Bất phương trình lượng giác

213 VAÁN ÑEÀ 8 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 214 Vấn đề 8 Bất PhươngTrình Lượng Giác A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác . • Từng bước đưa về dạng uv hoặc v u sau đó xét dấu của các hàm số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy được trực tiếp . • Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao … hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc … • Có thể đưa về dạng đối lập . • Có thể dùng đồ thò hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào . • Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghòch biến của các hàm số thông dụng … • Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm m để bpt có nghiệm trên tập xác đònh của nó , vô nghiệm ,hoặc có ít nhất nghiệm, …… • Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán • Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia – cốp xki và các bấtđẳng thức khác .Nhờ đó các bài toán được giải quyết gọn gành và nhanh chóng . • Có thể dùng phương pháp đổi biến số Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau : - Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên tập xác đònh D 1 thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác đònh D của bất phương trình đã cho - Kết hợp tập xác đònh D và các điều kiện ràng buộc khác để đua ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu 215 Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có thể tham khảo … B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI Bài 1 Giải bất phương trình : sin x ( cos x - 2 1 ) > 0 Giải Ta có : sin 0 (1) 1 cos 2 sin 0 (2) 1 cos 2 x x x x ⎡ > ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ > ⎪ ⎢ ⎩ ⎢ < ⎧ ⎢ ⎪ ⎢ ⎨ < ⎢ ⎪ ⎢ ⎩ ⎣ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ π+ π <<+π π+ π <<π 2k 3 5 x)1k2( 2k 3 x2k Bài 2 Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*) Giải (*) ⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > > 2 1 cos 0sin x x ∨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < 2 1 cos 0sin x x ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +<<+ +<< π π ππ π π π 2 3 2 2 2 3 2 lxl kxk (k,l ∈ Z) 216 Bài 3 Giải bất phương trình : cos3x - 3 sin3x ≥ 1 (1) Giải (1) ⇔ 2 1 3sin 2 3 3cos 2 1 ≥− xx ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 3 3cos π x ≥ 2 1 (1) Dựa vào đường tròn lượng giác : (1) ⇔ 3 π − + k2π ≤ 3x + 3 π − ≤ 3 π − + k2π ⇔ 3 2 3 2 9 2 π π π kxk ≤≤+− Bài 4 Giải bất phương trình : 2x 2 sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*) Giải (*) ⇔ 2x 2 sinx – 1 ≤ 2sin 2 x – 2sinx + 2 – 2sin 2 x ⇔ (2x 2 + 2)sinx ≤ 2 ⇔ (x 2 + 1)sinx ≤ 1 ⇔ sinx ≤ 1 (vì x 2 + 1 > 0 ∀x ∈ R) ⇔ x ∈ R Bài 5 Giải bất phương trính : cos 2 x + 3 sinx.cosx < 1 (1) Giải (1) ⇔ cos2x + 3 sin2x < 1 ⇔ sin 2 1 6 2 < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + π x ⇔ π π π π π 2 6 13 6 22 6 5 kxk +<+<+ ⇔ πππ π kxk +<+ 3 Bài 6 Giải bất phương trình : cosx + xcos 1 ≥ 2 5 (*) Giải (*) ⇔ 0 cos 1cos 2 5 cos 2 ≥ +− x x 217 ⇔ ()( ) x xx cos 1cos22cos − − ≥ 0 ⇔ x x cos 1cos2 − ≤ 0 (do cosx < 2 , ∀x) ⇔ 0 < cosx ≤ 2 1 ∨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ 0cos 2 1 cos x x ⇔ 0 < cosx ≤ 2 1 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +≤<+ +<<+ π π π π π π π π 2 2 5 2 2 3 2 3 2 2 kxk kxk Bài 7 Giải bất phương trình : x2cos1 x2sin − ≤ 0 (1) Giải (1) ⇔ xsin2 x2sin 2 ≤ 0 (điều kiện : x ≠ k π ) ⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ k π ) ⇔ π+π≤≤π+ π kxk 2 loại trừ x = k π Bài 8 Đònh m để bất phương trình vô nghiệm : sin (2x - 3 π ) ≥ m - 2 3 Chú ý : • f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x ∈ D • f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x ∈ D Ta có : sin (2x - 3 π ) [ ] 1,1 − ∈ Từ đó suy ra : sin (2x - 3 π ) có max bằng 1 Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m - 2 3 > 1 ⇔ m > 1 + 2 3 218 Bài 9 Đònh m để bất phương trình có nghiệm : sin 2 x – sinx ≥ m 2 – 2m , x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ π ∈ 4 ,0 Giải Khi x 0, 4 π ⎡⎤ ∈ ⎢⎥ ⎣⎦ thì ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ = 2 2 t0 xsint Xét f(t) = t 2 – t ; f’(t) = 2t – 1 t 0 2 1 2 2 f’(t) 1 _ 0 + 1 f(t) 0 2 21 − 4 1 − Bảng biến thiên cho ta : maxf(x) = 0 , với x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ 2 2 ,0 Bất phương trình có nghiệm ⇔ m 2 – 2m ≤ maxf(x) , ⇔ m 2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2. Bài 10 Giải bất phương trình : cos 3 x.cos3x – sin 3 x.sinx ≤ 8 5 (1) Giải (1) ⇔ cos 3 x(4cos 3 x – 3cosx) – sin 3 x(3sinx – 4sin 3 x) ≤ 8 5 ⇔ 4(cos 6 + sin 6 ) – 3(sin 4 x + cos 4 x) ≤ 8 5 219 ⇔ 4(1 – 3sin 2 x.cos 2 x) – 3(1 – 2sin 2 x.cos 2 x) ≤ 8 5 ⇔ 1 – 6sin 2 x.cos 2 x ≤ 8 5 ⇔ sin 2 2x ≥ 4 1 ⇔ sin2x ≤ - 2 1 ∨ sin2x ≥ 2 1 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +≤≤+ +≤≤+ π π π π π π π π 2 3 2 22 3 2 3 5 22 3 4 kxk kxk ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +≤≤+ +≤≤+ π π π π π π π π kxk kxk 36 6 5 3 2 Bài 11 1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình : sinxcos4x + 2sin 2 2x = 1 – 4 sin 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π 2 x 4 thoả mãn hệ bất phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −>+ <− x3x 31x 2 2-\ Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ππ − 4 ; 4 (Đại học An ninh 2001) Giải 1-\ Ta có : sinxcos4x + 2sin 2 2x = 1 – 4sin 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π 2 x 4 ⇔ sinxcos4x + 1 – cos4x = 1 - 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − π − x 2 cos1 ⇔ cos4x(sinx – 1) = 2(sinx – 1) ⇔ (sinx – 1) (cos4x – 2) = 0 ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ = = 2x4cos 1xsin ( vô nghiệm) 220 Vậy sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2 π ; k ∈ Z 2 |1|3 3 x x x −< ⎧ ⎨ +>− ⎩ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >++ −>− <− 03xx 31x 31x 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> < 2x 4x ⇔ -2 < x < 4 Điều kiện của bài toán được thoả mãn ⇔ k = 0 Khi đó nghiệm của phương trình : x = 2 π 2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ππ −∈ 4 ; 4 f’(x) = -5sinx + 5sin5x f’(x) = 0 ⇔ sin5x = sinx ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ π + π = π = Zk; 3 k 6 x 2 kx Vì x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ππ −∈ 4 ; 4 , ta thấy x = 0 ; x = 6 π ; x = 6 π Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x f”(x) = 20 > 0 f” ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ± 6 = -15 3 < 0. Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại x = ± 6 π và giá trò cực đại là f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ± 6 = 3 3 Ngoài ra : f 23 4 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − ; f 23 4 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π Vậy giá trò lớn nhất của f(x) là 3 3 (khi x= ± 6 π ) 221 Bài 12 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm : mxx ≥+ 2sin 2 1 sin3 2 (*) Giải (*) ⇔ 3 (1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 2 π x ≥ 2 32 − m Để bất phương trình vô nghiệm thì : 2 32 − m > 1 ⇔ m > 2 23 + Bài 13 Giải bất phương trình 2cos2x + sin 2 xcosx + sinxcos 2 x > 2(sinx + cosx)(1) Giải (1) ⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0 Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] • f(x) = 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ =− − + =+ 2 02 2 1 2 0cossin 2 t t t xx với t = cosx – sinx ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ =− =+ 1sincos 0cossin xx xx ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =∨= =∨= 2 3 0 4 7 4 3 π ππ xx xx Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2 π] Trong 1 chu kỳ [0 ; 2 π] nghiệm là : ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ << << π π ππ 2 4 7 2 3 4 3 x x Vậy nghiệm của bất phương trình là : 222 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +<<+ +<<+ πππ π π π π π 222 4 7 2 2 3 2 4 3 kxk kxk (k ∈ Z) Bài 14 Giải bất phương trình : (sinx + cosx) 2 ≥ (tgx + cotgx) 2 (1) Giải Ta có : () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+ ≤+ (BCS) 4cot (Cauchy) 2cossin 2 2 gxtgx xx Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập Vậy (1) vô nghiệm Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô nghiệm dể dàng . Bài 15 Giải bất phương trình : 4sin3sin 62cossin4 10cossin log 2 2 5 −+> ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− +− xx xx xx (*) Giải (*) ⇔ 4sin3sin 5sin4sin2 9sinsin log 2 2 2 5 −+> ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ xx xx xx (1) Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1) (1) ⇔ 43 542 9 log 2 2 2 5 −+> ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ tt tt tt Đặt a = 2t 2 + 4t + 5 ; b = t 2 + t + 9 (1) ⇔ ba a b −> ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 5 log ⇔ log 5 a – log 5 b > a – b • Với a > b ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ >− <− 0 0loglog 55 ba ba ⇒ (1) vô nghiệm • Với a < b ⇔ 2t 2 + 4t + 5 < t 2 + t + 9 ⇔ -4 < t < 1 [...]... −1 1 • m = 1 : bpt ⇔ ≤ 0 : vô nghiệm cos 2 x Bpt (*) ⇔ Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2 Bài 25 Giải bất phương trình : cosx > cotgx(*) Giải 1 ⎞ cos x ⎛ ⇔ cosx ⎜1 − ⎟>0 sin x ⎝ sin x ⎠ ⎧cos x > 0 ⎧cos x < 0 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ 1 ∨⎨ 1 ⎪ sin x < 1 ⎪ sin x > 1 ⎩ ⎩ (*) ⇔ cosx > (Bạn đọc tiếp tục tự giải ) 227 Bài 26 Đònh m để bất phương trình có nghiệm : 2cos2x + 4 sin + 5 – m ≤ 0 (*) Giải x 1− cos... a > 0 nên ta có : a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a ≥ 81a – 3 + a = 82a – 3 > 0 Vậy khi a > 3 thì bất phương trình có tập nghiệm là R 82 Bài 31 Tìm tất cả các giá trò của tham số a để bất phương trình : a2 + 2a – sin2x = 2acosx nghiệm đúng ∀x Giải Vì sin2x = 1 – cos2x nên đặt t = cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1 và bất phương trình trở thành : y = t2 – 2at + a2 – 2a – 3 > 0 ∀t ∈ [-1 ; 1] Đây là 1 parabol quay bề lõm về... a2 – 2 > 0 ⇔ a > 3 (loại) 2 2 Vậy bất phương trình nghiệm đúng ∀x khi a > 2 hoặc a < -2 Bài 32 Giải bất phương trình : cos2x + 5cooxsx + 3 ≥ 0 (*) Giải 2 (*) ⇔ 2cos x + 5cosx + 3 ≥ 0 (1) Đặt t = cosx với –1 ≤ t ≤ 1 (1) ⇔ 2t2 + 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ -2 ∨ t ≥ So sánh điều kiện ta có : − ⇔ − 1 2 1 ≤t≤1 2 1 2π 2π ≤ cosx ≤ 1 ⇔ + k2π ≤ x ≤ + k2π 2 3 3 Bài 33 Giải bất phương trình : sinx + cosx – 3sinxcosx ≤ 1... 