúng xác định 2.2.2 Mệnh đề Các số nguyên αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} xác định theo a, b, c Chứng minh Giả sử tồn αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} số nguyên xác định F1 , F2 , F3 Khi chúng thỏa mãn hệ thức Bổ đề 2.1.2 Ta có aα1 = bα2 + cα3 = bα2 + cα3 Khơng tính tổng qt ta giả thiết α2 ≥ α2 Từ đó, suy b(α2 − α2 ) = c(α3 − α3 ) ≥ α2 −α2 Khi (tb ) = (tc )α3 −α3 nên Y α2 −α2 = Z α3 −α3 Do Y α2 −α2 − Z α3 −α3 ∈ K Nếu α2 − α2 > β1 = T2 nên β1 ≤ α2 − α2 Theo Bổ đề 2.2.1, α2 < β1 nên α2 < Điều vơ lý α2 số ngun khơng âm Do đó, ta có α2 = α2 α3 = α3 Chứng minh tương tự ta có β2 = β2 , β3 = β3 , γ2 = γ2 γ3 = γ3 Vì số nguyên αi , βi , γi với i ∈ {2; 3} xác định theo a, b, c mệnh đề chứng minh 33 Cho A ma trận với phần tử thuộc vành R Khi ta ký hiệu I2 (A) iđêan R sinh tất định thức cấp hai A Trong trường hợp µS (K) = 3, định lý sau mô tả iđêan định nghĩa K dạng khác Định lý 2.1.1 2.2.3 Định lý Các khẳng định sau đúng: α1 = β3 + γ2 (2.4) β1 = γ3 + α2 (2.5) γ1 = α3 + β2 (2.6) nghĩa K = I2 X β3 Y γ3 Z α3 Y α2 Z β2 X γ2 Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2 ta có cγ1 = aγ2 + bγ3 bβ1 = cβ2 + aβ3 Từ suy a(β3 + γ2 ) = b(β1 − γ3 ) + c(γ1 − β2 ) Theo Bổ đề 2.2.1, β1 − γ3 ≥ γ1 − β2 ≥ 0, ta(β3 +γ2 ) = tb(β1 −γ3 )+c(γ1 −β2 ) Suy X β3 +γ2 = Y β1 −γ3 Z γ1 −β2 vành thương S/K hay nói cách khác X β3 +γ2 − Y β1 −γ3 Z γ1 −β2 ∈ K Do β3 + γ2 ∈ T1 Vì α1 = T1 nên α1 ≤ β3 + γ2 Từ suy α1 − β3 − γ2 ≤ Chứng minh tương tự ta có β1 − γ3 − α2 ≤ 0, 34 γ1 − α3 − β2 ≤ Mặt khác, từ hệ thức 2.1, 2.2 ,2.3 Bổ đề 2.1.2 ta có a(α1 − β3 − γ2 ) + b(β1 − γ3 − α2 ) + c(γ1 − α3 − β2 ) = Kết hợp với bất đẳng thức ta vừa chứng minh suy  α1 − β3 − γ2 = 0, β1 − γ3 − α2 = 0,  γ1 − α3 − β2 = đẳng thức định lý chứng minh Khi ta có β3 α3 F1 = X α1 − Y α2 Z α3 = X β3 +γ2 − Y α2 Z α3 = Xα2 Z γ2 , Y X F2 = Y β1 − Z β2 X β3 = Y γ3 +α2 − Z β2 X β3 = Y γ X β3 , Z β2 Y α2 F3 = Z γ1 − X γ2 Y γ3 = Z α3 +β2 − X γ2 Y γ3 = Z α3 Y γ3 X γ Z β2 Do K = (F1 , F2 , F3 ) = I2 X β3 Y γ3 Z α3 Y α2 Z β2 X γ2 35 KẾT LUẬN Cho nửa nhóm số H Khi vành nửa nhóm H xác định iđêan định nghĩa IH Trong trường hợp chiều nhúng H Herzog [5] mơ tả IH Trong trường hợp chiều nhúng H người ta mơ tả IH số trường hợp đặc biệt Trường hợp chiều nhúng H lớn tốn mô tả iđêan định nghĩa IH chưa có câu trả lời Tuy nhiên trình bày [5] khó hiểu Trong [4], Goto có viết kết cách ngắn gọn lại chứng minh Vì chương chúng tơi dựa vào [4], [5] tài liệu liên quan để trình bày vấn đề cách chi tiết, rõ ràng Chúng ta có bước rõ ràng để xác định iđêan định nghĩa IH , nghĩa xác định vành nửa nhóm số k[H] số tính chất IH Cụ thể luận văn trình bày nội dung sau Trình bày số kiến thức sở nửa nhóm số vành nửa nhóm số để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Mơ tả iđêan định nghĩa vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.7) Đưa số ví dụ vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng (Ví dụ 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6) Mơ tả iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu gồm phần tử (Định lý 2.2.3) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Văn Anh (2017), Nửa nhóm số đối xứng vành Gorenstein, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [2] Nguyễn Thị Hồng Loan Thiều Đình Phong (2017), Giáo trình Đại số giao hốn, Nxb Đại học Vinh [3] Lương Ngọc Nhật (2017), Một số bất biến nửa nhóm số, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] S Goto (2016), Homological methods in commutative algebra, Graduate lecture series, Vietnam academy of science and technology Institute of mathematics [5] J Herzog (1970), Generators and relations of abelian semigroups and semigroup rings, Manuscripta Math 3, 175–193 [6] T Numata (2015), Almost symmetric nummerical semigroup with small number of generator, Ph D thesis at Graduate School of Integrated Basic Science, Nihon University [7] J.C Rosales, P.A García- Sánchez (2000), Numerical semigroups, Development in mathematics, Vol 20, Springer ... vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.7) Đưa số ví dụ vành nửa nhóm nửa nhóm số có chiều nhúng (Ví dụ 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6) Mô tả iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có. .. chuẩn bị vành nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Vành phân bậc 10 1 .3 Vành nửa nhóm số 13 Vành nửa nhóm số có chiều nhúng. .. vành nửa nhóm nửa nhóm số H , gọi tắt vành nửa nhóm số 1 .3. 2 Nhận xét Vành nửa nhóm số R := k[H] có cấu trúc vành Z-phân bậc theo phân bậc tự nhiên R = ⊕ Rn , n∈Z Rn = ktn n ∈ H n ∈ /H 1 .3. 3