Câu trúc iđêan định nghĩa trong vành nửa nhóm số chiều nhúng 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN VÂN ANH CẤU TRÚC IĐÊAN ĐỊNH NGHĨA TRONG VÀNH NỬA NHÓM SỐ CHIỀU NHÚNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI –2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN VÂN ANH CẤU TRÚC IĐÊAN ĐỊNH NGHĨA TRONG VÀNH NỬA NHÓM SỐ CHIỀU NHÚNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên Đến nay, Khóa luận tơi hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Đại số (Khoa Tốn), thầy khoa Tốn đặc biệt thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho tơi suốt thời gian nghiên cứu, hồn thành khóa luận Do cịn hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè ln bên cạnh, ủng hộ, động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa luận này! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Vân Anh Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số chiều nhúng 4" hồn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên Trong q trình thực tơi tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, tơi xin cam đoan kết khóa luận trung thực khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Vân Anh Mục lục Mở đầu 1 NỬA NHÓM SỐ 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Số Frobenius số giả Frobenius 1.3 Tập Apéry 1.4 Phân loại nửa nhóm số 11 1.4.1 Nửa nhóm số đối xứng 11 1.4.2 Nửa nhóm số giả đối xứng 13 1.4.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 18 IĐÊAN ĐỊNH NGHĨA TRONG VÀNH NỬA NHÓM SỐ CHIỀU NHÚNG 21 2.1 Vành nửa nhóm số ma trận RF chiều nhúng 21 2.2 Kết 24 KẾT LUẬN 33 Tài liệu tham khảo 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số vấn đề cổ điển vô quan trọng đại số giao hốn hình học đại số Năm 1970, J Herzog [H] iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số chiều nhúng sinh định thức cấp lớn ma trận cỡ 2x3 vành không giao đầy đủ Từ kết Herzog, nhiều vấn đề iđêan định nghĩa quan tâm, ví dụ, xác định số phần tử sinh tối tiểu iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số Tuy nhiên trường hợp chiều nhúng cao nghiên cứu iđêan định nghĩa trở nên phức tạp có phần câu trả lời Trong trường hợp chiều nhúng 4, cấu trúc iđêan định nghĩa trừu tượng, trừ trường hợp có điều kiện cụ thể nửa nhóm H Bresinski [H] miêu tả cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng trường hợp nửa nhóm số đối xứng J Komeda [K] xác định hệ sinh tối tiểu iđêan định nghĩa trường hợp nửa nhóm số giả đối xứng Với ý nghĩa lịng u thích chun ngành Đại số với gợi ý giúp đỡ thầy giáo - Th.S Đỗ Văn Kiên mạnh dạn chọn đề tài "Cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng 4" làm khóa luận tốt nghiệp Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh Mục đích nghiên cứu Q trình nghiên cứu thực đề tài giúp bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu đại số, đặc biệt số kiến thức sở nửa