KỸ THUẬT tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của mô ĐUN số PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG mặt PHẲNG

Bìa (Mẫu M1(1)) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2020 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………………………….…………1 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………….… 1.4 Phương pháp nghiên cứu .1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .4 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .15 Kết luận, kiến nghị .17 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Mục tiêu Luật giáo dục 2019: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàn diện người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ nghề nghiệp; có phẩm chất, lực ý thức cơng dân; có lịng u nước, tinh thần dân tộc chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả sáng tạo cá nhân; nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầu nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc hội nhập quốc tế” [1] Yêu cầu phương pháp giáo dục Luật giáo dục 2019: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học hợp tác, khả thực hành, lịng say mê học tập ý chí vươn lên” [1] “Làm để phát huy tiềm năng, khả sáng tạo cá nhân?”; “Làm để phát huy tính tích cực, chủ động, tư sáng tạo người học?” Đó câu hỏi băn khoăn, trăn trở trình giảng dạy Vì bên cạnh việc truyền đạt kiến thức việc tìm kiếm kỹ thuật dạy học phù hợp, giúp học sinh hứng thú, chủ động mở rộng, phát triển kiến thức điều mà ý chăm chút Đó lý tơi chọn đề tài: Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Trong đề tài này, tơi xin phép trình bày số hướng phát triển, mở rộng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mô-đun số phức dựa kỹ thuật giải áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng Bên cạnh cần nói thêm lớp đối tượng mà giảng dạy chủ yếu học sinh trung bình khá, tơi lựa chọn hướng phát triển từ từ, thích hợp với đại đa số học sinh, đồng thời hướng mở để học sinh khá, giỏi phát triển tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Với lý mục đích nghiên cứu đề tài giúp học sinh tìm hiểu, xây dựng phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Phân tích ưu, nhược điểm so sánh kỹ thuật với kỹ thuật giải khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức, đặc biệt kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Bên cạnh đối tượng nghiên cứu khác vơ quan trọng em học sinh hai lớp 12A9 12A7 trường THPT Sầm Sơn mà giảng dạy 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Ngồi cịn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm xây dựng sở kiến thức số phức kết hợp với kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng Các kiến thức số phức bao gồm: + Các định nghĩa số phức + Các phép tốn số phức + Các tính chất mơ-đun số phức + Các tính chất biểu diễn hình học số phức Các kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng bao gồm: + Các kiến thức đường thẳng + Các kiến thức đường tròn + Các kiến thức elip Đặc biệt số tính chất hình học giải tích Oxy áp dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mơ-đun số phức: Tính chất 1: Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng thuộc ∆ cho khoảng cách MAmin = d ( A; ∆ ) Lúc đó: MA ngắn ∆ M ( C) điểm A hình chiếu Điểm A M ∆ A Tính chất 2: Trong hệ trục Oxy, cho đường trịn điểm khơng thuộc ( C) M MA đường tròn Điểm thuộc cho khoảng cách lớn nhất, nhỏ ( C) M IA giao điểm với đường trịn Lúc đó: 1) Trường hợp: MAmin = R − IA ; A nằm đường tròn MAmax = R + IA 2) Trường hợp: MAmin = IA − R ; A nằm ngồi đường trịn MAmax = R + IA ( E) ( E) M Tính chất 3: Trong hệ trục Oxy, cho Elip Điểm thuộc cho khoảng Ox;Oy OM M cách lớn nhất, nhỏ giao điểm với Elip Lúc đó: MOmin = b MOmax = a - độ dài bán trục bé (khi - độ dài bán trục lớn (khi M M giao điểm Oy giao điểm Ox với elip), với elip) ( C) ∆ Tính chất 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn đường thẳng khơng cắt ( C) N MN M ∆ đường trịn Điểm thuộc , thuộc cho khoảng cách nhỏ M,N d I giao điểm đưởng thẳng (qua vng góc với đường MN = d ( I , ∆ ) − R ( C) ∆ ∆ thẳng ) cắt đường tròn đường thẳng Lúc đó: Tính chất 5: Trong hệ trục Oxy, cho hai đường trịn ( C) khơng cắt M,N MN Hai điểm thuộc hai đường tròn cho khoảng cách lớn nhất, M,N nhỏ giao điểm đưởng thẳng hai đường trịn) với hai đường trịn Lúc đó: MN = II '− R − R ' ; MAmax = II '+ R + R ' ( C ') II ' (đường nối tâm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Số phức phần chương trình tốn THPT (được đưa vào chương trình vào cuối năm lớp 12) Đây phần khơng khó, nhiên lạ lâu học sinh quen với tập số thực, với lối tư tập số thực nên nhiều học sinh gặp khó khăn với tốn số phức, đặc biệt tốn khó Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ-đun số phức tốn khó số phức Cách giải thơng thường toán áp dụng bất đẳng thức.Tuy nhiên, bất đẳng thức phần khó chương trình tốn học phổ thông, lại học từ năm lớp 10 nên nhiều học sinh quên gặp nhiều khó khăn áp dụng Thêm việc phát triển tốn bất đẳng thức khơng dễ đối tượng học sinh mà giảng dạy Việc áp dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng, tốn chuyển sang tốn hình giải tích mặt phẳng nên trực quan hơn, dễ dàng xử lý Đặc biệt, mở rộng, phát triển toán theo nhiều hướng khác nhau, đa dạng Chúng ta xem xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Trong số phức z z − = z + − 2i thỏa mãn , tìm số phức z cho z −3−i nhỏ [2] Giải: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Giả sử z = x + yi z − = z + − 2i ⇔ x − + yi = ( x + 1) + ( y − 2)i , đó: ⇔ ( x − 1)2 + y = ( x + 1) + ( y − 2) ⇔ x − y + = z − − i = ( x − 3) + ( y − 1)i = ( x − 3) + ( y − 1) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-x-ki: ( x − 3) + ( y − 1)  12 + ( −1)  ≥ [ ( x − 3) + ( −1)( y − 1) ] = ( x − y − 2) = ⇔ ( x − 3) + ( y − 1)2 ≥ z − − i = ( x − 3)2 + ( y − 1)2 ≥ Nên: Dấu ‘=’ xảy z −3−i 2  x=  3  x − = − y +1 = − ⇔  ⇔z= + i 2 y =  2 z= + i 2 Vậy nhỏ Cách 2: áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng z = x + yi Giả sử z − = z + − 2i ⇔ x − + yi = ( x + 1) + ( y − 2)i , đó: ⇔ ( x − 1) + y = ( x + 1) + ( y − 2) ⇔ x − y + = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng Gọi I (3;1) ∆ : x − y +1 = điểm biểu diễn cho số phức z mặt phẳng phức, M z1 = + i z − − i = z − (3 + i) = IM Khi : Để IM , nhỏ M IM = d ( I ; ∆) = Khi đó: hình chiếu −1+1 +1 Phương trình đường thẳng Tọa đô M nghiệm hệ = IM : I ∆ 2 x+ y−4=0  x=  x − y + =   ⇔  x + y − =  y = ⇒ M  ; ÷ ⇒ z = + i  2 2 2 z= + i 2 Vậy số phức có mơ-dun nhỏ : So sánh hai cách giải, thấy mức độ tương đương Tuy nhiên, cách sử dụng bất đẳng thức tâm lý chung học sinh “ngại” “sợ”, với cách thứ hai tốn trở nên trực quan hơn, dễ dàng tiếp nhận Mặt khác, bất đẳng thức phương pháp tọa độ mặt phẳng kiến thức từ lớp 10, phương pháp tọa độ mặt phẳng kiến thức trọng tâm hình học 10, học sinh học suốt học kỳ hai lớp 10 Hơn phần kiến thức lại mở rộng phát triển hình học 12 (phương pháp tọa độ khơng gian) nên học sinh quen thuộc hơn, gần gũi Vì trình giảng dạy nhận thấy giới thiệu cách giải tốn phần lớn học sinh chọn cách giải thứ hai Hơn nữa, phát triển tốn, phức tạp hóa điều kiện hay yêu cầu việc sử dụng bất đẳng thức trở nên khó khăn, nhiều tốn khơng thể giải Trong dùng theo cách giải thứ hai toán dễ phát triển mở rộng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Với thực trạng trên, phần nghiên cứu giải pháp xây dựng phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Dựa việc áp dụng tính chất phương pháp tọa độ mặt phẳng vào tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ-đun số phức, phân chia toán thành dạng sau: Dạng 1: Quy tính khoảng cách nhỏ điểm và điểm thuộc đường thẳng Chúng ta bắt đầu với toán đơn giản: z = m + (m + 1)i m∈ R Bài tốn 1: Trong tất số phức có dạng: với , tìm số phức có mơ-đun nhỏ [2] Giải Gọi M M ( m; m + 1) thuộc đường thẳng z = OM Ta có : điểm biểu diễn cho số phức , OM nhỏ OM = d (O; ∆) = Khi đó: ∆ : x − y +1 = M z mặt phẳng phức Oxy , hình chiếu O ∆ 2 Phương trình đường thẳng OM : x+ y =0 Tọa độ M lànghiệm hệ Vậy số phức z  x=−  x − y + =   ⇔  x + y =  y = ⇒ M  − ; ÷ ⇒ z = − + i  2  2 có mơ-dun nhỏ 2 khi: 1 z=− + i 2 Trong toán này, vấn đề trọng yếu điểm thuộc đường thẳng ∆ : x − y +1= M biểu diễn cho số phức Từ phát triển mở rộng tốn theo chiều hướng khó, phức tạp giữ tính chất điểm biểu diễn cho số phức thứ hai sau: z z M thuộc đường thẳng Chúng ta xem xét toán Bài toán 2: Trong số phức đun nhỏ [2] z z − = z + − 2i thỏa mãn , tìm số phức Đối với tốn thay điều kiện z = m + (m + 1)i z có mơ- điều z − = z + − 2i z kiện khác mô-đun phức tạp là: Nhưng khai thác điều kiện điều kiện tương đương với điều kiện cho toán ban đầu Giải: Giả sử z = x + yi z − = z + − 2i ⇔ x − + yi = ( x + 1) + ( y − 2)i , đó: ⇔ ( x − 1)2 + y = ( x + 1) + ( y − 2) ⇔ x − y + = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng ∆ : x − y +1 = z mặt phẳng phức, M 10 z = OM Ta có : , OM nhỏ OM = d (O; ∆ ) = Khi đó: 12 + 12 Phương trình đường thẳng Tọa độ M nghiệm hệ hình chiếu O ∆ 2 = OM M : x+ y =0  x = − x − y +1 =  ⇔  1  1 x + y =  y = ⇒ M  − ; ÷⇒ z = − + i  2  2 2 z 1 z=− + i 2 Vậy số phức có mơ-dun nhỏ khi: Tiếp tục mở rộng, phát triển cách phức tạp hóa yêu cầu toán, toán thứ ba có điều kiện giống điều kiện toán thứ hai song yêu cầu cao hơn: Bài toán 3: Trong số phức z z − = z + − 2i thỏa mãn , tìm số phức z cho z −3−i nhỏ [2] Lúc này, điều kiện rộng thành tìm Giải: Giả sử z = x + yi z z toán hai song yêu cầu mở z −3−i để mô-đun số phức nhỏ z − = z + − 2i ⇔ x − + yi = ( x + 1) + ( y − 2)i , đó: ⇔ ( x − 1)2 + y = ( x + 1) + ( y − 2) ⇔ x − y + = 11 Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng Gọi I (3;1) ∆ : x − y +1 = điểm biểu diễn cho số phức z z1 = + i mặt phẳng phức, M z − − i = z − (3 + i) = IM Khi : Để IM , nhỏ M IM = d ( I ; ∆) = Khi đó: hình chiếu −1+1 +1 Phương trình đường thẳng Tọa độ M nghiệm hệ z = IM I ∆ 2 : x+ y−4=0  x=  x − y +1 =  ⇔  x + y − =  y = ⇒ M  ; ÷ ⇒ z = + i  2 2 2 2 z −3−i z= + i 2 Vậy số phức có mơ-dun nhỏ khi: Bài tốn thứ tư cúng tương tự nâng cao yêu cầu toán Bài toán 4: Trong số phức z z − = z + − 2i thỏa mãn , tìm số phức z cho iz + nhỏ [2] Giải: Lúc này, điều kiện vậy, yều cầu kết hợp thêm tính chất iz + = i ( z − 2i ) = i z − 2i = z − 2i mơ-đun số phức: quy tốn tương tự toán ba , toán lại 12 z = x + yi Giả sử z − = z + − 2i ⇔ x − + yi = ( x + 1) + ( y − 2)i , đó: ⇔ ( x − 1) + y = ( x + 1) + ( y − 2) ⇔ x − y + = 2 M ( x; y ) Gọi điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng ∆ : x − y +1 = z mặt phẳng phức, iz + = i ( z − 2i ) = i z − 2i = z − 2i = AM Ta có : 2i phức ) Để AM (với nhỏ M AM = d ( A; ∆) = Khi đó: hình chiếu − +1 +1 Phương trình đường thẳng Tọa M z nghiệm hệ IM = : M A ∆ A(0; 2) điểm biểu diễn cho số 2 x+ y−2=0  x=  x − y +1 =  ⇔  x + y − = y =  iz + 2 z= + i 2 Vậy số phức có mơ-dun nhỏ khi: Dạng 2: Quy tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ điểm diểm thuộc đường trịn Đặc điểm tốn dạng điều kiện phức M z M biểu diễn cho số thuộc đường thẳng, phát triển toán cách cho điểm thuộc đường tròn Chúng ta xem xét toán sau: 13 Bài toán 5: Trong số phức nhất, lớn [3] Giải z = x + yi Giả sử z z −1 = thỏa mãn , tìm số phức z có mơ-đun nhỏ z − = ⇔ x − + yi = , đó: ⇔ ( x − 1) + y = ⇔ ( x − 1) + y = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức ( C ) : ( x − 1)2 + y = thuộc đường tròn z M mặt phẳng phức, z = OM Ta có : OM IO M I Để nhỏ giao với đường tròn ( tâm đường tròn) M ( −1;0) ⇒ z = −1 OM = R − IO = − = Khi đó: OM IO M I Để nhỏ giao với đường tròn ( tâm đường tròn) M (3;0) ⇒ z = OM = R + IO = + = Khi đó: z = z z = −1 Vậy có mơ-dun lớn , có mơ-đun nhỏ Lại nâng cao yêu cầu tốn từ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mơ-đun z số phức sang tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mô-đun biểu thức chứa toán thứ sáu Bài toán 6: Trong số phức nhất, nhỏ [3] Giải z z =2 thỏa mãn , tìm số phức z z ta z −1− i có lớn 14 z = x + yi Giả sử z − = ⇔ x − + yi = , đó: ⇔ ( x − 1) + y = ⇔ ( x − 1) + y = Gọi M ( x; y ) z điểm biểu diễn cho số phức mặt phẳng phức, ( C ) : ( x − 1)2 + y = ∆ : x − y + = thuộc đường tròn Xét điểm A ( 1; −1) ( A M nằm hình trịn) z − − i = z − (1 + i ) = AM Ta có : Để BM Khi đó: Để BM Khi đó: nhỏ M giao với đường tròn ( I tâm đường tròn) AM = R − OA = − lớn M giao AB với đường tròn ( I tâm đường tròn) AM = R + OA = + OA : x − y = Đường thẳng Tọa độ điểm M nghiệm hệ ( AB )   x =    y = x − y = ⇔   2 x + y =   x = −    y = −  M 2; ⇒ z1 = + i ⇒  M ' − 2; − ⇒ z = − − i 2  ( ) 15 Vậy với z −1+ i z1 = + i nhỏ nhất, z −1+ i z2 = − − i với lớn Dạng 3: Quy tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ điểm điểm thuộc Elip Mở rộng với M thuộc Elip ta toán sau: Bài toán 7: Trong số phức đun lớn nhất, nhỏ [3] Giải Giả sử z = x + yi M ( x; y ) , z z − + z + = 10 thỏa mãn , tìm số phức điểm biểu diễn cho số phức z z có mơ- mặt phẳng phức z − + z + = 10 ⇔ ( x − 3)2 + y + ( x + 3) + y = 10 đó: ⇔ MF + MF ' = 10 ⇒M với F ' ( −3; ) ; F ( 3;0 ) ; M ( x; y ) thuộc elip có tiêu điểm ( E) : ⇒ Phương trình z = OM Ta có: OM = Nên: OM max = với M F ' ( −3; ) ; F ( 3; ) x2 y2 + =1 25 16 , độ dài trục lớn 10 thuộc elip nên M (0; −4) () ≤ OM ≤ M (0; 4) tương ứng với z = −4i z = 4i z = −5 z =5 tương ứng với Dạng 4: Quy tính khoảng cách nhỏ điểm thuộc đường thẳng điểm thuộc đường trịn Lại nâng cao, phát triển tốn từ tìm số phức sang tìm hai số phức ta toán thứ bảy sau: 16 M (−5;0) M (5;0) z1 , z2 Bài toán 8: Trong số phức số phức Giải Giả sử z1 , z2 z1 = x1 + y1i cho , đó: z1 − z2 thỏa mãn z1 − + i = ; z2 − = z2 + − 2i , tìm nhỏ [4] z1 − + i = ⇔ x1 − + ( y + 1)i = ⇔ ( x1 − 2) + ( y1 + 1) = ⇔ ( x1 − 2) + ( y1 + 1) = Gọi M ( x1 ; y1 ) điểm biểu diễn cho số phức ( C ) : ( x − 2) + ( y + 1) = thuộc đường tròn Giả sử z2 = x2 + y2i , đó: z1 mặt phẳng phức, M z2 − = z + − 2i ⇔ x2 − + y2i = ( x2 + 1) + ( y − 2)i ⇔ ( x − 1) + y = ( x2 + 1) + ( y2 − 2) ⇔ x2 − y2 + = Gọi N ( x2 ; y ) điểm biểu diễn cho số phức thuộc đường thẳng ∆ : x − y +1= z mặt phẳng phức, N z1 − z2 = MN Ta có : MN d M I I nhỏ giao đường thẳng qua ( tâm đường trịn) vng ( C) N d ∆ góc với đường trịn , cịn giao đường thẳng với đường thẳng Khi đó: MN = IH − R = 2 − IH = d ( I , ∆ ) = Trong : +1+1 12 + 12 =2 17 d Đường thẳng qua I ( 2; −1) vng góc với đường thẳng ∆ x + y −1 = ⇒ Phương trình đường thẳng Tọa độ điểm    M  −   ⇒ M ' +     Điểm M M nghiệm hệ   x = +    y = − −    x + y −1 = ⇔  2   ( x − 2) + ( y − 1) =  x = −     y = −1 +   2 2  2 ; −1 + ⇒ z = − + i − + ÷  ÷  2 ÷ 2 ÷    2  2 ; −1 − ⇒ z1' = − + i  −1 − ÷ ÷ ÷ 2  2 ÷   cần tìm Tọa độ điểm N z1 = −  2 M  − ; −1 + ÷ 2 ÷   nghiệm hệ z1 = − ứng với số phức  2 + i  −1 + ÷ 2 ÷   x + y −1 = x = ⇔ ⇒ N ( 0;1) ⇒ z2 = i  x − y +1 =  y =  2 + i  −1 + ÷; z2 = i 2 ÷   z1 − z2 Vậy với nhỏ Dạng 5: Quy tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ hai điểm