phuong trinh luong giac thi dai hoc 61009 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Giảng viên hướng dẫn : ThS. Bùi Thị Hường Sinh viên thực hiện : Phan Thị Hường Tạ Văn Nam Lớp: QH2007S Toán Giáo dục nói chung và dạy học nói riêng luôn vươn tới hiệu quả tối ưu nên nó rất cần đến phương pháp. Phương pháp ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng hiệu quả của hoạt động dạy học nhà trường. Nếu giáo viên biết lựa chọn và phối hợp các phương pháp cho từng nội dung, đối tượng dạy học thì không những giúp học sinh tiếp nhận tri thức một cách nhẹ nhàng, thoải mái mà còn kích thích được tư duy sáng tạo, gây hứng thú học tập cho học sinh. Chính vì vậy, nhà tương lai học Thiery Gaudin đã nói: “Hãy học phương pháp chứ đừng học dữ liệu”. Song để sử dụng phương pháp có hiệu quả trong dạy học và nhất là trong dạy học giải toán đòi hỏi phải hiểu đúng về nó. Kiến thức Lượng giác là phần kiến thức quan trọng không chỉ trong nhà trường THPT mà còn liên quan chặt chẽ với các vấn đề khác của toán học, vật lý bậc Đại Học. Giải các bài toán Lượng giác là vấn đề tương đối mới mẻ và khó với đa số học sinh cả về tư duy và cách tìm ra lời giải của bài toán. Chính vì vậy, phương pháp dạy học giải các phương trình lượng giác là rất quan trọng. Nhưng hiện nay, trong việc dạy học giải phương trình lượng giác ở THPT, việc đa dạng các phương pháp dạy học dường như rất hạn chế. Chính những điều trên đây, là những sinh viên sắp ra trường trở thành các thầy cô chúng em rất băn khoăn và quyết định nghiên cứu đề tài “Phương pháp dạy học giải phương trình lượng giác ở THPT”. Đề tài nghiên cứu nhằm tìm ra phương pháp dạy học giải phương trình lượng giác ở THPT, để từ đó kích thích tư duy, sáng tạo, nâng cao niềm say mê, không sợ khó, sợ khổ trong quá trình học tập môn toán của học sinh THPT . Hy vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn sinh viên sư phạm sau khi ra trường. Sau khi xác định được vai trò, mục tiêu, nhiệm vụ và các phương pháp nghiên cứu, nhóm đã tiến hành phân công nhiệm vụ tới các thành viên. Các thành viên đã tìm đọc những nguồn tài liệu có liên quan trên internet, trên sách báo và những công trình nghiên cứu trước đây có đề cập đến các phương pháp dạy học giải toán ở THPT. Đồng thời, nhóm cũng đã có những trao đổi ý kiến với các thầy cô giáo các trường: THPT Giao Thủy - Nam Định, THPT Xuân Trường - Nam Định. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian, các lý do chủ quan khách quan khác, báo cáo mới chỉ dừng lại mức độ: - Làm rõ cơ sở của vấn đề tìm ra các phương pháp trong dạy học giải phương trình Lượng giác cụ thể như ONTHIONLINE.NET PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 cos 3x + sin 3x Baøi 1: [ĐH A02] Tìm x ∈ ( 0; 2π ) : sin x + ÷ = cos 2x + + 2sin 2x Baøi 2: [ĐH B02] sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x Baøi 3: [ĐH D02] Tìm x ∈ [ 0;14] cos 3x − cos 2x + 3cos x − = π Baøi 4: [Dự bị ĐH02] Xác định m để phương trình sau có nhiệm thuộc 0; 