vô địch bất đẳng thức

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi THCS và THPT I . Một số bất đẳng thức cơ bản 1. Bất đẳng thức AM - GM (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) Nội dung bất đẳng thức: Cho n số thực không âm a 1 , a 2 , a 3 ,, a n ( ) , 2n n Ơ . Ta có bất đẳng thức sau: - Dạng có dấu căn: 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + hay 1 1 . n i n i n i i a a n = = - Dạng không chứa dấu căn: 1 2 1 2 n n n n n a a a a a a n + + + hay 1 1 . n n i n i i i a a n = = Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a= = = . Bất đẳng thức trên là dạng tổng quát với n số thực dơng, khi cho n nhận các giá trị đặc biệt, ta nhận đợc những bất đẳng thức rất quen thuộc sau đây: - Khi n = 2: 1 2 1 2 2 a a a a + (Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2 a a= ) - Khi n = 3: 1 2 3 3 1 2 3 3 a a a a a a + + (Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 a a a= = ) Một số hệ quả quan trọng: (1) Tổng của một số dơng với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2. 1 2a a + ( 0a > ) hay 2 a b b a + ( 0ab > ) (Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 1 hay a = b) Ta cũng chứng minh đợc bất đẳng thức tổng quát hơn: 1 2a a + , a Nh vậy, khi a > 0 ta có 1 2a a + còn khi a < 0 ta có 1 2a a + . (2) ( ) 2 2 2 2 2 a b a b ab + + , ,a b . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b. Chú ý: Với b = 1 ta có: ( ) 2 2 1 1 2 2 a a a + + . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 1. ( ) 2 2 2 2 3 a b c a b c ab bc ca + + + + + + , , ,a b c . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (3) 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n a a a a a a + +ììì+ + + + hay 2 1 1 1 n n i i i i n a a = = , 0, 1, i a i n > = Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a= = = . Yêu cầu: Chứng minh các bất đẳng thức hệ quả trên, coi nh bài tập. Ví dụ 1. Cho các số thực x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 1. Chứng tỏ rằng: 2 2x y + . 1 Chuyên đề BấT ĐẳNG THứC Giải. Ta thấy ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 x y x y x y x y + = + + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 2 x y= = . Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dơng bất kì. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + + + (1) Giải. Bất đẳng thức (1) tơng đơng với: 2 2 2 1 1 1 3 a b c a b c b c a b c a + + + + + ữ ữ ữ ữ (2). Theo bất đẳng thức AM GM và hằng bất đẳng thức 2 0,x x ta thấy bất đẳng thức (2) đúng, do vậy bất đẳng thức (1) cũng đúng. Ví dụ 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( ) 4 4 4 , , ,a b c abc a b c a b c+ + + + b) 8 8 8 3 3 3 1 1 1 , , , 0a b c a b c a b c a b c + + + + ữ Giải. áp dụng hệ quả (2) của bất đẳng thức AM GM ta có: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a ab bc ca+ + = + + + + = + + ( ) . . .ab bc ab ca bc ca abc a b c + + = + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 8 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b b c c a a b b c c a+ + = + + + + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 . . . 1 1 1 . . . a b b c a b c a b c c a ab c a bc abc ab c a bc ab c abc a bc abc a b c a b c + + = + + + + = + + ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 4. Cho a, b là hai số dơng cho trớc và x, y là các biến dơng thỏa mãn điều kiện 1 a b x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biết thức (x + y). Giải. Vì 1 a b x y + = nên ( ) ( ) 2 2 a b ay bx x y x y a b a b ab a b x y x y + = + + = + + + + + = + ữ ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 a b x a ab x y ay bx y b ab x y + = = + = + = Vậy giá trị nhỏ nhất của (x + y) bằng ( ) 2 a b+ khi x a ab y b ab = + = + . Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau đây: a) ( ) ( ) 2y f x x x= = với [ ] 0; 2x 2 b) ( ) ( ) ( ) 2 1 3y f x x x= = với 1 ;3 2 x c) ( ) ( ) 2 6y f x x x= = trên đoạn [ ] 0; 6 d) ( ) ( ) 3 y f x x a x= = với [ ] 0, 0;a x a> Giải. a) Để ý thấy với [ ] 0; 2x ta có 0 2 0 x x , điều này làm ta nghĩ đến bất đẳng thức AM GM. áp dụng bất đẳng thức AM GM cho hai số không âm x và (2 x) ta đợc: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 x x y f x x x + = = = ữ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi [ ] 0; 2 1 2 x x x x = = . Kết luận: ( ) 0 2 max 1 1 x f x x = = . b) Tơng tự ta cũng áp dụng bất đẳng thức AM GM cho hai số dơng (2x 1) và (3 x): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 1 25 2 2 1 3 2 3 2 2 2 8 x x y f x x x x x + ữ ữ ữ = = = = ữ ữ ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 ;3 7 2 4 1 3 2 x x x x = = . Vậy ( ) 1 3 2 25 7 max 8 4 x f x x = = . Chú ý: Tại sao ta lại phải phân tích 1 2 1 2 2 x x = ữ ? Bạn đọc hãy quan sát lại đề bài và hãy thử áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM GM mà bỏ qua cần bớc phân tích kia! c) Với [ ] 0; 6x ta có x và 6 x đều không âm. Nh vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 6 2 2 6 4 6 4 32 2 2 3 x x x x x y f x x x x + + ữ = = = ì ì = ữ ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi [ ] 0;6 4 6 2 x x x x = = . Vậy ( ) 0 6 max 32 4 x f x x = = . d) Một cách tơng tự, ta có: ( ) ( ) ( ) 4 4 27 3 3 3 27 27 3 3 3 4 256 x x x a x x x x y f x a x a + + + ữ = = ì ì ì = ữ ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi [ ] 3 0; 4 x a a= . Kết luận: ( ) 4 0 27 3 max 256 4 x a f x a x a = = . Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) ( ) 2 16 16 8 x x y f x x + + = = trong khoảng ( ) 0; + 3 b) ( ) ( ) 4 2 2 1 1 x y f x x + = = + c) ( ) 4 3 2 2 16 56 80 356 2 5 x x x x y f x x x + + + + = = + + d) ( ) 2 2 1 x y f x x = = + với mọi x > 1 e) ( ) 1 2 1 y f x x x = = + trên khoảng ( ) 0;1 Giải. a) ( ) 2 16 16 2 2 2 2 2 3 8 8 8 x x x x y f x x x x + + = = = + + ì + = ữ , với mọi x > 0. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 0 4 2 8 x x x x > = = . Vậy ( ) 0 min 3 4 x f x x < <+ = = . b) áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM GM ta đợc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 x x x y f x x x x + + + = = = = + + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 1 1x x= = . Do đó ( ) 1 min 1 2 x f x x = = Ă . c) Đem tử thức chia cho mẫu thức ta đợc: ( ) ( ) 2 2 256 4 2 5 2 5 y f x x x x x = = + + + + + Nên theo bất đẳng thức AM GM ta có ( ) 64,y f x x= Ă . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ( ) 2 2 2 3 2 5 64 2 5 8 1 x x x x x x = + + = + + = = . Vậy ( ) 3 min 64 1 x x f x x = = = Ă . d) Ta có: ( ) 1 2 1 1 2 1 5 2 2 1 2 2 1 2 2 x x y f x x x = = + + ì + = ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 3. Nên ( ) 1 5 min 3 2 x f x x < <+ = = . e) Hàm số xác định ( ) 0;1x . Theo bất đẳng thức AM GM ta có: ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 3 3 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x y f x x x x x x x = = + + + = + + + = + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 0;1 0;1 2 1 1 2 2 1 0 1 x x x x x x x x x = = + = . Vậy ( ) 1 min 3 x f x x < <+ = = . Ví dụ 7. (Bất đẳng thức Nesbitt cho 3 số) Cho các số dơng a, b, c. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a a b + + + + + (1) Giải. 4 Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit. Sau đây xin đợc giới thiệu tới bạn đọc một số cách nh sau: Cách 1: Đặt , ,b c x c a y a b z+ = + = + = ( ) , , 0x y z > Khi đó , , 2 2 2 y z x z x y x y z a b c + + + = = = Ta có: 1 3 VT 2 2 2 2 2 y z x z x y x y z x y y z x z x y z y x z y z x + + + = + + = + + + + + ữ . Theo bất đẳng thức AM GM thì biểu thức trong ngoặc không nhỏ hơn 6, ta có bất đẳng thức (1). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x y z a b c= = = = . Cách 2: 9 (1) 1 1 1 2 a b c b c c a a b + + + + + ữ ữ ữ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 9 1 1 1 9 (2) a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b + + + + ữ + + + + + + + + + + ữ + + + Bất đẳng thức (2) đúng, theo hệ quả (3) của bất đẳng thức AM GM. Ngoài ra còn nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt mà không cần dùng bất đẳng thức AM GM. Ví dụ: Biến đổi tơng đơng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 (1) 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 2 a b c b c c a a b a b a c b c b a c a c b b c c a a b a b b c c a b c c a c a a b a b b c a b b c c a b c c a c a a b a b b c + + ữ ữ ữ + + + + + + + + + + + + + ữ ữ ữ + + + + + + + + + + + + + + Và còn rất nhiều các cách chứng minh khác nữa. Ví dụ 8. (Đề thi TS lớp 10 trờng ĐHSP Hải Phòng năm học 2003 2004) Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 14 xy yz zx x y z + > + + + + (1) Giải. Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z + + + + + = + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 8 2 8 4 3 8 14 x y z x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx x y z xy yz zx x y z + + + + + + + + = + + ì + = + > + + + + + + + + . Ví dụ 9. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9thành phố Yên Bái năm học 2011 2012) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: ( ) 2 5 3 1 x f x x = Giải. TXĐ (tập xác định) của hàm số: ( ) 1;1 Với giá trị x thuộc tập xác định, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2. 4 1 1 1 4 1 5 3 4 1 1 1 1 x x x x x f x x x x x + + + = = = + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 1;1 3 5 1 4 1 x x x x = + = . Vậy ( ) 1 1 3 min 4 5 x f x x < < = = . 5 Ví dụ 10. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Yên Bái năm học 2011 2012) Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + + + + (1) Giải. Nhận thấy dấu = xảy ra khi x = y = z = 1, nên ta áp dụng bất đẳng thức AM GM nh sau: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 4 4 1 x y x y x y y + + + = + + . Lập hai bất đẳng thức tơng tự rồi cộng lại, ta có: ( ) 2 2 2 3 3 3.3 3 3 3 3 1 1 1 4 4 4 4 4 2 x y z xyz x y z x y z x y z y z x + + + + + + + + + = = + + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Ví dụ 11. Cho a, b là các số dơng thỏa mãn 2 1 1 1 a b a b + = + + . a) (Đề thi TS lớp 10 chuyên thành phố Hồ Chí Minh năm học 2009 2010) Chứng minh rằng: 2 1 8 ab b) (Đề thi Violympic cấp quốc gia dành cho lớp 9 năm học 2011 2012) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a 2 b 3 . Giải. Từ giả thiết ta có: 2 1 1 1 1 1 1 2 b a b a b a a b = = = + + + . Do đó: a) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 8 b b b ab b b b b + = ì = = ữ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi , 0 1 1 2 1 2 a b b b a b b a b > = = = = . b) ( ) 3 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 4 2 2 3 27 b b b b b b a b b b b b b + + ữ = ì = = ì ì = ữ ữ ữ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi , 0 1 1 1 2 3 1 2 a b a b b b b a b > = = = = Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M bằng 1 27 khi và chỉ khi 1a = và 1 3 b = . Ví dụ 12. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Yên Bái năm học 2011 2012) Cho ( ) 1 1 1 1 1.2012 2.2011 2012.1 2012 1 S k k = + + ììì+ +ììì+ + , ( ) , 1 2012k k Ơ . So sánh S và 4024 2013 Giải. Xét ( ) ( ) 1 1 2 2012 1 2013 2012 1 2 k k k k = + + + . 