Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
CHỦ ĐỀ 7: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: a) Một hệ phương trình ẩn x, y gọi hệ phương trình đối xứng loại phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình khơng đổi b) Tính chất Nếu x0 , y0 nghiệm hệ y0 , x0 nghiệm �S x y c) Cách giải: Đặt � điều kiện S �4 P quy hệ phương P x y � trình ẩn S , P Chú ý: Trong số hệ phương trình đơi tính đối xứng thể phương trình Ta cần dựa vào phương trình để tìm quan hệ S , P từ suy qua hệ x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: �x y xy a) �3 �x y b) 3 � �x y 19 � x y xy � �2 x y � c) � 3 � �x y 6 x y xy � �x y xy d) � � x 1 y 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giải: �S x y a) Đặt � điều kiện S �4 P hệ phương trình cho trở �P x y thành: � 2S �P S P � � � �� � �S S 3P �S �S 3S � � � � � �� � 2S 3S 6S 16 � S S S � S � P Suy x, y hai nghiệm phương trình: X X � X 0, X �x �x �� � �y �y �S x y b) Đặt � điều kiện S �4 P hệ phương trình cho trở P x y � thành: � SP 8S � �SP 8S �S �S S 3P 19 � � �3 � �3 �� � �S 8S 19 �P 6 �S 24S 25 �S P Suy x, y hai nghiệm phương trình: X X � X 3; X 2 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x; y 2;3 , 3; 2 c) Đặt a x , b y hệ cho trở thành: � a b3 a 2b b a � � ab � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �S a b Đặt � điều kiện S �4 P hệ cho trở thành P ab � � S 3SP 3SP � 36 3P 3P �S � �� �� � �S �P �S Suy a, b nghiệm phương trình: a 2� x 8 � a � x 64 � X X � X 2; X � � �� b � y 64 � b2� y 8 � Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm x; y 8;64 , 64;8 �xy �0 �S x y d) Điều kiện: � Đặt � điều kiện S �4 P hệ x , y � P x y � � phương trình cho trở thành: � � �S P �S �3; P S 3 �� � 2 S S 3 14 S � �S S P 16 � � �S �14; P S 3 S 14; P S 3 � � �� � � S 8S 10 196 28S S � �S 30S 52 � �S �� Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3;3 �P � x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 2 � � x y xy a) � � �x y 4 xy �2 �x y x y c) � � x y x2 y � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � � � x y �1 � � � � xy � b) � �x y � � �1 x 21y � � � � � d) 2 � �x y y x y y xy 30 �2 � �x y x y y y 11 Giải: a) Đặt x a, y b điều kiện a, b �0 � � a b4 2ab Hệ phương trình trở thành: � Ta viết lại ab � hệ phương trình thành: � � (a b) 4ab(a b) 2a 2b ab � ab � �S �4 P �S a b Đặt � điều kiện � hệ cho trở thành �P ab �S , P �0 � � 256 64 P P P � S P4�ab2� x y4 � �S Ngồi ta giải ngắn gọn sau: � x y xy 16 � � � �x y xy 16 � x y x y � ( x y) � x y � x � x Vậy hệ có cặp nghiệm x; y 4; http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Điều kiện: x y Biến đổi phương trình (1): x2 y xy xy � x y 1 xy x y x y Đặt x y S , xy P ta có phương trình: S 2P 2P S � S P 2SP S � S ( S 1) P (S 1) � ( S 1)( S S P) Vì S P, S suy S S P Do S Với x y thay vào (2) ta được: y y � y 0, y 2 xy � x y x2 y � x2 y x y x y (không thỏa mãn điều kiện) Xét x y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1;0 , 2;3 c) Điều kiện: xy �0 Hệ cho tương