thuộc hai đường trịn Vẫn tốn tìm hai số phức, song điều kiện hai số phức thây đổi từ thuộc đường thẳng, đường tròn sang thuộc hai đường trịn ta tốn thứ tám thứ chín z1 , z2 z1 − + i = z2 + − 3i = z1 − z2 Bài toán 9: Trong số phức thỏa mãn ; , lớn nhất, nhỏ [4] So với toán thứ tám, toán thứ chín phát triển điều kiện z1 , z2 thuộc đườn thẳng, đường tròn sang thuộc hai đường tròn khác Giải 18 Giả sử z1 = x1 + y1i , đó: z1 − + i = ⇔ x1 − + ( y1 + 1)i = ⇔ ( x1 − 2) + ( y1 + 1) = ⇔ ( x1 − 2) + ( y1 + 1) = M ( x1 ; y1 ) Gọi điểm biểu diễn cho số phức ( C ) : ( x − 2) + ( y + 1) = thuộc đường tròn Giả sử z2 = x2 + y2i z1 mặt phẳng phức, M z2 + − 3i = ⇔ x2 + + ( y2 − 3)i = , đó: ⇔ ( x2 + 1) + ( y2 − 3) = ⇔ ( x2 + 1) + ( y2 − 3) = N ( x2 ; y ) Gọi điểm biểu diễn cho số phức ( C ') : ( x + 1) + ( y − 3) = thuộc đường tròn z2 mặt phẳng phức, N z1 − z2 = MN Ta có : I ( −2;1) ; I ' ( −1;3) Với tâm đường tròn ( C ) ; ( C ') MN = II '− R1 − R2 = − = = MN max = II '+ R1 + R2 = + + = II ' = Trong đó: Vậy : ( + 1) + ( −1 − ) = MN = 3; MN max = 19 z1 , z2 Bài toán 10: Trong số phức thỏa mãn lớn nhất, nhỏ [4] Giải ặt Đ z3 = −2 z2 Giả sử , z1 = x1 + y1i z1 − = ; iz2 − = , z1 + z2 z1 + z2 = z1 − z3 , đó: z1 − = ⇔ x1 − + y1i = ⇔ ( x1 − 4) + y12 = ⇔ ( x1 − 4) + y12 = Gọi M ( x1 ; y1 ) z1 điểm biểu diễn cho số phức ( C ) : ( x − 4)2 + y = thuộc đường tròn Giả sử Gọi M iz2 − = ⇔ − iz3 − = ⇔ iz3 + = ⇔ i ( z3 − 4i) = ⇔ z3 − 4i = 2 Ta có: ⇔ mặt phẳng phức, z3 = x3 + y3i , đó: z3 − 4i = ⇔ x3 + ( y3 − 4)i = x3 + ( y2 − 4) = ⇔ x3 + ( y3 − 4) = 2 N ( x3 ; y3 ) điểm biểu diễn cho số phức ( C ') : x + ( y − 4)2 = thuộc đường tròn z3 mặt phẳng phức, N z1 − z3 = MN Ta có : I ( 0; ) ; I ' ( 4;0 ) Với tâm đường tròn ( C ) ; ( C ') 20 MN = II '− R1 − R2 = − − = − MN max = II '+ R1 + R2 = + + = + II ' = Trong đó: Vậy: ( − 4) + ( − 0) = 2 MN = − 3; MN max = + Với cách mở rộng phát triển vậy, tiếp tục xây dựng lớp toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức từ đơn giản đến phức tạp tùy thuộc vào điều kiện hay yêu cầu toán, tùy thuộc vào đa dạng tốn hình học giải tích tương ứng mà lựa chọn Với lớp đối tượng học sinh không tốt (phần lớn học sinh trung bình phận nhỏ học sinh khá), lựa chọn cách phát triển mở rộng toán bước trên, giúp học sinh tiếp cận từ từ phù hợp với trình độ, nhận thức học sinh Đồng thời đơn giản hóa tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô-đun số phức giúp toán đến gần với học sinh, để học sinh cảm thấy “có thể” giải tốn, có hứng thú hơn, nỗ lực qua trình học tập 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Để kiểm chứng tính hiệu đề tài, tiến hành triển khai đề tài lớp 12A9, cịn lớp 12A7 khơng (nghĩa lớp 12A7 tơi dạy học sinh tìm giá trị lớn nhất, giả trị nhỏ mô-đun số phức cách sử dụng bất đẳng thức, lớp 12A9 chủ yếu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn mô-đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng) Đây hai lớp mà tơi đánh giá có chất lượng tương đương Sau