phuong trinh luong giac thi dh cuc hot

Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: sin cos tan cot cos sin x x x x x x ∗ = ∗ = Bảng giá trị của các góc đặc biệt: Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 ( 6 π ) 45 0 ( 4 π ) 60 0 ( 3 π ) 90 0 ( 2 π ) Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: ( ) ( ) + α + α = ∀α∈ π   + α α = ∀α ≠ ∈  ÷   π   + = + α ∀α ≠ + π ∈  ÷ α   + = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k ,k Z 2 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cotg k ,k Z sin Hệ quả: • sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x • tanx= 1 cot x ; 1 cot tan x x = • Sin 4 x + cos 4 x = 1 - 2sin 2 x.cos 2 x • Sin 6 x + cos 6 x = 1 - 3sin 2 x.cos 2 x C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π” D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb  tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b  tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b 2. Công thức nhân đôi:  sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sina.cosa= sin2 2 a  cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a  tan2a = 2 2tan 1 tan− a a 3. Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin 3 a  cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc:  cos 2 a = 1 cos 2 2 a+  sin 2 a = 1 cos 2 2 a−  tg2a = 1 cos 2 1 cos2 a a − + 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan 2 x :  sinx = 2 2 1 t t+  cosx = 2 2 1 1 t t − +  tanx = 2 2 1 t t−  cotx = 2 1 2 t t − 6. Công thức biến đổi tổng thành tích  a b a b cosa cos b 2 cos cos 2 2 + −     + =  ÷  ÷      a b a b cosa cos b 2 sin sin 2 2 + −     − = −  ÷  ÷      a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 + −     + =  ÷  ÷      a b a b sin a sin b 2 cos sin 2 2 + −     − =  ÷  ÷      sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 ± ± = ≠ + ∈ a b a b a b k k Z a b π π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin + + = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin − + − = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 + = + = − a a a cos a π π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 − = − = − + a a a cos a π π  cos sin 2 ( ) 2 sin( ) 4 4 − = + = − − a a cos a a π π 7. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b• = − + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b• = − − + Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 1 sinα 2 π 0 π 3 2 π cosα 0 α Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b • = + + − [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b• = + − − II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản: 2 ) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k 2 c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k u v k a b u v k = + π  ⇔ ± π , κ∈ ⇔ ∈  = π− + π  ⇔ π ∈ ⇔ π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ Chú ý: a/ Nếu cung α thoả sin 2 2 a α π π α =   − < <   thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình sinx = a ⇔ sin 2 sin 2 x arc a k k Z x arc a k π π π = +  ∈  = − +  b/ Nếu cung α thoả cos 0 a α α π =   < <  thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình cos x = a ⇔ arccos 2 arccos 2 x a k k Z x a k π π = +  ∈  = − +  c/ Nếu cung α thoả tan 2 2 a α π π α =    − < <   thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình tanx = a ⇔ arctan ,x a k k Z π = + ∈ d/ Nếu cung α thoả cot 0 a α α π =   < <  thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình cotx = a ⇔ arccot ,x a k k Z π = + ∈ Một số phương trình đặc biệt: sin 0 sin 1 2 sin 1 2 2 2 cos 0 1 2 1 2 2 x x k x x k x x k x x k cosx x k cosx x k π π π π π π π π π π ⊕ = ⇔ = ⊕ = ⇔ = + ⊕ = − ⇔ = − + ⊕ = ⇔ = + ⊕ = ⇔ = ⊕ = − ⇔ = + 2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: sin cosa x b x c+ = Phương pháp giải: 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos a b c a x b x c x x a b a b a b + = ⇔ + = + + + Đặt 2 2 2 2 sin cos a a b b a b α α  =  +    =  +  đưa phương trình về dạng: 2 2 cos( ) c x a b −β = + rồi tiếp tục giải. Điều kiện có nghiệm 2 2 2 a b c+ ≥ 3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác. Dạng: a. t 2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx. Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp. Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện 1t ≤ . 4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx: * Dạng: 2 2 sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + = (1) * Cách giải: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 2 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔ 2 x k π π = + có là nghiệm của (1) hay không ? TH2: cosx ≠ 0 chia cả 2 vế phương trình cho 2 cos x , thay ( ) 2 2 1 tan cos d d x x = + , sau đó đặt tant x= rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t rồi tiếp tục giải. 5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng: ( ) ( ) sin cos sin .cos 0A x x B x x C± + + = Cách giải: Đặt ( ) 2 1 sin cos ; 2 2 sin .cos 2 t t x x t x x − = ± − ≤ ≤ ⇒ = ± . Đưa phương trình về phương trình đại số theo t: 2 1 0 2 t At B C   − + ± + =  ÷   BÀI TẬP: I – Phương trình lựơng giác cơ bản : Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. sin 2 cos 2 0x x − = 2. sin 3 2 cos3 0x x+ = 3. 2 4sin 1x = 4 . 2 2 sin sin 2 1x x+ = 5. sin 4 1 cos 6 x x = 6. sin 2x = 2cos x 7. = sin .cot 5 1 cos 9 x x x 8. tan3 tan 5x x = 9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 10. sin 2 2 cos 1 sin x x x = − + Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm 3 ; 2 x π π −   ∈     của phương trình 1 sin cos cos .sin 8 8 2 x x π π + = II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. cos 2 3sin 2x x+ = 2. 4 2 4sin 12 cos 7x x+ = 3. 2 25sin 100 cos 89x x+ = 4. 4 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2x x x x+ = 5. + = − 6 6 2 2 sin cos 1 tan 2 cos sin 4 x x x x x 6. + = 2 3 tan 9 cos x x Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1 1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số ) 2. sin 2 x – ( 2m -1) sin x + m 2 -1 = 0 ( m là tham số ) Bài 3 : Giải các phương trình 1) 2+cos2x = -5sinx 2) sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97) 3) 2+cosx = 2tg 2 x (Học viện ngân hàng98) 4) cosx = cos 2 ( 4 3x ) (ĐH hàng hải97) 5) tg2x + sin2x = 2 3 cotgx (ĐH Thương mại 99) 6) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99) 7) x x sin5 5sin =1 (ĐH Mỏ địa chất 97) 8) 3cos4x – 2cos 2 (3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98) 9) 2sin 3 x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98) 10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99) 11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D) Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 3 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 12)cho phương trình :sin 4 x + cos 4 x - 4 1 sin 2 (2x) + m = 0 a.Giải phương trình khi m= 2 b.tìm m để phương trình có nghiệm (Trường Hàng không VN 97 13) 3cos 6 (2x) + sin 4 (2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99) 14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98) 15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D) 16) 4cos 3 x + 3 2 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D) 17) sin 2 x sinx - cos 2 x sin2x + 1 = 2cos2( 23 x − π ) (ĐHSP TP.HCM 2000) 18) x x xx cos4 sin 2sin12sin1 = ++− (ĐH luật HN 2000) 19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000) 20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000) 22) 2cos2x – 8cosx + 7 = xcos 1 (ĐH NNgữ HN 2000) 23) 5 5sin 3 3sin xx = (ĐH Thủy lợi 2000) 24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2 π ) của phương trình 5(sinx + ) 2sin21 3sin3cos x xx + + = cos2x + 3 (KA-2002) 25) cotgx – tgx + 4sin2x = x2sin 2 (KB-2003) 26)sin4x + cos4x + cos( 4 π −x ).sin(3x - 4 π ) - 2 3 = 0 III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. sin 3 3 cos3 2x x+ = 2. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 3. 2sin17 3 cos5 sin 5 0x x x+ + = 4. 2sin (cos 1) 3 cos2x x x− = 5. 3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x− = − 6. 3cos sin 2 3(cos2 sin )x x x x− = + 7. sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + = Bài 2 : Cho 3sin 2 2 cos 2 x y x = + 1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y Bài 3 : Giải phương trình 1) 3 sin2x + cos2x = 2 ( ĐH Huế 99) 2) 2cos2x + sin2x = 2 3) 3cos3x + 4sinx + 1sin4cos3 6 ++ xx = 6 4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1) 5) cosx + 3 sinx = 2cos2x 6) Tìm       ∈ 7 6 , 5 2 ππ x thoả phương trình cos7x - 3 sin7x= – 2 7) cos7x.cos5x – 2 sin2x = 1 – sin7x.sin5x 8) 2cosx(sinx – 1) = 3 cos2x Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 4 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 9) 3sinx – 3 cos3x = 4sin 3 x – 1 10) 3 sin(x – 3 π ) + sin (x + 6 π ) = 2sin2006x 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 14) ) 6 2cos(5)2cos32(sin 2 π −=−+ xxx 15) 2cos 3 x + cos 2x + sinx = 0 16) 24sin3)cos(sin4 44 =++ xxx 17) 1+ sin 3 2x + cos 3 2x = 2 1 sin4x 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+ 3 cosx) 19) xxx cossincossin 33 −=+ 20) 4 1 cos) 4 (sin 44 =++ xx π IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình 1) 2 2sin 2 2 3 sin 2 cos 2 3x x x− = 2) 1 4sin 6 cos cos x x x + = 3) 3 sin 3 2 cosx x= 4) 2 2 4sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ − = 5) 3 3 cos sin sin cosx x x x+ = − 6) 3 8cos ( ) cos 3 3 x x π + = 7) 3 1 8cos sin cos x x x = + 8) 3 2 sin ( ) 2sin 4 x x π + = 9) sin 3 cos3 2 cos 0x x x + + = Bài 2 : Giải phương trình : 1) 3 sinx+cosx = xcos 1 (ĐH An ninh 98) 2) sin 2 x – 3cos 2 x + 2sin2x = 2 3)sin3x + cos3x = sinx – cosx 4) 2cos 3 x = sin3x (HV KT Quân sự 97) 5) sin 2 x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 (ĐH NN I HN 99) 6) sinx – 4sin 3 x + cosx = 0 (ĐH Y Khoa HN 99) 7) sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x (ĐH YD HCM 97) 8) cos 3 x – 4sin 3 x – 3cosx.sin 2 x + sinx = 0 (ĐH NT 96) 9) 0sincos.sin4cos3 4224 =+− xxxx cotg x – 1= xx tgx x 2sin 2 1 sin 1 2cos 2 −+ + (ĐHBKA-2003) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 x xx xx 2cos2 cos.4sin5 cos2sin6 3 =− )cos.sin2(cos3sin2sin. 22 xxxxxtgx +=− V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phương trình 1 . 12(sin cos ) 4 sin cos 12 0x x x x+ − − = 2 . sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + = 3 . 5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x− − + + = 4 . 1 sin 2 (sin cos ) 0 2 x x x+ − + = 5 . 5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x− − − + = 6 . 3 3 2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ − + + = 7 . 1 1 (sin cos 1)(sin 2 ) 2 2 x x x − − + + = 8 . sin cos 4sin 2 1x x x− + = 9 . sin cos sin 2 0x x x+ − = 10 . 2(sin cos ) tan cotx x x x+ = + 11 . cot tan sin cosx x x x − = + 12 . 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1 sin cos 1 x x x x x x + + = − + − Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0 1. Giải phương trình với m = - 2 2. Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 5 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1 Bài tập 4: 1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D) 2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97) 3) xxx 2sin2cossin +− = 1 (ĐH An ninh 98-A) 1) 3tg 3 x – tgx + ) 24 (cos8 cos )sin1(3 2 2 x x x −− + π = 0 (Kiến trúc HN 98) 2) sinx+ sin 2 x+sin 3 x+sin 4 x = cosx+cos 2 x+cos 3 x+cos 4 x 3) sin 3 x+ cos 3 x = 1 4) sin 3 x+ cos 3 x + sin2x(sinx + cosx) = 1 5) 1 + sin 3 x+ cos 3 x = 2 3 sin2x (ĐH GT VT 99) 6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97) 7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x a.Giải khi m= -1 b.Ttìm m để phương trình có nghiệm 10) sin 3 x+ cos 3 x = sin2x + sinx + cosx ( ĐH Cảnh sát ND 2000-A) 11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D) 12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A) 13) 1 + sin 3 x- cos 3 x = sin2x VI – Phương trình lượng giác khác A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ Bài 1 : Giải các phương trình 1. + + = 2 1 cot 1 0 sin x x 2. − + = 2 1 2 5 tan 0 2 cos 2 x x B- Sử dụng công thức hạ bậc Bài 2 : Giải các phương trình 1. 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + 3. 2 2 2 sin sin 2 sin 3 0x x x+ − = 2. 2 2 2 3 sin sin 2 sin 3 2 x x x+ + = . 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x+ = C – Phương trình biến đổi về tích Bài 3 : Giải phương trình 1 . cos cos2 cos3 cos 4 0x x x x + + + = 2. 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x+ + = + + 3. 3 2cos cos 2 sin 0x x x+ + = 4 . cos cos3 2cos5 0x x x + + = 5 . 3 3 cos sin sin 2 sin cosx x x x x+ = + + 6 . 2 3 sin cos sin 0x x x+ + = 7. 2 1 sin tan 1 cos + = + x x x 8 . 3 3 sin cos sin cosx x x x− = + 9 . cos cos5 8sin sin 3 cos3 cos x x x x x x − = 10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x D- Phương trình lượng giác có điều kiện Bài 1 : Giải các phương trình sau Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 6 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 1. 3 1 8cos sin sin x x x = + 2. 2 1 cos 2 1 cot 2 sin 2 x g x x − + = 3. 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 tan( )tan( ) 4 4 x x x x x π π + = − + 4. 2 cos (1 cot ) 3 3cos 2 sin( ) 4 x x x x π + − = − 5. 2 cos 2sin cos 3 2cos sin 1 x x x x x − = − − Bài 2: Giải các phương trình 1. tan 3x= tan 5x 2. tan2xtan7x=1 3. sin 4x 1 co s 6x = 4. sin cot5 1 cos9 = x x x 5. 3 sin( ) cos2 4 sin( 2 ) cos( ) 2 4 x x x x π π π + = − + 6. cos3 .tan5 sin 7 = x x x Bài 3 : Giải các phương trình 1. sin sin 2 sin 3 3 cos cos 2 cos3 x x x x x x + + = + + 2. 2 1 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin cos 1 x x x x x + − + = − 3. 3 3 sin cos cos2 2cos sin x x x x x + = − 4. 1 1 2 2 sin( ) 4 sin cos x x x π + = + 5. 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 − = + − x x x x x 6. 2 3tan3 cot 2 2tan sin 4 + = +x x x x 7. 1 1 cos sin cos sin x x x x + = + 8. 2 2 2 2 1 1 cos sin cos sin x x x x − = − Bài 4: a) Tìm các nghiệm ;3 2 x π π   ∈  ÷   của phương trình 5 7 sin(2 ) 3cos( ) 1 2sin 2 2 x x x π π + − − = + b) Tìm các nghiệm [ ] 0;2x π ∈ của phương trình cos3 sin3 5(sin ) cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x + + = + + c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện 3 2 2 4 x π π − ≤ của ph tr: sin cos 1 sin 2 2 x x x− = − d) Tìm các nghiệm thoã mãn 2x < của ph tr: 2 2 1 (cos5 cos7 ) cos 2 sin 3 0 2 x x x x+ − + = Phương trình lượng giác có chứa tham số Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau : * Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau : Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x) Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức * Với x D∈ thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t T∈ * Với mỗi t T∈ thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x D∈ Xác định m để các phương trình sau : 1. Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm ; 3 2 x π π   ∈ −  ÷   2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm 0 ; 2 x π   ∈  ÷   Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 7 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ; 2 x π   ∈  ÷   4. ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0 5. m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm 0 ; 4 x π   ∈  ÷   6. cos 4x - 2 4tan 1 tan+ x x = 2 m có nghiệm 0 ; 2 x π   ∈  ÷   7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ; 2 x π   ∈  ÷   8. Cos 2x = m cos 2 x 1 tan+ x có nghiệm 0; 3 π       9. tan 2 x + cot 2 x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm 10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm Bài toán 2 : Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm x∈D Tìm m để các phương trình sau thoã mãn : 1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt ; 2 2 x π π −   ∈  ÷   2. m sin 2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x 3 0; 2 x π   ∈  ÷   3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm [ ] 0;x π ∈ 4. ( 1- m) tan 2 x - 2 1 3 0 cos m x + + = có nhiều hơn một nghiệm 0; 2 x π   ∈  ÷   5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2 x có đúng hai nghiệm 0; 2 x π   ∈     6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm 0; 2 x π   ∈  ÷   7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm ( ) 0;3x π ∈ 8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm ;3 6 x π −   ∈  ÷   VII Phương trình lượng giác đặc biệt 1.Phương pháp tổng bình phương Sử dụng    = = ⇔=+ 0 0 0 22 B A BA 1) 0432cos343cos4 22 =++−+ tgxxxtgx 2) 02cos2sin2 2 =+−− xxxx 3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin 3 x + 1) = 0 4) xyy 2sin54 2 =+− 2. Phương pháp đánh giá Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu có số thực a sao cho )()( xgaxf ≤≤ thì    = = ⇔= axg axf xgxf )( )( )()( Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 8 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 1) x x x cos 1 cos2 cos += 2) cosx + 22cos = x 3) ln(sin 2 x) – 1+ sin 3 x = 0 ( ĐH Huế 99-A) 4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0 ( ĐH kiến trúc HN97) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. (Tổng hợp luyện thi đại học) 1/ cos 2 3x.cos2x – cos 2 x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 3/ cos 4 x + sin 4 x + cos . 4       − π x sin       − 4 3 π x - 2 3 = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan 2 x 5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx. 6/ cotx – 1 = 2 1 sin tan1 2cos 2 −+ + x x x sin2x. 7/ cotx – tanx + 4sin2x = x2sin 2 8/ 0 2 costan. 42 sin 222 =−       − x x x π 9/ 32cos 2sin21 3sin3cos sin5 +=       + + + x x xx x với 0 < x < 2 π 10/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 ≤≤ x 14 12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ 26sin.222sin.3 2 −=− xx . 14/ cos3x + sin7x = 2. 2 9 cos2 2 5 4 sin 22 xx −       + π 15/ sin 3 x + sinx.cosx = 1 – cos 3 x 16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos 2 x = 2 12 + 18/       −=       + 24 sin.3 42 3 sin xx ππ 19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1) 20/ 4cosx – 2cos 2 x – cos2x – cos4x = 0 21/ 1 2cos1 2sin = + + x x 22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos 4 x – sin 4 x) + cos4x – cos2x = 0 24/ (5sinx – 2)cos 2 x = 3(1 – sinx)sin 2 x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx 26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/       +=       ++       + 4 cos 6 cos 3 cos πππ xxx 28/ sin 3 x + cos 3 x = sinx – cosx 29/ xxx tansin.2 4 sin.2 22 −=       − π 30/ 4cos 2 x – 2cos 2 2x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = xx cos13sin 2 1 ++ . 