nhóm số cấu trúc idean định nghĩa trường hợp nơi mà vành nửa nhóm số có chiều nhúng số giả Frobenius nửa nhóm bội số nguyên cố định Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nửa nhóm số, số Frobenius, số giả Frobenius, tập Apéry, nửa nhóm số đối xứng, nửa nhóm số hầu đối xứng, nửa nhóm số giả đối xứng, cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng 4, kết nêu định lý 2.2.1 Chương NỬA NHÓM SỐ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức nửa nhóm số đặc trưng nửa nhóm số Hai tài liệu tham khảo sử dụng chương [R] cho mục nửa nhóm số, số Frobenius, số giả Frobenius, tập Apéry [N] cho mục phân loại nửa nhóm số 1.1 Nửa nhóm số Định nghĩa 1.1.1 Cho H tập N Ta nói H nửa nhóm số thỏa mãn điều kiện sau: i) ∈ H; ii) H + H ⊆ H; iii) |N\H| < ∞ Nếu {a1 , a2 , , an } hệ sinh tối tiểu H, tức ∈ / a1 , a2 , , ai−1 , ai+1 , , an , ∀i n ta kí hiệu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh H = a1 , a2 , , an Dễ thấy trường hợp H = {c1 a1 + c2 a2 + + cn an |c1 , c2 , , cn ∈ N} Trong trường hợp H = a1 , a2 , , an điều kiện iii) định nghĩa 1.1.1 đặc trưng mệnh đề Mệnh đề 1.1.2 Cho n ∈ N∗ , n H = a1 , a2 , , an Khi |N\H| < ∞ gcd (a1 , a2 , , an ) = Chứng minh (a) Điều kiện cần Giả sử |N\H| < ∞ Ta chứng minh gcd (a1 , a2 , , an ) = Đặt d = gcd (a1 , a2 , , an ) Vì số thực H chia hết cho d nên d > tất số tự nhiên có dạng nd + 1, ∀n ∈ N khơng thuộc H Do tập N\H vô hạn, điều Vậy d = Vậy gcd (a1 , a2 , , an ) = (b) Điều kiện đủ Ta chứng minh phương pháp quy nạp + Với n = H = a, b , gcd (a, b) = Nếu a = b = H = {λ1 a + λ2 b : λ1 , λ2 0} = N Do N\H = ∅ ⇒ |N\H| < ∞ Nếu < a < b Trước hết ta nhận xét với m ∈ Z m có biểu diễn dạng m = ax + by, y < a Thật vậy: Sự biểu diễn: Vì gcd (a, b) = nên tồn u, v ∈ Z cho Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh au + bv = Suy m = amu + bmv = amu + b (aq + y) (0 y < a) = amu + abq + by = a (mu + bq) + by = ax + by Tính nhất: Giả sử m = ax + by = ax + by với y, y < a Suy a (x − x ) = b (y − y) Vì gcd (a, b) = nên a ước |y−y | Vì |y−y | a−1 suy y = y Do x = x Vậy với m ∈ Z, m viết dạng m = ax + by, y < a Từ m ∈ H ⇔ x Do số lớn khơng thuộc H phải a (−1) + b (a − 1) = ab − a − b Đặt c = (a − 1) (b − 1) c − = ab − a − b số lớn không thuộc H Như với m |N\H| c m > c − ⇒ m ∈ H Suy c − + Giả sử n > khẳng định với n − Đặt d = gcd (a1 , a2 , , an−1 ) ⇒ gcd an−1 a1 d , , d = Theo giả thiết quy nạp, tồn m1 ∈ N cho với m m1 m ∈ Do với m an−1 a1 d , , d m1 md ∈ a1 , a2 , , an−1 Đặt c = dm1 + (d − 1) an + Ta chứng minh với m c m ∈ H Thật vậy, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh Nếu z = F (H) ⇒ x = ∈ H Nếu z = F (H) theo (3) ta x = F (H) − z ∈ P F (H) suy K ⊆ M − M TH2: Nếu z ∈ / P F (H) tồn h ∈ M cho z + h ∈ P F (H) Theo (3) suy F (H) − (z + h) ∈ P F (H) Suy F (H) − (z + h) + h ∈ H Suy F (H) − z = x ∈ H Suy K ⊆ M − M Vậy H hầu đối xứng Ví dụ 1.4.13 Cho H nửa nhóm số H = 4, 5, 6, Ta có P F (H) = {1, 2, 3} , F (H) = Ta có + = nên H hầu đối xứng 20 Chương IĐÊAN ĐỊNH NGHĨA TRONG VÀNH NỬA NHÓM SỐ CHIỀU NHÚNG Trước đưa kết luận văn này, cần đến định nghĩa mệnh đề 2.1 Vành nửa nhóm số ma trận RF chiều nhúng Định nghĩa 2.1.1 Cho a1 , a2 , a3 , a4 số nguyên dương cho gcd(a1 , a2 , a3 , a4 ) = Khi ci |0 H = a1 , a2 , a3 , a4 = ci ∈ Z, i i=1 nửa nhóm số có chiều nhúng 4, tức H hệ sinh tối tiểu số nguyên , i Cho k trường Chúng ta đặt 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh R = k[H] = k[ta1 , ta2 , ta3 , ta4 ] ⊆ k[t] gọi chúng vành nửa nhóm số H k, t ẩn Ta biết R có chiều nhúng Cho S = k[x1 , x2 , x3 , x4 ] vành đa thức bị phân bậc k với degxi = với i Cho ϕ : S → R biểu thị phép đồng cấu k- đại số bị phân bậc xác định ϕ(xi ) = tai với i I = Kerϕ gọi iđêan định nghĩa R Mệnh đề 2.1.2 (xem [GW]) Các khẳng định sau đúng: Rt−α , KR kí hiệu mơđun tắc bị (1) KR = α∈P F (H) phân bậc R (2) r(R) =| P F (H) |, r(R) kí hiệu tập Cohen-Macaulay R (3) a(R) = f (H), a(R) kí hiệu a-bất biến R Định nghĩa 2.1.3 Cho ma trận A nằm S,I2 (A) kí hiệu iđêan S sinh định thức cấp 2x2 A Định nghĩa 2.1.4 Cho H = a1 , a2 , a3 , a4 nửa nhóm số α ∈ P F (H) số giả Frobenius H Khi ma trận vng cấp 4: M = (mij ) số nguyên gọi ma trận RF liên kết với α, điều kiện sau thỏa mãn: (1) mii = −1 với ∀1 (2) mij i 4; i = j; 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh   α α  1       α  α     (3) M    =   α  α      α α4   Mệnh đề 2.1.5 Cho H = a1 , a2 , a3 , a4 nửa nhóm số, α ∈ P F (H) cho M = (mij ) ma trận RF liên kết với α Cho k[H] vành nửa nhóm trường k Khi   f1 f2 f3 f4  ⊆ Kerϕ, I2  x1 x2 x3 x4   k[x1 , x2 , x3 , x4 ] → k[H] m  fi = xj ij với Kerϕ = Ker  j=i xi → tai i   fi fj  ∈ Kerϕ Chứng minh Ta cần chứng minh ∀i = j det  xi xj ⇔ xj fi − xj ∈ Kerϕ mjl is xm s − xi ⇔ xj s=i ⇔ taj ts=i xl ∈ Kerϕ l=j as mis ⇔ aj + − tai tl=j al mjl =0 as mis = + s=i al mjl l=j ⇔ aj + α + = + α + aj Mệnh đề 2.1.6 (xem [M]) Cho H = a1 , a2 , a3 , a4 nửa nhóm số 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh hầu đối xứng Cho f ∈ P F (H)\ {F (H)} cho M ma trận RF với f cho cột M khơng có phần tử dương Khi f = F (S) Bây ta chứng minh định lí 2.2 Kết Định lý 2.2.1 Cho H = a1 , a2 , a3 , a4 giả sử nửa nhóm số H tối tiểu tạo phần tử {ai }1 i Khi khẳng định sau tương đương: (1) Tồn số phần tử f1 , f2 , f3 , f4 ∈ S+ = (xi |1 i 4) cho  I = I2  f1 f2 f3 f4 x1 x2 x3 x4   (2) Sau số hốn vị thích hợp a1 , a2 , a3 , a4 cần thiết tồn số nguyên dương l1 , l2 , l3 , l4 > cho  I = I2 xl22  xl33 xl44  xl11  x1 x2 x3 x4 (3) Tồn số nguyên dương α cho P F (H) = {α, 2α, 3α} Hệ 2.2.2 Cho H = a1 , a2 , a3 , a4 Nếu ba khẳng định định lý 2.2.1 thì: (a) Với i 4, có li = {l > 0| lai ∈ Hi } − 1, Hi = a1 , , ai−1 , ai+1 , , a4 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh (b) α = degfi − với i (c) P F (H) = {α, 2α, 3α} (d) Vành R = k[H] vành hầu Gorenstein, tức là, nửa nhóm số H hầu đối xứng Chứng minh Trước hết ta nhớ lại ký hiệu biết Cho H = a1 , a2 , a3 , a4 nửa nhóm số Chúng ta giả sử H tối tiểu tạo số {ai }1 i Cho R = k[H] biểu thị vành nửa nhóm số H trường k S = k[x1 , x2 , x3 , x4 ] vành đa thức Chúng ta coi R S vành Z bị phân bậc với S0 = R0 = k, deg t = degxi = với i Chúng ta đặt I = Kerϕ Ta bắt đầu chứng minh định lí (1) ⇒ (3): Cho bi = degfi với i Khi ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.3 bi + aj = + bj với i = j Chứng minh Giả sử tồn i = j cho bi +aj = +bj suy degfi xj = degfj xi Khi với fi xj − fj xi ∈ I I bị phân bậc, ta có fi xj ∈ I Cho nênfj ∈ I, fi ∈ I(Vì I iđêan nguyên tố) Với l = i suy fl xi − fi xl ∈ I suy rafl ∈ I suy f1 , f2 , f3 , f4 ∈ I suy I ⊆ S+ I ⊆ I suy I = S+ I Mà S+ iđêan cực đại S suy I = (theo bổ đề Nakayama) (mâu thuẫn) Suy điều giả sử sai Vậy ta có bổ đề 2.2.3 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh Từ bổ đề 2.2.3 suy bi − số với i Đặt α = bi − , i Vì S vành đa thức trường nên ht(I) = dimS − dimR = − = Do giải tự tối tiểu R → F3 → F2 → F1 → F0 → R → 0, Fi S-mơđun tự F3 = aj − iα) Tác động Hom(→ S(− S(− i=1 j=1 aj )) vào giải tự j=1 tối tiểu R ta có HomS ( aj − iα), S(− S(− i=1 j=1 aj )) → KR → j=1 với ktF (H)−α KR = α∈P F (H) mơđun tắc R Suy HomS (S, S(iα)) → KR → i=1 Suy S(iα) → KR → i=1 Khi P F (H) = {α, 2α, 3α} (2) ⇒ (1): Điều hiển nhiên (3) ⇒ (2): Cho M = (mij )1 i,j N = (nij )1 i,j ma trận RF liên kết với α 2α tương ứng Khi P F (H) = {α, 2α, 3α}, H nửa nhóm số hầu đối xứng Hơn nhờ mệnh đề 2.1.6, cột M N có thành phần dương Ta chứng minh điều thơng qua bổ đề sau 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh Bổ đề 2.2.4 Mỗi hàng M có xác hai thành phần khơng Chứng minh Giả sử ngược lại có hai trường hợp sau: (a) Có hàng M tất thành phần khác khơng, ta có m1j > với j = 2, 3, Khi theo mệnh đề (xem [M]), m1j nj1 = Khi n1j = 0, với j = 2, 3, mâu thuẫn (b) Có hàng M có xác thành phần khơng, đặt m12 > 0, m13 > m14 = Khi α + a1 = m12 a2 + m13 a3 Do 2α + a1 = (α + a2 ) + (m12 − 1)a2 + m13 a3 = m21 a1 + m23 a3 + m24 a4 + (m12 − 1)a2 + m13 a3 (∗) Từ 2α ∈ / H, m21 = Mặt khác, 2α + a1 = m12 a2 + (α + a3 ) + (m13 − 1)a3 = (m12 + m32 )a2 + m31 a1 + m34 a4 + (m13 − 1)a3 Từ 2α ∈ / H, có m31 = Bây kể từ cột thứ M có thành phần dương, có m24 > m34 > Nếu m24 > từ (*) có 3α + a1 = α + a4 + m23 a3 + (m24 − 1)a4 + (m12 − 1)a2 + m13 a3 = m41 a1 + m42 a2 + m43 a3 + m23 a3 + (m24 − 1)a4 + (m12 − 1)a2 + m13 a3 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh Từ 3α ∈ / H, m41 = Ta có cột M có thành phần không, điều mâu thuẫn Tương tự trường hợp m34 > có mâu thuẫn Vì hàng M có xác hai thành phần khơng Khơng tính tổng qt giả sử m13 = m14 = m12 > Bổ đề 2.2.5 Ma trận M có hai dạng sau     −1 m12 0      −1 m23   ;    0 −1 m34    m41 0 −1 −1 m12 0      −1 m24      m31 −1    0 m43 −1 Chứng minh Chúng ta có α + a1 = m12 a2 Do 2α + a1 = (α + a2 ) + (m12 − 1)a2 = m21 a1 + m23 a3 + m24 a4 + (m12 − 1)a2 Từ 2α ∈ / H, m21 = Theo bổ đề 2.2.4, có m23 = 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh m24 = Do theo bổ đề 2.2.4, M có dạng (theo mẫu thứ 2) m24 = 0(tương ứng m23 = 0) Khơng tính tổng quát giả sử   −1 m2 0      −1 m3   M =    0 −1 m4    m1 0 −1 Cho số số nguyên dương m1 , m2 , m3 , m4 > Cho li = {l > 0| lai ∈ Hi } − 1, Hi = a1 , , ai−1 , ai+1 , , a4 , Bổ đề 2.2.6 mi = li với i i Chứng minh Dễ dàng thấy mi 4 li , với i Giả sử m1 > l1 Chúng ta viết (l1 + 1)a1 = a2 c2 + a3 c3 + a4 c4 c2 , c3 , c4 Khi α + a4 = a2 c2 + a3 c3 + a4 c4 + (m1 − l1 − 1)a1 Từ α ∈ / H, c4 = 0.Ta có α + a4 = c2 a2 + c3 a3 + (m1 − l1 − 1)a1 Chúng ta thấy c2 = c3 = 0.Thật vậy, giả sử c3 > 0, 2α = (m4 − 1)a4 + c2 a2 + (c3 − 1)a3 + (m1 − l1 − 1)a1 Suy 2α ∈ H Điều mâu thuẫn Do c3 = Tương tự, c2 > 3α = (m4 − 1)a4 + (m3 − 1)a3 + (c2 − 1)a2 + (m1 − l1 − 1)a1 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh Suy 3α ∈ H Điều mâu thuẫn Vì c2 = c3 = (l1 + 1)a1 = (mâu thuẫn)   l2 l3 l4 l1 x2 x3 x4 x1  Khi theo mệnh đề 2.1.5 Bây đặt J = I2  x1 x2 x3 x4 ta có J ⊆ I Ta I = J Thật vậy, J iđêan có độ cao J + (x1 ) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) Mà 3, degxl22 − degx1 = degxl33 − degx2 = degxl44 − degx3 = degxl11 − degx4 Vì chúng α Vì vậy, phức Eagon-Northcott (xem [EN]) → C3 → C2 → C1 → C0 →   l2 l3 l4 l1 x2 x3 x4 x1  giải S- tự tối tiểu liên kết với ma trận x1 x2 x3 x4 aj − iα) Bây cho S(− phân bậc S/J, C3 = i=1 j=1 → F3 → F2 → F1 → F0 → R → giải S-tự tối tiểu phân bậc R = S/I Đặt τ : S/J → R phép biến đổi tắc, Ci mơđun tự nên ta nâng τ tới biểu đồ giao hoán sau /F O3 / f3 / 0 C3 /F O1 / f2 f1 f0 / / /C FO C2 C1 / FO / / RO τ / S/J Xét đồng cấu u : C0 → S/J, τo u : C0 → R, C0 tự F0 → R toàn cấu suy f0 : C0 → F0 để biểu đồ giao hoán phức 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh S- môđun bị phân bậc Tác động HomS(− ) vào giải ta i=1 nhận biểu đồ giao hoán ρ F3∨ KR f3∗ τ∗ C3∨ = η S(iα) KS/J i=1 biểu diễn phân bậc tối tiểu KR KS/J (−)∨ = HomS (−KS ) f3∗ phép đồng cấu cảm sinh từ f3 Mà P F (H) = {α, 2α, 3α}, có F3∨ = S(iα) Khi ma trận biểu diễn M f3∗ có i=1 dạng   c ∗ ∗     M =  c2 ∗ , c1 , c2 , c3 ∈ S0 = k   0 c3 Chúng ta ci = với ci = với i Thật giả sử Cho {e1 , e2 , e3 } sở tắc C3∨ Khi i f3∗ (ei ) = τo∗ ρ(ei ) = 0, biểu đồ giao hốn Mặt khác, dãy khớp xác tắc cảm sinh → I/J → S/J → R → sơ đồ giao hoán sau / / Ext3S (R, KS )  Ext3S (S/J, KS ) ∼ = KR τ∗ /K  / Ext3S (I/J, KS ) / ∼ = S/J với hàng đầu khớp, I/J S-môđun Cohen-Macaulay chiều một, I/J = (0) Do đó, đồng cấu τ ∗ : KR → KS/J đơn 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh cấu, có ρ(ei ) = Điều khơng thể, ρ(ei ) phần hệ sinh tối tiểu KR Vì