SKKN Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

2, Mục đích nghiên cứu : Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất củahàm số bằng các phương pháp giải 3, Nhiệm vụ nghiên cứu : Phân loại và đưa

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT”

PHẦN THỨ NHẤT : ĐẶT VẤN ĐỀ

1,Lý do chọn giải pháp :

Bất đẳng thức được coi là câu khó nhất trong các đề thi Đại học môn toán và các đề thihọc sinh giỏi Đa phần giáo viên không chú trọng tới phần tới câu bất đẳng thức Điềunày dẫn tới một thực trạng là học sinh rất sợ câu bất đẳng thức Thực ra với một đề tàihay và khó này , lựa chọn bỏ qua nó đúng là đơn giản nhưng đã bao giờ bạn nghĩ tớichuyện dũng cảm đối đầu với khó khăn để có thể vượt qua chính bản thân mình ?

Nếu thực sự mong muốn như vậy thì tập giải pháp này xin được giành cho bạn một cáchtrân trọng nhất , nó là kinh nghiệm đúc kết của bản thân tôi sau nhiều năm công tác giảngdạy , nghiên cứu về đề tài bất đẳng thức Những con đường tư duy, những kỹ năng quantrọng , những thuật toán hiệu quả nhất sẽ được chia sẻ

Trên thực tế , không các giáo viên và học sinh dù đã được xây dựng cho mình nền kiếnthức khá chắc chắn , nhưng vẫn khó khăn trước những bài toán bất đẳng thức cơ bản nhất Bạn có thể có kiến thức , nhưng việc xâu chuỗi và sử dụng kiến thức đó nói cách khác làkhả năng vận dụng để thu được lời giải lại là vấn đề khác Tập giải pháp này sẽ đưa racác kỹ thuật các phương pháp giải cho từng dạng Toán

2, Mục đích nghiên cứu :

Nắm được cách giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất củahàm số bằng các phương pháp giải

3, Nhiệm vụ nghiên cứu :

Phân loại và đưa ra các phương pháp giải bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giátrị lớn nhất nhỏ nhất bằng các phương pháp giải : như sử dụng bất đẳng thức , lượng giáchoá và các phương pháp xét chiều biến thiên hàm số (sử dụng đạo hàm)

4, Phương pháp nghiên cứu :

+Nghiên cứu lý luận dạy học về bài tập toán để vận dụng vào hoạt động dạyhọc

Nghiên cứu chương trình toán THPTbao gồm : SGK lớp 10,11,12 về phần bất đẳng thức ,đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và một số sách tham khảo khác

-Sử dụng các đề thi đậi học của 10 năm gần đây

PHẦN 2: NỘI DUNG

A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU

Chúng ta đang sống trong sống trong thời đại của sự bùng nổ tri thức khoa học vàcông nghệ Xã hội mới phồn vinh ở thế kỉ 21 phải là một xã hội dựa vào tri thức, vào tưduy sáng tạo, vào tài năng sáng chế của con người Trong xã hội biến đổi nhanh chóngnhư hiện nay, người lao động cũng phải biết luôn tìm tòi kiến thức mới và trau dồi nănglực của mình cho phù hợp với sự phát triển của khoa học và kĩ thuật Lúc đó người laođộng phải có khả năng tự định hướng và tự học để thích ứng với đòi hỏi mới của xã hội.Chính vì vậy, mục đích giáo dục hiện nay ở nước ta và trên thế giới không chỉ dừng lại ởviệc truyền thụ cho học sinh những kiến thức, kĩ năng loài người đã tích lũy được trướcđây, mà còn đặc biệt quan tâm đến việc bồi dưỡng cho họ năng lực sáng tạo ra những trithức mới, phương pháp mới, cách giải quyết vấn đề mới sao cho phù hợp

