Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 1 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 2 ab ab + ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: Cho a, b ≥ 0. Khi đó: Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b. 3 abc abc Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho a, b, c ≥ 0. Khi đó: 3 + + ≥ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: Cho a 1 , a 2 , …, a n . Khi đó: 0≥ 12 12 n n n aa a aa a n + ++ ≥ Đẳng thức xảy ra ⇔ 12 n aa a=== 11 4 +≥ Hệ quả 1: Với a, b >0 thì abab+ . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b. Hệ quả 2: Với a, b, c >0 thì 111 9 abc abc ++≥ . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c. + + Hệ quả 3: Cho n số thực dương a 1 , a 2 , …, a n . Khi đó 12 12 . 11 1 n n n n aa a aa a ≥ +++ Đẳng thức xảy ra ⇔ 12 n aa a=== Hệ quả 4: Cho và . Khi đó . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b. ,ab≥ 0 ,mn∈` mn mn m n n m ababab ++ +≥ + MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH Kĩ thuật cơ bản : Ví dụ 1 : Tìm GTLN của : 2 (1 ) y x=−x , (0,1)x ∈ Lời giải Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : ,1 0xx−> 3 2 12 1 2 (1 2 ) . .(1 2 ) 327 xx x yx x xx x ++− ⎛⎞ =−= −≤ = ⎜⎟ ⎝⎠ 1 54 y⇒≤ Dấu ‘=’ xảy ra 1 12 3 xxx⇔=− ⇔= Vậy 1 27 Max y = khi 1 3 x = Ví dụ 2 : Tìm GTNN của : 1 , 1 yx x x =+ > − 1 Lời giải Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 2 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 10x −> 11 2(1). 13 11 x xx − += −− 3y⇒≥ (1)yx=−+ 1+≥ Dấu ‘=’ xảy ra 1 12 1 xx x ⇔−= ⇔= − 2= Vậy khi 3= x Min y Ap dụng : Bài 1: Tìm GTLN của : 1) , 2) (2 )yx x=− (0x∈ ,2) (1)(12)yx x = +− , 1 (1, ) 2 x∈− 3) 3 (2 )xx=− x∈ y , 4) 2 (1 ) y xx=− (0,1)x(0,2) ∈ , Bài 2: Tìm GTNN của : 1) 2 2 yx x =+ 0x > , 2) 2 2 2 (1) 2 1 x x ⎛⎞ =+ + + ⎜⎟ + ⎝⎠ 1x ≠− yx , Ví dụ 3 : Cho .Chứng minh : ,, 0abc> a) b) 22 42 2ab aba++≥++b 33 (1 ) (1 ) (1 ) 3 (1 )a b b c c a abc abc++ ++ +≥ + c) 11ab ba ab−+ −≤ với ,1ab≥ Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 2 22 44 44 2 aa bb ab a +≥ +≥ +≥b . Cộng lại ta được : 22 228442ab aba++≥++b ⇒ ( đpcm ) Dấu ‘=’ xảy ra 2ab⇔== b) Ta có : (1 ) (1 ) (1 ) ( ) ( )abbccaabcabbcca++ ++ +=+++ ++ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 3 222 3 3 3 a b c abc ab bc ca a b c ++≥ ++≥ Cộng lại ta được đpcm . Dấu ‘=’ xảy ra ab⇔==c c) Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 3 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk Ta có : 1ab aa−= 22 aaba ab b a +− − ≤ = Tương tự : 1 2 −≤ 2 ab ba Cộng lại ta đpcm . Dấu ‘=’ xảy ra ab⇔== Áp dụng : Cho .Chứng minh : ,, 0abc> a) 1 ab ab + 22 ) 6a abc+≥ a b ba ++≥+ b) 2222 (1 ) (1 ) (1abbcc++ ++ c) () d) ()()8abbcca abc+++≥ ab bc ac abc bca + +≥++ Ví dụ 4 : Cho ab .Chứng minh : ,, 0c> 333 2 2 2 a b c a bc b ac c ab++≥ + + Lời giải : Áp dụng Cauchy 6 số : 6 333 1233 2 466abc abc abc++≥ = Tương tự : 6 333 1233 2 466bac bac bac++≥ = 6 333 1233 2 466cab cab cab++≥ = Cộng các vế lại ta được đpcm . Dấu ‘=’ xảy ra abc⇔== Ví dụ 5 : Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc> 1abc++= 11 11 11 1. 1 1. 1 1. 1 6 ab bc ca −−+−−+−−≥ Lời giải : Ta có : 2 4 11 11 22 1. 1 . . . 2 a b b c a c bc ac c ab ab a b ab a −− + + −−= = ≥ = b Tương tự : 2 4 11 1. 1 2 a bc b −−≥ c 2 4 11 1. 1 2 b ca a −−≥ c Cộng các vế lại ta được : Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 4 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk 222 222 6 444 26 6 cab cab VT ⎛⎞ ⎜⎟ ≥++≥ = abc= ab bc ac ab bc ac ⎜⎟ ⎝⎠ Dấu ‘=’ xảy ra ⇔= Ví dụ 6 : Cho ab .Chứng minh : ,, 0c> 222 ()()()2cab abc bca a ++≥ +++ 11 1 1ab bc ca b c ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ Lời giải : Ta có ()() 2 2 2 2 2 () () () 2 () ab abcc abc ba b ba b ab c c bbbab ++ ++ ++ = ++ =++ + + Áp dung bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 ab c c+ +≥ 4()bbabb+ ( ) 22 3 () 2 3333 () () 4 4 4 ab abc ab c c c a c ba b b b ba b b b b b + ++ + ⇒=++≥+=++ ++ Tương tự : 2 ()33 ()4 abc b a cb c c c ++ ≥++ + 3 4 2 ()33 ()4 abc c b aa c a a ++ ≥++ + 3 4 Cộng các vế lại vá áp dung bất đẳng thức Cauchy ta được đpcm . Ví dụ 7 : Cho thỏa . Chứng minh rằng ,, 0abc> 3abc++= 222 222 111 cba cba ++≥++ . Lời giải : Ta có : 222 111111 abcabbcc ++≥ ++ a Ta chứng minh tiếp : 222 222 111 ()abc abcabc ab bc ca ++≥++⇔ ++ ≤3 Đặt x ab bc ca=++ Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạ Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 c Long 5 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk abDo suy ra 2 ()3()bc ca abc a b c++ ≥ ++ 2 9 x abc ≤ Ta lại có : a 222 2 ( ) 2( ) 9 2b c a b c ab bc ca x++=++ − ++ =− Suy ra : 22 (3)(23) ()3(92)3 0 99 xxx a b c x −− + ≤ − −= ≤ 222 ++ −abc Vậy ta có đpcm . Dấu ‘=’ xảy ra abc⇔== Ap dụng : Bài 1: Cho abc . Chứng minh : ,, 0> 33 33 33 2( ) abbcca abc ab bc ac +++ ++≥++ Bài 2 : Cho thỏa abc . Chứng minh : 1= ,, 0abc> 33 33 33 111 1 111ab bc ac ++≤ ++ ++ ++ Bài 3: Cho ab và .Chứng minh : 1abc = ,, 0c> 33 33 111 33 ab c cab ++ + ++ ≥ 33 bc a+ ++ Bài 4 : Cho a, b, c >0 thỏa abc . Chứng minh rằng: abc++= 33 3 1 abc bca + +≥ Bài 5: Cho . Chứng minh : ,, 0abc> 2 abc bc ac ab ++ +++ > Bài 6 : Cho là ba cạnh một tam giác . Chứng minh rằng : ,,abc a) ()()() 8 abc papbpc−−−≤ b) 3 abc abc bca cab + +≥ +− +− +− Kĩ thuật cộng thêm : Ví dụ 8: Cho .Chứng minh : ,, 0abc> a) 22 2 111abc bcaab ++≥++ c b) 222 222 3 abcab bc ca ab ++ ++≥ ++ + c Lời giải : a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 12a ab b +≥ Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 6 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk 2 12b bc c +≥ 2 12c ca a +≥ Cộng các vế lại ta được đpcm Dấu ‘=’ xảy ra abc⇔== b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 2 3 abca+ 29bc +≥ + 2 2 29 bca ca + +≥ + 3 b 2 293ab +≥ + abc= 2cabc+ Cộng các vế lại ta được đpcm Dấu ‘=’ xảy ra ⇔= Lưu ý : Trong ví dụ 2 do dấu ‘=’ xảy ra abc ⇔ == nên muốn Cauchy để mất mẩu của 2 2 a bc + thì phải chia cho 9 đễ dấu ‘=’ xảy ra . 2bc+ Áp dụng : Bài 1 : Cho và .Chứng minh : ,, 0abc> 222 3abc++= 333 3 2 abc bc ac ab ++≥ +++ Bài 2: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc> 1abc = ()()()()()() 333 3 11 11 11 abc bc ca ab ++ ++ ++ ++4 ≥ Bài 3 : Cho .Chứng minh : ,, 0abc> 222 111bc ca ab abcab ++ + ++≥++ c Bài 4 : Cho .Chứng minh : ,, 0abc> 222 11 1 1 ()()()2 ab bc ca cab abc bca a b c ⎛⎞ ++≥++ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ Kĩ thuật hạ bậc : Ví dụ 9: Cho là 3 số dương thỏa ,,abc 3ab bc ca + += . Chứng minh rằng: . 333 3abc++≥ Lời giải Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 7 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : b 33 2( ( ) 9a b ca++ = 33 13ab a++≥ 33 13bc b++≥c 33 13ca ac++≥ Cộng các vế lại ta có : 3 ) 3 3c +≥ab bc++ 333 3abc⇒++≥ abc⇔== Dấu ‘=’ xảy ra Ví dụ 10: Cho ab và .Chứng minh : ,, 0c> 1abc = 33 33 33 1 111ab bc ac ++≤ ++ ++ ++ 111 Lời giải : Ap dụng hệ quả ta có : 33 33 2 2 11 ab ab abba +≥ ++ + + 1abc = 2 2 11 abba+ ⇒ ≤ Do nên 33 2 2 1 1 abc c abc ab abbaabc ≤= + + ++ + + Tương tự : 33 1 1 a b c abc ≤ ++ ++ 33 1 1 b a c abc ≤ ++ ++ Cộng các vế lại ta được đpcm. Dấu ‘=’ xảy ra 1abc⇔=== Ap dụng : Bài 1: Cho a, b, c > 0 thỏa . Chứng minh rằng: 333 3abc++= 555 3abc + +≥ Bài 2 : Cho a, b, c > 0 thỏa . Chứng minh rằng 33 33 33 3ab bc ca++= 777 3abc + +≥ Bài 3: Cho thỏa . Chứng minh rằng: , , 0abc> 1abc++= 1) 111 111ab bc ca ++≥ +++ 3 2 2) 2 4(1 )(1 )(1 )abc abc + +≥ − − − Bài 4: Cho thỏa . Chứng minh rằng: , , 0abc> 3ab bc ca++= 666 3abc + +≥ Bài 5: Cho . Chứng minh rằng: , , 0abc> 44 444 33 444 ab bc ca abc +++ ⎛⎞⎛⎞⎛ ++≥ + + ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝ 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Bài 6: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: 111 1 1 1 333 2 2 2abbccaabcbcacab ++≥ + + + ++ ++++++ Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 8 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk Ví dụ 11: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc> 3abc++= 222 3 111 abc bca2 + +≥ +++ Lời giải Ta có : 22 22 22 11 aabab aaa b bb =− ≥− =− ++ ab Tương tự : 2 2 12 12 bb b c ca c a ≥− + ≥− + c c Cộng lại ta được : () 2 ab bc ca VT a b c ++ ≥++− (1) Mặt khác ta có : (2) 2 3( ) ( ) 9 3ab bc ca a b c ab bc ca++ ≤++ =⇒++≤ Từ (1) và (2) ta có đpcm . Dấu ‘=’ xảy ra abc⇔== Áp dụng : Bài 1 : Cho thỏa . Chứng minh rằng : ,, 0abc> 3ab bc ca++= 333 1 12 12 12 abc bca ++ +++ ≥ Bài 2: Cho . Chứng minh rằng : , , 0abc> 333 22 22 22 2 a b c abc abbcca + + ++≥ +++ Bài 3: Cho . Chứng minh rằng : , , 0abc> 333 222222 3 a b c abc aabbbbccccaa ++ ++≥ ++ ++ ++ Kỹ thuật cân bằng hệ số: Ví dụ 12: Cho thỏa . Chứng minh rằng , 0ab> 1ab+≤ 11 S5ab ab = ++ + ≥ Lời giải Ta có : 11 4 abab +≥ + Suy ra : Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 () 9 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk 413 3 Sab ab ab ab ab ab ≥++ = + + + +++ ≥+ ≥+ + 2235= 1 ab⇔== Dấu ‘=’ xảy ra 2 Ví dụ 13: Cho ab thỏa ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : , , 0c> 1bc ca++= 222 P4 4abc=++ Lời giải : Áp dụng Cauchy ta có : 22 2ab ab+≥ ()() () 22 22 2 22 2abcabbcca 22 22 () 2. () 2. ac ac bc bc αα αα +≥ +≥ Suy ra : α ααα α α ++++≥++= Ta chọn α là số dương thỏa : 2 133 8 2 αα α −+ +=⇒= Suy ra : 133 2 P −+ ≥ Dấu ‘=’ xảy ra 4 4 1 33 13 1 33 ab ab ac bc c ab bc ca α α = ⎧ ⎧ == ⎪ ⎪ = ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = −+ ⎪⎪ = ⎪⎪ ++= ⎩ ⎩ 3 Vậy GTNN P = 133 2 −+ 4 4 1 33 13 33 ab c ⎧ == ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ −+ ⎪ = ⎪ ⎩ 3 Ap dụng : Cho . Chứng minh : , , 0abc> a) 22 2 4 3 ab c ab bc a ++ ≥+ b) () 22 2 16 1 64 9 ab c cab bc ca ab + +≥ −− ++ + Bài tập nâng cao: Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 10 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk Bài 1: Cho . Chứng minh : , , 0abc> 3 111 21 a b c abc bca abc + + ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ +++≥+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ Bài 2: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: . 111 cba cb ++≥++a Chứng minh rằng : . 23 abccba cba + ++ ≥++ Bài 3: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc> 1abc = a) ()()()()()() 3 11 11 11 abc ab bc ca ++ ++ ++ ++4 ≥ b) 22 2 () () () 1 22 2 abc bca cab bb cc cc aa aa bb ++ + ++ ++ + ≥ Bài 4: Cho thỏa . Chứng minh rằng: , , 0abc> 1abc++= 333 1111abcbcacab+−+ +−+ +−≤ Bài 5: Cho thỏa . Chứng minh rằng : , , 0abc> 3abc++= abcabbcac + +≥++ Bài 6: Cho ab thỏa abc . Chứng minh rằng : , , 0c> 8= ()() ()()()() 222 33 33 33 4 3 11 11 11 abc ab bc ca ++≥ ++ ++ ++ Bài 7: Cho thỏa . Chứng minh rằng : ,, 0abc> 1ab bc ca++= 333 111 666bca abc ++ ++ +≤ 1 abc Bài 8: Cho . Chứng minh rằng :, , 0abc> ( ) ( ) ( ) () 3 52 52 52 333a a b b c c abc−+ −+ −+≥++ Bài 9: Cho .Chứng minh ,, 0abc> 3 () 2 abc abc bc ac ab ++≥++ +++ . a, b ≥ 0. Khi đó: Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b. 3 abc abc Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho a, b, c ≥ 0. Khi đó: 3 + + ≥ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c Bất đẳng thức Cauchy cho n. thức QUANG MINH 423/27/15, Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM. ĐT: 08. 7305 7668 1 Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ www.trungtamquangminh.tk BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 2 ab ab + ≥ Bất đẳng thức. a n + ++ ≥ Đẳng thức xảy ra ⇔ 12 n aa a=== 11 4 +≥ Hệ quả 1: Với a, b >0 thì abab+ . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b. Hệ quả 2: Với a, b, c >0 thì 111 9 abc abc ++≥ . Đẳng thức xảy ra ⇔