Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
134 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề hệ phương trình Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn hệ phương trình thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: • • • • Các hệ phương trình Một số kĩ thuật giải hệ phương trình Hệ phương trình ẩn Hệ phương trình chứa tham số Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề hệ phương trình giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Mục Lục Lời nói đầu Chủ đề Các hệ phương trình Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình quy đẳng cấp Chủ đề Một số kĩ thuật giải hệ phương trình Kĩ thuật Dạng 1: Rút ẩn theo ẩn từ phương trình vào phương trình Dạng 2: Thế biểu thức vào phương trình lại Dạng 3:Thế số từ phương trình vào phương trình Kĩ thuật phân tích thành nhân tử Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế hệ phương trình Dạng 1: Cộng, trừ đại số để tạo tổng bình phương Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đưa phương trình ẩn Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đưa phương trình tích Dạng 4: Các tốn khơng mẫu mực giải cộng, trừ, nhân hai vế hệ Kĩ thuật đặt ẩn phụ Dạng 1: Dùng ẩn phụ đưa phương trình bậc hai ẩn Dạng 2: Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại I Dạng 3: Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II Dạng 4: Dùng ẩn phụ đưa phương trình ẩn Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu Kĩ thuật nhân liên hợp phương trình chứa thức Kĩ thuật đánh giá giải hệ phương trình Dạng 1: Dựa vào đồng biến nghịch biến vế hệ phương trình Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để đánh giá Dạng 3: Sử dụng điều kiện nghiệm hệ phương trình Kĩ hệ số bất định để giải hệ phương trình Chủ đề Hệ phương trình bậc ba ẩn Dạng 1: Hệ hai phương trình ba ẩn Dạng 2: Hệ ba phương trình ba ẩn Chủ đề Hệ phương trình có chứa tham số Dạng 1: Biện luận nghiệm phương trình Dạng 2: Tim điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tập rèn luyện tổng hợp Hướng dẫn giải Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp Trang 3 12 12 12 13 15 17 22 22 23 24 26 28 28 30 32 33 34 36 39 39 40 44 45 52 52 53 57 57 60 64 76 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I LÝ THUYẾT CHUNG: Hệ đối xứng loại II hệ có dạng: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp f ( x,y) = g ( x,y ) = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Trong f(x, y) g(x, y) đa thức đối xứng Nghĩa là: f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y,x) Hay hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình có vai trò x, y hồn tồn phương trình, ta hốn đổi vị trí x y hệ hệ phương trình khơng thay đổi Ví dụ: Tính chất: Nếu hệ có nghiệm nghiệm (y0;x0 ) (x0 ;y0 ) x + y + 2xy = 21 2 2x + 2y − xy = tính đối xứng, hệ có PHƯƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi phương trình hệ đưa ẩn S P mà: S = x + y, P = x.y Giải S P Khi x, y nghiệm phương trình: X2 – S.X + P = Một số đẳng thức hay được sử dụng: x2 + y2 = ( x + y ) − 2xy = S2 − 2P x2 − xy + y2 = ( x + y ) − 3xy = S2 − 3P x2 + xy + y2 = ( x + y ) − xy = S2 − P x3 + y3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = S3 − 3PS ( x4 + y4 = x2 + y2 ) ( 2 − 2x2y2 = ( x + y ) − 2xy − 2x2y2 = S2 − 2P ( )( ) ( x4 + x2y2 + y4 = x2 + y2 − xy x2 + y2 + xy = S2 − 2P ) ) − 2P − P2 1 x+ y S + = = ; x y xy P 1 x2 + y2 S2 − 2P + = 2 = ; x2 y2 xy P2 x y x2 + y2 S2 − 2P + = = y x xy P THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Giải hệ phương trình x + y + xy = −1 2 x + y − xy = Lời giải Hệ (x + y) + xy = −1 ⇔ (x + y) − 3xy = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Đặt x + y = S ∃x, y ⇔ S2 ≥ 4P xy = P ( TH TH S + P = −1 S = 1, P = −2 ⇔ S − 3P = S = −4, P = ) ta S = x + y = x = −1, y = ⇒ ⇔ P = −2 xy = −2 x = 2, y = −1 S = −4 x + y = −4 x = −1, y = −3 ⇒ ⇔ P = xy = x = −3, y = −1 { (−1;2); (2; −1); (−1; −3); (−3; −1)} Vậy tập nghiệm hệ là: S = Thí dụ Giải hệ phương trình x3 + x3y3 + y3 = 17 x + xy + y = Lời giải x3 + x3y3 + y3 = 17 ( x + y ) + x3y3 − 3xy ( x + y ) = 17 ⇔ x + xy + y = ( x + y) + xy = Đặt x + y = a; xy = b Hệ cho trở thành: a3 + b3 − 3ab = 17 a + b = a = ⇔ b = Với a = b = a = 5− b ⇔ b − 5b + = a = 5− b ⇔ (b − 2)(b − 3) = a = b = ta có hệ phương trình x + y = x = 3− y x = 3− y ⇔ ⇔ y − 3y + = (y − 1)(y − 2) = xy = x = ⇔ y = Với a = b = x = y = ta có hệ phương trình Vậy nghiệm hệ cho là: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp x + y = x = − y ⇔ y − 2y + = xy = ( x;y) (vô nghiệm) = ( 1;2) ; ( 2;1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Thí dụ Giải hệ phương trình xy(x + y) = 3 3 x + y + x y + 7( x + 1) ( y + 1) = 31 (Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) Lời giải Ta có hệ phương trình: xy ( x + y ) = ⇔ 2 (x + y)(x − xy + y ) + ( xy ) + 7(x + y + xy + 1) = 31 xy(x + y) = ⇔ (x + y) ( x + y ) − 3xy + ( xy ) + ( x + y ) + xy + 1 = 31 ab = a a − 3b + b + 7( a + b + 1) = 31 a = x + y;b = xy Đặt hệ trở thành: ab = ⇔ 3 a − 3ab + b + 7( a + b + 1) = 31 ⇒ ( a + b) ( a + b) − 3ab − 3ab + 7( a + b + 1) = 31 ( ) ⇔ ( a + b) − 3ab(a + b) − 3ab + 7(a + b) − 24 = ⇒ ( a + b) − 6(a + b) − 3.2 + 7( a + b) − 24 = ⇔ ( a + b) + ( a + b) − 30 = ⇔ ( a + b) − 27 + (a + b) = 3 ⇔ (a + b − 3) ( a + b) + 3(a + b) + 10 = ( ⇒ a + b = ( a + b) a + b = a = ⇒ ⇒ ab = b = ) + 3(a + b) + 10 > a2 = ( x + y ) ≥ 4xy = 4b) (do x + y = ⇒ ⇒ x= y =1 xy = Vậy hệ có nghiệm ( x;y) = ( 1;1) II- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II KHÁI NIỆM Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Hệ đối xứng loại II hệ có dạng: f ( x,y ) = f ( y,x) = Trong đó: f(x, y) đa thức không đối xứng Hay hệ đối xứng kiểu hai hệ đối xứng hai phương trình hệ, ta hốn đổi vị trí x y phương trình thứ phương trình thứ hai hệ Ví dụ: ( 1) ( 2) x2 − 2y = y − 2x = y phương trình (1) ta y2 − 2x = thay hoán đổi vị trí x phương trình (2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trừ vế hai phương trình hệ ta nhân tử chung (x – y) nhóm lại đưa phương tích sau xét hai trường hợp: x= y (x − y).A(x,y) = ⇔ A (x,y) = Việc trừ theo vế thường phải sử dùng đẳng thức liên hợp chứa căn: a2 − b2 = ( a + b) ( a − b) ( a3 ± b3 = ( a ± b) a2 mab + b2 a− b a− b = a− b = ) a+ b a± b a2 m3 ab + b2 THÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Giải hệ phương trình x + x = 2y y + y = 2x Lời giải Điều kiện: x,y ≥ Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com ( ) x2 + x − y2 + y = 2( y − x) ⇔ Vì ( x − y )( ) ( x + y ( x + y ) + 1+ ( ) x + y ( x + y ) + 1+ ) ( x + y = ) x+ y >0 nên phương trình cho tương đương với: x2 − 2x + x = ⇔ x2 + x = 2x ⇔ x Hay ( x= y x = x − x + x − = ⇔ x = x = 3− )( ) ( x;y) = ( 0;0) ,( 1;1) , 3−2 ; 3−2 ÷÷ Vậy hệ có cặp nghiệm: Thí dụ Giải hệ phương trình x3 + 3x − 1+ 2x + = y y + 3y − 1+ 2y + = x Lời giải Điều kiện: 1 x ≥ − ;y ≥ − 2 x= y = − Để ý Ta xét trường hợp nghiệm x + y ≠ −1 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x3 + 3x − 1+ 2x + − y3 + 3y − 1+ 2y + = y − x ⇔ (x − y) x2 + xy + y2 + 4(x − y) + Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 2( x − y ) 2x + + 2y + =0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com = 0⇔ x = y ⇔ (x − y) x2 + xy + y2 + 4+ 2x + + 2y + Khi x= y x(x2 + 1) + xét phương trình: x3 + 2x − 1+ 2x + = ⇔ x3 + 2x + 2x + − = = ⇔ x x2 + 1+ = 0⇔ x = 2x + + 2x + + 1 2x Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: Thí dụ Giải hệ phương trình ( ( x= y = ) ) ( ( ) ) ( x − 1) y2 + = y x2 + 2 ( y − 1) x + = x y + Lời giải Hệ cho xy2 + 6x − y2 − = yx2 + y ⇔ 2 yx + 6y − x − = xy + x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: 2xy ( y − x) + 7( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − 2xy + 7) = x = y ⇔ x + y − 2xy + = + + Nếu Nếu x= y thay vào hệ ta có: x = y = x2 − 5x + = ⇔ x = y = x + y − 2xy + = ⇔ ( 1− 2x) ( 1− 2y ) = 15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x2 + y2 − 5x − 5x + 12 = ⇔ ( 2x − 5) + ( 2y − 5) = 2 Đặt a = 2x − 5,b = 2y − Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com a + b = 2 ( a + b) − 2ab = ab = −1 a + b = ⇔ ⇔ ( a + 4) ( b + 4) = 15 ab + 4( a + b) = −1 a + b = −8 ab = 31 Ta có: Trường hợp 1: Trường hợp 2: a + b = ⇔ ( x;y ) = ( 3;2) ,( 2;3) ab = −1 a + b = −8 ab = 31 vô nghiệm ( x;y ) = ( 2;2) ,( 3;3) ,( 2;3) ,( 3;2) Vậy nghiệm hệ cho là: III- HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP LÝ THUYẾT CHUNG: + Là hệ có dạng: f k ( x, y ) = c1 k g ( x, y ) = c2 Trong f(x, y) g(x, y) đa thức bậc k x y (k = 2, 3,….) không chứa thành phần nhỏ k , 1, + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: + + ax2 + bxy + cy2 = d 2 ex + gxy + hy = k , ax2 + bxy + cy2 = dx + ey , 2 gx + hxy + ky = lx + my Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com 2 ⇔ ( x + x + 2)( x − x − 1) = ⇔ x − x − = (Vì x + x + = ( x + 1) + > ) x = 1− ⇔ x = + x =1− ⇒ y = - Với nghiệm hệ x =1+ ⇒ y = −1 2− = −3 − − −1 2+ Ta ( x; y ) = (1 − 5; −3 − 5) = −3 + - Với nghiệm hệ Vậy hệ cho có nghiệm : Ta ( x; y ) = (1 + 5; −3 + 5) (−1; −1); (1 − 2;1 − 2); (1 + 2;1 + 2) ; (1 − 5; −3 − 5) ; (1 + 5; −3 + 5) Câu 83 x + xy2 − xy − y3 = ( 1) 2 ( x + 1) − x ( y + 1) − y = ( ) ĐK: x ≥ x−y=0 ⇔ ( x − y ) ( x + y2 ) = ⇔ x + y2 = (1) x = y = không thỏa mãn hệ TH1: x + y = , suy TH2: x - y = hay y = x vào (2) ta : ( x + 1) − x ( x + 1) − x = ⇔ 2x − 3x x − x − x + = ⇔ ( )( )( ) x − 2 x −1 x + x +1 = x =2 x=4 ⇔ ⇔ x=1 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm : Câu 84 ( x; y ) = ( 4;4 ) ( x; y ) = 1 ; ÷ 4 4 xy + x − y = −1 xy + (2 x + 1) = y ⇔ 2 x y + xy − x + y = ( x y + xy + 1) y − 2(2 x + 1) = −2 y (*) (lưu ý: không thiết biến đối đưa vế phải pt thứ hai −2 y , −3y ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com 2 x + = ⇔ x=− −2(2 x + 1) = - Xét y = thay vào hệ (*) ta được: x = − y = nghiệm hệ Suy - Xét y ≠ , hệ phương trình (*) tương đương với hệ: 2x +1 2x +1 xy + = ( xy + 1) + =5 y y ⇔ x y + xy + − x + = −2 ( xy + 1) − x + = −2 ÷ ÷ y y (**) a + b = 2x + a = xy + 1, b = a − 2b = −2 Đặt ; hệ phương trình (**) trở thành: (***) a = a = −4 b = b = + Giải hệ (***) tìm được: , * Với * Với a = b = ta có a = −4 b = 2x + xy + = x =1 x = ÷ ⇔ ⇔ 2x + y =1 y = y = 2x + ta có 2x + xy + = −4 x = −5 ÷ ⇔ 2x + y =9 y = 2x + x = − y = − (vô nghiệm) x = − x = y = y =1 Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm: , , Cách khác: x = − y = − xy + x − y = −1 xy + (2 x + 1) = y ⇔ 2 x y + xy − x + y = x y + xy − (4 x + 2) = −3 y xy + (4 x + 2) = y ⇔ ⇒ x y + xy − y = x y + xy − (4 x + 2) = −3 y y = ⇔ xy = xy = −5 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com ( x; y ) = ( − ;0) + Với y = Suy ( x; y ) = ( − ; − ) + Với xy = Suy ( x; y ) = (1;1) + Với xy = −5 Trường hợp không tồn cặp ( x; y ) x = − x = − x = y = − y = y = Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm: , , Câu 85 2 x + ( y + 1) = xy + x + 2 x = x + y + Đặt t = y + ta có hệ 2 x + ( y + 1) − x ( y + 1) = ( I) ⇔ 2 x = x + y + ( II ) x + t − xt = x + t − xt = x = t = ⇔ ⇔ ( II ) ⇔ 2 x = t = − x = x + t x + t − x x = t ( ) ( ) ( x; y ) = ( 1;0 ) ; ( −1; −2 ) Vậy nghiệm hệ phương trình Câu 86 Điều kiện: x≥ Phương trình thứ hai tương đương với x= 2y ( 5x − 2) ( x − 3) = 3( − 5x) ⇔ ( 5x − 2) 2y ( x − 3) + 3 = ⇔ 2y ( x − 3) + = Với 2y4 ( x − 3) + = ta y4 = phương trình thứ ta 3 ⇒ y2 = − 2x − 2x , vào 3 2x − + = − 6x − − 2x − 2x hay 6x − + 3( − 2x) = − ( 6x − 3) ( 6− 2x) Với phương trình ta nhận thấy có hướng xử lý sau + Hướng Đặt ẩn phụ phương trình ( ) a = 6x − ≥ 0;b = − 2x ≥ Khi ta hệ a2 + b2 = 15 2 a + b = 15 3( a + b) = 45+ 6ab ⇔ ab ⇔ a + b = − a + b + ab = 15 ( ) ( a + b) = 15− ab 45+ 6ab = ( 15− ab) ⇔ ( ab) − 36ab + 180 = Từ hệ ta Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Chú ý ab ≥ nên từ phương trình ta ab = ab = 30 Với ab = 30 ta a + b = −5 , loại Với ab = ta a + b = 3 suy a = 3;b = a = 3;b = 6x − = ⇒ x= 3( 6− 2x) = Từ a = 3;b = ta 6x − = ⇒ x=1 − 2x = ( ) Từ a = 3;b = ta Đây hệ phương trình đối xứng nên ta giải hệ + Hướng Nhận thấy phương trình có nghiệm x = nên ta sử dụng đại lượng liên hợp 6x − + 3( − 2x) = − ( 6x − 3) ( 6− 2x) ⇔ 6x − − + 3( 6− 2x) − = − −12x2 + 42x − 18 ⇔ 6x − 6x − + + − 6x 3( − 2x) + = 12x2 − 42x + 30 + −12x2 + 42x − 18 1 2x − =0 ⇔ ( 6x − 6) − − 6x − + 3( − 2x) + 3 + −12x + 42x − 18 1 2x − − − =0 6x − + 3( 6− 2x) + 3 + −12x2 + 42x − 18 Xét phương trình Phương trình viết lại thành 2x − + ⇔ ⇔ ( ( ( 2x − − 6− 2x + 2 + −4x2 + 14x − 6 − 2x + − 2x − − )( 2x − + ) 2x − + − 2x − 1+ − 2x − )( 2x − + 5− 2x ⇔ − + ) 2x − + + + =0 5− 2x + −4x2 + 14x − 5− 2x + −4x2 + 14x − =0 =0 5− 2x 5− 2x − 2x + + 2x − + =0 2x − + 2x − + + −4x2 + 14x − )( ) 1 + = 0⇔ x = ⇔ ( 5− 2x) − 2x + + 2x − + 2x − + 2x − + + −4x2 + 14x − Từ kết ta tìm nghiệm hệ phương trình ( Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp )( ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com x;y = ( ) 1; ÷ , 1; − ÷ ÷ , ; ÷, ; − ÷ ÷ 2 Câu 87 Cả hai phương trình có hạng tử xy nên ta tìm cách triệt tiêu, lúc tốn giải Hệ phương trình cho tương đương với 2xy − x + y = 2xy − x + y = ⇔ ⇒ 3y − 3x = ⇒ y = + x xy − y + x = 2xy − 2y + 2x = Thế y= 4 x2 + x − = ⇒ x ∈ −2; +x 3 3 vào phương trình thứ ta Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Câu 88 ( x;y) = −2; −34 ÷, 43 ;2÷ 2 (1) x + y + = 4x x + 12 x + y = x + (2) Giải hệ phương trình: 2 Ta có: (1) ⇔ = 12 x − 3x − 12 y , vào phương trình (2) thu gọn ta được: x3 + y = 3( x − y ) ⇔ ( x + y )( x − xy + y − x + y ) = x + 2y = ⇔ 2 x − xy + y − x + y = *) TH1: x + 2y = ⇔ y = −x , vào phương trình (1) ta x + = x ⇔ x − x + = , phương trình vơ nghiệm 2 *) TH2: x − xy + y − x + y = , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: x = −2 xy − x + y − = −4 x ⇔ xy − x − y + = ⇔ ( x − 3)(2 y − 1) = ⇔ y = 2 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta được: 4y = ⇔ y = 0, cặp (x;y) = (3;0) thoả mãn phương trình (2) y= , thay vào phương trình (1) ta được: (x - 2)2 = ⇔ x = 2, + Nếu 1 2; ÷ cặp (x;y) = thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0) (x;y) = (2; 1) Câu 89 Giải hệ phương trình Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 2 4x + 1= y − 4x 2 x + xy + y = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com 28(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Lời giải ( x + 1) = y y = ±2 x + ⇔ ⇔ 2 x + xy + y = x + xy + y = Hệ phương trình y = x + y = 2x +1 ⇔ x + xy + y = x + x ( x + 1) + ( x + 1) = Xét hệ: y = 2x +1 x = − y = 2x +1 x = ⇔ ⇔ x = x + x = x = − y = − y = ⇔ Xét hệ: y = −2 x − y = −2 x − ⇔ 2 x + xy + y = x − x ( x + 1) + ( x + 1) = y = −2 x − y = −2 x − ⇔ ⇔ x = ⇔ x = x = −1 3 x + 3x = x = −1 y = −1 y = 3 − ;− ÷ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là: (0;1), 7 , (0;-1), (1;1) Câu 90 Thay (2) vào (1) ta x3 − y = ( y − y ) ( x − y ) ⇔ 21x3 − x y − xy = x = ⇔ x ( x − y ) ( 3x + y ) = ⇔ x = y y x = − - Với x = thay vào (2) ta y = ± 31 x= y − y2 = thay vào (2) ta 49 - Với phương trình vơ nghiệm y x=− thay vào (2) ta y = ⇔ y = ±3 - Với Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0; ) ; ( 0; − ) ; ( −1;3) ; ( 1; − 3) Câu 91 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com 2 x + y − xy − x + y + = x − y + + y − x + = ( 1) ( 2) x2 − y + ≥ Điều kiện y − x + ≥ ( 1) ⇔ y − ( x −1) y + x2 − x + = y = x −1 ∆ = ( x − 1) ⇒ ( 1) ⇔ y = 2x − Tính Với y = x − thay vào (2) ta x = y = −1( tm ) x2 − x + = ⇔ x2 − x = ⇔ ⇒ x = x = ( tm ) Với y = x − thay vào (2) ta x2 − x + + x −1 = ⇔ Ta có ( x − 1) ( x − 1) + + x −1 = + + x −1 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇒ y = ( tm ) Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 92 ( x; y ) = ( 0; − 1) ; ( 1;0 ) 2 x − y + xy + y − x + = (1) 2 x + y + x + y − = (2) Xét hệ phương trình 2 2 PT (1) ⇔ x − y + xy + y − x + = ⇔ y − ( x + 1) y − x + x − = 2 Ta có ∆' = ( x + 1) − 4( − x + x − ) = x − 18 x + = 9( x − 1) x + − 3( x − 1) y = (1) ⇔ y = x + + 3( x − 1) Khi PT 2 y = −x + ⇔ y = 2x − Với y = − x + , thay vào PT (2) ta x − x + = ⇔ x = ⇒ y = x = 5x − x − = ⇔ x = − Với y = x − , thay vào PT (2) ta 13 x=− ⇒ y=− x = ⇒ y = 5 *) *) 13 − ;− Vậy nghiệm hệ phương trình (1;1) 5 Câu 93 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Điều kiện x ≥ 1, y ∈ ¡ y2 − y ( ) ( ) x − + + x − = ⇔ y − y − x − ( y − 1) = ⇔ ( y − 1) y − x − = y =1 ⇔ y = x −1 Với y = , thay vào (2) ta x2 + − x2 − = ⇔ x2 + = x2 − ⇔ x4 + 2x2 + = x2 − x2 = x = ⇔ x − 5x + = ⇔ ⇔ x = (do điều kiện x) x = 4 Với y = x − , thay vào (2) ta x + x − − x − = ⇔ ( x2 − 4) + ( ) ( x −1 −1 − ) x2 − − = ( x − 2) ( x + 2) x−2 − =0 x −1 +1 x2 − + ⇔ ( x − 2) ( x + 2) + x = ⇔ ( x + 2) x+2+ − =0 x −1 +1 7x − + Với x = suy y = x+2+ Ta có = ( x + 2) Với x ≥ Suy ( x + 2) ( x + 2) − = ( x + ) 1 − ÷+ 2 x −1 +1 7x − + 7x − + x2 − − x2 − + + x −1 +1 x2 − − ≥ ⇒ ( x + 2) x2 − − 7x − + + x −1 + x2 − − x2 − + ≥0 >0 x −1 +1 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 94 ( 1;1) , ( 2;1) Từ phương trình thứ hệ ta x = 5y − 20 Thế vào phương trình thứ hai ta ( 5y − 19) ( 10y − 39) ( 15y − 59) = ( 1+ 3y ) 1+ 3y + 2( 5y − 20) ⇔ 750y3 − 8725y2 + 33830y − 34719 = 150y3 − 1141y2 + 2006y + 801 ( ) ⇔ 600y3 − 7584y2 − 31824y − 44520 = ⇔ ( y − 5) 75y2 − 573y + 1113 = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Dễ thấy phương trình 75y − 573y + 1113 = vơ nghiệm Do từ phương trình ta y − = ⇔ y = nên x = ( 5;5) Vậy hệ phương trình có nghiệm Cách khác: Khi thực phép x = 5y − 20 vào phương trình thứ hai ta phương trình ẩn, nhiên phương trình khó phân tích Do ta tìm cách phân tích phương trình thứ hai thành tích ( 1+ x) ( 1+ 2x) ( 1+ 3x) = ( 1+ 3y ) ( 1+ 3y + 2x ) ⇔ ( 2x + 3x + 1) ( 3x + 1) = ( 1+ 3y ) ( 1+ 3y + 2x ) ⇔ ( 3x + 1) + 2x ( 3x + 1) = ( 1+ 3y ) + 2x ( 3y + 1) 2 2 2 x − y = ⇔ 3( x − y ) + 3( x + y ) + 2x2 = ⇔ + 3( x + y ) + 2x = Đến ta kết hợp với phương trình thứ để tìm nghiệm Trong hai cách cách thực phép dễ thấy cách phân tích phương trình thứ hai thành tích cho lời giải đơn giản Câu 95 Đặt a = 2x + y − 1;b = x − y + Khi hệ phương trình viết lại thành 2 2 a + b = 26 a + b + 2ab − 2ab = 26 ( a + b) − 11− ( a + b) = 26 ⇔ ⇔ a + b + ab = 11 ab = 11− ( a + b) ab = 11− ( a + b) ( a + b) + 2( a + b) − 48 = a + b = −8;ab = 19 ⇔ ⇔ ab = 11 − a + b ( ) a + b = 6;ab = a + b = −8 a + b) < 4ab ( ab = 19 + Với , hệ vô nghiệm + Với a + b = a = 1;b = ⇔ ab = a = 5;b = 2x + y − = x = ⇔ x − y + = a = 1;b = y = −2 o Khi ta có 2x + y − = x = ⇔ x − y + = a = 5;b = y = o Khi ta có ( 2; −2) ,( 2;2) Vậy phương trình cho có nghiệm Chú ý Khi hai phương trình hệ khơng thể phân tích thành tích ta nhân hai phương trình với số k cộng theo vế hai phương trình phương trình bậc hai Ta cần tìm số k để phương trình phân tích thành tích Chẳng hạn ta viết lại hệ phương trình Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com 2 5x2 + 2y2 + 2xy − 2x − 4y − 24 = 5x + 2y + 2xy − 2x − 4y = 24 ⇔ 2x − y − xy + 4x + 2y − xy − 12 = 3x + ( 2x + y − 1) ( x − y + 1) = 11 Khi ta thấy nhân phương trình thứ hai với k = cộng hai phương trình ta thu phương trình 9x + 6x − 48 = Câu 96 1 1 1 1 + + = + + = Từ x + y + z = x y z ta x y z x + y + z Khi ta x+ y x+ y 1 1 + + − = 0⇔ + =0 x y z x+ y + z xy z ( x + y + z ) ( ) ⇔ ( x + y ) xy + zx + yz + z2 = ⇔ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x) = + Xét trường hợp Cũng từ x + y = , từ x + y + z = ta z = x + y = ta x = − y Thế vào x2 + y2 + z2 = 17 ta 2x2 = ⇔ x = ±2 ( x;y;z) thỏa mãn ( 2; −2;3) ,( −2;2;3) Từ ta hai số y + z = z + x = ta số hoán vị + Giải trường hợp hai số Vậy số ( x;y;z ) cần tìm ( 2; −2;3) ,( −2;2;3) ,( 2;3; −2) ,( −2;3;2) ,( 3;2; −2) ,( 3; −2;2) Câu 97 Biến đổi tương đương phương trình ta x2 + xy + zx = 48 x ( x + y + z ) = 48 y + xy + yz = 12 ⇔ y ( x + y + z ) = 12 z2 + zx + yz = 84 z ( x + y + z ) = 84 Mặt khác cộng theo vế phương trình hệ ta ( x + y + z) + Với = 144 ⇔ x + y + z = ±12 x + y + z = −12 , vào phương trình ta ( x;y;z ) = ( −4; −1; −7) ( x;y;z ) = ( 4;1;7) + Với x + y + z = 12, vào phương trình ta Thử vào hệ phương trình cho ta nghiệm hệ ( x;y;z ) = ( 4;1;7) ,( −4; −1;−7) ( ) 3 ( 1) x − y −15 y − 14 = × y − x x3 + xy + 15 x + = ( ) Câu 99 Ta có: Ở phương trình (1) ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com ( x − y −15 y − 14 = × y − x ) ⇔ x + x = y + 15 y + y + 14 ⇔ x + x = y + y + 12 y + + y + ⇔ x + x = ( y + ) + ×( y + ) ⇔ x = y + (*) Từ (2) (*) ta có hệ phương trình: x−2= y x= y+2 ⇔ x + xy + 15 x + = x + x ×( x − ) + 15 x + = x−2= y x−2 = y ⇔ ⇔ 2 4 x + x + 3x + = 8 x + 12 x + x + = −1 − x = ( x + 1) = −5 ⇔ ⇔ y = −5 − x − = y −1 − −5 − ; ÷ 2 ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 100 2 2 x + y + xy = x + y − xy = − xy ⇔ ⇒ ( x + y ) ( − xy ) = x + y 2 x + y = x + y ( x + y ) x + y − xy = x + y ( ) y = ⇔ x y + xy + y = ⇔ y ( x + xy + 1) = ⇒ x + xy + = Với y = ⇒ x = ± 2 2 Với x + xy + = ⇒ x + xy = −1 ⇒ y = ⇒ y = ± ⇒ x ± x + = phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu 101 ( x; y ) = ( )( 2; ; − 2; ) ( x − 1) y + ( y − 1) x = 2( xy − 1) ; (1) 4 x + y + x − y − = 0; (2) x y + xy − ( x + y ) − 2( xy − 1) = ⇔ ( x + y )( xy − 1) − 2( xy − 1) = y = − x ⇔ ( x + y − 2)( xy − 1) = ⇔ xy = từ PT (1) ta có : thay vào PT (2) giải có nghiệm +1 − −1 − 14 (xy ) ∈ (1;1); ( − 0,5;2 ); ; + 1; ;1 − ; ; 5 Câu 102 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x ≠ y ≠ ngược lại Xét x ≠ ; y ≠ hệ phương trình tương đương với 1 1 1 (1) x2 + y2 = x2 + y2 = ⇔ 1 ( + )(1 + ) = ( + )(2 + ) =(2) x y x y xy xy 1 ( + )3 = Thay (1) vào (2) ta x y 1 x+ y= ⇒ ⇒ x= y=1 =1 xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Câu 103 m = 10 a) Khi hệ phương trình có dạng 15 x= 10 x − y = 10 x − y = 52 ⇔ ⇔ 2 x + 10 y = 10 x + 50 y = 25 y = 23 52 Vậy m = 10 hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = 15 23 ; ÷ 52 52 mx − mx − y= y = mx − y = ⇔ ⇔ 2 x + my = 2 x + my = x + m mx − = b) Ta có: 2m + 10 mx − x = y = m2 + ⇔ ⇔ ( m + ) x = 2m + 10 y = mx − 2m + 10 x = m + y = mx − 2 Vậy hệ phương trình cho ln có nghiệm Thay vào hệ thức x + y − 2014 = −2015m + 14 m − 8056 m2 + −2014m + 7m − 8050 −2015m + 14m − 8056 = ⇔ m − 7m + = 2 m +4 m +4 Ta m = ⇔ ( m − 1) ( m − ) = ⇔ m = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Đối chiếu với điều kiện đề ta m = 1; m = Câu 104 3 x + xy − x + y = x ( x + 1) + y ( y + 1) = 2 3x + xy − x + y − = 2 x + xy − y − x + y + = ⇔ ⇔ 2 x + y + x + y − = x + y + x + y − = x + xy − y − x + y + = ⇔ ( y + x − ) ( y − x + 1) = Ta có: ⇔ y = − x y = x − Với y = − x thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = suy x = Ta nghiệm (1;1) y = x − thay vào (2) ta được: 5x2 – x – = , suy x = 1; −4 −13 ; Ta nghiệm (1;1) ( 5 ) x= −4 −4 −13 ; Vậy hệ có nghiệm (1;1) ( 5 ) Câu 105 Điều kiện x ≥ −1, y ≥ Ta xét trường hợp Trường hợp 1: x + < y − ⇔ y > x + Khi đó, x + + x + + x + < Suy hệ vô nghiệm y −1 + y − + y − Trường hợp 2: x + > y − ⇔ y < x + Khi đó, x + + x + + x + > Suy hệ vô nghiệm y −1 + y − + y − Trường hợp 3: x + = y − ⇔ y = x + Thay vào phương trình thứ hai hệ cho, ta 2x + 8x + = ⇔ x = −1 ∨ x = −3 ( x; y ) = ( −1; 3) So điều kiện ta x = −1 ⇒ y = Vậy Câu 106 Từ hệ ta có ( ) x3 (2 y + x) = y (2 x + y ) ⇔ ( x − y ) xy + x + y = x = y ⇔ ( x + y )3 ( x − y ) = ⇔ x = − y * Với x = y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( − 3; − ) * Với x = - y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 1; −1 );( −1;1 ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); Câu 107 3; );( − 3; − );( −1;1 );(1; −1 ) 4x3 − y = x + y (1) 2 Giải hệ 52x − 82 xy + 21y = −9 ( 2) Nhân vế trái (1) với vế phải (2) nhân vế phải (1) với vế trái (2) ta có: (−9)( x − y ) = ( x + y )(52x − 82 xy + 21 y ) 3 2 ⇔ (−9)( x − y ) − ( x + y )(52x − 82 xy + 21y ) = 2 ⇔ x + x y − 13 xy + y = 2 ⇔ (8 x − xy ) + ( x y − xy ) − (3 y + y x) = 2 ⇔ x( x − y ) + xy ( x − y ) − y ( x − y ) = ⇔ ( x − y)(8 x + 10 xy − y ) = Biến đổi nhận phương trình: ( x − y )( x − y )( x + y ) = Với x = y tìm ( x; y ) = (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) ( x; y ) = (1;1); (−1;−1) ( thử vào hệ thấy thỏa mãn) Với y = x tìm ( x; y ) = (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) −2 y= x Với tìm ( x; y ) = (0;0) ( thử vào hệ khơng thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm Câu 108 ( x; y ) = (1;1); (−1;−1) Nhân hai vế (2) với ta có hệ phương trình 3x + y − xy + x + y − = (1) 2 (2) 2x − y + 4x + y − = Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có (x − xy + y ) − ( x − y ) + = ⇔ ( x − y ) − ( x − y ) + = ⇔ ( x − y − 1) ( x − y − ) = ⇔ x = y + x = y + y y + 3) = ⇔ y = +) Với x = y + , vào (2) rút gọn ta có ( y = −3 x = 1, y = x = −5, y = −3 +) Với x = y + , vào (2) rút gọn ta có Suy y + 13 y + = ⇔ y = Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp −13 − 109 −13 + 109 y= 6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com −7 + 109 −13 + 109 −7 − 109 −13 − 109 ,y= x= ,y= 6 Suy Vậy hệ có nghiệm x = 1, y = ; x = −5, y = −3 ; x= x= −7 + 109 −13 + 109 −7 − 109 −13 − 109 ,y= x= ,y= 6 ; Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... kiện nghiệm hệ phương trình Kĩ hệ số bất định để giải hệ phương trình Chủ đề Hệ phương trình bậc ba ẩn Dạng 1: Hệ hai phương trình ba ẩn Dạng 2: Hệ ba phương trình ba ẩn Chủ đề Hệ phương trình có... Lục Lời nói đầu Chủ đề Các hệ phương trình Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình quy đẳng cấp Chủ đề Một số kĩ thuật giải hệ phương trình Kĩ thuật Dạng... Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I- KĨ THUẬT THẾ NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: - Hệ gồm hai phương trình, từ phương trình ta rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình tạo phương trình đa