2 4 ( sin x + cos x ) + cos 4x + sin 2x − m = sin x + cos x 1 = cot 2x − 5sin 2x 8sin 2x ( − sin 2x ) sin 3x 6: [Dự bị ĐH02] tan x + = cos x x 7: [Dự bị ĐH02] tan x + cos x − cos x = sin x 1 + tan x + tan ÷ 2 2sin x + cos x + =a 8: [Dự bị ĐH02] Cho pt sin x − cos x + a) Giải phương trình với a= b) Tìm a để phương trình có nghiệm 9: [Dự bị ĐH02] = sin x 8cos x cos 2x + sin x − sin 2x 10: [ĐH A03] cot x − = + tan x 2 11: [ĐH B03] cot x − tan x + 4sin 2x = sin 2x x π 2 x =0 12: [ĐH D03] sin − ÷tan x − cos 2 4 13: [Dự bị ĐH A03] − tan x ( tan x + 2sin x ) + cos x = Baøi 5: [Dự bị ĐH02] Baøi Baøi Baøi Baøi Baøi Baøi Baøi Baøi Baøi 14: [Dự bị ĐH A03] cos 2x + cos x ( tan x − 1) = Baøi 20: [Dự bị ĐH B03] 3cos 4x − 8cos x + cos x + = x π − cos x − 2sin − ÷ [Dự bị ĐH B03] 4 =1 cos x − cos x ( cos x − 1) [Dự bị ĐH D03] = ( + sin x ) sin x + cos x cos 4x [Dự bị ĐH D03] cot x = tan x + sin 2x [ĐH B04] 5sin x − = 3(1 − sin x) tan x [ĐH D04] ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2x − sin x Baøi 21: [Dự bị ĐH A04] sin x + sin 2x = ( cos x + cox2x ) Baøi 22: [Dự bị ĐH A04] − sin x + − cos x = 3 [Dự bị ĐH B04] ( sin x + cos x ) = cos x + 3sin x Baøi 15: Baøi 16: Baøi 17: Baøi 18: Baøi 19: Baøi 23: ( ) Baøi 24: Baøi 25: Baøi 26: Baøi 27: Baøi 28: Baøi 29: Baøi 30: Baøi 31: Baøi 32: Baøi 33: Baøi 34: Baøi 35: Baøi 36: Baøi 37: Baøi 38: Baøi 39: Baøi 40: Baøi 41: 1 π + = 2 cos x + ÷ cos x sin x 4 [Dự bị ĐH D04] sin 4x sin 7x = cos 3x cos 6x [Dự bị ĐH D04] sin 2x − 2 ( sin x + cos x ) − = [Dự bị ĐH B04] [ĐH A05] cos 3x cos 2x − cos x = [ĐH B05] + sin + cos x + sin 2x + cos 2x = π π 4 [ĐH D05] cos x + sin x + cos x − ÷sin 3x − ÷− = 4 4 3π x − cos 2x = + cos x − ÷ [Dự bị ĐH A05] Tìm x ∈ ( 0; π ) 4sin π 3 [Dự bị ĐH A05] 2 cos x − ÷ − 3cos x − sin x = 4 π 3 [Dự bị ĐH B05] 2 cos x − ÷ − 3cos x − sin x = 4 cos 2x − π [Dự bị ĐH B05] tan + x ÷− tan x = cos x 2 sin x 3π =2 [Dự bị ĐH D05] tan + x ÷ + + cos x [Dự bị ĐH D05] sin 2x + cos 2x + 3sin x − cos x − = ( cos x + sin x ) − sin x cos x [ĐH A06] =0 − 2sin x [ĐH D06] cos 3x + cos 2x − cos x − = x [ĐH B06] cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2 2+3 [Dự bị ĐH A06] cos 3x cos3 x − sin 3x sin x = π [Dự bị ĐH A06] 2sin 2x − ÷+ 4sin x + = 6 2 [Dự bị ĐH B06] ( 2sin x − 1) tan x + ( cos x − 1) = Baøi 45: [Dự bị ĐH B06] cos 2x + ( + cos x ) ( sin x − cos x ) = [Dự bị ĐH D06] cos3 x + sin x + 2sin x = [Dự bị ĐH D06] 4sin x + 4sin x + cos x = 2 [ĐH A07] ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin 2x Baøi 46: [ĐH B07] 2sin 2x + sin 7x − = sin x Baøi 42: Baøi 43: Baøi 44: x x sin + cos ÷ + cos x = 2 2 1 7π + = 4sin − x÷ 3π sin x sin x − ÷ 3 sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x 2sin x ( + cos 2x ) + sin 2x = + cos x Baøi 47: [ĐH D07] Baøi 48: [ĐH A08] Baøi 49: [ĐH B08] Baøi 50: [ĐH D08] Baøi 51: [CĐ 08] sin 3x − cos 3x = 2sin 2x (1 − 2sin x) cos x = [ĐH A09] (1 + 2sin x)(1 − sin x) Baøi 52: Baøi 53: Baøi 54: Baøi 55: [ĐH B09] sin x + cos x sin 2x + cos 3x = ( cos 4x + sin x ) [ĐH D09] cos 5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = [CĐ 09] (1 + 2sin x) cos x = + sin x + cos x abj Giải các phương trình lượng giác sau: 1. ( Cos 2x – Cos 4x ) 2 = 6 + 2 Sin3x ( ĐHAN – 97) 2. 1 3 inx + cosx = Cosx S ( ĐHAN – 98A) 3. ( 1 + Cosx)(1 + Sinx) = 2 ( ĐHAN– 98D) 4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn : 2 os (3 9 16 80) 1 4 C x x x π − − − = ( ĐHAN – 00) 5. 2 osx + 2 10 3 2 2 28 . inxC Sin x Cos x S= + ( ---01) 6. Sin2x+2Cos2x = 1 + Sinx – 4Cosx ( 2001 D ) 7. 1 ( 1 osx osx) os2x = 4 2 C C C Sin x− + ( BK – 97) 8. 1 2( osx - Sinx) t anx+cot2x cot 1 C x = − ( BK 98 A ) 9. 4 4 os 1 (t anx + cotx) 2 2 Sin x C x Sin x + = ( BK 2000A) 10. Sin2x + 2 tanx = 3 ( BK 2001 A) 11. 3 ( ) 2 inx 4 Sin x S π + = ( PVBCTT- 98A) 12. 6 3 4 8 2 os 2 2 3 6 2 os 1 0C x Sin xSin x C x+ − − = (99A) 13. 2 2 inx.Cos4x + 2Sin 2 1 4 ( ) 4 2 x S x Sin π = − − (CS–01A) 14. inx-2 osx -2 1-2Cosx 1-2Sinx S C = ( ĐH CT – 98B) 15. 3- 4Cos 2 x = Sinx ( 2Sinx + 1) 98D 16. 4 3 sinx.Cosx.Cos2x=Sin8x - 00D 17. Sin4x - Cos4x = 1 + 4(Sinx - Cosx) BCVT-98 18. (3 ) 2 . ( ) 4 4 Sin x Sin x Sin x π π − = + 99A 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập R f(x ) = 2Sin 2 x + 4Sinx.Cosx + 5 99A 20. 2 2 4x os os 3 0 1-tan C C x x − = Dược 98A 21. Sin 2 4x – Cos 2 6x = Sin( 10,5 π + 10x) tìm các nghiệm thuộc khoảng (0 ; π /2 ) Dược – 99 22. Tan 2 x. Cot 2 2x. Cot 3x = tan 2 x – Cot 2 2x + Cot3x (01) 23. tìm giá tị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Y = 2(1 + Sin2x . Cos4x) - 1 2 ( Cos4x – Cos 8x ) (001) 24 . Sin3x + 2Cos2x – 2 = 0 ĐH – CT – 97 25. Cos2x + 3Cosx + 2 = 0 ĐH – CT – 97D 26. 3Cos4x – 2 Cos 2 3x = 1 98 A 27. 1 + 3Cosx + Cos2x = Cos3x + 2 Sinx.Sin2x 98B 28. CMR 2 3 1 os os os 7 7 7 2 C C C π π π − + = 98D 29. Tanx + tan2x = - Sin3x.Cos2x 01A 30. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của : Y = Sinx – Cos 2 x + 1 2 GTVT – 97A 31. 3(cotx – Cosx) – 5(tanx – Sinx) = 2 97A 32. Tanx. cotx = 2( Sin2x + Cos2x ) 98 A 33. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Y = 2 2 2 4x os 1 1 1+x x Sin C x + + + GTVT 98A 34. 4 4 7 os ( ). ( ) 8 3 6 Sin x C x Cot x Cot x π π + = + − -99A 35. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng (0; 4 π ): m.Cos 2 2x – 4Sinx.Cosx + m – 2 = 0 -99A 36. 2 2( inx + Cosx) osx = 3 + Cos2xS C - 00A 37. 4 4 4 9 ( ) ( ) 4 4 8 Sin x Sin x Sin x π π + + + − = -01A 38. 2 2 0 1 inx Sin x Cosx S + = + Đh Hue 97D 39.Cos 2 x + Sin x – 3Sin 2 xCosx = 0 98A 40. 2Sin 3 x + Cos2x = Sinx 98D 41. 3 osx osx+1 2C C− − = 00A 42. Sinx. Cosx + 2Sinx + 2Cosx = 2 00D 43. Sin 4 x + Cós 4 x = Sin2x - 1 2 01A 44. Sin3x(Cosx – 2Sin3x)+ Cos3x(1 + Sinx-2Cos3x) = 0 ( KT- 97A) 45. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của: A = 2 2 osx 1 osx 1 Cos x C C + + + 98 A 46. 3 2 2 3(1+Sinx) 3tan t anx + 8 ( ) os 4 2 x x Cos C x π − − − =0 99A 47. Giải và biện luận theo m phương trình : 2m(Cosx + Sinx) = 2m 2 + Cosx – Sinx + 3 2 01A 48. Tìm nghiệm của phương trình : Cos7x - 3 Sin7x = - 2 Thỏa mãn điề kiện 2 6 5 7 x π π < < KTQD – 97A 49. Cosx Cos2xCos4xCos8x = 1 16 98A 50. Sin 2 x + Sin 2 3x = Cos 2 2x Cos 2 4x 99A 51. Cos 2x - 3 Sin2x - 3 Sinx – Cosx + 4 = 0 HVQS 98A 52. Cos2x = Cos 2 x 1 t anx+ 00A 53. 2 2 3 2 2 (2 3 2) osxCot x Sin x C+ = + 01A 54. tanx – Sin2x – Cos2x +2( 2Cosx - 1 osxC ) = 0 Luat 98A 55. 4( Sin3x – Cos2x) = 5( Sinx – 1) 99A 56. 2Cos2x + Sin 2 xCosx + SinxCos 2 x = 2( Sinx + Cosx) 57. tanx.Sin 2 x – 2Sin 2 x = 3(Cos2x + SinxCosx) 58. Sin2x (cotx + tan2x) = 4Cos 2 x 00A 59. 4 2 1 2 48 (1 2 cot ) 0 os x Cot x x C Sin x − − + = 01A. 60. Sin 6 x + Cos 6 x = Cos4x HVNH – 98D 61. Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 1 1 inx osxS C + với 0 2 x π < < 62. Cos 3 x + Cos 2 x + 2Sinx – 2 = 0 99D 63. Cotx – tanx = Sinx + Cosx 97D - NNHN 64. Sin3x + Cos2x = 1 + 2 SinxCos2x NNHN 98D 65. 2Cos2x – 8 Cosx + 7 = 1 osxC 00 D 66. Cos3x . Cos 3 x – Sin3x.Sin 3 x = Cos 3 4x + 1 4 01D 67. 9Sinx + 6Cosx – 3Sin2x + Cos2x = 8 ĐHNT 97D 68. Sinx+Sin 2 x+Sin 3 x+Sin 4 x=Cosx+Cos 2 x +Cos 3 x+Cos 4 x 98A 69. Sin 3 x.Cos3x+Cos 3 x.Sin3x = Sin 3 4x 99A 70. Sin 8 x +Cos 8 x =2(Sin 10 x+Cos 10 x) + 5 os2x 4 C 00A 71. 2Sin 2 x – SinxCosx –Cos 2 x = m ĐHNN- Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: sin cos tan cot cos sin x x x x x x ∗ = ∗ = Bảng giá trị của các góc đặc biệt: Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 ( 6 π ) 45 0 ( 4 π ) 60 0 ( 3 π ) 90 0 ( 2 π ) Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: ( ) ( ) + α + α = ∀α∈ π + α α = ∀α ≠ ∈ ÷ π + = + α ∀α ≠ + π ∈ ÷ α + = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k ,k Z 2 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cotg k ,k Z sin Hệ quả: • sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x • tanx= 1 cot x ; 1 cot tan x x = • Sin 4 x + cos 4 x = 1 - 2sin 2 x.cos 2 x • Sin 6 x + cos 6 x = 1 - 3sin 2 x.cos 2 x C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π” D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b 2. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sina.cosa= sin2 2 a cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a tan2a = 2 2tan 1 tan− a a 3. Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc: cos 2 a = 1 cos 2 2 a+ sin 2 a = 1 cos 2 2 a− tg2a = 1 cos 2 1 cos2 a a − + 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan 2 x : sinx = 2 2 1 t t+ cosx = 2 2 1 1 t t − + tanx = 2 2 1 t t− cotx = 2 1 2 t t − 6. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cosa cos b 2 cos cos 2 2 + − + = ÷ ÷ a b a b cosa cos b 2 sin sin 2 2 + − − = − ÷ ÷ a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 + − + = ÷ ÷ a b a b sin a sin b 2 cos sin 2 2 + − − = ÷ ÷ sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 ± ± = ≠ + ∈ a b a b a b k k Z a b π π sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin + + = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin − + − = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 + = + = − a a a cos a π π sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 − = − = − + a a a cos a π π cos sin 2 ( ) 2 sin( ) 4 4 − = + = − − a a cos a a π π 7. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b• = − + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b• = − − + Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 1 sinα 2 π 0 π 3 2 π cosα 0 α Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b • = + + − [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b• = + − − II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản: 2 ) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k 2 c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k u v k a b u v k = + π ⇔ ± π , κ∈ ⇔ ∈ = π− + π ⇔ π ∈ ⇔ π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ Chú ý: a/ Nếu cung α thoả sin 2 2 a α π π α = − < < thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình sinx = a ⇔ sin 2 sin 2 x arc a k k Z x arc a k π π π = + ∈ = − + b/ Nếu cung α thoả cos 0 a α α π = < < thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình cos x = a ⇔ arccos 2 arccos 2 x a k k Z x a k π π = + ∈ = − + c/ Nếu cung α thoả tan 2 2 a α π π α = − < < thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2013 Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 π ) của phương trình : cos3 sin 3 5 sin cos2 3 1 2sin 2 x x x x x + + = + ÷ + . ĐS : 5 ; 3 3 x x π π = = Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình : 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − ĐS : ; 9 2 k k x x π π = = ( k Z ∈ ) Bài 3 (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn [ ] 0;14 nghiệm đũng của phương trình : cos3 4cos2 3cos 4 0x x x − + − = ĐS : 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x π π π π = = = = Bài 4 (ĐH A2003) Giải bất phương trình : 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x − = + − + ĐS : 4 x k π π = + ( k Z ∈ ) Bài 5 (ĐH B2003) Giải bất phương trình : 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = ĐS : 3 x k π π = ± + ( k Z ∈ ) Bài 6 (ĐH D2003) Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cot 0. 2 4 2 x x x π − − = ÷ ĐS : 2 ; 4 x k x k π π π π = + = − + ( k Z ∈ ) Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện . os2 2 2 cos 2 2 cos 3.c A B C + + = Tính ba góc của tam giác ABC. ĐS : 0 0 90 ; 45A B C= = = Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình: 2 5sin 2 3(1 sinx) tan .x x − = − ĐS : 5 2 ; 2 6 6 x k x k π π π π = + = + ( k Z ∈ ) Bài 9 (ĐH D2004) Giải phương trình: (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx.x x x x − + = − ĐS : 2 ; 3 4 x k x k π π π π = ± + = − + ( k Z ∈ ) Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: 2 2 os 3 cos 2 os 0c x x c x − = . ĐS : 2 k x π = ( k Z ∈ ) Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 os2 0x x x c x + + + + = ĐS : 2 2 ; 3 4 x k x k π π π π = ± + = − + ( k Z ∈ ) Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình: 4 4 3 os sin os sin 3 0. 