32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin 2 x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x 34/ 3 2coscos 2sinsin = − − xx xx 35/ sinx + sin2x + sin3x = 0 36/ x xx xx 2tan 8 13 sincos sincos 22 66 = − + 37/ cos 2 x.sin 4 x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1 38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan 2 x – 1) = 2 40/ 3cos4x – 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 41/ 1cos2 42 sin2cos)32( 2 −       −−− x x x π = 1 42/ )sin1(2 cossin )1(coscos 2 x xx xx += + − 43/ cotx = tanx + x x 2sin 4cos2 Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 9 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 44/ x x x xx 2sin.8 1 2cot 2 1 2sin.5 cossin 44 −= + 45/ x xx x 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1tan − =+ 46/ tanx + cosx – cos 2 x = sinx(1 + tanx.tan ) 2 x 47/ sin( 1)cos. = x π 48/ cos3x – sìnx = 3 (cos2x - sin3x) 49/ 2cos 2 x - sin2x + sinx – cosx = 0 50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos 2 x.sin 2 x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1 54/ 8.sin 2 x + cosx = 3 .sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos 3 x – cos3x = 0 56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos 2 x 58/ 0cossin1 =++ xx 59/ ( ) 1sin.sin22cossin1cos3 2 −=−− xxxxx 60/ 2cos.3 2 cos 2 sin 2 =+       + x xx 61/       −=       − + x x x 4 7 sin4 2 3 sin 1 sin 1 π π 62/ 2sin 2 2x + sin7x – 1 = sinx 63/ 0 sin22 cossin)sin(cos2 66 = − −+ x xxxx 64/ cotx + sinx 4 2 tan.tan1 =       + x x 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay: Giải phương trình . 1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : 3 3 2 cos x sin x 2sin x 1+ + = . 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : ( ) ( ) x x x x 4 2 1 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + + − + − + = . 3/ (Dự bị 2 khối B 2007) : ( ) ( ) cos2x 1 2 cos x sin x cos x 0+ + − = . 4/ (Dự bị 2 khối D 2006) : 3 2 4sin x 4sin x 3sin 2x 6 cos x 0+ + + = . 5/ (Dự bị 1 khối B 2006) : ( ) ( ) 2 2 2 2sin x 1 tan 2x 3 cos x 1 0− + − = . 6/ (Dự bị 2 khối A 2006) : 2sin 2x 4 sin x 1 0 6 π   − + + =  ÷   . 7/ (Dự bị 1 khối A 2006) : 2 3 2 3 3 cos3x.cos x sin 3x.sin x 8 + − = . 8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng ( ) 0;π của phương trình : x 3 2 2 4sin 3 cos 2x 1 2 cos x 2 4 π   − = + −  ÷   9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 3 2 2 cos x 3cos x sin x 0 4 π   − − − =  ÷   10/ (Dự bị 1 khối B 2005) : ( ) 2 2 3 sin x.cos 2x cos x tan x 1 2sin x 0+ − + = . 11/ (Dự bị 2 khối B 2005) : cos 2x 1 2 tan x 3tan x 2 2 cos x π −   + − =  ÷   . 12/ (Dự bị 1 khối D 2005) : 3 sin x tan x 2 2 1 cos x π   − + =  ÷ +   . 13/ (Dự bị 2 khối D 2005) : sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 0 + + − − = . 14/ (Dự bị 1 khối B 2007) : 5x x 3x sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 π π     − − − =  ÷  ÷     . 15/ (Dự bị 2 khối A 2007) : ( ) 2 2 cos x 2 3 sin x.cos x 1 3 sin x 3 cos x+ + = + . Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 10 [...]...Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 1 1 − = 2 cot 2x 2sin x sin 2x 17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) : sin 3x − 3 cos x = 2 sin 2x 18/(ĐH K-D-2008): 2sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x 19/(ĐH K-B-2008): sin3 x − 3 cos3 x =... (sin2x + cos2x)cosx + 2 cos2x – sinx = 0 41/(ĐH KD-2010) sin2x - cos2x + 3 sinx – cosx -1 = 0 Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 11 Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học 5x 3x cos + 2(8sin x − 1) cos x = 5 2 2 (1 − 2sin x).cos x = 3 43/(ĐH KA-2009) (1 + 2sin x)(1 − sin x) 42/(CĐ KA,B,D-2010) 4sin 44/(ĐH KB-2009) sinx + cosx.sìn2x + 3 cos 3 x = 2(cos 4 x + sin . Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng. Trang 1 sinα 2 π 0 π 3 2 π cosα 0 α Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b • = + + − [ ] 1 sin .cos