Kinh nghiệm nâng cao kỹ năng sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và bunhiacopski vào giải toán cực trị của mô đun số phức cho học sinh lớp 12

Để giải quyết tốt được các dạng toán này tôi đã sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski là một trong những phương pháp giải nhanh, hữu hiệu nhất.. Từ những lý do

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán lớp 12, số phức là phần kiến thức cơ bản, nếu

đi sâu vào việc tìm cực trị của mô đun số phức - một dạng toán thường gặp trong kì thi THPT Quốc gia những năm gần đây lại là một dạng toán khó đối với hầu hết học sinh lớp 12 Để hướng dẫn học sinh giải dạng toán này giáo viên thường sử dụng phương pháp hình học, tuy nhiên đại đa số học sinh thích học đại số hơn hình học nên các em thường e ngại dạng toán này Để giải quyết tốt được các dạng toán này tôi đã sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski là một trong những phương pháp giải nhanh, hữu hiệu nhất Theo tôi đây là một dạng toán mới, khó, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn

đề tài: “Kinh nghiệm nâng cao kỹ năng sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski vào giải toán cực trị của mô đun số phức cho học sinh lớp 12’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2019 –

2020 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là:

+ Rèn luyện kỹ năng toán học, đặc biệt là hình thành cách tính nhanh, chính xác dạng toán tìm cực trị của mô đun số phức trong chương trình Giải tích 12

+Từ đó phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về số phức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tìm cực trị của mô đun số phức - Chương

IV – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh khi được tác động, hướng dẫn cách giải này

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần số phức ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề rất quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học, giáo viên là người có vai trò thiết kế sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động học tập tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp học hiệu quả, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên cần thực hiện thật tốt

Trong bài “Số phức” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 chỉ đưa ra những kiến

thức cơ bản, tuy nhiên trong đề thi THPT Quốc gia lại có nhiều câu khó liên quan dạng tìm cực trị của số phức Vì vậy, tôi đã bổ sung thêm phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski vào hướng dẫn học sinh giúp học sinh yêu thích giải dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều

xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con

em dân tộc thiểu số, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em Vì vậy điểm thi vào 10 của các em còn thấp, nhất là môn Toán

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy để làm tốt, nhanh phần cực trị của mô đun số phức thì học sinh cần phải nắm vững kiến thức, phải có khả năng phán đoán, phân tích tốt dạng toán, đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư duy logic cao Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể

cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý e ngại những dạng toán khó này, cách làm dài, cần lập luận nhiều các em không hứng thú

2.3 Các sáng kiến kinh ngiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn tập một số kiến thức cần thiết để áp dụng vào giải dạng toán cực trị của mô đun số phức.

+) Số phức liên hợp, mô đun của số phức

+) Nhân, chia các số phức

+) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

|z1|−|z2|≤|z1± z2|≤|z1|+|z2|

+) Tính chất của mô đun: ⌈ z|z1|

2⌉=|z1

z2|; |z1.z2|=|z1|.|z2|

+) Bất đẳng thức Bunhiacopski:

(a1b1+a2b2)2≤(a12

+a22 )(b12 +b22 )

Ý nghĩa: Học sinh nắm vững hệ thống kiến thức trên giúp các em phát hiện

được vấn đề giải quyết tốt bài toán.

2.3.2 Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải các bài toán về cực trị của mô đun số phức.

Bài 1: Cho số phức zthỏa mãn|z−2−4 i|=√5 Tìm max; min |z|

A.3√5;√5 B.5 ;3 C 2√5 ;√5 D √13 ;√7

Phân tích: Muốn tìm max |z|ta sử dụng |z1|−|z2|≤|z1± z2|

Muốn tìm min |z|ta sử dụng |z1± z2|≤|z1|+|z2|

Hướng dẫn:

Ta có

|2+4 i| − |z −2−4 i|≤|2+4 i+ z−2−4 i| = |2+4 i| + |z −2−4 i|

⇔2√5−√5 ≤|z|≤ 2√5+√5⇔√5 ≤|z|≤ 3√5

Đáp án A

Bài 2: Cho số phức Z thỏa mãn|z−3+4 i| =2 Tìm max |z +1|

A.2+√2 B.2√2+2 C.3√2+2 D 4√4+2

Phân tích: Muốn tìm max |z +1| ta tách thừa số z +1

Hướng dẫn:

Ta có |z +1|−|4−4 i|≤|( z +1)−(4−4 i)|=|z−3+4 i|=2

⇔|z+1|≤| 4−4 i|+2=4√2+2

Đáp án D

Bài 3: Cho số phức zthỏa mãn|z (1+i)+1−7 i|=√2 Tìm max |z|

A.5 B.6 C.7 D 8

Phân tích: Muốn tìm max | Z| ta biến đổi chỉ còn thừa số Z

Hướng dẫn:

Từ |z (1+i)+1−7 i|=√2⇔|z−3−41|=1

Ta có |Z|−|3+ 4 i|≤|z−(3+4 i)|=|Z−3−4 i|=1

⇔|z|≤|3+ 4 i|+1=6

Đáp án B

Bài 4: Cho số phức zthỏa mãn2|z−1| + 3|z−i|≤ 2√2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.|z|>2 B.|z|>1

2 C.12<|z| < 3

2 D 32<|z|<2 Phân tích: Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối tìm z ⇒|z|

Hướng dẫn:

Ta có 2√2 ≥ 2|z−1| +3 |z−i|≥2(|z −1| + |z−i|)+ |z −i|≥

2|( z−1)−(z −i )|+|z−i| =2|i−1|+|z−i| =2√2+|z−i|

Dấu “ = ” xảy ra khi |z−i| =0⇔ z=i ⇔|z| =1

Đáp án C

Bài 5: Cho các số phức zthỏa mãn|z|≥ 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z+i z |. Giá trị của tích M m bằng:

A.23 B.34 C.1 D 2

(Trích đề thi trường THPT chuyên KHTN, câu 47 năm 2020)

Phân tích: Muốn tìm max |z|ta sử dụng |z1|−|z2|≤|z1± z2|

Muốn tìm min |z|ta sử dụng |z1± z2|≤|z1|+|z2|

Hướng dẫn:

Ta có 1−|z i|≤|1+i

z|≤ 1+|z i| Mặt khác |z|≥ 2⇔ 1

|z|≤

1 2

⇒1

2≤|z +i z |≤3

2⇒ M=3

2;m=

1

2.

Vậy M m=3

4

Đáp án B

Ý nghĩa:

- Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối làm đơn giản kiến thức hơn giúp học sinh dễ hiểu bài, dễ ghi nhớ kể cả học sinh trung bình.

- Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối khi bài toán tìm min, max

của biểu thức dễ dàng tách được thành |z1|−|z2|≤|z1± z2|≤|z1|+|z2|

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải các bài toán về cực trị của mô đun số phức.

Bài 1: Cho hai số phức z1; z2thỏa mãn|z−z2|=1, |z1+z2|=3

Tìm max T =|z1|+|z2|

A.8 B.10 C.√10 D 4

Phân tích: Biến đổi giả thiết đã cho tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo để

sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Hướng dẫn:

Từ |z1 −z2|=1⇔(x1 −x2 )2+(y1 −y2 )2=1,

|z1+z2|=1⇔(x1 +x2)2+(y1+y2)2=1

⇒ x12

+x22+y12+y22=5

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

T =1√x12+y12+1√x22+y22≤√2(x12+x22+y12+y22)=√10

Đáp án C

Bài 2: Cho số phức zthỏa mãn|z−1|=√2

Tìm max T =|z +i|+|z−2−i|

A.2 B.6 C √6 D 4

Phân tích: Biến đổi giả thiết đã cho sau đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Hướng dẫn:

Từ |z−1|=√2⇔(x−1)2

+y2=2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

T =√x2+(y +1)2+√(x−2)2+(y−1)2≤√2(2 x2−4 x+2 y2+ 6)

¿√4[(x−1)2+y2+ 2]= 4

Đáp án D

Bài 3: Cho số phức Z thỏa mãn|z−2−3 i| =1

Tìm max T =| ´z +1+i|

A.4 B.√13+1 C.√13+2 D 6

Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức T giống dữ kiện đề bài cho

Hướng dẫn:

Từ |z−2−3 i|=1⇔( x−2)2

+( y−3 )2=1

⇔ x2

−4 x +4 + y2 −6 y +9=1⇔ x 2

+y2 =4 x +6 y−12

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

T =√(x +1)2+(y−1)2=√x2+y2+2 x−2 y+2=√6 x+ 4 y−10

¿√6 ( x−2)+4 ( y−3)+14 ≤√ √( 36+16)[(x−2)2+(y−3 )2]+14= ¿√√52+14=1+√13

Đáp án B

Bài 4: Cho số phức zthỏa mãn |z−3−4 i|=√5 và biểu thức

T =|z +2|2−|z−i|2 đạt giá trị lớn nhất Tính |z|

A.√33 B.50 C.√10 D 5√2

Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức T giống dữ kiện đề bài cho

Hướng dẫn:

Từ |z−3−4 i|=√5⇔( x−3)2

+(y−4)2=5 ( ¿ )

T =(x+2)2+y2−x2− ¿

¿

⇒max T =33 ⇒ 4 x +2 y +3=33 ⇔ y =15−2 x

thay vào (*) ta được

(x−3)2 +(11−2 x) 2 =5⇔5 x2 −50 x +125=0⇔ x=5 ⇒ y=5

Vậy |z|=5√2

Đáp án D

Nhận xét:

Nếu ta sử dụng dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức Bunhiacopski thì ta có

x=2 y−5 thay vào (*) ta được (2 y−8)2+(y−4 )2=5⇔[y =5; x=5 y =3 ; x=1

với x=1 ; y=3⇒ z=√10 học sinh sẽ phân vân đáp án C hoặc D, cần lưu ý khi

T =33 ⇒hoặc x ≥ 3,hoặc y ≥ 4

Bài 5: Cho số phức zthỏa mãn |z|=1 Gíá trị lớn nhất của biểu thức

P=|1+ z| + 2 |1−z|

A.√5 B.6√5 C.2√5 D 4√5

Phân tích: Biến đổi dữ kiện đề bài cho được kết quả thế vào biểu thức

Hướng dẫn:

Gọi số phức z=x + yi

Từ |z|=1⇔ x2

+y2 =1

P=|1+ z|+2|1−z|=√ ¿ ¿

¿√2 x +2+2√2−2 x ≤√(1+4) (2 x+2+2−2 x )=2√5

Đáp án C

Bài 6: (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xét số phức z=a+bi (a , b ∈ R ) thỏa

mãn|z−4−3 i|=√5

Tính P=a+b khi |z +1−3 i| + |z−1+i| đạt giá trị lớn nhất

A P=10 B.P=4 C.P=6 D P=8

Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức P giống dữ kiện đề bài cho

Hướng dẫn:

Từ |z−4−3 i|=√5⇔( x−4)2

+( y−3 )2=5( ¿ )

⇔ x2

+y2 =8 x +6 y−20

T =√(x +1)2+(y−3)2+√(x−1)2+(y +1)2≤

√(1+1)[(x +1)2+(y−3)2+(x−1)2+(y +1)2]

¿√2(2 x¿¿2+2 y2 −4 y +12)=√2(16 x+8 y −28)¿ =√2[16 ( x−4)+8 ( y −3)+60]≤

√2 ¿ ¿

¿

⇒max T =10√2⇒ 16 x+8 y −28=100 ⇔ y=16−2 x

thay vào (*) ta được ( x−4)2+(13−2 x )2=5⇔5 x2

−60 x +180=0

⇔ x=6 ⇒ y=4 Vậy P=10.

Đáp án A

Bài 7: Cho số phức Z thỏa mãn|z+3i z−1|= 1

√2 Tìm max T =|z +i|+2|´z−4+7 i|

A.18 B.20 C.4√5 D 6√5

Phân tích: Biến đổi dữ kiện đề bài cho sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Hướng dẫn:

Gọi số phức z=x + yi

Từ |z+3i z−1|= 1

√2⇔√2|x−1+ yi| =|x+ yi+3 i|

⇔2( x−1)2 +2 y 2

=x2 +(y +3)2⇔ x2

+y2 =4 x +6 y +7

T =√x2

+(y+1)2 +2√(x−4 )2

+(y−7)2≤

√(1+4)(2 x 2

+2 y2 −8 x−12 y +66)=√(1+4)(14 +66)=20.

Đáp án B

Bài 8: Cho số phức Z thỏa mãn|z+3−i z−2i |=1 Tìm min T =|z +3−2i|

A.2√10 B.√10 C.2√510 D √510

Phân tích: Biến đổi dữ kiện đề bài cho sau đó sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Hướng dẫn:

Gọi số phức z=x + yi

Từ |z+3−i z−2i |=1⇔|x + yi−2 i|=|x+3+ yi−i|

⇔ x2

+y2 −4 y +4=x 2 +6 x+ 9+ y 2 −2 y +1⇔3 x+ y+3=0

⇔ 4=3(x +3)+( y−2)≤√(9+1)[(x+3)2+(y−2)2]

⇔T =√ ¿ ¿

¿

Đáp án C

Ý nghĩa:

- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giúp học sinh linh hoạt và khéo léo trong việc biến đổi biểu, giải toán nhanh gọn Mặc dù đây là những bài toán khó nhưng vẫn tạo được hứng thú cho học sinh.

- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với những bài toán tìm mim, max

mô đun của số phức khó, cần phải biến đổi khéo léo giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán

2.3.4 Hướng dẫn học sinh so sánh cách giải khác để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski so với cách giải thông thường.

Phương pháp thực hiện:

+) Cho hai học sinh làm cùng một bài bằng hai cách: Hai học sinh có năng lực tương đương nhau.

+) Gọi một học sinh khác nhận xét để thấy rõ được tính hiệu quả về thời gian cũng như cách giải ngắn gọn, đơn giản Từ đó các em tin tưởng và quyết tâm lựa chọn cách giải nêu trong đề tài này.

Bài 1: Cho số phức zthỏa mãn |z−5+2i| =4.

Tìm min, max của T =|z−3+i|

A.√5 ;4 B.4−√5 ;4 +√5 C.4 ;4 +√5 D 4−√5 ;4

Cách 1: Sử đụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có |z−5+2i| − |2−i|≤|z−5+2 i+2−i| = |z −5+2i| + |2−i|

⇔ 4−√5≤|z−3+ i|≤ 4 +√5

Đáp án B

Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học

Ta có: |z−5+2i| =4

⇔ (x−5)2

+( y+ 2)2=16, I (5 ;−2) , R=4

T =|z−3+i|=√(x−3)2

+(y+1)2

=AM

với A(3 ;−1)

Bài toán trở thành tính khoảng cách lớn nhất,

nhỏ nhất từ điểm A đến một điểm trên đường tròn

Dựa vào hình vẽ ta có:

MinT =AM ' '=|IA−R|=4−√5

MaxT = AM '=IA +R=4+√5

Đáp án B

M'' I

A

M'

M

*Học sinh nhận xét: Cách giải 1 đơn giản, dễ hiểu, còn cách giải 2 phức tạp hơn nhiều, đòi hỏi phải nắm kiến thức về đường tròn, vẽ hình minh họa khi nào đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 2: Cho số phức zthỏa mãn |z−3| + |z +3| =8 Gọi M , m lần lượt là gíá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của |z| Khi đó M +m bằng:

A.4 +√5 B 4−√5 C.7 D 4 +√5

Cách 1: Sử dụng kết hợp bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski.

Ta có 8= |z−3| + |z+3|≥|z −3+z +3| =⌈ 2 z⌉ ⇔|z|≤ 4 ⇒ M=4

Gọi số phức z=x + yi

Từ 8= |z−3| + |z+3| = |x−3+ yi| + |x +3+ yi|

¿ √ ¿ ¿

≤√(1+1)[(x−3)2+y2+(x+3)2+y2]=√2(2 x2+2 y2+ 18)

⇔2(2 x2+2 y2+18)≥ 64⇔ x2

+y2≥ 7 ⇔|z|≥ 7 ⇒m=√7

Vậy M +m=4+√7

Đáp án A

Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học

Gọi số phức z=x + yi.

Từ 8= |z−3| + |z+3| = |x−3+ yi| + |x +3+ yi|

¿ √ ¿ ¿

⇒ a=4

với A(3 ;0); B(−3 ;0) là hai tiêu điểm

⇒c =3

M ∈ ( E) : x2

a2+

y2

b2=1

⇒b2

=a2−c2=16−9=7

|z| =√x2

+y2 =OM

OM min=b=√7

OM max=a=4

Vậy M +m=4+√7

Đáp án A

O

M

*Học sinh nhận xét: Cách giải 2 dài và khó hiểu, cần phải xác định được (E) dựa vào định nghĩa, sau đó phải tính được các giá trị trục lớn, trục nhỏ Vẽ hình minh họa để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Hơn nữa kiến thức về (E) học

từ học kỳ 2 lớp 10 rất dễ quên nên không nắm vững nữa.

Bài 3: Cho số phức Z thỏa mãn|z+3−i z−2i |=1

Tìm min T =|z +3−2i|

A.2√10 B.√10 C.2√510 D √510

Cách 1: Sử đụng bất đẳng thức Bunhiacopski.

Gọi số phức z=x + yi

Từ |z+3−i z−2i |=1⇔|x + yi−2 i|=|x+3+ yi−i|

⇔ x2

+y2−4 y +4=x2+6 x+ 9+ y2−2 y +1⇔3 x+ y+3=0

⇔ 4=3(x +3)+( y−2)≤√(9+1)[(x+3)2+(y−2)2]

⇔T =√ ¿ ¿

¿

Đáp án C

Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học

Gọi số phức z=x + yi.

Từ|z+3−i z−2i |=1

⇔|x+ yi−2i|=|x+3+ yi−i|

⇔ x2

+y2

−4 y +4=¿

x2+6 x+ 9+ y2−2 y+ 1

⇔3 x + y+3=0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

đường thẳng d: 3 x+ y+3=0

Gọi M (−3;2 ) T đạt giá trị nhỏ nhất bằng

d ( M ;d )= ⌈−9+2+3⌉

2√10 5

Đáp án C

d

M

H K

*Học sinh nhận xét: Cách giải 1 nhanh, còn cách giải 2 khó hơn nhiều, đòi hỏi phải nắm kiến thức về điểm và đường thẳng, giá trị nhỏ nhất từ điểm đến đường thẳng là khoảng cách từ diểm đó đến đường thẳng

* Giáo viên nhận xét chung và nêu ý nghĩa của phương pháp trong đề tài:

Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải bằng hình học dài dẫn đến mất khá nhiều thời gian để giải quyết xong bài toán Còn cách dùng bất đẳng thức nhanh và mang lại hiệu quả rất cao không chỉ rèn luyện kỹ năng mà qua hoạt động học tập trãi nghiệm này học sinh phát triển được tư duy giải toán và năng lực ra quyết định.

Qua 3 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski giải toán về cực trị của số phức

Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các bài tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những bài toán có thể áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả nhanh hơn nhiều so với các cách giải khác Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh qua kết quả bài làm của học sinh và trong các buổi sinh hoạt chuyên môn.

2.3.5 Cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và Bunhiacopski giúp các em rèn luyện để phát triển

tư duy.

Bài 1: Cho số phức zthỏa mãn |z−1

z|= 4. Tìm max của T =|z|

A.2+√3 B.4 +√5 C.4 +√3 D 2+√5