đương: � � 1�� 1� 1 � x y � �x � �y � � � x�� y� x y � � �� � 2 � 1� � 1� �x y � �x � �y � � � x2 y � � x� � y� � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � � 1�� 1� � �x � �y � S � x�� y� � Đặt � � �� � � �y � P �x � � x � � � y� � Hệ trở thành: �S � �S � x 2; y � x y 2P � S 5, P � � 5 � x 3; y � y � x � 3� x 1; y � �� Vậy hệ cho có nghiệm: � 3� x ; y 1 � � � � ��3 � � ,� � � � ;1� � � �� � 1; x; y � � � �xy x y x y xy 30 d) Hệ tương đương với : � �xy x y x y xy 11 Đặt xy x y a; xy x y b Ta thu hệ: � �xy x y � � ab 30 a 5; b �xy x y � � � �� �� � a b 11 � a 6; b �xy x y � � � � �xy x y � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � �xy � � �xy x y x 2; y � �x y � � �� TH1: � � x 1; y �xy �xy x y � � ( L) � � �x y � �xy � 21 21 ( L) � � x ;y � x y �xy x y � 2 �� �� TH2: � � � 21 �xy 21 �xy x y � x ;y � � � 2 � �x y �5 � 21 m 21 � Vậy hệ có nghiệm: x; y 1; , 2;1 , � � ; � � � � II) HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI Một hệ phương trình ẩn x, y gọi đối xứng loại hệ phương trình ta đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình + Tính chất.: Nếu x0 ; y0 nghiệm hệ y0 ; x0 nghiệm + Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta phương x y 0 � f x ; y � � trình có dạng x y � � � � �f x; y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: � �x x y a) � �y y x b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � x 1 y y x 1 � � y 1 x x y 1 � � � �x x x y c) � �y y y x d) Giải: a) Điều kiện: x, y �0 Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: x2 x y y y x � x y � x y � Vì x y x y 1 2 x y 1 2 x y � � x y 0 nên phương trình cho tương đương với: x y Hay x2 2x x � x2 x x � x � � x0 � x 1 x x 1 � � x 1 � 3 � x � �3 � Vậy hệ có cặp nghiệm: x; y 0;0 , 1;1 , � � ; � � � � �xy x y yx y � b) Hệ cho � 2 �yx y x xy x Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word xy y x x y x y x y � x y x y 2xy x y � �� x y xy � x y2 � + Nếu x y thay vào hệ ta có: x x � � x y 3 � + Nếu x y xy � x y 15 Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x y x x 12 � x y Đặt 2 a x 5, b y � �a b � � � �a b a b 2ab ��ab 1 � � �� � Ta có: � a b 15 �ab a b 1 � �a b 8 � � � �ab 31 � 2 �a b � x; y 3; , 2;3 Trường hợp 1: � �ab 1 a b 8 � Trường hợp 2: � vô nghiệm ab 31 � Vậy nghiệm hệ cho là: x; y 2; , 3;3 , 2;3 , 3; c) 1 Điều kiện: x � ; y � 2 Để ý x y nghiệm Ta xét trường hợp x y �1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: x 3x x y y y y x � ( x y) � x xy y � � � 4( x y ) 2 x y 2x y 1 0 �2 � � ( x y) � x xy y � � x y 2x 1 y 1 � � Khi x y xét phương trình: x3 x x � x3 x x x( x 1) 2x 0� 2x 1 1 �2 � x� x 1 � � x x 1� � Tóm lại hệ phương trình có nghiệm nhất: x y HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP + Là hệ chứa phương trình đẳng cấp + Hoặc phương trình hệ nhân chia cho tạo phương trình đẳng cấp Ta thường gặp dạng hệ hình thức như: ax bxy cy d � + � , ex gxy hy k � � ax bxy cy dx ey , + � gx hxy ky lx my � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a 1 � a2 a � � a2 � TH 1: a 1 � b 2b ( VN) �x � 2 � �x �� TH : a � b ta có hệ phương trình �y �y �xy � Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) 4; � x �0 1 �x �1 � � � 41) Điều kiện: � � �y �2 y y �0 � � Đặt t x 1, �t �2 Lúc hệ pt thành: Cách 1: � � t 3t y y t 3t y y � � �� �2 2 2 �x x y y 2 �x x y y 2 Từ phương trình (1) ta suy ra: t y t ty y 3(t y ) Vì t ty y 3(t y ) � t y 3 t y y có y 3 y y y 3 y y 3 y 3 y 1 nên phương trình vô nghiệm Vậy t y � x y Thay x y vào phương trình (2) có: x x 2 � x x � x2 1 x2 �1 x �� � x � y 1 � x � Vậy hệ pt có nghiệm x; y 0;1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cách 2: Phương trình (2) � x2 x2 y y � f x g y 13 Xét f x miền 1;1 ta có �f x � y 2 y Ta lại có: g y y y � �y Vậy f x �g y Dấu xảy � �x �1, x Thay vào phương trình (1) có nghiệm x; y 0;1 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm x; y 0;1 42) Vì x khơng phải nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x ta thu được: x3 x 3x x y y � 1� � 1� �� � � � � x� � x� Đặt a 3 2y 3 2y , b y suy y a a b3 b � a b a ab b 1 � a b Thay vào pt thứ ta được: x 3 15 x � � x7� y x7 x2 3 x7 15 x 15 x 111 98 43) Dễ thấy xy không thỏa mãn hệ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 0 � � 1� � 1� 2x � y � � � � x� y� � Với xy �0 viết lại hệ dạng: � � �2 �x y xy x y 14 Điều kiện để phương trình x y xy x y 14 (ẩn x) �7� 1; có nghiệm 1 y y 24 y 56 �0 � y �� �3� � Điều kiện để phương trình x y xy x y 14 (ẩn y) � 10 � 2; có nghiệm là: x x 28 x 56 �0 � x �� � 3� � đồng biến 0; � nên t f f 1 Xét hàm số f t 2t f x f y �x Kết hợp với phương trình thứ ta được: � �y nghiệm hệ “Để chứng minh hàm số f x đồng biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 �x2 �D Chứng minh: f x1 f x2 0” x1 x2 Ngược lại để chứng minh hàm số f x nghịch biến miền xác định D ta làm sau: Xét hai giá trị x1 �x2 �D Chứng minh: f x1 f x2 0” x1 x2 1 44) Điều kiện xác định x � ; y �2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � x 1 x y 3 � Ta viết lại hệ thành: � �4 x y y2 Đặt a x 1, b y suy 2a a 2b3 b � a b Từ phương trình thứ hệ ta có: � x Thay vào phương trình thứ hai ta được: y2 y y 6(*) Đặt t y y t thay vào ta có: 2t 16 t � t �1 � � y Vậy hệ có nghiệm x; y � ;6 � �2 � 4y � x � � 13 x y �0 � � 13 �� 45) Điều kiện: � x y �0 � �x � y � Đặt a 13 x y , b x y Khi ta hệ phương trình: � 5 x b (1) � � a 4b x a 2b x � � � � a 2b �� a 2b �� a 2b (2) � � � � b x 2y b x 2y b x y (3) � � � � 2 Thế (1) vào (3) ta được: x 8y (4) Thế (4) vào phương trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x y x y ta được: � 19 y y �y � �� 3 � y 69 y 19 � Giải y 69 545 từ tính x 24 545 � 69 545 � 24 545; Thử lại ta thấy x; y � � � � nghiệm cần � � tìm 46) Ta tìm cách loại bỏ 18y Vì y khơng nghiệm phương trình (2) nên tương đương 72 x y 108 xy 18 y Thế 18y từ phương trình (1) vào ta thu được: � xy � � � 21 x y 72 x y 108xy 27 � � xy � � 21 xy � � Thay vào phương trình (1) ta tìm x, y � � y 0( L) � � xy 27 3 �� y 3 � x 3 18 � � � xy 27 y 3 � x 3 � 18 � Vậy hệ cho có nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x; y � � 3 �4 ; ��1 � �� , ; � ��4 � 47) Điều kiện: x �2, y � Phương trình (1) tương đương: x x x y 1 y y � f 2x 1 f 2y 1 Đặt a x , b y � a a b3 b � a b x y � x y thay vào ta có: a 2b � y y � �3 a 2b � � � � � a 1; b y2 � � 3 65 23 65 233 23 65 �� a ;b �� y � � 32 � � 65 23 65 � � 233 23 65 a ;b y � � 32 � � Vậy hệ có nghiệm �23 65 185 233 23 65 �� 23 65 185 233 23 65 � ; , ; �� � �� � 32 16 32 � 16 �� � x; y 1; , � � 48) Điều kiện: x Ta có (1) tương đương x x2 1 y y2 1 y2 1 y y2 1 y � x x y y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Từ ta rút x y Thay vào (2) ta được: y y y 1 35 12 Bình phương hai vế (điều kiện y ) Khi ta có: y 2 2 y2 y2 �35 � y y y �35 � � �� � � 12 � y 1 y2 1 y 1 � y �12 � y2 y2 Đặt y2 1 t Phương trình tương đương: � 49 t ( L) � �35 � t 2t � � � � 12 � 25 �12 � � t � 12 � y� � y 25 �� y 12 � y� � Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương � 5 �� 5 � ; � ,� ; � Vậy hệ có nghiệm x; y � � 4 �� 3 � 49) Triển khai phương trình (1) (1) � x y xy x xy y � x y x y 8 xy � x 1 y 1 8 xy Nhận thấy x 0, y không nghiệm hệ Phương trình (1) là: Đặt x2 y2 8 x y x y a; b Hệ cho tương đương: x 1 y 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � � x � � a � � � � �x � � � � y � � �x 1 � 1 � � �2 � � � b a b � � � �y � �y � � � �� �� �� � � � � x �x � � �1 8 � a � � � �x �ab � � � � �y 1 � � � � � y � � � �2 b � � 2 � � �y � Vậy hệ có nghiệm x; y 1;2 , 1; , 3; 1 , 3; 1 50) Ta có: ( x ۳2 y ) 1� x y x y2 ( x y)2 x y2 Mặt khác ta có: x 2y x xy y x y ( x y ) � 12 x xy y Từ suy x 2y x2 y x xy y �x y �x y Dấu xảy x y �0 Thay vào phương trình lại ta thu được: x x3 3x x � x 1 x3 3x 1 � x � y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x 2y �1� 1; � Hệ có cặp nghiệm: x; y � � 2� 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: 3 x y z (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng khơng âm, khơng tính tổng quát ta giả sử: z z � Thế phương trình thứ hệ tương đương: x3 � 1612 z 12.22 x Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: y3 � 1612 x 12.22 y Do từ x y z * � x y z thử lại thỏa mãn 3 Vậy x; y; z 4; 4; nghiệm hệ 52) Phương trình (1) hệ có dạng: x2 y x2 y2 1 Do x y nên suy x y � y x thay vào phương trình (2) ta có: ( x 2) ( x 2) ( x 2) x x x 2 � x x � x 1 � y Vậy hệ có nghiệm x; y 1; 53) Theo bất đẳng thức cô si ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � x x x y 1� x x y � � � � � x y x y �x y x y � x y � x 3y � x 3y � y y �1 �1 y � � � � x 3y x y �2 x y � � 1� x � �x y x y 1� x 3� � � � y 3x �x y � Tương tự ta có: � � x y � ��2 Dấu xảy � x 3y 3x y � � � x y thay vào phương trình thứ ta được: x y4 Từ suy � y ( x 4) y y x x � � 1 x x y 4( x 1) y � � x �0 � 54) Điều kiện: � �x y �0 Phương trình thứ hệ viết lại thành: x ( y 4) x y y y � ( y 4)2 4(2 y y y ) y y x 2y � Từ ta tính được: � x y2 y � Vì x y y ( y 1) nên không thỏa mãn Thay x y vào phương trình thứ hai ta được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 3� � 2� 1 x 2x 4x2 4x 2 Ta có: x x 5 (2 x 1) � ; 2 1 x 2x 2x 2x � 2 �1 � x x 3 � 1� �4 � Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy 1 Suy x ; y 55) Từ phương trình (2) ta suy x Phương trình (1) viết lại sau: x y y 1 x y y � y y 1 y y y y 1 � x y2 Từ tính được: � x y 1 � Thay y x vào phương trình ta thu được: x ( x 4) x x Chia phương trình cho x ta có: x 2x 1 x 4 x 4 Đặt t t 1 � x � ta có 2t 3t � � t x2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với t � x x vô nghiệm Với t � x � y 1 Vậy hệ có nghiệm x; y 2;1 56) Điều kiện: x �1 Ta viết lại phương trình (1) thành: x ( y 2) x y y y Tính x 2y 2 � y y 16 y 16 y y y � � x y2 y � Thay y x vào phương trình ta thu được: x x x x 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: 3 x x 1.( x 1) � x 1 x 2 33 2x 33 x 10 4.4.( x 2) � x 2 Từ suy x 10 x 1 2x � x 2x 2 Mặt khác ta có: x x (2 x 5) x �0 Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;1 Mặt khác ta thấy x 2; y nghiệm hệ Vậy x; y 2;3 nghiệm hệ 57) Đặt a x y ,b x y � x y �� � 5� ( x y) 3( x y ) 13 � � ( x y) � �� Hệ � nên ta có: � (x y ) x y 1 � x y � � 5(a 2) 3b 13 � 5a 3b 23 �� � a b 1 a b 1 � � � a � a � � Giải hệ ta tìm � � b 3 � � b � Từ ta tìm nghiệm hệ: �1 � � ��3 11 ��3 � , � ; �� , ; 2 � x; y � � ; � � � � ��4 ��2 58) Từ phương trình (2) ta suy xy �0 � x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x, y �0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x2 y y x2 x 2 y y 2 x � Dấu xảy 2 2 x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài toán trở thành: Giải hệ phương trình: 2 � �x y � ( x y )3 12( x 1)( y 1) xy � Ta có: ( x y )3 12( x 1)( y 1) xy ( x y )3 12( x y ) 21 12 xy xy Đặt t x x y y t x2 y2 ta thu xy � x y t 1 Ta có: ( x y )3 12( x y ) 21 12 xy xy � ( x y ) 12( x y ) 21 12 x y x2 y x y t 6t 12t Ta có t 6t 12t t �0 Khi t � x y nghiệm hệ 59) Từ phương trình hệ ta suy x, y �0 Xét phương trình: x y x y xy xy x y Ta có: x3 y x y xy x y x y xy x y � x y xy � � � Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: x y xy �2 Suy x y x y xy �4 xy x y có x y x y xy �2 x x y x y xy xy x y Ta y xy Suy x y x y xy �8 xy x y Dấu xảy x y Thay vào phương trình (2) ta thu được: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x x x � x x x 3 � Suy x hoặc: x x x 3 2x x x 3 Do x � nên pt vô 2 nghiệm Tóm lại: Hệ có nghiệm: x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... Một số hệ phương trình tính đẳng cấp giấu biểu thức chứa đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện: Phương pháp chung để giải hệ dạng là: Từ phương trình hệ ta nhân chia cho để tạo phương trình. .. y x y PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Biến đổi tương đương phương pháp giải hệ dựa kỹ thuật như: Thế, biến đổi phương trình dạng tích,cộng trừ phương trình hệ để tạo phương trình hệ có dạng... �1 � � 78 x� � � 13 * t �� � 78 ym � 13 � Suy hệ phương trình có cặp nghiệm: �4 78 78 �� 78 78 � ( x; y ) 3,1 ; 3, 1 ; � ; , � � 13 , 13 �� �� 13 � � �� 13 � b) Phương trình