Rèn luyện năng lực tự suy nghĩ và truyền thụ kiến thức cho học sinh là vấn đề quantrọng trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng Để việc dạy và học đạt kếtquả cao thì người giáo viên phải biết phát huy tính tích cực của học sinh, chọn lựaphương thức tổ chức hoạt động, cách tác động phù hợp giúp học sinh vừa học tập, vừaphát triển nhận thức Việc giải bài tập Toán không những nhằm mục đích giải toán, mà

nó còn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức,

kĩ năng tính toán, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc sống.Trong quá trình dạy học bài tậpToán, vai trò tự học của học sinh là rất cần thiết Để giúphọc sinh khả năng tự học, người giáo viên phải biết lựa chọn bài tập sao cho phù hợp, sắpxếp chúng một cách có hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và hướng dẫncho học sinh cách giải để tìm ra được bản chất của bài Toán

1.Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông

1.1 Những cơ sở lý luận của hoạt động giải bài tập Toán phổ thông

1.1.1 Mục đích, ý nghĩa của việc giải bài tập:

- Quá trình giải một bài tập Toán là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, dựavào kiến thức Toán để tìm ra những cái chưa biết trên cơ sở những cái đã biết Thông quahoạt động giải bài tập, học sinh không những củng cố lý thuyết và tìm ra lời giải mộtcách chính xác, mà còn hướng cho học sinh cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chấtcủa vấn đề, và có cái nhìn đúng đắn khoa học Vì thế, mục đích cơ bản đặt ra khi giải bàitập Toán là làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn những quy luật Toán , biết phân tích vàứng dụng chúng vào những vấn đề thực tiễn, vào tính toán kĩ thuật và cuối cùng là pháttriển được năng lực tư duy, năng lực tư giải quyết vấn đề

- Muốn giải được bài tậpToán , học sinh phải biết vận dụng các thao tác tư duy, sosánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…để xác định được bản chất Toán Vận dụngkiến thức Toán để giải quyết các nhiệm vụ học tập và những vấn đề thực tế của đời sốngchính là thước đo mức độ hiểu biết của học sinh Vì vậy, việc giải bài tập Toán là phươngtiện kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh

1.1.2Tác dụng của bài tập Toán trong dạy họcToán:

1.1.2.1Bài tập giúp cho việc ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức

Trong giai đoạn xây dựng kiến thức, học sinh đã nắm được cái chung, cái khái quátcủa các khái niệm, định luật và cũng là cái trừu tượng Trong bài tập, học sinh phải vậndụng những kiến thức khái quát, trừu tượng đó vào những trường hợp cụ thể rất đa dạng,nhờ thế mà học sinh nắm được những biểu hiện cụ thể của chúng trong thực tế Ngoàinhững ứng dụng quan trọng trong kĩ thuật, bài tập Toán sẽ giúp học sinh thấy đượcnhững ứng dụng muôn hình, muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học

Bài tập Toán là một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức sinh động Khi giải bàitập, học sinh phải nhớ lại các kiến thức đã học, có khi phải sử dụng tổng hợp các kiếnthức thuộc nhiều chương, nhiều phần của chương trình

1.1.2.2Bài tập có thể là điểm khởi đầu để dẫn dắt đến kiến thức mới

Các bài tập nếu được sử dụng khéo léo có thể dẫn học sinh đến những suy nghĩ vềmột hiện tượng mới hoặc xây dựng một khái niệm mới để giải thích hiện tượng mới dobài tập phát hiện ra

1.1.2.3Giải bài tập Toán rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát

Bài tập Toán là một trong những phương tiện rất quý báu để rèn luyện kĩ năng, kĩxảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát đãthu nhận được để giải quyết các vấn đề của thực tiễn Có thể xây dựng nhiều bài tập cónội dung thực tiễn, trong đó học sinh phải biết vận dụng lý thuyết để giải thích hoặc dựđoán ở những điều kiện cho trước

1.1.2.4Giải bài tập là một trong những hình thức làm việc tự lực cao của học sinh

Trong khi làm bài tập, do phải tự mình phân tích các điều kiện của đầu bài, tự xây

dựng những lập luận, kiểm tra và phê phán những kết luận mà học sinh rút ra được nên tưduy học sinh được phát triển, năng lực làm việc tự lực của họ được nâng cao, tính kiên trìđược phát triển

1.1.2.5Giải bài tập Toán góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

Việc giải bài tập Toán đòi hỏi phải phân tích bài toán để tìm bản chất với mức độkhó được nâng dần lên giúp học sinh phát triển tư duy

Có nhiều bài tập Toán không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng những kiến thức

đã học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo

1.1.2.6 Giải bài tập Toán để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh

Bài tập Toán cũng là một phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vữngkiến thức của học sinh Tùy theo cách đặt câu hỏi kiểm tra, ta có thể phân loại được cácmức độ nắm vững kiến thức của học sinh, khiến cho việc đánh giá chất lượng kiến thứccủa học sinh được chính xác

2.Phân loại bài tập Toán :

2.2.Phân loại theo nội dung

Người ta dựa vào nội dung chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu Toán Sựphân chia như vậy có tính chất quy ước vì bài tập có thể đề cập tới những kiến thức củanhững phần khác nhau trong chương trình Toán Theo nội dung, người ta phân biệt cácbài tập có nội dung trừu tượng, bài tập có nội dung cụ thể

- Bài tập có nội dung trừu tượng là trong điều kiện của bài toán, bản chất được nêubật lên, những chi tiết không bản chất đã được bỏ bớt

- Bài tập vui là bài tập có tác dụng làm giảm bớt sự khô khan, mệt mỏi, ức chế ở họcsinh, nó tạo sự hứng thú đồng thời mang lại trí tuệ cao

2.3 Phân loại theo yêu cầu rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy học sinh trong quá trình dạy học: có thể phân biệt thành bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập

nghiên cứu, bài tập thiết kế

- Bài tập luyện tập: là loại bài tập mà việc giải chúng không đòi hỏi tư duy sáng tạocủa học sinh, chủ yếu chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách giải đối với một loại bài tậpnhất định đã được chỉ dẫn

- Bài tập sáng tạo: trong loại bài tập này, ngoài việc phải vận dụng một số kiến thức

đã học, học sinh bắt buộc phải có những ý kiến độc lập, mới mẻ, không thể suy ra mộtcách logic từ những kiến thức đã học

- Bài tập nghiên cứu: là dạng bài tập trả lời những câu hỏi “tại sao”

- Bài tập thiết kế: là dạng bài tập trả lời cho những câu hỏi “phải làm như thế nào”

2.4.Phân loại theo cách thể hiện bài tập: người ta phân biệt bài tập thành

- Bài tập bài khoa

- Bài tập lựa chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu trả lời cho sẵn (test) Loại này

có hạn chế là không kiểm tra được con đường suy nghĩ của người giải nhưng vẫn có hiệuquả nhất định trong việc kiểm tra trình độ kiến thức, kĩ năng,kĩ xảo của học sinh

2.5 Phân loại theo hình thức làm bài

2.5.1.Bài tập tự luận : đó là những bài yêu cầu học sinh giải thích, tính toán và

hoàn thành theo một logic cụ thể Nó bao gồm những loại bài đã trình bày ở trên

2.5.2.Bài tập trắc nghiệm khách quan : là loại bài tập cho câu hỏi và đáp án Các

đáp án có thể là đúng, gần đúng hoặc sai Nhiệm vụ của học sinh là tìm ra câu trả lờiđúng nhất, cũng có khi đó là những câu bỏ lửng yêu cầu điền vào những chỗ trống để cócâu trả lời đúng Bài tập loại này gồm:

- Câu đúng – sai: câu hỏi là một phát biểu, câu trả lời là một trong hai lựa chọn

