VẤN ĐỀ 8 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác.. • Từng bước đưa về dạng uv hoặc v u
Trang 1VẤN ĐỀ 8
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
Trang 2Vấn đề 8
Bất PhươngTrình Lượng Giác
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác
• Từng bước đưa về dạng uv hoặc
v
u sau đó xét dấu của các hàm số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy được trực tiếp
• Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao … hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc …
• Có thể đưa về dạng đối lập
• Có thể dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào
• Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của các hàm số thông dụng …
• Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm
m để bpt có nghiệm trên tập xác định của nó , vô nghiệm ,hoặc có ít nhất nghiệm, ……
• Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán
• Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia – cốp xki và các bấtđẳng thức khác Nhờ đó các bài toán được giải quyết gọn gành và nhanh chóng
• Có thể dùng phương pháp đổi biến số
Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau :
- Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên tập xác định D1 thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác định D của bất phương trình đã cho
- Kết hợp tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác để đua
ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu
Trang 3Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có thể tham khảo …
B BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI
Bài 1
Giải bất phương trình : sin x ( cos x -
2
1) > 0 Giải
Ta có :
sin 0
(1)1cos
2sin 0
(2)1cos
2
x x x x
π
<
<
+ π
π +
5 x ) 1 k (
2 k 3 x 2 k
Bài 2
Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*)
Giải (*) ⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0
0 sin
x x
π
π
π π
2 3
2 2
2 3 2
l x
l
k x
k
(k,l ∈ Z)
Trang 4Bài 3
Giải bất phương trình : cos3x - 3sin3x ≥ 1 (1)
Giải (1) ⇔
2
1 3 sin 2
3 3
x ≥
2
1 (1) Dựa vào đường tròn lượng giác :
2 9
k x
k ≤ ≤ +
−
Bài 4
Giải bất phương trình : 2x2 sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*)
Giải (*) ⇔ 2x2sinx – 1 ≤ 2sin2x – 2sinx + 2 – 2sin2x
⇔ sin
2
1 6
5
k x
k < + < + +
5(*) Giải
cos
1 cos 2
5 cos2
≥
+
−
x x
Trang 5⇔ ( )( )
x
x x
cos
1 cos 2 2
2
1 cos
x
x
⇔ 0 < cosx ≤
2 1
π
π
π π
π
2 2
5 2
2
3
2 3
2
2
k x
k
k x
k
Bài 7
Giải bất phương trình :
x 2 cos 1
x sin
− ≤ 0 (1)
Giải (1) ⇔
x sin 2
x 2 sin
2 ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ) ⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ)
Chú ý :
• f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x ∈ D
• f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x ∈ D
Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m -
2
3 > 1 ⇔ m > 1 +
2 3
Trang 6x sin t
Xét f(t) = t2 – t ; f’(t) = 2t – 1
t 0
2
1
2 2 f’(t) 1 _ 0 + 1 f(t) 0
2 , 0
Bất phương trình có nghiệm ⇔ m2 – 2m ≤ maxf(x) ,
⇔ m2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2
Bài 10
Giải bất phương trình :
cos3x.cos3x – sin3x.sinx ≤
8
5 (1) Giải
(1) ⇔ cos3x(4cos3x – 3cosx) – sin3x(3sinx – 4sin3x) ≤
8 5
⇔ 4(cos6 + sin6) – 3(sin4x + cos4x) ≤
8 5
Trang 7⇔ 4(1 – 3sin2x.cos2x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x) ≤
8 5
⇔ 1 – 6sin2x.cos2x ≤
8
5 ⇔ sin22x ≥
4 1
π
π π
π
π
π π
π
2 3
2 2 2
3
2 3
5 2 2
3
4
k x
k
k x
+
≤
≤ +
π
π π
π
π
π π
π
k x
k
k x
k
3 6
6
5 3
2
Bài 11
1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :
sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4 sin2 ⎟
3 1 x
2-\ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − π π 4
; 4(Đại học An ninh 2001) Giải
x 4
1 x sin
( vô nghiệm)
Trang 83 1 x
3 1 x
4 x
⇔ -2 < x < 4
Điều kiện của bài toán được thoả mãn ⇔ k = 0
Khi đó nghiệm của phương trình : x =
2 π
2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x∈ ⎢⎣ ⎡ − π 4 ; π 4 ⎥⎦ ⎤
; 3
k 6 x 2 k x
Vì x ∈ ⎢⎣ ⎡ − π 4 ; π 4 ⎥⎦ ⎤ , ta thấy x = 0 ; x =
6
π ; x =
6 π
Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x
Trang 9Bài 12
Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm :
m x
x + sin 2 ≥ 2
1 sin
Giải (*) ⇔ 3(1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin ⎟
Giải bất phương trình
2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx)(1)
Giải (1) ⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0
Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2]
= +
2
0 2 2
1 2
0 cos sin
2
t
t t
x x
với t = cosx – sinx
1 sin
cos
0 cos
sin
x x
x x
4
7 4
3
π
π π
x x
x x
Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2π]
Trong 1 chu kỳ [0 ; 2π] nghiệm là :
π π
2 4
7
2
3 4
3
x x
Vậy nghiệm của bất phương trình là :
Trang 10π
π π
π
2 2 2
4 7
2 2
3 2
4 3
k x
k
k x
≤ +
(BCS) 4 cot
(Cauchy)
2 cos
sin
2 2
gx tgx
x x
Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập
Vậy (1) vô nghiệm
Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô nghiệm dể dàng
Bài 15
Giải bất phương trình :
4sin3sin62cossin
4
10cos
x x
x x
(*) Giải
5sin4sin2
9sinsin
++
x x
x x
x x
(1) Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1)
542
9log 2 2
++
t t t
t
t t
0loglog5 5
b a
b a
⇒ (1) vô nghiệm
• Với a < b ⇔ 2t2 + 4t + 5 < t2 + t + 9 ⇔ -4 < t < 1
Trang 11log5 5
b
a
a b
⇔ 4sin2x – 4sinx + 1 + cosx + 1 ≤ 0 ⇔ (2sinx – 1)2 + cosx + 1 ≤ 0 (1) mà (2sinx – 1)2 ≥ 0 ; (cosx + 1) ≥ 0 ⇒ vế trái ≥ 0
(1) có nghiệm khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra
α
α
3
3 3
2 2
sin
sin 2 8 sin
2 sin
sin
Giải Đặt x =
−
≥
2 3
3
21
112
x
x x
2
3 4
2 3 2
3
3112
1311
x x
x x
Trang 124 1 2 2
1
x x
2 − ≥ 0 ⇔ 0 < sinα ≤
3 2
Bài 18
cos
1 cos
sin
1 sin
2 2
x
Giải Điều kiện : x ≠
2 sin
1
x
x x
x
=
x x
x x
2 2
2 2
cos sin
cos sin
x
2 sin
4
Ta có : 0 < sin22x ≤ 1 ⇒ 4
2 sin
4
x ⇒ VT ≥ 9 bpt ⇔ sin22x = 1 ⇔ sin2x = ±1 ⇔ 2x =
;
0 π
Giải Đặt t =
Trang 13⇔ m(t + 2) ≥ -t2 – t – 10 ∀t > 1 ⇔ m ≥
2
102
D = (1 ; +∞)
f’(t) = 2 2
) 2
(
8 4
2 2 x + x + x ≥ trên [0 ; 2π] (*)
Giải (*) ⇔ 2sin2t + cos2t + 2sin2t ≥ 1 (đặt t =
0 sin 0 sin
0 sin
2
1 sin
0 sin
x
x x
x
⇔ sinx < 0 ∨ sinx >
2
1 ⇔
π
π π π
π
2
5 2
2 2 2
k x
k
k x
k
(k ∈ Z)
Trang 14Bài 22
Định a để bất phương trình sau cóâ nghiệm :
sin2x – (a + 2)sinx + a – 3 > 0(*)
Giải (*) ⇔ (sinx – 1)a < sinx – 2sinx – 3
Đặt f(t) =
1
3 22
với –1 ≤ t ≤ 1 f’(t) =
( )2
2
1
5 2
Bài 23
Giải bất phương trình sau :
2 cos
1 2 2 cos 1
2 cos 1
2 −
≥ +
−
x x
x (*) Giải
cos
1 2 cos
sin
2 2
2
−
≥
x x
x
cos
1
1
2
x x
Trang 15−
≥ +
−
2cos
1 2 2 cos 1
2 cos 1
(*) Giải
Theo trên ta có :
cos
1 2 cos
1 ≤ 0 : vô nghiệm Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2
Bài 25
Giải bất phương trình : cosx > cotgx(*)
Giải (*) ⇔ cosx >
0 cos 1
Trang 16Bài 26
Định m để bất phương trình có nghiệm :
2cos2x + sin2x
4 + 5 – m ≤ 0 (*) Giải
2 cos 1 2
Bài 27
Giải bất phương trình :
x
x x
x
sin 1
sin 1 sin 1
sin 1
+
− +
−
Giải Điều kiện x ≠ nπ , n nguyên
Ta có :
(*) ⇔
x
x x
x
sin 1
sin 1 sin
2cos 1
cos sin 2 2
−
−
≤ a