tơi đánh giá kết kiểm tra trắc nghiệm ngắn (15 phút) sau: ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: Cho số phức A 2 −1 Câu 2: Cho số phức A z 2 +1 z =1 thõa mãn Giá trị nhỏ −1 B z z −2+i −1 C D z + − 2i = thõa mãn +1 B Câu 3: Trong số phức z −1 z Giá trị lớn C D +1 z − − 4i = z − 2i thõa mãn , số phức có mơ-đun nhỏ 21 z = −2 + 2i A B z = −2 − 2i Câu 4: Trong số phức z = a + bi, (a, b ∈ R ) A B z 10 A z − C − D C thõa mãn 10 D C thõa mãn 10 z1 = 12 z Giá trị nhỏ z1 , z2 Giá trị lớn 10 B z + − 4i z+2 + z−2 =8 D z2 − − 4i = Giá trị lớn 22 B Câu 8: Cho số phức nhỏ A z = + 2i , biết số phức a −b thõa mãn Câu 7: Cho số phức thõa mãn z − − 2i = 10 B z1 − z2 D z − + 4i = z có mơ-đun nhỏ Khi Câu 6: Cho số phức A z = − 2i Câu 5: Cho số phức A z C z1 − z2 z1 , z2 C thõa mãn z1 + = D 17 z2 + − 3i = z − − 6i Giá trị B C D Kết thu là: Lớp Điểm [0; 3) [3; 5) [5; 7) [7; 9) 12A7 Tần số Tần suất (%) 11,11 10 22,22 18 40 17,78 12A9 Tần số Tần suất (%) 4,17 6,25 21 43,75 15 31,25 22 [9; 10] N = 45 8,89 N = 48 14,58 So sánh kết đạt hai lớp, thấy hiệu đề tài sau triển khai Nhìn chung, nhiều học sinh biết cách làm tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ modun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Học sinh khơng cịn tâm lý “e ngại” gặp phải toán dạng này, chí phận khơng nhỏ học sinh tiếp cận với tốn khó đề thi trung học phổ thông quốc gia hay đề khảo sát trường Bên cạnh học sinh học hỏi cách tư lô-gic, cách quy lạ quen, cách mở rộng phát triển tốn khơng phần mà cịn phần khác Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên kinh nghiệm trình dạy học Với tuổi đời tuổi nghề cịn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng chí góp ý chia sẻ kinh nghiệm giúp ngày tiến công tác, phát triển chuyên môn nghiệp vụ Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 3.2 Kiến nghị Tôi mong muốn Sở GDĐT, nhà trường cung cấp cho số SKKN Sở, nhà trường đánh giá có chất lượng năm học trước để học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Bích Huệ 23 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Luật Giáo dục 2019 Nguồn: https://luatvietnam.vn [2] Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn Nguồn: https://toanmath.com [3] Chuyên đề số phức – Nguyễn Chín Em Nguồn: https://toanmath.com [4] Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức chứa modul số phức – Nguyễn Hoàng Việt Nguồn: https://toanmath.com ... nghiên cứu đề tài kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức, đặc biệt kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Bên cạnh đối tượng nghiên... Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Trong đề tài này, xin phép trình bày số hướng phát triển, mở rộng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mơ -đun số. .. giải pháp xây dựng phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô- đun số phức phương pháp tọa độ mặt phẳng Dựa việc áp dụng tính chất phương pháp tọa độ mặt phẳng vào tốn tìm giá trị lớn