- Câu nhiều lựa chọn: một câu hỏi, nhiều phương án lựa chọn, yêu cầu học sinh tìmcâu trả lời đúng nhất

- Câu điền khuyết: nội dung trong câu bị bỏ lửng, yêu cầu học sinh điền từ ngữ hoặccông thức đúng vào chỗ bị bỏ trống

- Câu ghép hình thức: nội dung của các câu được chia thành hai phần, học sinh phảitìm các phần phù hợp để ghép thành câu đúng

3.Phương pháp giải bài tập

Đối với học sinh phổ thông, vấn đề giải và sửa bài tập gặp không ít khó khăn vì học

sinh thường không nắm vững lý thuyết và kĩ năng vận dụng kiến thứcToán Vì vậy các

em giải một cách mò mẫm, không có định hướng rõ ràng, áp dụng công thức máy móc vànhiều khi không giải được Có nhiều nguyên nhân:

- Học sinh chưa có phương pháp khoa học để giải bài tập Toán

Việc rèn luyện cho học sinh biết cách giải bài tập một cách khoa học, đảm bảo điđến kết quả một cách chính xác là một việc rất cần thiết Nó không những giúp học sinhnắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kĩ năng suy luận logic, làm việc một cách khoahọc, có kế hoạch

Quá trình giải một bài tập Toán thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài tập,xác lập được những mối liên hệ cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức Toán vào điều kiện

cụ thể của bài tập đã cho Từ đó tính toán những mối liên hệ đã xác lập được để dẫn đếnlời giải và kết luận chính xác Sự nắm vững những mối liên hệ này sẽ giúp cho giáo viênđịnh hướng phương pháp dạy bài tập một cách hiệu quả

Bài tập Toán rất đa dạng, cho nên phương pháp giải cũng rất phong phú Vì vậykhông thể chỉ ra được một phương pháp nào cụ thể mà có thể áp dụng để giải được tất cảbài tập Từ sự phân tích như đã nêu ở trên, có thể vạch ra một dàn bài chung gồm cácbước chính như sau:

3.1 Tìm hiểu đầu bài, tóm tắt các dữ kiện

- Đọc kĩ đề bài, tìm hiểu ý nghĩa của những thuật ngữ quan trọng, xác định đâu là ẩn

3.2.1 Đối với những bài tập tổng hợp phức tạp, có hai phương pháp xây dựng lập

3.2.2 Đối với bài tập định tính: ta không cần tính toán nhiều mà chủ yếu sử dụng

lập luận, suy luận logic dựa vào kiến thức Toán để giải thích hoặc dự đoán khả năng xảyra

3.4 Kiểm tra, xác nhận kết quả và biện luận

- Từ mối liên hệ cơ bản, lập luận giải để tìm ra kết quả

- Phân tích kết quả cuối cùng để loại bỏ những kết quả không phù hợp với điều kiệnđầu bài tập hoặc không phù hợp với thực tế Việc biện luận này cũng là một cách để kiểmtra sự đúng đắn của quá trình lập luận Đôi khi, nhờ sự biện luận này mà học sinh có thể

tự phát hiện ra những sai lầm của quá trính lập luận, do sự vô lý của kết quả thu được

4 Xây dựng lập luận trong giải bài tập

Xây dựng lập luận trong giải bài tập là một bước quan trọng của quá trình giải bàitậpToán Trong bước này, ta phải vận dụng những định lý, những quy tắc, những côngthức để thiết lập mối quan hệ giữa đại lượng cần tìm, hiện tượng cần giải thích hay dựđoán với những dữ kiện cụ thể đã cho trong đầu bài Muốn làm được điều đó, cần phảithực hiện những suy luận logic hoặc những biến đổi toán học thích hợp Có rất nhiềucách lập luận tùy theo loại bài tập hay đặc điểm của từng bài tập Tuy nhiên, tất cả cácbài tập mà ta đã nêu ra trong mục phân loại bài tập ở trên đều chứa đựng một số yếu tốcủa bài tập Dưới đây, ta xét đến phương pháp xây dựng lập luận để giải bài tập đó

5.1 Các kiểu hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán

5.1.1 Hướng dẫn theo mẫu

5.1.2 Hướng dẫn tìm tòi

5.1.3 Định hướng khái quát chương trình hóa:

6 Lựa chọn và sử dụng bài tập trong dạy học Toán

6.1 Lựa chọn bài tập

Hệ thống bài tập mà giáo viên lựa chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau:

- Bài tập phải đi từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp (phạm vi và số lượng cáckiến thức, kĩ năng cần vận dụng từ một đề tài đến nhiều đề tài, số lượng các đại lượngcho biết và các đại lượng cần tìm…) giúp học sinh nắm được phương pháp giải các loạibài tập điển hình

- Mỗi bài tập phải là một mắt xích trong hệ thống bài tập, đóng góp một phần nào đóvào việc củng cố, hoàn thiện và mở rộng kiến thức

- Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập: bài tập giả tạo và bài tập cónội dung thực tế, bài tập luyện tập và bài tập sáng tạo, bài tập cho thừa hoặc thiếu dữkiện, bài tập mang tính chất ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác nhau

và bài tập có nhiều lời giải tùy theo điều kiện cụ thể của bài tập mà giáo viên không nêulên hoặc chỉ nêu lên một điều kiện nào đó mà thôi

Bài tập giả tạo: là bài tập mà nội dung của nó không sát với thực tế, các quá trình

tự nhiên được đơn giản hóa đi nhiều hoặc ngược lại, cố ý ghép nhiều yếu tố thành mộtđối tượng phức tạp để luyện tập, nghiên cứu Bài tập giả tạo thường là bài tập định lượng,

có tác dụng giúp học sinh sử dụng thành thạo các công thức để tính đại lượng nào đó khibiết các đại lượng khác có liên quan, mặc dù trong thực tế ta có thể đo nó trực tiếp được

6.2 Sử dụng hệ thống bài tập:

- Các bài tập đã lựa chọn có thể sử dụng ở các khâu khác nhau của quá trình dạyhọc: nêu vấn đề, hình thành kiến thức mới củng cố hệ thống hóa, kiểm tra và đánh giákiến thức kĩ năng của học sinh.

- Cần chú ý cá biệt hóa học sinh trong việc giải bài tập Toán , thộng qua các biệnpháp sau

+ Biến đổi mức độ yêu cầu của bài tập ra cho các loại đối tượng học sinh khácnhau, thể hiện ở mức độ trừu tượng của đầu bài, loại vấn đề cần giải quyết, phạm vi vàtính phức hợp của các số liệu cần xử lý, loại và số lượng thao tác tư duy logic và cácphép biến đổi toán học cần sử dụng, phạm vi và mức độ các kiến thức, kĩ năng cần huyđộng

+ Biến đổi mức độ yêu cầu về số lượng bài tập cần giải, về mức độ tự lực của họcsinh trong quá trình giải bài tập

B:CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số nói riêng và bất đăng thức nói chung

là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập

bộ môn Toán ở THPT.Trong các đề thi môn Toán của các kì thi vào đại học,cao đẳngtrong những năm gần đây.Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất củahàm số thường xuyên có mặt và thường là một trong những câu khó nhất của đề thi

Với lí do đó tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp về chủ đề này luôn thu hút sự quan tâm và

chú ý của bạn đọc.trong sáng kiến giáo dục ” Một vài phương pháp chứng minh Bất

đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất “ này, tôi sẽ cung cấp cho các đồng nghiệp

và các em học sinh những cách giải thông dụng nhất đối với những bài toán tìm giá trịlớn nhất và nhỏ nhất của hàm số,cũng như biết cách áp dụng bài toán này để giải các bàitoán liên quan đến nó

