skkn bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có nhiều phương pháp

MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết các bài toán về bất đẳng thức và bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có liên quan chặt chẽ và có thể xem như là một. Các bài toán về bất đẳng thức và bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số luôn là bài toán có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và cao đẳng trong những năm gần đây.Những bài khó nhất là những bài thuộc dạng này. Trong chương trình học của bậc PTTH việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó. Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có nhiều phương pháp. Một trong những phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến.Trong chuyên đề này tôi nêu ra phương pháp chung để giải quyết bài toán và thông qua ví dụ học sinh rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán cụ thể . TRẦN THỊ NHUNG 3 NĂM HỌC 2013-2014 NỘI DUNG A.PHƯƠNG PHÁP: a)Phương pháp chung: Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một bằng cách chọn một biến làm biến số biến thiên và cố định các biến còn lại.Bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến.Hoặc chúng ta phải chọn một biến t mới phụ thuộc vào các biến còn lại có điều kiện T. Luôn nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm. b)Các bước làm tổng quát: Giả sử tìm GTLN, GTNN của biểu thức ( , , )P x y z có ba biến là , ,x y z với điều kiện K nào đó. +) Xem ( , , )P x y z là hàm theo biến x , còn ,y z là hằng số. Khảo sát hàm này với đkiện K. Ta được: ( , , ) ( , )P x y z g y z≥ hoặc ( , , ) ( , )P x y z g y z≤ +) Xem ( , )g y z là hàm biến y , còn z là hằng số. Khảo sát hàm này với điều kiện K. Ta được : ( , ) ( )g y z h z≥ hoặc ( , ) ( )g y z h z≤ . +) Cuối cùng khảo sát hàm số một biến ( )h z với điều kiện K ta tìm được min, max của hàm này. Ta đi đến kết luận : ( , , ) ( , ) ( )P x y z g y z h z m≥ ≥ ≥ hoặc ( , , ) ( , ) ( )P x y z g y z h z M≤ ≤ ≤ . Lưu ý: Trong nhiều bài toán chúng ta không chọn một biến làm biến số biến thiên và cố định các biến còn lại .Mà chúng ta phải chọn một biến t mới phụ thuộc vào các biến còn lại có điều kiện T . Ta được: ( , , ) ( )P x y z g t≥ hoặc ( , , ) ( )P x y z g t≤ Sau đó ta khảo sát hàm số một biến g(t) với điều kiện T ta tìm được min, max của hàm này. Ta đi đến kết luận : ( , , ) ( )P x y z g t m≥ ≥ hoặc ( , , ) ( )P x y z g t M≤ ≤ . B.LYÙ THUYEÁT C N S D NG:Ầ Ử Ụ I) Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D +) Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên tập D nếu:    =∈∃ ≤∈∀ MxfDx MxfDx )(/ )(; 00 )(xMaxf D =M +) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên tập D nếu: 0 0 ; ( ) / ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥   ∃ ∈ =  ( )Minf x D =m II) Qui tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số y=f(x): a)TH hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng hoặc nửa khoảng: +) Tìm các điểm 1 2 , n x x x trên khoảng hoặc nửa khoảng cho trước, tại đó ( ) ' 0 x f = hoặc ( ) ' x