9π - α + k2π 4 233 Bài 34 1-\ Tìm k để bất phương trình sau có nghiệm : x ≥ k 3 sinx + 2sin2 2 2-\ Tìm nghiệm của bất phương trình : x ≥ 1 3 sinx + 2sin2 2 Thoả điều kiện : log2 (x2 – x +2) ≤ 2 (Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM ) Giải x 1-\ 3 sinx + 2sin2 ≥ k ⇔ 3 sin x + 1 − cos x ≥ k 2 3 1 k −1 π ⎞ k −1 ⎛ ⇔ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ ≥ sin x − cos x ≥ 2 2 2 6⎠ 2 ⎝ k −1 Bất phương trình vô nghiệm khhi và chỉ khi ≥ 1 ⇔... (1) để thoả mãn (2) là : − 1 ≤ x≤ 2 234 Bài 35 Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x : x 2 cos y − 2 x cos y sin y + sin y ≥ 0 (Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán ) Giải 2 x cos y − 2x cos y sin y + sin y ≥ 0 , ∀ x π • ⎧cos y = 0 ⇔ x = + 2kπ ⎨sin y ≥ 0 ⎩ 2 • cos y ≠ 0 , bất phương trình nghiệm đúng ∀ x ⇔ Bài 36 Chứng minh rằng bất phương trình : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x ⎡ π⎤ Được... = , bất phương trình có dạng : − 1 < 0 ( đúng ) 2 ⎡ π⎤ Khi x ∈ ⎢0; ⎥ ⇒ cosx > 0 ⎣ 2⎦ Chia hai vế bất phương trình cho cos3x > 0 , ta được : tgx + 2tg2x + 3tgx(1 + tg2x) – 4tg3x < 9 ⇔ tg3x – 2tg2x – 4tgx + 9 > 0 ⎡ π⎤ Đặt t = tgx ; với x ∈ ⎢0; ⎥ ⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0 ⎣ 2⎦ Xét hàm số : f(t) = t3 – 2t2 –4t +9 ; t ∈ [0;+∞] ⎡t = 2 2 f’(t) = 3t2 – 4t – 4 ; f’(t) = 0 ⇔ ⎢ ⎢t = − 3 ⎣ 235 Bài 37 Cho phương trình. .. để bất phương trình sau vô nghiệm : − 2 1 hay m > 2 2 Bài 39 Giải bất. .. 5 ≤ m ⇔ t t 1 t 2 + 5t + 2 với t ∈ [ ; 2] Đặt f(t) = t 2 2 t −2 f’(t) = t2 f’(t) = 0 ⇔ t = ± 2 1 t -2+2 2 2 (*) ⇔ 2 cos 2 x +4 2 f’(t) f(t) - 0 19 2 2 + 8 2 2 +5 Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2 2 + 5 Bài 27 Giải bất phương trình : 1 + sin x 1 − sin x + ≤ a (*) 1 − sin x 1 + sin x Điều kiện x ≠ nπ , n nguyên Ta có : (*) ⇔ 228 Giải 1 + sin x 1 − sin x 2 − 2 sin x cos x + ≤a⇔ ≤a 1 − sin... + 1)π ⎪ ⎪6 6 ⎨ ⎪2 x ≠ 3π + k 2π ⎪ 2 ⎩ (1) π ⎧ 5π ⎪ 12 + kπ < x < 12 + (k + 1)π ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ x ≠ 3π + kπ ⎪ 4 ⎩ Bài 30 Tìm tất cả các giá trò của a để bất phương trình : a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a > 0 có tập nghiệm là R Giải Giả sử a thoả mãn đề bài Vì bất phương trình có nghiệm là R nên x= π 2 là nghiệm , do đó ta phải có π⎞ π 3 ⎛ a ⎜ 4 − sin ⎟ − 3 + cos 2 + a > 0 ⇔ 82a – 3 > 0 ⇔ a > 2⎠ 2 82 ⎝ 3 Vậy là... 0 ⇔ x ∈ [0 ; π] Bài 21 Giải bất phương trình : cos2x + sinx –1 < 0 (1) Giải (1)⇔ -2sin2x + sinx < 0 ⇔ sinx(1 – 2sinx) < 0 ⎧sin x < 0 ⎧sin x > 0 ⎧sin x < 0 ⎧sin x > 0 ⎪ ⎪ ∨⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 1∨⎨ 1 ⎩1 − 2 sin x > 0 ⎩1 − 2 sin x < 0 ⎪sin x < 2 ⎪sin x > 2 ⎩ ⎩ ⎡π + k 2π < x < 2π + k 2π 1 ⇔ sinx < 0 ∨ sinx > ⇔ ⎢π (k ∈ Z) ⎢ + k 2π < x < 5π + k 2π 2 6 ⎣6 225 Bài 22 Đònh a để bất phương trình sau cóâ nghiệm : sin2x . PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 214 Vấn đề 8 Bất PhươngTrình Lượng Giác A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô nghiệm dể dàng . Bài 15 Giải bất phương trình : 4sin3sin 62cossin4 10cossin log 2 2 5 −+> ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− +− xx xx xx (*). 0 , với x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ 2 2 ,0 Bất phương trình có nghiệm ⇔ m 2 – 2m ≤ maxf(x) , ⇔ m 2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2. Bài 10 Giải bất phương trình : cos 3 x.cos3x – sin 3 x.sinx