Nội dung của giải pháp được trình bày trong 5 chương:

Chương I: Đưa ra

1: Những kỹ năng quan trọng cần nhớ trong việc chứng minh bất đẳng thức

2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm giá trị lớn nhất -nhỏ nhất của hàm số

Chương II: Với tiêu đề ‘’Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức và giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số’’ sẽ giới thiệu với bạn đọc bài toán tìmgiá trị lớn nhất,nhỏ

nhất của hàm số thông qua việc trình bày tính đa dạng của các phương pháp giải bài toánnày.Bằng cách điểm lại sự có mặt của các bài thi về chủ đề này có mặt trong các đề thituyển sinh Đại học-Cao đẳng trong nhiều năm gần đây,các bạn sẽ thấy được sự cần thiếtcủa việc phải trang bị cho mình những kiến thức để giải quyết bài toán ấy Các phươngpháp cơ bản và thông dụng nhất để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số được trình bày từ chương 2 đến chương 4

Chương III: Phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ChươngIV :Phương pháp lượng giác hóa tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ChươngV:Phương pháp chiều biến thiên hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

CHƯƠNG I:

1:Những kĩ năng quan trọng cần nhớ trong chứng minh bất đẳng thức :

1.1-Định luật bảo toàn dấu bằng trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất -giá trị nhỏ nhất :

Nếu như trong vật lí có định luật bảo toàn năng lượng,trong hóa học có định luật bảo toànkhối lượng thì trong bất đẳng thức toán học ,ta cần biết đến định luật bảo toàn dấubằng.Cụ thể là khi gặp một bất đẳng thức,bạn có thể có nhiều hướng tiếp cận nhưngchung quy lại,khi kết thúc nó bạn luôn luôn phải “bảo toàn”được dấu bằng trong quátrình đánh giá.Điều này có nghĩa là lời giải của bạn chỉ tồn tại một đánh giá nào đó khôngbảo đảm được dấu bằng thì lời giải đó chắc chắn sai.hãy xét ví dụ đơn giản sau để hiểuhơn

VD: chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta luôn có a2  4b2  4ab Lời giải đúng:

sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số có dạng x2 y2  2xy

Ta có: a2  4b2  2 2a b 4ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2b

Hướng giải sai

Sử dụng bất đẳng thức Côsi bộ hai số x2 y2  2xy,ta có

a  b  a b  b  b b

Vì sao chỉ cần nhìn thấy dòng này ta biêt ngay hướng giải sai? Bởi nếu đánh giá như vậydấu bằng xảy ra khi a=b,trong khi vơi bất đẳng thức gốc dấu bằng xảy ra khi a=2b.Và

như tôi đã nói ở trên khi dấu bằng không được bảo toàn thì chứng minh của chúng ta chắcchắn không còn hi vọng đúng

Ở góc đọ người chấm thi họ thường có tâm lí ngại đọc một lời giải dài khi ấy mà nhìnthoáng qua lại có một đánh giá nào đấy không bảo toàn dấu bằng hắn sẽ rất thích thú vàkhông đọc cụ thể nữa.Bởi lời giải này chắc chắn sai rồi

Ở góc độ người làm bài chỉ điểm thuận lợi là khi dự đoán được dấu đẳng thức ta có thểtránh được rât nhiều những “Hướng đi tới ngõ cụt”, từ đo tối ưu hóa hiêu quả và thời gianlàm bài

Chính bởi tính bắt buộc của định luật bảo toàn dấu bằng là một vấn đề đáng quan tâmnhất khi giải bài toán bất đẳng thức và cực trị.Thong thườngchúng ta sử dụng kx thuậtchon điể dơi đẻ tì dấu bằng của bài toán

1.2Độ mạnh yếu trong chứng minh bất đẳng thức:

Chắc chắn bạn sẽ băn khoăn, học toán chứ có phải thi võ đau mà xét mạnh yếu?

Tôi biết nghe có vẻ lạ nhưng thục sự khái niêm mạnh yếu là một vai trò rất quan trọngtrong việc giải toán bất đẳng thức Nó cho ta biết trong hàng nghìn nbất đẳng thức nào cóthể so sáng với nhau và mối quan heẹ cụ thể giữa chúng.Ngoài ra, từ đo ta có thể nhậnbiết được trong một nhóm bất đẳng thức cùng dạng bất đẳng thức nào sẽ dễ hơn khó hơn.Thông thường,bất đẳng thức càng mạnh(tức càng chặt) thì càng khó và ngược lại

Thực ra định nghĩa tổng quát về đọ mạnh yếu của bất đảng thức khá phức tạp đói với họcsinh phổ thông nên vì tính mục đích của giải pháp tôi chỉ nêu một hệ quả quan trọng suy

Dựa vào định nghĩa trên ta có kết luận:

1.3Biến đổi tương đương

Có một kĩ năng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán bất đẳng thức,đó là kĩnăng biến đổi tương đương.Khi biến đỏi tương đương,thì những bất đẳng thức thu được

sẽ tương đương với bất đẳng thức ban đầu.Bất đẳng thức ban đầu đúng thì bất đẳng thứcsau thu được cũng sẽ đúng.Tức đọ chặt chẽ của bài luôn được bảo toàn.Để dễ hình dung

ta xết ví dụ sau:Để chứng minh 4>2,chia cả 2 vế cho 2;ta chỉ cần chứng minh tươngđương 2>1

Tóm lại biến đổi tương đương cụ thể là thé nào?Ta dùng nó trong trường hợp gì mục đich

ra sao?Xét ví dụ đẻ hiểu hơn

Cho a,b>0 chứng minh răng:a 22b2 2 2

Những phép toán đại sô thường sử dụng là chuyển vế đổi dấu, quy đòng mẫu số,thêmbớt Một trong những phương pháp biến đổi tuơng đương là kỹ năng đồng bậc hoá,

1.4: Bậc của bất đẳng thức và kĩ năng đồng hóa :

- Trước tiên ta cần năm vưng hai quy ước sau

Bậc của một bất đẳng thức là soó mũ cao nhất của hạng tử trong đó

a a b  a b  với f(a,b) chứa các hạng tử bậc 2,8,5

2: Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Cơ sở lý thuyết của bài toán tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2.1-Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :

D,nếu như thỏa mãn điều kiện sau:

1 f x( ) M,  x D

2 Tồn tại x0 D ,sao cho f x( ) 0 M khi đó ta kí hiệu M max ( )x D f x





, nếu như thỏa mãn các điều kiện sau

1 f x( ) f x( )   m x D

2 Tồn tại x0 Dsao cho f x( ) 0 m

khi đo ta kí hiệu min ( )

từ đó suy ra P 8vậy minP=8

Cách giả này sai ở chỗ là mới dựa vào phần 1 của định nghĩa giá trị nhỏ nhất Ta xemxem phần 2 có thỏa mãn hay không Để dấu bằng xảy ra thì x=y=1 khi đó 2 2

2

x y  vậykhông thể xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức P 8 tức là phần hai về định nghĩa giá trịnhỏ nhất không thỏa mãn vì thế kết luận minS=8 là sai

Cách giải đúng như sau:

Viết lại S dưới dạng:

Qua ví dụ này ta thấy nếu không để ý đến điều kiện 2 trong định nghĩa thì bài toán có thểdẫn tới sai lầm.