f không xác định +) Lập BBT rồi từ đó suy ra kết quả . b)TH hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]: +) Tìm các điểm 1 2 , n x x x trên đoạn [a;b] tại đó ( ) ' 0 x f = TRẦN THỊ NHUNG 4 NĂM HỌC 2013-2014 hoặc ( ) ' x f không xác định +) Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2),…, f(xn), Khi đó: { } )();();(max )(max ];[ i xfbfaf xf ba = { } )();();(min )(min ];[ i xfbfaf xf ba = III) Bất Đẳng thức Côsi a. Bất Đẳng thức Cauchy cho 2 số : Cho 2 số không âm a và b .Khi đó: a + b ≥ 2 ab . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b. b. Bất Đẳng thức Cauchy cho 3 số : Cho 3 số không âm a, b, c . Khi đó ta có: a + b + c ≥ 3 3 abc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c. IV. Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki : 2211 b.ab.a + ≤ )bb)(aa( 2 2 2 1 2 2 2 1 ++ Dấu ‘=’ xảy ra khi 1 2 1 2 1 2 ( 0; 0) a a b b b b = ≠ ≠ V. Một số BĐT cơ bản liên quan hay dùng : 1. a 2 + b 2 ≥ 2ab. 2. 2 ( ) 4a b ab+ ≥ 3. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc .Dấu ‘=’ khi a = b = c. 4. a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 1 (a + b + c) 2 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c. 5. 2 ( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + + 6. 2 2 2 2 3( ) ( ) .a b c a b c+ + ≥ + + 7. Với a, b > 0. Ta có : (a + b)( ba 11 + ) ≥ 4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b (hay : ba 11 + ≥ ba + 4 ) 8. Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)( cba 111 ++ ) ≥ 9 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c (hay : cbacba ++ ≥++ 9111 ) . … C. CÁC BÀI TOÁN : 1 . PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN HAI BIẾN : Bài 1. Cho , x y là số thực thỏa mãn 2 2 2x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 3 3 2( ) 3P x y xy= + − Giải: Ta có : 3 3 2( ) 3P x y xy= + − 2 2 2( )( ) 3 = 2( )(2 ) 3 x y x xy y xy x y xy xy = + − + − + − − Từ gt suy ra: 2 ( ) 2 2 x y xy + − = TRẦN THỊ NHUNG 5 NĂM HỌC 2013-2014 Đặt t x y = + Khi đó: P= 2 2 3 2 2 2 3 ( ) 2 (2 ) 3 6 3 2 2 2 t t f t t t t t − − = − − = − − + + Tìm điều kiên của t : 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 2 2 2 x y x y x y t + + ≥ ⇔ + ≤ ⇒ − ≤ ≤ . Xét hàm số 3 2 3 ( ) 6 3 2 f t t t t= − − + + với 2 2t − ≤ ≤ . Ta có 2 '( ) 3 3 6f t t t= − − + . 1 '( ) 0 2 t f t t =  = ⇔  = −  Ta có bảng biến thiên như sau t -2 1 2 f’(t) + 0 - f(t) 13 2 -7 1 Vậy GTNN P= [ ] 2;2 min ( ) ( 2) 7f t f − = − = − khi 1x y= = − GTLN P= [ ] 2;2 1 3 1 3 ; 13 2 2 ( ) (1) 2 1 3 1 3 ; 2 2 x y max f t f x y −  + − = =   = = ⇔  − + = =   Bài 2: Cho a,b là 2 số thực dương thỏa 2 2 2( ) ( )( 2)+ + = + +a b ab a b ab Tìm GTNN của biểu thức P = 3 3 2 2 3 3 2 2 4( ) 9( )+ − + a b a b b a b a Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b ab a b ab a b ab a b ab a b+ + = + + ⇔ + + = + + + ( ) 1 1 2 1 2     ⇔ + + = + + +  ÷  ÷     a b a b b a a b Theo BĐT Cauchy ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2       + + + + + = + +  ÷  ÷  ÷       a b a b a b a b a b b a … 5 2 1 2 2 2 2 a b a b a b b b a b