Trang 173 2
gx a
Vậy kπ + α và kπ + β (k ∈ Z) với
1 + a − và cotgβ =
2
3 2
Bài 28
Giải bất phương trình :
2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx) (1)
Giải
Ta có :
(1) ⇔ 2(sinx + cosx) < 2(cos2x – sin2x) + sinxcosx(sinx + cosx)
⇔ (sinx + cosx)[2(cosx – sinx) + sinxcosx – 2] > 0
Đặt t = cosx – sinx ⇒
1sin 2
t
x t
t x
Trang 180 4 cos
0 4 cos
π
π
x x
Giải a) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có :
π π
π < − <
4
3 4
π π
π π π
π π π
2 cos 1
4
2 2
x
⇔ 2sin22x + sin2x –1 > 0 ⇔ 2(sin2x + 1)(sin2x -
2
1) < 0
<
<
+
π π
π
π π
π
2 2
3 2
1 2 6 2 2 6 5
k x
k x
k
Trang 19<
+
π π
π
π π
π
k x
k x
k
4
3
1 12
12
5
Bài 30
Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình :
a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a > 0 có tập nghiệm là R
Giải Giả sử a thoả mãn đề bài Vì bất phương trình có nghiệm là R nên
Vậy là mọi a thoả mãn đề bài đều nằm trong khoảng a >
82 3
Giả sử a >
82
3
Vì cos2x ≥ 0 Nên 4 – sinx ≥ 3 ⇔ (4 – sinx)4 ≥ 81 ∀x
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình :
a2 + 2a – sin2x = 2acosx nghiệm đúng ∀x
Trang 20−
1 a khi 2 1
1 a 1 - khi 3 2 )
(
-1 a khi 2 4 1
2 2
a y
a a
y
a a y
Đặt t = cosx với –1 ≤ t ≤ 1
(1) ⇔ 2t2 + 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ 2 ∨ t ≥
-2 1
So sánh điều kiện ta có :
Trang 21So điều kiện nhận :
2 1
t t
1 4
Trang 223 sinx + 2sin2
2
x ≥ 1 Thoả điều kiện : log2 (x2 – x +2) ≤ 2
(Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM ) Giải
1x
6
7xk
6+ π≤ ≤ π+ π
Mặt khác :
log2 (x2 – x +2 ) ≤ 2 ⇔ x2 – x + 2 ≤ 4 ( vì x2 – x + 2 > 0 , x∀ ) ⇔ x2 – x + 2 = 0 ⇔ 1− ≤ x ≤ 2 (2)
Trang 23Bài 35
Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x :
ysinysinycosxycos
(Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán ) Giải
ysinysinycos
Chứng minh rằng bất phương trình :
sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x Được thoả mãn
(Đề Đại Học Y Dược TP HCM) Giải
Ta có : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x ; x∈⎢⎣⎡ π0;2⎥⎦⎤
⇔ sinxcos2x + 2sin2xcosx +3sinx – 4sin3x < 9cos3x ; x
;0
;
0 ⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0 Xét hàm số : f(t) = t3 – 2t2 –4t +9 ; t ∈ ;[0+∞]
Trang 24Bài 37
Cho phương trình : 4cos5xsinx – 4sin5xcosx = sin24x + m (1)
1-\ Biết rằng x = π là 1 nghiệm của (1) Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó
Ta có (1) ⇔ 4sinxcosx(cos4x−sin4 x)=sin2 x+m
⇔ 2sin x(cos2x+sin2x)(cos2 x−sin2x)=sin2 x+m
⇔ sin x−sin2 x=m (2)
1-\ x = π là nghiệm của (1) nên cũng là nghiệm của (2)
m4sin4sin π− 2 π= ⇒ m = 0
Do đó (2) : ⇔ sin x−sin2 x=0
=
∈π
π
=
∈π
=
)Z(28x
)Zk(4kx)Z(22x
)Zk(kx
AAA
2
k8x)Zk(22
Trang 25=
π+
x + sin 2 ≥ 2
1 sin
(Đại học dân lập Lạc Hồng , năm 1998 – 1999)
Giải
m x
1 2
2 cos
2
3 2
cos 2
3 2
sin
2
m x x
⇔
2
3 2
2 cos 3 sin 2
cos x + 3 sin x < 2 ⇔ cos x + 3 sin x − 2 < 0
Đặt f (x) = cos x + 3 sin x − 2. ta có f xác định và liên tục trên
Trang 26π và 7
12
π Ta có : f (0) = − 1 2 < 0
Trang 27C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 5
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm :
2
2 cos x cosx 1 cosx 2
− ≤ m – 1, x ∈ [0 , π] Đáp số : m ≥ -1
Bài 6
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
Trang 282 x cos
1 x cos x cos
1) f(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ min f(x) , x ∈ D
2) f(x) ≤ m vô nghiệm khi m < min f(x) , x ∈ D
1 t 8 t 2
2
14 4 t
14 4
Bài 7
Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm :
(m2 – 3m + 2)cos2x = m(m -1)