Bất đẳng thức diện tích tam giác

Một bất đẳng thức hay diện tích tam giác Trần Lê Bách 10A1 Trường THPC Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, Việt Nam Định lý sở Chúng ta xét định lý quen thuộc sau: Định lý 1.1 Cho m, n, p số thực thỏa mãn m + n, n + p, p + m mn + np + pm số không âm Đặt a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Khi √ ma2 + nb2 + pc2 ≥ mn + np + pm.S với S diện tích tam giác ABC Chứng minh Theo Định lý hàm số cosines, ta có √ ma2 + nb2 + pc2 ≥ mn + np + pm.S √ ⇔ma2 + nb2 + p(a2 + b2 − 2ab.cosC) ≥ 2ab.sinC mn + np + pm √ a b ⇔ (m + p) + (n + p) ≥ mn + np + pm.sinC + p.cosC b a Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta suy √ mn + np + pm.sinC + p.cosC ≤ p2 + mn + np + pm sin2 C + cos2 C = (m + p)(n + p) Mặt khác (m + p) Do b a + (n + p) b a ≥ 4(m + p)(n + p) √ ma2 + nb2 + pc2 ≥ mn + np + pm.S Nhận xét 1.1 Một câu hỏi quan trọng đặt đẳng thức xảy nào? Từ Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có đẳng thức xảy (m + p) ab = (n + p) ab cosC sinC = √mn+np+pq p √a p+n cos2 C p2 ⇔ = = √ b m+p sin2 C mn+np+pq = (m+p)(n+p) Thay cosC, b tương ứng vào biểu thức: c2 = a2 + b2 − 2ab.cosC ta thu c2 = a2 + a2 m+p n+p m+p p =1+ −2 n+p n+p √ c m+n ⇔ = √ a n+p a c ⇔√ =√ n+p m+n ⇔ c a m+p − 2a2 n+p p (m + p)(n + p) Tương tự ta có đẳng thức xảy √ a b c =√ =√ n+p m+p m+n Một số ứng dụng Đặt a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC S diện tích tam giác Ta có số bất đẳng thức sau: Bài 2.1 (Bất đẳng thức Hadwiger-Finsler) √ a2 + b2 + c2 ≥ 3.S + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Chứng minh Bất đẳng thức cho tương đương với a2 √ b+c−a c+a−b a+b−c + b2 + a2 ≥ 3.S a b c Theo Định lý 2.1, ta cần chứng minh cyc (b + c − a)(c + a − b) ≥3 ab Hay a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ Đây Bất đẳng thức Schur bậc ba Bài 2.2 (Trần Lê Bách) √ a2 b + b2 c + c2 a ≥ 27.S Chứng minh Từ Bất đẳng thức Hadwiger-Finsler, ta dễ dàng suy √ ab + bc + ca ≥ 3.S Bây áp dụng Định lý 2.1, ta có √ √ a2 b + b2 c + c2 a ≥ ab + bc + ca.S ≥ 27.S Đó đpcm Bài 2.3 (Trần Lê Bách) 3abc ≥ a2 + b2 + c2 S Cách Bất đẳng thức cho tương đương a2 bc ca ab + b2 + c2 ≥4 a b c a2 + b2 + c2 S Theo Định lý 2.1, ta có 3abc ≥ a2 + b2 + c2 S đpcm Cách hai Bất đẳng thức cho viết dạng 9R2 ≥ a2 + b2 + c2 hay sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ Phần lại xin dành cho bạn đọc Bài 2.4 (Trần Lê Bách) √ (b + c − a)a2 + (c + a − b)b2 + (a + b − c)c2 ≥ 3.S Chứng minh Theo Định lý 2.1, ta có (b + c − a)a2 + (c + a − b)b2 + (a + b − c)c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca − a2 − b2 − c2 S Từ Bất đẳng thức Hadwiger-Finsler, ta có 2ab + 2bc + 2ca − a2 − b2 − c2 S ≥ √ √ 4 3.S.S = 3.S đpcm Bài 2.5 Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y, z số thực dương √ x y z a + b + c2 ≥ 3.S y+z z+x x+y Chứng minh Trước tiên ta chứng minh yz xz xy + + ≥ (y + z)(y + z) (y + x)(z + x) (x + y)(z + y) Hay x(y − z)2 + y(z − x)2 + z(x − y)2 ≥ Bây áp dụng Định lý 2.1 ta có y z x a + b + c2 ≥ y+z z+x x+y Do xy yz xz + + S (y + z)(y + z) (y + x)(z + x) (x + y)(z + y) √ x y z a + b + c2 ≥ 3.S y+z z+x x+y Bài 2.6 (Trần Lê Bách) Chứng minh bất đẳng thức sau với tam giác ABC không cân thỏa mãn < a < b < c abc √ a−b b−c c−a + + ≥ 2.S (b − c)(c − a) (c − a)(a − b) (a − b)(b − c) Chứng minh Ta có thẻ viết bất đẳng thức cho dạng √ bc(b − c) ca(c − a) ab a2 + b2 + c2 ≥ 2.S a(c − a)(a − b) b(a − b)(b − c) c(b − c)(c − a) Từ hệ thức quen thuộc bc ca ab + + =1 (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Và a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Ta suy b2 c2 a2 + + ≥2 (b − c)2 (c − a)2 (a − b)2 Theo Định lý 2.1 ta có đpcm Một toán tương tự: Bài 2.7 (Trần Lê Bách) Chứng minh bất đẳng thức sau với tam giác ABC không cân thỏa mãn < a < b < c ab(a − b) (b − c)(c − a) + bc(b − c) (c − a)(a − b) + ca(c − a) (a − b)(b − c) > 4S Bài 2.8 (Bất đẳng thức Pedoe) Đặt a1 , b1 , c1 độ dài cạnh tam giác A1 B1 C1 với diện tích S1 Đặt a2 , b2 , c2 độ dài cạnh tam giác A2 B2 C2 với diện tích S2 CHứng minh a21 (a22 + b22 − c22 ) + b21 (b22 + c22 − a22 ) + c21 (c22 + a22 − b22 ) ≥ 16S1 S2 Cách Từ Định lý 2.1 ta có a21 (a22 + b22 − c22 ) + b21 (b22 + c22 − a22 ) + c21 (c22 + a22 − b22 ) ≥ ≥4 (a22 + b22 − c22 )(b22 + c22 − a22 ) + (b22 + c22 − a22 )(c22 + a22 − b22 ) + (c22 + a22 − b22 )(a22 + b22 − c22 ).S1 Mặt khác (a22 + b22 − c22 )(b22 + c22 − a22 ) + (b22 + c22 − a22 )(c22 + a22 − b22 ) + (c22 + a22 − b22 )(a22 + b22 − c22 ) = (a2 + b2 − c2 )(c2 + a2 − b2 )(b2 + a2 − c2 )(a2 + b2 + c2 ) = 16 (S2 ) Do a21 (a22 + b22 − c22 ) + b21 (b22 + c22 − a22 ) + c21 (c22 + a22 − b22 ) ≥ 16S1 S2 Đó đpcm Cách hai Ta có 4cotA = b2 + c2 − a2 2bc.cosA = S bc.sinA Bất đẳng thức cho tương đương cotA2 a21 + cotB2 b21 + cotC2 c21 ≥ 4S1 Mà cotA2 cotB2 + cotB2 cotC2 + cotC2 cotA2 = nên theo Định lý 2.1 ta có đpcm Nhận xét 2.1 Bạn thử tìm trường hợp đẳng thức xảy toán trên? Glossary Định lý hàm số cosines Với tam giác ABC ta có BC = AB + BC − 2AB.BC.cosα Bất đẳng thức Schur Cho a, b, c số không âm r ≥ −1 Khi ar (a − b)(a − c) + br (b − c)(b − a) + cr (c − a)(c − b) ≥ Tài liệu [1] Hojoo Lee: Topics in inequalities [2] Vasile Cirtoaje: Algebraic inequalities: Old and New methods, Gil Publishing House [3] Mathematics and Youth magazine, Viet Nam ... có đẳng thức xảy √ a b c =√ =√ n+p m+p m+n Một số ứng dụng Đặt a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC S diện tích tam giác Ta có số bất đẳng thức sau: Bài 2.1 (Bất đẳng thức Hadwiger-Finsler) √ a2... với tam giác ABC không cân thỏa mãn < a < b < c ab(a − b) (b − c)(c − a) + bc(b − c) (c − a)(a − b) + ca(c − a) (a − b)(b − c) > 4S Bài 2.8 (Bất đẳng thức Pedoe) Đặt a1 , b1 , c1 độ dài cạnh tam. .. y) √ x y z a + b + c2 ≥ 3.S y+z z+x x+y Bài 2.6 (Trần Lê Bách) Chứng minh bất đẳng thức sau với tam giác ABC không cân thỏa mãn < a < b < c abc √ a−b b−c c−a + + ≥ 2.S (b − c)(c − a) (c − a)(a