ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 1.2 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi trơn 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.3 Ánh xạ j-đơn điệu Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 11 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 11 1.2.2 Phương pháp lặp hội tụ 12 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 2.1 23 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 24 2.2 2.1.1 Bài toán 24 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ 24 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 25 2.2.1 Mô tả phương pháp 25 2.2.2 Sự hội tụ 25 iv Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng C[a, b] khơng gian hàm liên tục đoạn [a, b] lp , ≤ p < ∞ không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], ≤ p < ∞ khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] lim supn→∞ xn giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu đưa lần Hartman Stampacchia vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX Mô hình tốn tốn bất đẳng thức biến phân, kí hiệu VIP(A, C), có dạng Tìm x ∈ C cho: hA(x), y − xi ≥ ∀y ∈ C, (1) C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H không gian Banach thực E A : (D(A) = C) → C ánh xạ mục tiêu xác định C Người ta thường nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân đề xuất phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Cho đến có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hữu hiệu xây dựng, chẳng hạn phương pháp chiếu Lions, phương pháp nguyên lý toán phụ Cohen, phương pháp điểm gần kề Martinet, phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez Attouch phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh Ở Việt Nam, bất đẳng thức biến phân chủ đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhóm nghiên cứu GS Nguyễn Bường (Viện Cơng nghệ Thơng tin), GS Nguyễn Đơng n (Viện Tốn học), GS Lê Dũng Mưu (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội), GS Phạm Kỳ Anh (Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), GS Phan Quốc Khánh (Trường Đại học Quốc tế thành phố Hồ Chí Minh) Mục đích đề tài luận văn nhằm tổng hợp trình bày lại hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn, họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Banach báo [3] [5] công bố năm 2008 2015 Trong trình học tập thực luận văn này, thầy cô Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cô Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - Người tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Lê Ngọc Tân Chương Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Kiến thức chương viết dựa kết Ceng cộng công bố [3] tài liệu tham chiếu 1.1 Khơng gian Banach Cho E không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu E ∗ Ta dùng ký hiệu k.k cho chuẩn E E ∗ viết tích đối ngẫu hx, x∗ i thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ điểm x ∈ E, tức hx, x∗ i = x∗ (x) Kiến thức mục tham khảo từ tài liệu [1], [2], [6] [7] 5 1.1.1 Không gian Banach lồi trơn Ký hiệu SE := {x ∈ E : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach E Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SE , x 6= y, ta có k(1 − λ)x + λyk < với λ ∈ (0, 1) Chú ý 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ E, x 6= y, mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Ví dụ 1.1.3 Khơng gian E = Rn với chuẩn kxk2 xác định 1/2 X n , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn kxk2 = xi i=1 không gian lồi chặt Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ Ví dụ 1.1.5 Khơng gian Hilbert H khơng gian lồi Vì từ đẳng thức hình bình hành ta tính tốn r x + y ε2 ≤1− 1− 1− Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach E gọi không gian trơn với điểm x nằm mặt cầu đơn vị SE E tồn phiếm hàm gx ∈ E ∗ cho hgx , xi = kxk kgx k = 6 Ví dụ 1.1.7 Các khơng gian lp , Lp [a, b], < p < ∞ không gian Banach trơn Định nghĩa 1.1.8 (i) Chuẩn không gian Banach E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn kx + tyk − kxk lim (1.1) t→0 t tồn với x ∈ SE , ký hiệu hy, 5kxki Khi 5kxk gọi đạo hàm Gâteaux chuẩn (ii) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE , giới hạn (1.1) đạt với x ∈ SE (iii) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn với y ∈ SE (iv) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet giới hạn (1.1) tồn với x, y ∈ SE Ví dụ 1.1.9 Khơng gian Hilbert H khơng gian có chuẩn khả vi Gâteaux với 5kxk = x , kxk x 6= Ký hiệu 2C tập tập tập hợp C Ta định nghĩa phép chiếu mêtric sau Định nghĩa 1.1.10 Cho C tập khác rỗng không gian Banach E Ánh xạ PC : E → 2C xác định n o PC (x) = y ∈ C : kx − yk = d(x, C) ∀x ∈ E gọi phép chiếu mêtric từ E lên C 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ∗ Định nghĩa 1.1.11 Ánh xạ J : E → 2E (nói chung đa trị) xác định Jx = {u ∈ E ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}, ... đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 2.1 23 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 24 2.2 2.1.1 Bài toán ... bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 11 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 11 1.2.2 Phương pháp lặp hội tụ 12 Bất đẳng thức biến phân. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ NGỌC TÂN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn