chuyen de phuong trinh vo ty thay loi

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

•LêI NãI §ÇU

Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình môn toán ở trường THCS cũng như THPT Trong những năm gần đầy các bài toán về phương trình thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 THPT, các lớp 10 năng khiếu toán và trong các kì thi học sinh giỏi các cấp với độ khó ngày càng cao.

Với mong muốn tạo ra một tài liệu thể hiện được các phương pháp giải phương trình cùng với các hướng tiếp cận, đưa ra phương pháp tư duy và các phép suy luận để tìm ra được lời giải một cách tối ưu Cũng như chia sẻ một số kình nghiệm khi giải một hệ phương trình Vì vậy chúng tôi đã soạn ra cuốn tài liệu ”Một số chủ đề về phương trình vô tỷ toán THCS”

Nội dung chính của cuốn tài liệu gông 3 chương

+ Chương I Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ.

+ Chương II Một số bài toán về phương trình vô tỷ.

Trong chương I, chúng tôi trình bày theo các chủ đề tương ứng các dạng phương trình điển hình và được viết theo từng phần

1 Nội dung phương pháp chung: Trình bày phương pháp chung để giải một số dạng phương trình điển hình

2 Một số bài tập mẫu: Trình bày một số bài toán từ mức dễ đến khó với các bước phân tích tìm lời giải cũng như trình bày lời giải một cách chính xác khoa học.

3 Các bài tập tự luyện: Trình bày hệ thống các bài tập tự giải cho mỗi chủ đề với hy vong giúp bạn đọc củng cố lại vấn đề đã tiếp cận Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ phân tích bài toán một cách tự nhiên nhưng vẫn đảm bảo tính khoa

học, hy vọng cuốn tài liệu sẽ thức sự có ích cho bạn đọc trên con được chinh phục các bài toán về phương trình vô tỷ

Mặc dù chúng tôi đã thực sự cố gắng và dành nhiều tâm huyết

để hoàn thiện cuốn sách với hiệu quả cao nhất, song sự sai sót là điều khó tránh khỏi Chúng tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện cuốn sách tốt hơn.

Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các đồng nghiệp đã cung cấp một số tài liệu cũng như các lời giải hay để cuốn sách thêm phần phong phú.

Xin chân thành cảm ơn

Nhóm tác giả

Mục Lục

Trang

Kĩ năng 2: Sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử 37

Kĩ năng 3: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai 53 Phương pháp 3 Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp 63

2 Một số kĩ năng sử dụng đại lượng liên hợp 64

Kĩ năng 2: Tách biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp 74

Kĩ năng 3: Một số kĩ thuật sử lý sau khi nhân liên hợp 80 Phương pháp 4 Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ 95

Kĩ năng 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn 95

Kĩ năng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích 109

Kĩ năng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình 130

Kĩ năng 5: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình giải được 161 Phương pháp 5 Phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ 167

2 Một số kĩ năng đánh giá trong giải phương trình vô tỷ 167

Kĩ năng 1: Làm chặt miền nghiệm để giải phương trình vô tỷ 167

Kĩ năng 2: Sử dụng hằng đẳng thức đưa phương trình về tổng các lũy

Kĩ năng 3: Kĩ năng sử dụng bất đẳng thức cổ điển 179

BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP

1 Bài tập rèn luyện phương pháp nâng lên lũy thừa 191 Hướng giải bài tập phương pháp nâng lên lũy thừa 193

2 Bài tập rèn luyện phương pháp phân tích thành phương trình

5 Bài tập rèn luyện phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ 311 Hướng dẫn giải bài tập phương pháp đánh giá giải phương trình

Phương pháp 1 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA

Trong bài toán phương trình vô tỷ thì phép nâng lên lũy thừa là mộtbiến đổi tự nhiên và có vẻ đẹp riêng Có lúc phương pháp này được sử dụngtrực tiếp hoặc gián tiếp nhưng mục đích chính vẫn là đi tìm nghiệm của phươngtrình vô tỷ Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là nhữngphương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức.Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là ta thu được phương trìnhtương đương hay phương trình hệ quả Để có thể biến đổi chính các phươngtrình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay không,

khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tươngđương hay phương trình hệ quả

+ Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình bằng việc giải hệ

+ Bước 2 Bình phương hai vế của phương trình và đưa phương trình về dạng

+ Bước 3 Giải phương trình cơ bản và kiểm tra sự thỏa mãn của

nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình để kết luận

Dạng 6

Phương pháp chung

+ Bước 1 Lũy thừa bậc ba hai vế của phương trình thì được

+ Bước 2 Biến đổi phương trình và chú ý đến ta được

+ Bước 3 Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai về thì được phương trình

Dạng 7 Trong đó xẩy ra một trong các trường

+ Nếu có thì sử dụng phép biến đổi tương đương

+ Nếu có thì sử dụng phép biến đổi hệ quả

+ Nếu có thì sử dụng phép biến đổi tương đương

II Một số ví dụ minh họa

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình được cho ở trên có dạng cơ bản là , do đó ta sử dụng

phép nâng lên lũy thừa Chú ý rằng với điều kiện xác định tìm được ta biến đổiphương trình như sau

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm

Nhận xét.

Lời giải trên ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau khi đã

tìm điều kiện xác định cho phương trình.

Có thể thực hiện biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều kiện xác định bằng cách

+ Thực tế thì ta không cần phải viết cùng lúc hai điều kiện

cùng một lúc như trong phép biến đổi trên, mà chỉ cần viết một trong hai điều kiện là được, chẳng hạn như

Chú ý rằng việc chọn điều kiện nào trong phép biến đổi phụ thuộc vào

sự thuận tiện cho qua trình kiểm tra lại và lời giải cho bài toán ngắn gọn hơn.

Ví dụ 2 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình trong vì dụ có dạng cơ bản nên ta sử dụng phép biến đổi

nâng lên lũy thừa Chú ý rằng trong hai điều kiện thì điều

kiện đơn giản hơn Lại nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được là một

nghiệm Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình như sau

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Ví dụ 3 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình trên có dạng cơ bản nên ta hướng đến sử dụng phép biếnđổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy

nhiên nhận thấy là một nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân

tích được phương trình bậc 3 Ta trình bày lời giải như sau

Nhận xét.

Trong hai điều kiện thì việc chọn điều kiện

trong phép nâng lên lũy thừa là hoàn toàn hợp lí.

Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên.

+ Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện

Để thực hiện tách được thì cần có điều kiện Muốn vậy ta ta tìm điều kiện xác định của phương trình trước

.

+ Tìm được điều kiện nhưng lại vội vàng khai căn

Ta biết rằng với biểu thức dạng thì khi khai căn phải lấy dấu giá

trị tuyệt đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn

Với điều kiện ta chưa xác định được mang dấu gì nên khi

khai căn ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 4 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình cho trong ví dụ là phương trình dạng nên ta sử

dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải Ta thấy vế trái của luôn không âm, do

đó nếu vế phải của phương trình âm thì phương trình vô nghiệm Do đó ta chỉ

có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện Khi đó

hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là

Nhận xét.

Trong qua trình nâng lên lũy thừa ta chỉ cần đặt điều kiện là được

mà không cần phải có thêm điều kiện , bởi vì khi nâng lên lũy thừa

thì đã đảm bảo cho điều kiện

Nếu trong qua trình biến đổi ta không đặt điều kiện thì khi tìm

và ta cần thử lại vào phương trình ban đầu để xác định nghiệm.

Ví dụ 5 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Việc đầu tiên khi giải phương trình trên là tìm điều kiện xác định củaphương trình Vì chưa biết chắc chắn vế phải âm hay dương nên trước khi biến

đổi nâng lên lũy thừa ta cần có thêm điều kiện Tuy nhiên để ý

một tí ta nhận thấy khi chuyển vế đại lượng sang vế trái thì hai vế của

phương trình đều dương và đến đây ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế mà

không cần đến điều kiện Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho

tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là

Nhận xét.