a a     ⇒ + + + + ⇔ +  ÷  ÷     … … Đặt ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 5 , 4 3 9 2 4 9 12 18 2 = + ⇒ = − − − = − − + = a b t t P t t t t t t f t b a … TRẦN THỊ NHUNG 6 NĂM HỌC 2013-2014 2 ( ) 12 18 12 ′ = − −f x t t ; f’(t) =0 t 2 1 t 2 =   ⇔  =  Ta có bảng biến thiên như sau : t −∞ 1 2 2 5 2 +∞ '( )f t + - + + ( )f t +∞ 23 4 − Từ BBT ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 , 1,2 2 23 min 1 1 , 2,1 4 2  + =   =  = − ⇔ ⇔   =     + = +  ÷     a b a b b a P a b a b a b Bài 3: Cho x,y,z thoả mãn là các số thực: 1 22 =+− yxyx .Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức 1 1 22 44 ++ ++ = yx yx P Giải: Từ gt suy ra: 2 2 2 1 x xy y 2xy xy xy;1 (x y) 3xy 3xy= − + ≥ − = = + − ≥ − nên 1 3 1 ≤≤− xy . Mặt khác : xyyxyxyx +=+⇔=+− 11 2222 nên 12 2244 ++−=+ xyyxyx .Đặt t=xy Tìm GTLN,GTNN của: 1 3 1 ; 2 22 )( 2 ≤≤− + ++− == t t tt tfP     −−= −= ⇔= + +−⇔= )(26 26 0 )2( 6 10)(' 2 lt t t tf Do hàm số liên tục trên [ ] 1; 3 1 − Tính ) 3 1 ( − f , )26( −f , )1(f và so sánh các giá trị ta suy ra: 626)26( −=−= fMaxP , 15 11 ) 3 1 (min =−= fP Bài 4: Cho 0≠xy thỏa mãn 1+ =x y . Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 1 1 1 = + + + + + x y P x y y x TRẦN THỊ NHUNG 7 NĂM HỌC 2013-2014 Giải: Đặt 2 2 = +t x y ta có 2 ( ) 1+ =x y nên 1 2 − = t xy Áp dụng BĐT 2 2 2 ( ) 2( )+ ≤ +x y x y suy ra 1 2 ≥t . Khi đó 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 8 2 ( ) 1 2 5 + + + + − = + = + + + + + + + x y x y t t P x y x y x y t t t Xét hàm số 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 8 2 ( ) ( ) 1 2 5 + + + + − = = + = + + + + + + + x y x y t t f t P x y x y x y t t t 2 2 2 2 1 4 24 44 ( ) ( 2 5) − + + ′ = − + + + t t f t t t t 2 ( ) 0 ( 1)( 1) ( 5) 0 ′ = ⇔ − + − =f t t t t Từ BTT ta có 1 t [ ; ] 2 1 12 max P max f(t) f( ) f (5) 2 5 ∈ +∞ = = = = đạt được khi (x;y)= 1 1 ( ; ) 2 2 hoặc x=2;y=-1 1 t [ ; ] 2 min P min f (t) f (1) 2 ∈ +∞ = = = đạt được khi (x;y)=(1;0) hoặc (0;1) Bài 5. Cho 0, 0x y≥ ≥ và 1x y+ = .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2 (4 3 )(4 3 ) 25S x y y x xy= + + + Giải. Ta có : 2 2 2 2 3 3 (4 3 )(4 3 ) 25 16 12( ) 34S x y y x xy x y x y xy= + + + = + + + 2 2 2 2 16 12( )( ) 34x y x y x xy y xy= + + − + + 2 2 2 16 12[( ) 3 ] 34 , do 1x y x y xy xy x y= + + − + + = 2 2 16 2 12x y xy= − + Đặt t xy= . Do 0; 0x y≥ ≥ nên 2 ( ) 1 1 0 0 4 4 4 x y xy t + ≤ ≤ = ⇒ ≤ ≤ Xét hàm số 2 ( ) 16 2 12f t t t= − + với 1 0 4 t≤ ≤ . Ta có '( ) 32 2f t t= − . 1 '( ) 0 16 f t t= ⇔ = . Bảng biến thiên t 0 1 16 1 4 f’(t) - 0 + TRẦN THỊ NHUNG 8 NĂM HỌC 2013-2014 f(t) 12 25 2 191 16 Vậy : 1 0; 4 1 191 min ( ) ( ) 16 16 f t f       = = khi 2 3 2 3 ; 4 4 x y + − = = hoặc 2 3 2 3 ; 4 4 x y − + = = 1 0; 4 1 25 ( ) ( ) 4 2 max f t f       = = khi 1 2 x y= = . Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 4 4 2 2 2 2 3( ) 2( ) 1A x y x y x y= + + − + + . với ,x y là các số thỏa mãn điều kiện : 3 ( ) 4 2x y xy+ + ≥ . Giải. Ta luôn có kết quả : 2 ( ) 4x y xy+ ≥ , từ đó ta có : 3 3 2 3 ( ) 4 2 ( ) ( ) ( ) 4 2x y xy x y x y x y xy+ + ≥ ⇒ + + + ≥ + + ≥ [ ] 3 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0 x y x y x y x y x y x y ⇒ + + + ≥   ⇒ + − + + + + ≥   ⇒ + − ≥ Do 2 2 1 7 ( ) ( ) 2 ( ) 0, , 2 4 x y x y x y x y     + + + + = + + + ≥ ∀       Bài toán được đưa về tìm max, min của : 4 4 2 2 2 2 3( ) 2( ) 1A x y x y x y= + + − + + Với ,x y thỏa mãn 1x y+ ≥ . Ta biến đổi biểu thức A như sau : 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 3( ) 2( ) 1 3 3 ( ) ( ) 2( ) 1 2 2 A x y x y x y x y x y x y = + + − + + = + + + − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3( ) ( ) 2( ) 1 2 4 x y x y x y + ≥ + + − + + ( do 2 2 2 4 4 ( ) 2 x y x y + + ≥ ) Hay 2 2 2 2 2 9 ( ) 2( ) 1 4 A x y x y≥ + − + + . Vì 2 2 2 ( ) 2 x y x y + + ≥ ( do 1x y+ ≥ ) nên 2 2 1 2 x y+ ≥ . Đặt 2 2 t x y= + . Ta có hàm số 2 9 ( ) 2 1 4 f t t t= − + với 1 2 t ≥ . TRẦN THỊ NHUNG 9 NĂM HỌC 2013-2014 9 '( ) 2 2 4 '( ) 0 9 f t t f t t = − = ⇔ = Ta có bảng biến thiên như sau : t 4 9 1 2 +∞ '( )f t + ( )f t +∞ 9 16 Vậy 1 2 1 9 min ( ) ( ) 2 16 t f t f ≥ = = đạt được khi 1 2 t = Suy ra 9 16 A ≥ . Mặt khác, ta dễ thấy 1 2 x y= = thì 9 16 A = . Kết luận : 9 min 16 A = khi 1 2 x y= = và không có giá trị lớn nhất. Bài 7. Cho hai số thực , 0x y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 ( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 1 1 A x y = + Lời giải. 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) x y x y x xy y x y A x y x y x y xy x y + + − + + = + = = = = + . Đặt x ty = . Từ gải thiết ta có: 2 2 3 2 2 ( ) ( 1) ( 1)x y xy x y xy t ty t t y+ = + − ⇒ + = − + Do đó 2 2 2 1 1 ; 1 t t t t y x ty t t t − + − + = = = + + . Từ đó 2 2 2 2 1 1 2 1 1 t t A x y t t     + + = + =  ÷  ÷ − +     . Xét hàm số ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 3 ( ) '( ) 1 1 t t t f t f t t t t t + + − + = ⇒ = − + − + . Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của A là: 16 đạt được khi 1 2 x y= = . TRẦN THỊ NHUNG 10 NĂM HỌC 2013-2014 Bài 8. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2( ) 1x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 1 x y T xy + = + Lời giải. - Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 1 1 4 1 5 3 xy xy xy≤ + ⇔ − ≤ ≤ . Vậy 1 1 ; 5 3 t   ∈ −     . Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được 2 2 2x y xy+ ≥ - Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được: 2 7 2 1 8 4 t t T t − + + = + . - Xét hàm số 2 7 2 1 ( ) 8 4 t t f t t − + + = + , 1 1 ; 5 3 t   ∈ −     . - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm được 1 1 ; 5 3 1 ax ( ) (0) 4 m f t f   −     = = và 1 1 ; 5 3 1 1 2 min ( ) 5 3 15 f t f f   −         = − = =  ÷  ÷     Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của T Bài 9 Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x 3 + 1)(y 3 + 1). Nhận xét và hướng dẫn giải Đặt S = x + y = 1, P = xy Ta có: M = (xy) 3 – 3xy (x + y) + (x + y) 3 + 1 = (xy) 3 – 3xy + 2 = P 3 – 3P + 2. Lại có 1 = S 2 ≥ 4P suy ra: 1 . 4 P ≤ Vậy bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P 3 – 3P + 2 với 1 . 4 P ≤ Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng 1 ; 4   −∞     như sau: P −∞ -1 1 4 M ’ (P ) + 0 - 4 M ’ (P ) 81 64 TRẦN THỊ NHUNG 11 NĂM HỌC 2013-2014 −∞ Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi và chỉ khi 1 1 x y xy + =   = −  , giải hệ ta được ( ) 1 5 1 5 1 5 1 5 ; ; , ; . 2 2 2 2 x y       + − − +   =  ÷  ÷    ÷  ÷         Bài 10 Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . 11 y y x x P − + − = Hướng dẫn giải Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P 2 đạt GTNN. Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có: [ ] ).()(32 1 32 1 2 3)()( 1 2 )1)(1( 2 11 32222 2 xyttft t xy xy xy xy xyyxyx xyyx xy x y y x yx xy y y x x P ==−+=−+= + −++ = +−− ++= −− + − + − = Từ giả thiết và BĐT đúng . 4 1 004)( 2 ≤=<⇒>≥+ xytxyyx Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn       4 1 ;0 , suy ra GTNN của hàm số này (chính là GTNN của P 2 ) là 2) 4 1 ( =f , từ đó có kết quả bài toán. 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN BA BIẾN. Bài 11. Cho ba số thực [ ] , , 1;4x y z ∈ và ,x y x z≥ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 2 3 x y z P x y y z z x = + + + + + Cách 1 : Hướng dẫn: - Xem P là một hàm theo biến z, còn x, y là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị nhỏ nhất của P, tức là : ( , , ) ( , )P x y z P x y≥ . - Khảo sát hàm ( , )P x y , ở đây có thể đưa ( , )P x y về hàm số một biến không ? - Bằng cách đặt ẩn phụ x t y = để đưa ( , )P x y về hàm một biến. Tìm GTLN của hàm số một biến này. - Vậy ( , , ) ( , ) ( )P x y z P x y P t M KL≥ = ≥ ⇒ TRẦN THỊ NHUNG 12 NĂM HỌC 2013-2014 [...]... ta có: N ≥ 2 − 2t + t − = f (t ) 27 Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) 3 3 3 là , đạt được khi và chỉ khi t = Từ đó có: Min(N) = , đạt được khi và chỉ khi 4 2 4 1 x=y=z= 2 1  Bài 13 Cho ba số thực a, b, c ∈  ;3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3  a b c P= + + a+b b+c c+a 2 Hướng dẫn: - Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số Khảo... Xét bài toán mới này có các biến b và c bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi 1 b=c= a 1  1 2 a + := f (a) với a ∈  ;1 Khi đó P = 2 + 3a 1 + a 4  1 1 So sánh f  ÷ với f (1) ta dự đoán được P đạt giá trị nhỏ nhất khi a = 4 4 Ta có P = Khi đó b=c=2 và ta tìm được các giá trị của ( x, y, z ) tương ứng là ( 4,1, 2 ) Bài 12 Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x... b a Bài 10 : Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz Bài 11 : Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x( x + y + z ) = 3 yz Chứng minh rằng ( x + y )3 + ( x + z )3 + 3( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ 5( y + z )3 Bài 12 : Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm GTNN của biểu thức A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2... một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P (a, b, c) ≤ g (b, c ) - Khảo sát hàm g (b, c) là một hàm theo biến c, còn b là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g (b, c) , tức là g (b, c) ≤ h(b) TRẦN THỊ NHUNG 14 NĂM