2.2Cáctính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giả sử tồn tại ax ( ); ax ( ); min ( ); ax ( )

giả thiết tồ tại ax ( ), min ( ) 1, 2

Vì lý do ấy tính chất 3 còn gọi là NGUYÊN LÝ PHÂN RÃ.

với mọi ( ; )x y D1  4  x y  0 vì x 0,y 0 nên P 0  ( ; )x y D1

Lại có (2;2)D1 và khi đó P=0, nên

Dấu bằng trong 2 xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0 D sao cho

2 2

Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại x0 D sao cho

Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh của tính chất 5

Tính Chất 7:Giả sử f(x)và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D Đặt

h(x)=f(x)-g(x).Giả sử tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x),g(x),h(x) trên D Khi đó ta

2.Nếu thêm vào giả thiết f(x) x D.Khi đó với mọi n nguyên dương, ta có :

Xét ví dụ minh họa sau đây:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x)= 1 sin  x 1 cos ,  x x R

Ta có f x2 ( ) 2 (sin   x cos ) 2 1 (sinx   x cos ) sin x cosx  x

Vậy m ax ( ) m ax| | 2  ( ) ax ( 2); ( 2)

x R f x t f t m f f

Từ đó suy ra max f (t) =3 và min f(t)=-6

Bình luận : Tính đa dạng của các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhấtcũng thể hiện rõ qua ví dụ này

Chương II

Vài bài toán mở đầu về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất:

Bài toán 1:(Đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối B)

Cho hàm số y = x  4 x 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số này trên miềnxác định của nó

Từ đó suy ra ax

m x

Bài toán 2:(Đề thi tuyển sinh đại học,cao đẳng khối D)

Cho x 0,y 0.Tìm giá trị lớn nhất và nhỉ nhất của biểu thức P= 2 2

Bài toán 3:(đề thi tuyến sinh đại học,cao đẳng khối B)

Giả sử x,y là hai số thực sao cho 2 2

1.Nếu y0(khi đó x1).Lúc này P2

Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số ( ) 22 2 12

*Nếu m=2,khi đó 2m  6 0,nên (3) có nghiệm.Vậy m=2 là một giá trị cuẩ hàm số f t( )

*Nếu m 2,khi đó (3) có nghiệm    ' 0

 m2  3m 18 0     6 m 3 (4)

Do m là giá trị tùy ý của f t( ),nên từ (4) suy ra

( ) 3 0

Kết hợp với P=2 khi y=0,ta kết luận:

Với điều kiện x2 y2  1 thì maxP 3, minP 6

Cach 2:(phương pháp miền giá trị hàm số)

Do x2 y2  1, nên ta đặt x sin ,  y c os  , với  0; 2 

Khi đó 2sin2 12sin os2

c P

  (1) Gọi m là giá trị tùy ý của P

Khi đó phương trình sau đây (ẩn  ) 1sin 2cos2 os26sin 22 m

Ta có 2 2 2

x xy P

2 2

Bài 4:Cho số thực x 0,y 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: xy x y(  ) x2  xy y 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 1

Vậy giá trị lớn nhất của A là 16

Bài 5:Cho các số thực dương x,y,z thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z 1

u v t P

Suy ra f x  nghịch biến trên khoảng 0, .

Do đó, f a  f b  (vì theo giả thiết có a b  0 )

Vậy ta có điều phải chứng minh.

1.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtln M của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y, ) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

b.Tìm các giá trị của x,y, để f(x,y, )=M

Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtln của hàm số hoặc biểu thức bằng M và đạt được với x,y, tìm được trong b.”.

2.Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm gtnn m của hàm số hoặc biểu thức kí hiệu chung là f(x,y, ) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:

b.Tìm các giá trị của x,y, để f(x,y, )=m

Từ đó,đưa ra lời kết luận rằng ”Gtnn của hàm số hoặc biểu thức bằng m và đạt được với x,y, tìm được trong b.”.

Bài 1: Cho x >0, y>0, z>0 và x + y + z =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 4

Nhận xét: Thực chất bài toán tuyển sinh đại học khối A-2005 có dạng sau: Cho

2, Phương pháp sử dụng kĩ thuật ngược dấu trong bất đẳng thức Côsi.

Đây là một trong các phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi đặc biệt hữu hiệu với những