Khi gặp phương trình dạng thì ta nên chuyển vế một hạng tử

sao cho hai vế của phương trình đều không âm, từ đó ta thực hiện nâng lên lũy thừa mà không cần phải bổ sung thêm điều kiện của ẩn.

Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên

theo phương pháp đánh giá như sau

Điều kiện xác định của phương trình là

Phân tích và lời giải

Phương trình trong ví dụ có dạng cơ bản nên ta sử dụng

phép nâng lên lũy thừa, Sau phép nâng lên lũy thừa ta được một phương trìnhbậc hai Chú ý đặt điều kiện cho ẩn để phép nâng lũy thừa thực hiện được Ta

có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được là nghiệm duy nhất của phương

trình

Nhận xét Phương trình được viết lại thành , đến đây ta

thực hiện phép đặt ẩn phụ và đưa phương trình về dạng bậc hai

Phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 9 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho

tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm

Ví dụ 10 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện xác định của Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được nghiệm duy nhất

Nhận xét Để ý đến biểu thức ta viết phương trình về

dạng Phương trình đã cho tương đương với

+ Dễ thấy phương trình vô nghiệm do điều kiện

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm

Ví dụ 13 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản và biểu thức trong căn là các đathức bậc nhất Do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình.Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu được một phương trình bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được nghiệm duy nhất là

Ví dụ 14 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương

với

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta được tập nghiệm

Nhận xét Ta cũng có thể thực hiện phép nâng lên lũy thừa theo cách khác

Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp điều kiện ta thu được tập nghiệm

Ví dụ 15 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình có dạng cơ bản nên ta sẽ sử dụng

biến đổi nâng lên lũy thừa, tuy nhiên trước khi biến đổi ta cần đặt điều kiện cho

phương trình và chuyển vế hạng tử sang vế phải sao cho phương trình

thu được có hai vế không âm

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được là nghiệm duy nhất của phương

trình

Nhận xét.

Ở phương trình trên ta chuyển qua vế phải rồi mới bình phương Mục

đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương.

Sai lầm thường gặp khi bình phương hai vế phương trình đã cho là biến đổi

phương trình thành mà chưa xác định được

mang dấu gì Ta khắc phục sai lầm đó bằng cách sau

Ngoài ra ta có thể biến đổi

Tuy nhiên sau khi giải được các nghiệm ta cần thử lại vào phương trình ban đầu để tìm tập nghiệm.

thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình Để ý rằng

nên sau pháp bình phương hai vế ta thu được phương

trình Sử dụng tiếp một lần nữa phép nâng lên

lũy thừa thì thu được phương trình bậc hai

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương

với

Cả hai giá trị bị loại do Kết luận phương trình vô nghiệm.

Nhận xét Cũng từ ta nghĩ đến đặt ẩn phụ

Khi đó từ cách đặt và phương trình đã cho ta có hệ

Tư đó ta được hay ta có phương trình

Ví dụ 18 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình đã cho tương đương với Giả sử hai

vế của phương trình cùng dấu Khi đó

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm

Nhận xét Dễ thấy rằng hai phương trình sau không tương đương với nhau.

và

Do đó ta có thể giả sử hai vế của phương trình

cùng dấu để phép có biến đổi tương đương Ngoài ta ta có thể biến đổi hệ quả là

Trong cả hai cách trên sau khi giải ra nghiệm ta cần phải thử lại vào phương trình đã cho rồi kết luận tập nghiệm.

Ví dụ 19 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Giả sử hai vế của phương trình

đã cho cùng dấu

Khi đó phương trình tương đương với

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình dã cho có tập nghiệm

Ví dụ 20 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là

Để ý ta thấy Do đó ta viết phương trình lại

thành

Bình phương hai vế của phương trình ta được

Thử lại vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

Nhận thấy Do đó khi chuyển vế hai hạng tử

và sang vế kia thì ta được phương trình có hai vế cùng dương Lúc này

bình phương hai vế ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Từ phương trình ta được

Thay các giá trị tìm được vào phương trình ta thấy không thỏa mãn Vậy

phương trình vô nghiệm

Nhận xét Có thể sử dụng phương pháp phân tích nhâ tử để giải quyết nhanh

gọn phương trình.

Với điều kiện ta có và Do đó phương trình đã cho tương đương với

Từ đây ta suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 23 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Để giải phương trình

này thì rõ ràng ta phải loại bỏ căn thức Điều đầu tiên là ta nghĩ đến bìnhphương hai vế Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bìnhphương hai vế ta thu được phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta có tập nghiệm

Nhận xét Qua lời giải trên, ta thấy được biểu diễn được qua

nhờ vào đẳng thức Như vậy nếu ta đặt

thì và khi đó phương trình đã cho trở thành phương

trình bậc hai với ẩn là t

Vậy ta có

Việc thay thế biểu thức bằng một ẩn mới là (ẩn phụ) là một

suy nghĩ hoàn toàn tự nhiên Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta phải tìm được mối liên hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình, trong trường hợp này đó là đẳng thức

Ví dụ 24 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

Nhận thấy khi thì nên phương trình trên

không có nghiệm Do đó ta xét phương trình khi

Khi đó phương trình tương đương với hệ

Xét phương trình ta được

Do nên từ phương trình trên ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta được là nghiệm duy nhất

Nhận xét Bài toán này ta có thể giải bằng phương pháp đánh giá như sau.

Với điều kiện xác định như trên thì phương trình đã cho tương đương với

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

Suy ra Do đó kết hợp với phương trình ta được

Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất là

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Với điều kiện đó ta biến đổi

phương trình đã cho như sau

Đặt với

Ta được

Nếu thì ta được (do )

Nếu thì ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm là

Ví dụ 26 Giải phương trình sau

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được là nghiệm duy nhất của phương

trình

Ví dụ 27 Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương

Vậy phương trình có tập nghiệm là

Nhận xét Phương trình cho trong ví dụ có dạng tổng quát Để

giải phương trình dạng này ta lũy thừa bậc ba hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình đa thức.

Ví dụ 28 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có dạng cơ bản Do đó ta sử

dụng phép nân lên lũy thừa để giải Chú ý rằng sau phép nâng lên lũy thừa thì

phương trình xuất hiện biểu thức căn bậc ba dạng , khi đó ta thay

thế bằng

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương

với

Thử lại hai giá trị x đều thỏa mãn phương trình Vậy phương trình đã cho có tập

nghiệm

Nhận xét Trong lời giải trên ta đã sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ bậc ba

dạng khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa Trong bài

toán phép biến đổi thay bằng là một phép biến đổi hệ quả,

do đó ta cần phải thay các giá trị tìm được vào phương trình đã cho rồi mới kết luận tập nghiệm.

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương

Phân tích và lời giải

Phương trình có dạng cơ bản nên ta nghĩ đến phép

nâng lên lũy thừa để xử lý phương trình Quan sát phương trình ta nhận

, do đó ta biến đổi phương trình về dạng

và sau khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa ta

thu được phương trình Đến đây ta có

lời giải cho bài toán như sau

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương

đương với

Giải các trương hợp trên ta được tập nghiệm

Nhận xét Với phương trình dạng trong đó

thì ta thực hiện lập phương hai vế và đưa phương trình về dạng

Một phương trình mở rộng cho dạng phương trình này là

Trong đó Lập phương hai vế ta quy phương trình về dạng

Trong phép biến đổi phương trình ta đã sử dụng hằng đẳng thức

Mục đích của phép nâng lên lũy thừa chính là làm triệt tiêu các căn thức và

đưa phương trình vô tỷ về dạng phương trình hữu tỷ

Do phép biến đổi nâng lên lũy thừa thường làm cho lũy thừa của ẩn tăng lên

Vì thế để làm triệt tiêu các biểu thức chứa x mũ cao ta cần khéo léo lựa chọn sửdụng biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả Trong một số ví dụ được nếutrên có nhiều bài toán được kết hợp giữa phép biến đổi tương đương và phépbiến đổi hệ quả một cách hoàn hảo

Trong một số trường hợp ta cần kết hợp phép nâng lên lũy thừa với các

phương pháp khác như đặt ẩn phụ, phân tích thành tích, đánh giá,…

Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phép nâng lên lũy thừa

+ Sử dụng dấu “ ” và dấu “ ” một cách tùy tiện

+ Thực hiện phép khai phương một tích khi chưa

xác định được dấu của các biểu thức A và B

+ Không phân biệt được biến đổi tương đương hay biến đổi hệ quả

Phương pháp 2 – PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH THÀNH

TÍCH

I Cơ sở của phương pháp

Với một phương trình vô tỷ có chứa nhiều căn thức thì việc việc sửdụng phép nâng lên lũy thừa không phải là một phương án tối ưu vì khi đóphương trình thu được chưa hẳn triệt tiêu hết các căn thức mà số mũ của ẩn lạicao Khi đó một trong các phương án xử lý phương trình đó là viết phương trình

về dạng Khi đó ta đi giải các phương trình hệ quả để tìm

nghiệm cho phương trình

Để phân tích một phương trình thành tích ta thường sử dụng các kỹthuật

+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

+ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

II Một số kỹ năng phân tích phương trình thành tích

1 Kỹ năng sử dụng các hằng đẳng thức

Ví dụ 1 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Phương trình đã cho có chứa ẩn ở mẫu và để đơn giản ta đặt điều kiện

cho ẩn rồi viết phương trình về dạng Ta để ý đến biểu

thức có dạng do đó ta nghĩ đến hằng đẳng thức dạng ,

từ ý tương đó ta thêm bớt một lượng để viết phương trình về dạng

Với , khi đó ta được

Với , khi đó ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của phương trình là

Nhận xét

Quan sát phương trình ta thấy phương trình chỉ chứa một căn thức

nên ta sẽ viết phương trình thành phương trình bậc hai có ẩn

với hy vọng phương trình bậc hai đó có biệt thức delta là số chính

phương.

Phương trình đã cho được viết lại thành

, khi đó ta có

, không thể viết dưới dạng chính phương.

Như vậy cách viết lại phương trình như trên không đem lại hiệu quả.

Ta viết lại phương trình thành ,

khi đó ta có là một số

chính phương Từ đó phương trình có hai nghiệm là và

hay phương trình đã cho viết được dưới dạng tích

Đến đây ta giải phương trình tương tự

như trên.

Ví dụ 2 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Trước hết ta viết lại phương trình thành Khi đó tích

có thể viết thành , điều này làm ta nghĩ đến các hằng đẳng

thức , thử lần lượt các trường hợp ta thấy khi viết thành

thì vế còn lại có dạng , đến đây ta có lời giải cho phương

Phương trình đã cho có tích nên để viết thành dạng

hằng đẳng thức ta cần có , do đó ta viết phương trình thành

, đến đây ta thực hiện thêm bớt để có hằng đẳng

thức , khi đó hạng tử còn lại là 9 nên phương trình đã cho

phân tích được thành tích và ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương

Cũng bằng cách phân tích phương trình thành tích nhưng ở đây ta thực hiện nhận lương liên hợp để tạo ra nhân tử chung là Cách tìm nhân

tử chung được trình bày trong “Phương pháp sử dụng đại lượng

liên hợp”

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho tương đương với

Xét trường hợp , thay vào phương

trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

Ví dụ 4 Giải phương trình

Phân tích và lời giải

Trước hết ta viết lại phương trình thành Từ

phương trình ta chú ý đến tích có dạng , do đó để viết

thành hằng đẳng thức dạng ta nhân hai vế của phương trình với 2 Chú

ý rằng để có và ta cần thêm bớt một lượng Trước hết ta

viết lại phương trình làm xuất hiện

Ta thấy rằng vế phải của phương trình trên không viết được dưới dạng số chính phương do đó ta nghĩ đến viết phương trình có chứa hằng đẳng thức

Như vậy phương trình đã cho phân tích được thành tích

Điều kiện xác định của phương trình là Phương trình đã cho

tương đương với

Phân tích và lời giải

Quan sát phương trình ta thấy có tích nên ta sẽ thêm

bớt vào phương trình để tạo ra hằng đẳng thức hoặc