ci = với i Do f3∗ đẳng cấu, đồng cấu τ ∗ : KR → KS/J đẳng cấu Do Ext3S (I/J, KS ) = (0) Chúng ta có I = J Vì chứng minh hồn thành Định lý 2.2.1 xác định hoàn toàn mối liên hệ tính chất số giả Frobenius cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng Ví dụ 2.2.7 Cho H = 7, 5, 8, 11 nửa nhóm số trường k Khi P F (H) = {3, 6, 9} H thỏa mãn điều kiện định lý 2.2.1 Iđêan định nghĩa R = k[H] cho   2 x2 x3 x4 x1  I = I2  x1 x2 x3 x4 Ví dụ 2.2.8 Cho H = 6, 7, 9, 10 nửa nhóm số trường k Khi P F (H) = {3, 8, 11} H không thỏa mãn điều kiện định lý 2.2.1 Iđêan định nghĩa R = k[H] không cho định lý 2.2.1(1) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Vân Anh KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu "Cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng 4" gồm nội dung sau: (1) Trình bày khái niệm số tính chất nửa nhóm số (2) Phân loại nửa nhóm số (3) Đặc trưng nửa nhóm số thơng qua tập Apéry, tập số giả Frobenius, (4) Xác định hệ sinh tối tiểu iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng điều kiện cụ thể số giả Frobenius Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân cịn hạn chế nên khóa luận tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Một lần tơi xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn Kiên, thầy khoa Tốn, bạn sinh viên giúp tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả khóa luận Nguyễn Vân Anh 33 Tài liệu tham khảo [B] H Bresinsky (1975), Symmetric semigroups of integers generated by elements, Manuscripta Math., 17, 205-219 [EN] J A Eagon and D G Northcott (1962), Ideals defined by matrices and a certain complex associated to them, Proc Roy Soc Ser A, 269, 188-204 [GW] S.Goto and K.Watanabe (1978), On graded rings I, J Math Soc Japan, 30, 179-213 [H] J Herzog (1970), Generators and relations of Abelian semigroups and semigroup rings, Manuscripta Math., 3, 175-193 [Ki] D.V.Kien, Cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng 4, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 53, 2018 [M] A Moscariello (2016), On the type of an almost Gorenstein monomial curve, J Algebra, 456, 266-277 [N] H Nari (2013), Symmetries on almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum, 86, 140-154 [R] J.C.Rosales, P.A.García - Sánchez, Numerical Semigroups 34 ... cứu nửa nhóm số, số Frobenius, số giả Frobenius, tập Apéry, nửa nhóm số đối xứng, nửa nhóm số hầu đối xứng, nửa nhóm số giả đối xứng, cấu trúc iđêan định nghĩa vành nửa nhóm số có chiều nhúng 4, ... a)} Trong phần tiếp theo, đưa định nghĩa số tính chất sở nửa nhóm số đối xứng, nửa nhóm số giả đối xứng nửa nhóm số hầu đối xứng 1 .4 1 .4. 1 Phân loại nửa nhóm số Nửa nhóm số đối xứng Định nghĩa. .. nhóm số đối xứng 11 1 .4. 2 Nửa nhóm số giả đối xứng 13 1 .4. 3 Nửa nhóm số hầu đối xứng 18 IĐÊAN ĐỊNH NGHĨA TRONG VÀNH NỬA NHÓM SỐ CHIỀU NHÚNG 21 2.1 Vành nửa