4 4 2 c x x c x x π π + + − − − = ÷ ÷ ĐS : 4 x k π π = + ( k Z∈ ) Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình: 6 6 2( os sin ) sin x cos 0 2 2sin c x x x x + − = − ĐS : 5 2 4 x k π π = + ( k Z∈ ) Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình: cot sinx 1 tan x tan 4 2 x x + + = ÷ ĐS : 5 ; 12 12 x k x k π π π π = + = + ( k Z ∈ ) Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình: os3 os2 cos 1 0c x c x x + − − = ĐS : 2 ; 2 3 x k x k π π π = = ± + ( k Z ∈ ) Bài 16 (ĐH A2007) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + . ĐS : 2 ; 2 ; 2 4 x k x k x k π π π π π = = + = − + ( k Z ∈ ) Bài 17 (ĐH B2007) Giải hệ phương trình 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = . ĐS : 2 5 2 ; ; 8 4 18 3 18 3 k k k x x x π π π π π π = + = + = + ( k Z ∈ ) Bài 18 (ĐH D2007) Giải hệ phương trình : 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x + + = ÷ . ĐS : 2 ; 2 2 6 x k x k π π π π = + = − + ( k Z ∈ ) Bài 19 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình: 1 1 7 4sin( ) 3 sin 4 ( ) 2 x x sim x π π + = − − . ĐS : 5 ; ; 4 8 8 x k x k x k π π π π π π = − + = − + = + ( k Z ∈ ) Bài 20 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 sin 3 os sin x cos 3 sin cosx c x x x x− = − . ĐS : ; 4 2 3 k x x k π π π π = + = − + ( k Z ∈ ) Bài 21 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình: ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = + . ĐS : 2 2 ; 3 4 x k x k π π π π = ± + = + ( k Z ∈ ) Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x − = + − ĐS : 2 18 3 k x π π = − + ( k Z ∈ ) Bài 23 (ĐH B2009)Giải phương trình: ( ) 3 sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = + ĐS : 2 2 ; 6 42 7 k x k x π π π π = − + = + ( k Z ∈ ) Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình : 3cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0− − = ĐS : ; 18 3 6 2 k k x x π π π π = + = − + ( k Z ∈ ) Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình : (1 sinx cos2 ) in( ) 1 4 cos 1 tanx 2 x s x x π + + + = + ĐS : 7 2 ; 2 6 6 x k x k π π π π = − + = + ( k Z∈ ) Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình: (sin 2 os2 ) cos os2 inx=0x c x x c x s+ + − ĐS : 4 2 k x π π = + ( tuanthuybook@gmail.com VÕ ĐẠI MAU NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐT: 0937277023 tuanthuybook@gmail.com LỜI NĨI ĐẦU PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Đối với học sinh cấp III nói chung – bạn kỳ ơn luyện chuẩn bị thi vào trường Đại học – Cao đẳng … Lượng giác phân mơn tốn học khó Trong chương trình cải cách giáo dục cấp III, Lượng giác có vai trò quan trọng, đề cập nhiều đề tuyển sinh Đại học ba phần bắt buộc Nhằm giúp em học sinh bạn u tốn khác chuẩn bị tốt cho kì thi cuối cấp Đại học, chúng tơi cố gắng sưu tầm, biên soạn phân mơn tốn lượng giác Sách chủ yếu hướng dẫn phương pháp để bạn tự học, tự rèn tốt đa dạng phương pháp Cùng với Phân loại tốn lượng giác, Phương pháp giải, có tính chun đề: Phương trình bất phương trình lượng giác – Sách giúp bạn phân loại dạng tốn phương pháp giải đặc biệt để dễ nhớ, dễ thực hành Do tính đa dạng phân mơn, nên dù có nhiều cố gắng biên soạn, chúng tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong em học sinh, bạn u tốn, đồng nghiệp góp ý để phục vụ bạn đọc tốt Chúc em học giỏi đạt kết tốt kì thi tới Tác giả VÕ ĐẠI MAU ĐT: 0937277023 tuanthuybook@gmail.com MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG CẦN GHI NHỚ TRƯỚC KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC VẤN ĐỀ I Chú ý 1: Về phương trình có chứa ẩn mẫu số NHỚ BUỘC ĐIỀU KIỆN MẪU SỐ KHÁC a Nếu phương trình có ẩn tgx có chứa cosx mẫu số ta phải buộc điều kiện: cos x x k, k Z (hoặc x k2 x (2k 1) , k Z) 2 b Nếu phương trình có ẩn cotgx có chứa sinx mẫu số ta phải buộc điều kiện: sinx x k, k Z Chú ý 2: Về phương trình vô tỉ Nếu phương trình có chứa thức bậc chẵn nhớ buộc điều kiện biểu thức nằm thức không âm Chú ý 3: Về việc dùng ẩn số phụ Có số phương trình ta phải dùng ẩn số phụ giải thuận tiện cho trình giải Nhớ buộc điều kiện cho ẩn số phụ, nghóa tìm miền xác đònh D biểu thức có mặt phương trình theo đối số Thí dụ: – Khi đặt t = sinx t = cosx nhớ ghi kèm theo t 1,1 – Khi đặt t = sin x t = cos x t sin2 x , t = cos2x t 0,1 1 2 – Khi đặt t = cosx sinx mà x ; t , 2 3 – Khi đặt t = acosx + bsinx t a b2 , a b2 – Khi đặt t = tgx + cotgx t – Khi đặt u = sinx + sin2 x sao? Ta có sinx 1,1 sin2 x 0;1 sin2 x ĐT: 0937277023 tuanthuybook@gmail.com mà sinx –1 Do đó: u = sinx + sin2 x 0 (1) Mặt khác: u u2 sin2 x ( sin2 x)2 (12 12 ) u (2) từ (1) (2), ta có: u Chú ý 4: tìm giao tập nghiệm Giả sử giải phương trình lượng giác mà trình giải cuối dẫn đến việc phải tìm giao tập nghiệm E1, E2 – Nếu E1 E2 E E tập nghiệm phải tìm – Nếu E1 E2 E1 E2 E1 E E1 – Nếu E2 E1 E1 E2 E2 E E2 – Nếu E1 E2 : phương trình vô nghiệm ví dụ: a/ Giải phương trình cos3x + cos2 3x 2(1 sin 2x) (1) 2 xk (E1) cos3x Quá trình giải: (1) (*) với k, Z sin2x x (E ) có cách để xác đònh nghiệm hệ (*) – Cách 1: Dùng phương pháp liệt kê phần tử tập nghiệm E1 E2 Trên sở đó, ta xác đònh tập E E1 E2 Ta có 2 8 10 14 16 E1 , 0, , , 2, , , 4, , , 6 3 3 3 3 5 7 E2 , 0, , , , 2, , 3, , 4 2 2 E E1 E2 , 0, 2, 4, Do nghiệm phương trình (1) là: x = m2 , m Z – Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác ĐT: 0937277023 tuanthuybook@gmail.com – Tìm đường tròn lượng giác điểm cung thuộc tập E1 thuộc E2, chọn lấy điểm chung Suy tập nghiệm E phương trình cho 2 B O A A’ 4 B’ cos 3x – Cách 3: Giả sử, ta có hệ (2) sin 2x Ta có: 3 cos x cos3 x (2) sin x cos x 4 cos3 x cos x sin x cos x 4 cos3 x cos x (a) cos x 0; cos x 1 (b) Lần lượt thay cosx = 0, cosx = 1, cosx = –1 vào (a), ta thấy có giá trò cosx = thỏa Do đó: (2) cos x x k2, k Z Vậy nghiệm (1) x = k2 , k Z cách hay đòi hỏi em học sinh phải thông minh, nhạy bén TD: b/ Giải phương trình (cos4x – cos2x)2 = + sin 3x (1) sin x 1 dẫn đến hệ sin 3x 1 (2) sin x 1 ta có (2) 3 sin x sin x 1 sin x