Kinh nghiệm nâng cao kỹ năng sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối và bunhiacopski vào giải toán cực trị của mô đun số phức cho học sinh lớp 12

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn lớp 12, số phức phần kiến thức bản, sâu vào việc tìm cực trị mô đun số phức - dạng tốn thường gặp kì thi THPT Quốc gia năm gần lại dạng tốn khó hầu hết học sinh lớp 12 Để hướng dẫn học sinh giải dạng toán giáo viên thường sử dụng phương pháp hình học, nhiên đại đa số học sinh thích học đại số hình học nên em thường e ngại dạng toán Để giải tốt dạng tốn tơi sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski phương pháp giải nhanh, hữu hiệu Theo tơi dạng tốn mới, khó, địi hỏi lập luận, suy luận cao, tư lơgic cộng với việc tính tốn nhanh thách thức học sinh lớp 12 Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Kinh nghiệm nâng cao kỹ sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski vào giải tốn cực trị mơ đun số phức cho học sinh lớp 12’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2019 – 2020 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài là: + Rèn luyện kỹ tốn học, đặc biệt hình thành cách tính nhanh, xác dạng tốn tìm cực trị mơ đun số phức chương trình Giải tích 12 +Từ phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức số phức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tìm cực trị mơ đun số phức - Chương IV – Giải tích 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh tác động, hướng dẫn cách giải 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần số phức trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học, giáo viên người có vai trị thiết kế cho học sinh thực luyện tập hoạt động học tập tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp học hiệu quả, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên cần thực thật tốt Trong “Số phức” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa kiến thức bản, nhiên đề thi THPT Quốc gia lại có nhiều câu khó liên quan dạng tìm cực trị số phức Vì vậy, tơi bổ sung thêm phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski vào hướng dẫn học sinh giúp học sinh u thích giải dạng tốn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Vì điểm thi vào 10 em thấp, mơn Tốn Trong q trình dạy học tơi nhận thấy để làm tốt, nhanh phần cực trị mô đun số phức học sinh cần phải nắm vững kiến thức, phải có khả phán đốn, phân tích tốt dạng tốn, đồng thời cần có kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý e ngại dạng tốn khó này, cách làm dài, cần lập luận nhiều em không hứng thú 2.3 Các sáng kiến kinh ngiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn tập số kiến thức cần thiết để áp dụng vào giải dạng toán cực trị mô đun số phức +) Số phức liên hợp, mô đun số phức +) Nhân, chia số phức +) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: +) Tính chất mơ đun: ; +) Bất đẳng thức Bunhiacopski: Ý nghĩa: Học sinh nắm vững hệ thống kiến thức giúp em phát vấn đề giải tốt toán 2.3.2 Hướng dẫn rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải tốn cực trị mơ đun số phức Bài 1: Cho số phức thỏa mãn Tìm max; A B C D Phân tích: Muốn tìm max ta sử dụng Muốn tìm ta sử dụng Hướng dẫn: Ta có Đáp án A Bài 2: Cho số phức thỏa mãn Tìm max A B C D Phân tích: Muốn tìm max ta tách thừa số Hướng dẫn: Ta có Đáp án D Bài 3: Cho số phức thỏa mãn Tìm max A B C D Z Phân tích: Muốn tìm max ta biến đổi cịn thừa số Z Hướng dẫn: Từ Ta có Đáp án B Bài 4: Cho số phức thỏa mãn Mệnh đề đúng? A B C D Phân tích: Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối tìm Hướng dẫn: Ta có Dấu “ = ” xảy Đáp án C Bài 5: Cho số phức thỏa mãn Gọi M, m giá trị lớn nhỏ Giá trị tích bằng: A B C D (Trích đề thi trường THPT chuyên KHTN, câu 47 năm 2020) Phân tích: Muốn tìm max ta sử dụng Muốn tìm ta sử dụng Hướng dẫn: Ta có Mặt khác Vậy Đáp án B Ý nghĩa: - Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối làm đơn giản kiến thức giúp học sinh dễ hiểu bài, dễ ghi nhớ kể học sinh trung bình - Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối tốn tìm min, max biểu thức dễ dàng tách thành 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải tốn cực trị mơ đun số phức Bài 1: Cho hai số phức thỏa mãn, Tìm max A B C D Phân tích: Biến đổi giả thiết cho tìm mối liên hệ phần thực phần ảo để sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Hướng dẫn: Từ , Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có Đáp án C Bài 2: Cho số phức thỏa mãn Tìm max A B C D Phân tích: Biến đổi giả thiết cho sau áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Hướng dẫn: Từ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có Đáp án D Bài 3: Cho số phức Z thỏa mãn Tìm max A B C D Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức giống kiện đề cho Hướng dẫn: Từ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có Đáp án B Bài 4: Cho số phức thỏa mãn biểu thức đạt giá trị lớn Tính A B C D Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức giống kiện đề cho Hướng dẫn: Từ thay vào (*) ta Vậy Đáp án D Nhận xét: Nếu ta sử dụng dấu xảy bất đẳng thức Bunhiacopski ta có thay vào (*) ta với học sinh phân vân đáp án C D, cần lưu ý Bài 5: Cho số phức thỏa mãn Gíá trị lớn biểu thức A B C D Phân tích: Biến đổi kiện đề cho kết vào biểu thức Hướng dẫn: Gọi số phức Từ Đáp án C Bài 6: (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Xét số phức thỏa mãn Tính đạt giá trị lớn A B C D Phân tích: Thêm bớt khéo léo biểu thức giống kiện đề cho Hướng dẫn: Từ thay vào (*) ta Vậy Đáp án A Bài 7: Cho số phức Z thỏa mãn Tìm max A B C D Phân tích: Biến đổi kiện đề cho sau sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Hướng dẫn: Gọi số phức Từ Đáp án B Bài 8: Cho số phức A B Z thỏa mãn Tìm C D Phân tích: Biến đổi kiện đề cho sau sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Hướng dẫn: Gọi số phức Từ Đáp án C Ý nghĩa: - Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giúp học sinh linh hoạt khéo léo việc biến đổi biểu, giải toán nhanh gọn Mặc dù tốn khó tạo hứng thú cho học sinh - Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski tốn tìm mim, max mơ đun số phức khó, cần phải biến đổi khéo léo kiện yêu cầu toán 2.3.4 Hướng dẫn học sinh so sánh cách giải khác để thấy rõ tính ưu việt phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski so với cách giải thông thường Phương pháp thực hiện: +) Cho hai học sinh làm hai cách: Hai học sinh có lực tương đương +) Gọi học sinh khác nhận xét để thấy rõ tính hiệu thời gian cách giải ngắn gọn, đơn giản Từ em tin tưởng tâm lựa chọn cách giải nêu đề tài Bài 1: Cho số phức thỏa mãn Tìm min, max A B C D Cách 1: Sử đụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ta có Đáp án B Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học Ta có: , với Bài tốn trở thành tính khoảng cách lớn nhất, nhỏ từ điểm đến điểm đường trịn Dựa vào hình vẽ ta có: Đáp án B *Học sinh nhận xét: Cách giải đơn giản, dễ hiểu, cách giải phức tạp nhiều, đòi hỏi phải nắm kiến thức đường trịn, vẽ hình minh họa đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài 2: Cho số phức thỏa mãn Gọi gíá trị lớn giá trị nhỏ Khi bằng: A B C D Cách 1: Sử dụng kết hợp bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski Ta có Gọi số phức Từ Vậy Đáp án A Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học Gọi số phức Từ với ; hai tiêu điểm Vậy Đáp án A *Học sinh nhận xét: Cách giải dài khó hiểu, cần phải xác định (E) dựa vào định nghĩa, sau phải tính giá trị trục lớn, trục nhỏ Vẽ hình minh họa để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ Hơn kiến thức (E) học từ học kỳ lớp 10 dễ quên nên không nắm vững Bài 3: Cho số phức Z thỏa mãn 10 Tìm A B C D Cách 1: Sử đụng bất đẳng thức Bunhiacopski Gọi số phức Từ Đáp án C Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học Gọi số phức Từ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d: Gọi đạt giá trị nhỏ Đáp án C *Học sinh nhận xét: Cách giải nhanh, cịn cách giải khó nhiều, địi hỏi phải nắm kiến thức điểm đường thẳng, giá trị nhỏ từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ diểm đến đường thẳng * Giáo viên nhận xét chung nêu ý nghĩa phương pháp đề tài: Nhìn vào hai cách giải rõ ràng cách giải hình học dài dẫn đến nhiều thời gian để giải xong tốn Cịn cách dùng bất đẳng thức nhanh mang lại hiệu cao không rèn luyện kỹ mà qua hoạt động học tập trãi nghiệm học sinh phát triển tư giải toán lực định Qua ví dụ cho ta thấy tác dụng tích cực phương pháp sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski giải toán cực trị số phức Trong buổi sinh hoạt chuyên môn tổ chuyên môn, đưa tập để đồng nghiệp thử giải so sách cách giải; kết tốn áp dụng phương pháp cho kết nhanh nhiều so với 11 cách giải khác Hiệu phương pháp chứng minh qua kết làm học sinh buổi sinh hoạt chuyên môn 2.3.5 Cung cấp cho học sinh hệ thống tập sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Bunhiacopski giúp em rèn luyện để phát triển tư Bài 1: Cho số phức thỏa mãn Tìm max A B C D Bài 2: Cho số phức thỏa mãn Tìm tích giá trị lớn giá trị nhỏ max A B C D Bài 3: Cho số phức thỏa mãn biểu thức đạt giá trị lớn Mô đun số phức bằng: A B C D Bài 4: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn A B C D Bài 5: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn A B C D Bài 6: Cho số phức thỏa mãnvà Tìm giá trị nhỏ A B C D Bài 7: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn A B C D Bài 8: Cho số phức thỏa mãn Gọi gíá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tính : 12 A B C D Bài 9: Cho số phức thỏa mãn Số phức z có mơ đun nhỏ là: A B C D Bài 10: Xét số phức thỏa mãn Tính a+b đạt giá trị nhỏ A B C D Trong số tiết luyện tập đưa hệ thống tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mô đun số phức cho lớp làm, em hứng thú, nhiều em so sánh cách giải khác, chấm chéo cho để thấy hiệu cách giải khắc sâu thêm kiến thức em: Phạm Quang Khải, Nguyễn Thị Ngọc Ánh, Hà Thị Lâm Oanh lớp thực nghiệm 12E6 Cách làm khiến học sinh thật trở thành trung tâm trình dạy học, em chủ động tiếp thu kiến thức tích cực việc tự học lớp nhà Xóa tan tâm lí lo sợ gặp dạng tốn khó này, nâng cao lí thú, lực giải tốn, so sánh, đánh giá đưa định 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Tôi cho lớp làm kiểm tra hai thời điểm trước tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 1) sau tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2), hai đề lần lần lượng kiến thức tương đương để thấy hiệu sáng kiến Đề kiểm tra: Các tập đề kiểm tra soạn từ sách tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia số trường THPT Kết khảo sát kiến thức cực trị số phức thống kế sau: Bảng 1: Kết điểm số lớp thực nghiệm 12E6 Số Trước tác động Sau tác động sl 38 % sl 38 % Điểm 0-2 10 13 11 0 0,0 15, 13, 34, 28, 5,3 2,6 0,0 0,0 0 13 0,0 0,0 2,6 23, 34, 21, 10, 7,9 0,0 Bảng 2: Kết điểm số lớp đối chứng 12E3 13 Số Trước tác động 44 Sau tác động 44 Điểm 0-2 10 sl 13 12 0 % 9,1 15,9 29,6 27,3 13,6 4,5 0,0 0,0 sl 12 0 % 0,0 6,8 11,4 27,3 31,8 15,9 6,8 0,0 0,0 14 Bảng 3: Bảng tính chênh lệch trước tác động Lớp đối chứng Điểm trung bình 5,34 Lớp thực nghiệm 5,03 0,31 Chênh lệch điểm trung bình (SMD) Bảng 4: Bảng tính chênh lệch sau tác động Lớp đối chứng Điểm trung bình Chênh lệch điểm trung bình (SMD) 5,59 Lớp thực nghiệm 6,37 0,78 So sánh kết quả: Năm học 2019 – 2020 áp dụng giải pháp nêu đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể: Lớp đối chứng 12E3 năm học 2019- 2020, sĩ số 44: dạy chủ đề không sử dụng giải pháp nêu đề tài Lớp thực nghiệm 12E6 năm học 2019- 2020, sĩ số 38: dạy chủ đề cách sử dụng giải pháp nêu đề tài Về điểm trung bình: Bảng bảng cho thấy, sau tác động chêch lệch điểm trung bình lớp thực nghiệm lớp đối chứng rõ rệt, tức chênh lệch kết điểm trung bình lớp thực nghiệm cao điểm trung bình lớp đối chứng, điều cho thấy hiệu thiết thực biện pháp sử dụng đề tài Về SMD: Năm học 2019 – 2020, SMD = 0,78 cho thấy mức độ ảnh hưởng việc hướng dẫn học sinh khai thác kiến thức cho học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn lớn Kết kiểm tra sau tác động lớp thực nghiệm 12E6 điểm trung bình = 6,37 kết kiểm tra lớp đối chứng 12E3 điểm trung bình = 5,59 Độ chênh lệch điểm số hai lớp 0,78 14 Kết cho thấy điểm trung bình lớp thực nghiệm so với lớp đối chứng có tiến rõ rệt, lớp tác động 12E6 có điểm trung bình cao lớp đối chứng 12E3 Kết thu Về kết định lượng: - Dù hai lớp ngang nhau, lớp đối chứng khơng tiến mấy, biến động điểm Lớp thực nghiệm thay đổi rõ rệt, kết đáng mừng việc sử dụng biện pháp Qua quan sát thực tế từ việc trực tiếp giảng dạy, thấy học sinh lớp 12E6 giải nhanh thục tốn cực trị số phức tơi sưu tầm từ đề thi trường THPT nước Còn lớp 12E3 đa số em học sinh giải chậm, chưa linh hoạt Hai lớp chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng ý thức học tập, đặc biệt lực học tập kết điểm kiểm tra mơn Tốn, lớp đối chứng có phần cao chút trước tác động - Đã rèn luyện kỹ giải toán cực trị số phức, kỹ tính tốn, kỹ sử dụng bất đẳng thức phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn Về kết định tính - Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú, tự tin chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết cao - Hình thành kỹ giải toán, phát triển lực so sánh, đánh giá đưa định nhanh Từ kết mạnh dạn khẳng định biện pháp mà đề tài đưa hoàn toàn khả thi áp dụng dễ, nhanh, hiệu trình dạy học số phức chương trình lớp 12 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy tơi thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy phần số phức cho học sinh lớp 12, từ góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn trường THPT Triệu Sơn 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ kinh nghiệm thực tiễn thân trình dạy học, trao đổi chuyên mơn đồng nghiệp, nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm đạt kết sau đây: + Đề tài nêu lên thực trạng việc dạy học chủ đề “Số phức” 15 + Đề tài đưa năm giải pháp thiết thực việc rèn luyện kĩ tìm cực trị số phức tốn khó mà đòi hỏi phải giải thời gian ngắn + Đề tài nêu ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đề tài đưa số tập áp dụng sở dạng tập quen thuộc hệ thống tập luyện tập trích từ đề thi THPT Quốc Gia trường THPT, Sở giáo dục số tỉnh, thành phố nước, Bộ giáo dục để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm Toán 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh ngiệm mà thực đơn vị trường THPT Triệu Sơn năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh u thích say mê học Tốn Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2020 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Vũ Thị Phượng 16 ... học sinh ôn tập số kiến thức cần thiết để áp dụng vào giải dạng tốn cực trị mơ đun số phức +) Số phức liên hợp, mô đun số phức +) Nhân, chia số phức +) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: ... - Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối làm đơn giản kiến thức giúp học sinh dễ hiểu bài, dễ ghi nhớ kể học sinh trung bình - Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán. .. chất mô đun: ; +) Bất đẳng thức Bunhiacopski: Ý nghĩa: Học sinh nắm vững hệ thống kiến thức giúp em phát vấn đề giải tốt toán 2.3.2 Hướng dẫn rèn luyện cho học sinh sử dụng bất đẳng thức chứa dấu