HỌC 2013-2014 8 Tiếp theo khảo sát hàm h(b) suy ra h(b) ≤ 5 8 - Vậy P (a, b, c) ≤ g... y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức : S = x2 y + y2 z + z 2 x Bài 7 : Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : P = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz Bài 8 : Cho x > 0; y > 0; z > 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm GTLN của biểu thức : T = xy + yz + zx − 2 xyz Bài 9 : Tìm GTNN của biểu thức : a 4 b4  a 2 b2  a b Q = 4 + 4... = 4 2 5 2 1 4 3 15 Vậy với : y = , x = 3, z = ⇔ a = , b = , c = thì min S = 4 3 3 5 2 2 Bài 16 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 3(a 2 + b2 + c 2 ) + 4abc Lời giải: Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta có thể gải sử : 0 < a ≤ b ≤ c Vì chu vi bằng 3 nên a + b + c=3 nên ⇒ a + b = 3 − c mà a + b > c ⇒ 1 ≤ c ≤ 3 2 Ta biến đổi : T =... ) trên đoạn 3 − 5; 2  ta được 5 ≤ t ≤   2 5 5 −1 Khảo sát hàm số P = 2(t 2 − 32t + 144) trên 5 ≤ t ≤ và suy ra : 2 183 − 165 5 ≤ x 4 + y 4 + x 4 ≤ 18 Bài 18 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 3( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2 GIẢI : Ta có M ≥ (ab + bc + ca ) 2 + 3( ab + bc + ca ) + 2 1 − 2(ab + bc... y 2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = x y + 1+ y 1+ x Bài 3 : Cho xy ≠ 0 thỏa ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy Tìm GTLN của biểu thức P = 1 1 + 3 3 x y Bài 4 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x 2 + y 2 + xy ≤ 2 Tìm GTLN của A = x 2 − xy + y 2 TRẦN THỊ NHUNG 20 NĂM HỌC 2013-2014 Bài 5 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm GTNN của biểu thức x 2 + y 2 + xy 1 1 3 C= + + + x+ y x y xy Bài 6 : Cho ba số không... 1 2 ,a = , b = 2 thì MaxS = 3 2 8 Bài 15 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất 1 2 3 P= + + của biểu thức: a b c Lời giải : 1 1 1 , y = , z = ⇒ x, y, z > 0; 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz và S = x + 2 y + 3 z a b c 2x + 8 y 7 Từ 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ và x > 12 xy − 21 4y 2x + 8 y = f ( x) Từ biểu thức S suy ra được: S ≥ x + 2 y + 4 xy − 7 14 − 32... ) − 2(x 2 + y 2 ) + 1 Bài13 : Cho x, y là các số thực dương không đổi Tìm GTNN của biểu thức: A = (x − 1) 2 + y 2 + (x + 1) 2 + y 2 + | y − 2 | Bài 14 :Các số thực không âm a, b, c thoả mãn ddk: a + b + c = 3 Tìm GTLN của biểu thức P = (a 2 − ab + b 2 )(b 2 − bc + c 2 )(c 2 − ca + a 2 ) Bài 15 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 K= + + 4 + 2ln(1 + x) − y 4 + 2ln(1 . bất đẳng thức và bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có liên quan chặt chẽ và có thể xem như là một. Các bài toán về bất đẳng thức và bài toán về tìm giá trị lớn nhất, . khó. Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có nhiều phương pháp. Một trong những phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến.Trong. thành bất đẳng thức một biến.Hoặc chúng ta phải chọn một biến t mới phụ thuộc vào các biến còn lại có điều kiện T. Luôn nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất