FILE WORD ĐỒ ÁN : PHƯƠNG PHÁP CHO NỬA NHÓM CAUCHY ĐAI HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM 1.1 C0 − nửa nhóm 1.2 Bài tốn Cauchy 12 1.3 Một số ví dụ 21 Chương - BÀI TỐN CAUCHY VÀ NỬA NHĨM n −LẦN TÍCH HỢP 30 2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 30 2.2 Bài tốn Cauchy ( n,ω) − đặt chỉnh 37 2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40 2.4 Một số ví dụ 50 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 -1- MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tốn có lịch sử lâu đời chun ngành Giải tích ứng dụng Nó áp dụng nhiều lĩnh vực khoa học vật lý học, sinh học, kỹ thuật, tài Khi xét toán ta thường gặp khả khác nghiệm Theo định nghĩa Hadamard, tốn Cauchy gọi đặt chỉnh tồn nghiệm, nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện tốn Phương pháp nửa nhóm phát triển mạnh mẽ có vai trò quan trọng việc giải tốn Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử khơng bị chặn Luận văn nghiên cứu toán Cauchy trừu tượng dạng u '(t ) = Au (t ), u (0) = x, t ≥ 0, (CP) A: X → X tốn tử tuyến tính, đóng, khơng bị chặn khơng gian Banach X u : + → X Mục tiêu luận văn nhằm trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm phương pháp nửa nhóm n − lần tích hợp khơng gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn Cauchy Luận văn gồm hai chương: Chương - Trình bày khái niệm tính chất C0 − nửa nhóm Đây loại nửa nhóm đơn giản số lớp tốn tử khơng bị chặn toán Cauchy tương ứng đặt chỉnh Từ đưa số ví dụ minh họa Chương - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng lớp nửa nhóm C0 nửa nhóm n − lần tích hợp nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương bị chặn -2- mũ, khơng suy biến Áp dụng phương pháp để nghiên cứu tính (n,ω) − đặt chỉnh toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong chương chúng tơi đưa số ví dụ minh họa dựa phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian qua thầy dành nhiều thời gian cơng sức, tận tình giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn thầy phản biện, thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, thầy Viện Toán học Việt Nam giáo sư nước tham gia giảng dạy trường Trong năm qua thầy cô tâm huyết truyền đạt kiến thức vô quý báu cho chúng em, giúp em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng thực luận văn Cuối lời cảm ơn đến quan, gia đình, bạn bè tạo điều kiện cho tác giả học, động viên khích lệ giúp đỡ mặt để tác giả có thêm động lực học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 -3- ρ ( A) Chương - BÀI TỐN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHĨM 1.1 C0 − nửa nhóm Cho X khơng gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh) Họ tốn tử tuyến tính, bị chặn {T (t ), t ≥ 0} không gian Banach X gọi C0 − nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) (T1) T ( t + s ) = T ( t )T (s), ∀t , s ≥ (T2) T ( 0) = I (I toán tử đồng nhất) (T3) limT ( t ) x = t x, ∀x∈ X , t , t ≥ T (0) t →t0 Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh) Toán tử A: D ( A ) ⊂ X → X , xác định Ax := T ' ( 0) x := limT (h )− I h→0 h với miền xác định D(A)=DT ' x, T (h)− I ( 0) := x ∈ X ∃lim h→0 { h x , } gọi toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh T (t ), t ≥ Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức) (A, D ( A)) toán tử đóng khơng gian Banach X , tập giá trị λ ∈ cho ( λI − A) song ánh (tức ( λI − A)−1 tốn tử tuyến tính bị chặn X ), gọi tập giá trị quy A (tập giải toán tử A ), ký hiệu Tập σ ( A) = \ ρ ( A) gọi tập phổ toán tử -4- A: D ( A ) ⊂ X → X A Khi ( λ I − A )−1 := R A (λ ) = R (λ, A) với λ ∈ρ ( A) gọi giải thức A Mệnh đề 1.1.1 Đối với tốn tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh {T (t ), t ≥ 0}, ta có tốn tử tuyến tính; ∀x ∈ X , lim+ ∫ T ( s ) xds = x ; tt t→0 Cho x∈D ( A), ta có T (t ) x ∈D ( A) d d t (1.1.1) T ( t ) x = T ( t ) Ax = AT ( t ) x với ∀t ≥ ; t Cho ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có ∫ T ( s )xds ∈D ( A); (1.1.2) (1.1.3) Cho ∀t ≥ ta có t T ( t ) x − x = A∫ T ( s )xds x∈ X , (1.1.4) t = ∫ T ( s ) Axds x∈D ( A) (1.1.5) Chứng minh Hiển nhiên, T (t) toán tử tuyến tính tính chất giới hạn A ( x) = lim T (h ) x − x + h h→0 Đặt y = t t t T ( s )xds , ∀x ∈ X , ∀t > Vì lim T ( t ) x = x suy ∫ t→0 + ε ∀ε > 0, ∃ δ > : < t < δ suy T ( t ) x − x < Theo định nghĩa tích phân, ∀ε > tồn phân hoạch [ 0,t] -5- s0 = < s1 < < sn = t cho t n ∫T ( s ) xds − ∑T ( αi ) s ≤ i x i=1 Với ∀t : < t < δ ta có t 1 ε t, với αi ∈ [ si −1 − si ], i = t n 1, n n ∫0 T ( s ) xds − x ≤ ∫ T ( s ) xds − ∑ T ( α i ) x si + ∑ T ( αi ) x si − x i=1 t t t t i=1 < ε + ∑ T (αi ) x − x si < ε ε + = ε n i=1 t 2 lim y = lim t T ( s )xds = x Từ suy t→0 + t + t→0 t ∫0 Lấy x∈D ( A), từ định nghĩa toán tử sinh A suy lim T ( t + h ) x − T (t ) x = T ( t ) lim T (h ) x − = T ( t ) Ax x + + h →0 h h→0 h Vậy lim T ( h )T ( t ) x −T ( t ) tồn Theo định nghĩa D ( A) ta có x + h→0 h T ( t ) x ∈D ( A) AT (t ) x = T (t ) Ax Với x∈ X , ∀t ≥ ta có t T h = = ( )∫ T ( s ) xds 1 t t ∫ T ( h + s ) xds − ∫ T ( s ) xds h 0h 1t+ h t ∫ T ( s ) xds − ∫ T ( s ) xds h h t ∫ T ( s ) xds + h h h h = T ( s ) xds − h = h t ∫ 1t+ h t 1t+ h h h ∫ T ( s ) xds − h t h ∫ T ( s ) xds − 1h ∫T ( s ) xds 1h t ∫ T ( s ) xds − ∫ T ( s ) xds -6- = 1h h ∫ T ( t + s ) xds − ∫ T ( s ) xds h h 0 =T(t) 1h ∫ T ( s ) xds − 0h h 1h + ∫T ( s ) xds → T ( t ) x − x h → (Do (1.1.1)) t t Suy ∫ T ( s )xds ∈D ( A) T ( t ) x − x = A∫ T ( s )xds với ∀x ∈ X Nếu x∈D ( A), s →T ( s) T (h ) x − hội tụ 0,t đến hàm x h s →T ( s ) A ( x) h → 0+ (do T (s ) ≤ M , ∀s ∈ 0,t ) Do T ( t ) x − x = A t T ( s )xds = lim T ( h ) t T ( s )xds − t T ( s )xds ∫ h→0 h ( T ( ) − I ) t T ( s )xds = lim+ = lim+ h h →0 + ∫ h ∫ ∫ t ∫T(s) (T ( h )− I )xds h h→0 t = ∫ T ( s ) Axds t Vậy T ( t ) x − x = ∫ T ( s ) Axds với ∀x∈D ( A) { Mệnh đề 1.1.2 Đối với toán tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh T (t ), t ≥ T (t ) T ( s ) = T (s )T (t ) với ∀t , s ≥ ; } , ta có T toán tử bị chặn mũ, tức là: ∃K ≥ 1, ω ∈ , ∀t ≥ : T (t ) ≤ Keωt ; D (A) = X A tốn tử đóng; Với ∀λ ∈ : Reλ > ω , ∃ ( λ I − A ) −1 := (1.1.7) RA ( λ ) ∞ R A ( λ) x = ∫ e −λtT ( t )xdt , x ∈ X (1.1.8) Hơn nữa, H ∈C { } , với ∀x∈ X , ≤ t 0, x∈ 0,∞) ∫ Trường hợp RA ( λ ) thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida Vì D ( A) ≠ X nên A khơng sinh C − nửa nhóm khơng gian X = C 0, ∞) − nửa nhóm không gian Tuy nhiên A sinh C0 X = C0 0,∞) (không 0,∞) triệt tiêu 0) Từ (1.1.8) ta tìm gian hàm liên tục 0,∞) sinh A xác toán tử tạo nên C0 − nửa nhóm khơng gian X = C0 f) định bởi: (T (t) x≥t (x):= f (x −t ), ≤ x ≤ t 0, Từ chứng minh A tốn tử sinh nửa nhóm 1− lần tích hợp V xác định bởi: x −t ∫ − (V ( t ) f ) ( x ) = f ( s )ds , x ≥ t x ∫ f ( s )ds , ≤ x ≤ t, x toán (2.4.2) (1,ω)− đặt chỉnh Ví dụ 2.4.2 (Lớp tốn tử sinh nửa nhóm tích hợp) Xét tốn Cauchy u ' (t ) = Au (t ), t ≥ 0, u (0) = u0 Đặt p { ( )L× X= L p ( ), u = u1 p L + u u } , u = L p u Xét toán tử A xác định bởi: - 51 - Au = −h − f u, −h với miền xác định u D(A)= ∈X gu1 + fu ∈ L p ( ) , gu ∈L p ( ), x γ , γ > u h( x ) = 1+ x , f ( x ) = Xét toán tử t V(t)=∫ e As ds , t ≥ 0, tương đương V ( t )u = 1 − e − ht tfe − ht + ( e −ht −1) f / h u, với u ∈ X h 1− e −ht - Nếu < γ ≤ , họ tốn tử tuyến tính bị chặn {V ( t ), t ≥ 0} thỏa mãn điều kiện (V1)-(V4) nên nửa nhóm 1− lần tích hợp nhận A tốn tử sinh vì: λI−R(λ) −1 =λI− ∞ ∫ λe −λtV ( t )dt −1 = λI − λ+ h − f −1 ( λ + h)2 = A λ+h Tổng quát hơn, γ ≤ hàm tốn tử Vk (t ), t ≥ xác định bởi: t Vk ( t ) u = ∫ Vk−1 ( s )uds, u ∈ X , k ≥ 2, V1 =V , nửa nhóm K − lần tích hợp X nhận A toán tử sinh Trường hợp đặc biệt - 52 - t V2 ( t ) u = ∫ V ( s )uds 1− − ht t− e h =1 h − tfe −ht − ht 1− −ht tf + 1− e f+ e f− h h t − − e−ht h xác định nửa nhóm − lần tích hợp V2 X - Nếu γ > 2, ta có ( λI − A) −1 u = ( λ + g ) −2 ( λ + g ) Nhận thấy ( λ I − A) −1 −f u, λ > λ+g , λ > không bị chặn, ∀λ > khơng thuộc ρ ( A) Khi với ∀n tốn tử A khơng sinh nửa nhóm n − lần tích hợp X Ví dụ 2.4.3 (Nửa nhóm tích hợp liên quan đến tốn Cauchy cho phương trình truyền sóng) Phương trình truyền sóng: Cho Ω = (0,1), trường hợp tổng quát Ω tập mở Xét toán Cauchy-Diriclet X = L 2 ∂x u ( 0,t ) = u (1,t ) = 0, u ( x ,0) = u ∂ u ∂ t( ( x ), x,0) = u (Ω): ∂u ( x , t ) − ∂ u (x ,t ) = 0, t ∈ [ 0, Τ ] , x ∈ Ω ∂t2 n ( x ) Đặt - 53 - (2.4.3) ∞ u0 = dãy e k ∑u k k=1 ∞ ek u = ∑u 1k ek , k=1 { } k=1 sở trực chuẩn L ∞ ek = (Ω): sin k π x , k ∈ Ta tìm nghiệm (2.4.3) u(t) ∞ = ∑ u k ( t )e k , k =1 u k ( t ) = u k0 cos( k π t ) + u 1k sin (k π t ) , k ∈ kπ Do ta viết dạng hình thức ∞ u ( t ) = ∑u k ( t )ek k =1 ∞ = ∑ cos( k π t )u k0 ek k =1 ∞ ( sin k π t u1e,k∈ +∑ k =1 ) k kπ k Xét toán Cauchy '' u ( t ) = Bu ( t ), t ≥ 0, u ( 0) = x, u ' (2.4.4) ( 0) = y, 2 không gian Banach X = L (Ω), với tốn tử tuyến tính B = d dx với miền xác định D ( B ) = H ( Ω ) ∩ H 01 ( Ω ) ⊂ L2 ( Ω) ≡ X Ta định nghĩa tốn tử tuyến tính bị chặn X C (t ) x := ∑cos(kπ t )xk ek ∞ , S (t ) y := ∑ sin ( k π t )yk ek ∞ k =1 k =1 Khi nghiệm tốn (2.4.4) có dạng u (t ) = C (t ) x + S (t ) y, - 54 - kπ = x ∞ ∑ x e k ∞ y = k k=1 ∑ y e k k k=1 Bài tốn (2.4.4) thu gọn dạng toán Cauchy cấp w ' ( t ) = Φw (t ), w ( ) x (2.4.5) = ,t≥0, y u (t ) ∈ L ( Ω ) × w(t)= L2 I Φ= , B ( Ω), u '( t ) D (Φ) = D (B )× L2 (Ω) Nghiệm w ( t ) (2.4.4) viết dạng sau: w(t) C(t) S (t ) x C (t = = C'(t) S'(t) y C'(t với t ≥ x , y ∈ L2 ( Ω) ) x + S (t ) y ≡ T ( t ) x ) x + S '( t ) y , y Với x ∈ L2 ( Ω) ta có S '(t ) x = C (t ) x , ta có C (t ) S (t ) , t ≥ T(t)= C '( t ) C ( t ) T ( t ) khơng xác định nơi X × X với t ≥ , hàm C ( •) khơng khả vi X Do T (t ) khơng C0 − nửa nhóm X Trên khơng gian L2 ( Ω ) × L2 (Ω) ta xét toán tử: S(t) V(t)= ∫ S (τ )dτ t C(t)−I - 55 - , t ≥ S(t) Toán tử bị chặn liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện (V1) - (V4) Định nghĩa 2.1.1 Do {V (t ), t ≥ 0} tạo nên nửa nhóm tích hợp sinh tốn tử Φ Ví dụ 2.4.4 (Nửa nhóm tích hợp cho tốn tử không bị chặn mũ) ∞ Cho X = l2 không gian dãy số {am } ⊂ cho ∑ am < +∞ m=1 Ta định nghĩa toán tử A sau ∞ { Ax:= {am xm} m=1 , am = m + i e m2 − m2 }1/2 Khi tốn tử T ( t ) x = {e a t m xm} = ∞ m1 tạo nên nửa nhóm tốn tử khơng bị chặn Tốn tử t em V ( t ) x = ∫T ( s )xds = bị chặn với ∀t ≥ 0, (do a t am − xm ≡ {bm xm}, { } V ( t ) = sup bm = sup e mt −m = et2 /4 ) m m Khi {V ( t ), t ≥ 0} tạo thành nửa nhóm tích hợp khơng bị chặn mũ Ví dụ 2.4.5 (Nửa nhóm tích hợp n − lần địa phương) Cho X = l2 không gian dãy số {am } ⊂ Ta định nghĩa toán tử A sau ∞ cho ∑ am < +∞ m=1 m m 21/2 m Ax:= {a x }∞ với a = + i 2e − Τ m Τ m m m=1 m với miền xác định D ( A ) = { x ∈ l2 - 56 - Ax ∈l2} , Ta có tập phổ A σ ( A ) = {λ ∈ λ = am , m∈ }, Re λ = Re am = m Τ , nên với ω ∈ Reλ > ω Khi tốn tử T ( t ) x := {e a t m xm } tồn λ ∈σ ( A) cho ∞ tạo nên nửa nhóm khơng m=1 bị chặn Lấy tích phân e amt ta thu nhân tử me −m tiếp tục , n − lần ta thu hàm bị chặn với t ≤ nΤ Từ ta thu nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương V (t) với A toán tử sinh: n t V (t)x= n ∞ ( t − s) n−1 ∫ ( n −1) ! e a s m x ds m m−1 n = a −ne a t Do e m − ∑ ( am ) m p=1 m t n−p (n − p)! xm m m t = e Τ − p a t e a m = , suy m m t −n n n − Τ m e ∑ m p e− pm p=1 n−1 t t n−p ( n − p) ! ≤ ( t − s) as e m ds ∫ ( n −1) ! m t −n n ≤m e Τ n + ∑ m p e− pm p=1 t Vậy Vn ( t ) = sup ∫ m∈N ( t − s) t n−p ( n − p )! n−1 ( n −1)! e a s m ds bị chặn ≤ t ≤ nΤ - 57 - KẾT LUẬN Luận văn bao gồm vấn đề sau: Trình bày phương pháp C0 − nửa nhóm, ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn Cauchy trừu tượng (CP) Trong điều kiện (MFPHY) sử dụng tiêu chuẩn để xét tính đặt chỉnh tốn Trình bày lớp nửa nhóm n − lần tích hợp mở rộng lớp nửa nhóm C0 , ứng dụng để nghiên cứu tính (n,ω ) − đặt chỉnh toán Cauchy trừu tượng (CP) phương pháp nửa nhóm tích hợp địa phương bị chặn mũ, khơng suy biến để nghiên cứu tính n − đặt chỉnh toán Cauchy địa phương (LCP) Luận văn lấy ví dụ cụ thể minh họa dựa phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu phương trình truyền nhiệt phương trình truyền sóng Bài tốn Cauchy trừu tượng nghiên cứu mở rộng không gian trừu tượng nhiều phương pháp tiếp cận ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh toán - 58 - Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006 [2] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [3] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [4] Hồng Tụy, Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2005 [5] Irina V Melnikova Alexei Fininkov, Abstract Cauchy Problems: Three Approaches, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton London NewYork Washington, 2001 [6] A.Pazy, Semigroups of Linear Operators and Appications to Partial Differential Equation, Springer-Verlag, Berlin, 1983 [7] Klaus-Jochen Engel, Raimer Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Text Math 194 Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2000 [8] Jan Van Neerven, The Asymprotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators, Mathematisches Institut Universitat Tubingen Auf der Morgenstelle 10 D-72076 Tubingen Germany - 59 - ... trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm phương pháp nửa nhóm n − lần tích hợp khơng gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Cauchy Luận văn gồm hai chương: Chương - Trình bày khái... C0 − nửa nhóm Đây loại nửa nhóm đơn giản số lớp tốn tử khơng bị chặn tốn Cauchy tương ứng đặt chỉnh Từ đưa số ví dụ minh họa Chương - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng lớp nửa nhóm C0 nửa nhóm n... Hadamard, tốn Cauchy gọi đặt chỉnh tồn nghiệm, nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện toán Phương pháp nửa nhóm phát triển mạnh mẽ có vai trò quan trọng việc giải tốn Cauchy cho phương trình