6 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2013 2 k = Ơ (trái với giả thiết) Nên ( ) 1 2 2013 2012 1k k > + . Cho k lần lợt nhận các giá trị từ 1 đến 2012 rồi cộng tơng ứng vế với vế của 2012 bất đẳng thức lại với nhau, ta thu đợc S > 4024 2013 . Ví dụ 13. Chứng minh rằng, với mọi số thực x, ta luôn có: 15 12 20 3 4 5 4 5 3 x x x x x x + + + + ữ ữ ữ Giải. áp dụng hệ quả (2) của bất đẳng thức AM GM: 15 12 20 15 12 12 20 15 20 3 4 5 4 5 3 4 5 5 3 4 3 x x x x x x x x x x x x + + ì + ì + ì + + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 15 12 20 0 4 5 3 x x x x = = = ữ ữ ữ . Ví dụ 14. Chứng minh rằng, với mọi số dơng a, b, c ta có bất đẳng thức: 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + + + Giải. Theo bất đẳng thức AM GM thì: 3 2 2 a ab a b + , 3 2 2 b bc b c + , 3 2 2 c ca c a + . Cộng vế: ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca b c a + + + + + + . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 15. Cho các số dơng u, v có tổng bằng 1. Chứng tỏ rằng: 3 3 1 1 4 2 3 x y xy + + + Giải. Vì x + y = 1 nên (x + y) 3 = 1 hay x 3 + y 3 + 3xy = 1. Vế trái của bất đẳng thức có thể viết lại nh sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 4 2 3 x y xy x y xy xy x y x y xy x y xy x y xy + + + + + + = + = + + ữ + + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 4 4 3 3 1 1 2 2 6 3 3 1 1 2 2 6 x y = + = hoặc ( ) ( ) 4 4 3 3 1 1 2 2 6 3 3 1 1 2 2 6 x y = = + . Ví dụ 16. Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi và S là diện tích tam giác. Chứng minh: a) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2ab bc ca a b c ab bc ca a b c+ + + + < + + + + (1) b) 1 1 1 1 1 1 b c a c a b a b c a b c + + + + + + + (2) c) ( ) ( ) ( ) abc b c a c a b a b c + + + (3) d) 3 2 2 a b c b c c a a b + + < + + + (4) e) 2R r (5) (R, r lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp tam giác ABC). 7 Giải. a) Thật ra, chúng ta chỉ cần chứng minh 2 bất đẳng thức sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 (*) 2 (**) ab bc ca a b c a b c ab bc ca + + + + + + < + + . Bất đẳng thức (*) đúng theo hệ quả (2) của bất đẳng thức AM GM. Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (**) là đúng. Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác thì: ( ) 2 .a a a a b c ab ca= < + = + . Lập thêm hai bất đẳng thức tơng tự rồi cộng lại ta có đợc bất đẳng thức (1). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. b) Từ hệ quả (3) của bất đẳng thức AM GM ta có: ( ) ( ) 1 1 4 2 b c a c a b b c a c a b c + = + + + + + . Tơng tự: 1 1 2 b c a a b c b + + + và 1 1 2 a b c c a b a + + + . Cộng lại ta đợc bất đẳng thức (2). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. Chú ý: Dựa vào bất đẳng thức (2) ta có thể chứng minh 1 1 1 2 2 2 9 p a p b p c a b c p + + + + . c) áp dụng hệ quả (2) của bất đẳng thức AM GM: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 b c a c a b b c a c a b b c a c a b c+ + + + + + + . Tạo thêm hai bất đẳng thức nữa, ta rút ra bất đẳng thức (3). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. Chú ý: Bất đẳng thức (3) chính là bất đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) 8abc p a p b p c . d) Ta có 3 (i) 2 (4) 2 (ii) a b c b c c a a b a b c b c c a a b + + + + + + + < + + + . Bất đẳng thức (i) chính là bất đẳng thức Nesbitt cho ba số dơng. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (ii). Trớc hết, ta có bất đẳng thức phụ sau: Với mọi số dơng m, nếu có 0 < a < b thì có a a m b b m + < + (iii) áp dụng (iii): 2 a b c a a b b c c b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + < + + = + + + + + + + + + . e) , 4 4 abc abc S S pr R r R S p = = = = . Do đó công việc của chúng ta là cần chứng minh: 2 2 8 4 abc S abcp S S p . Theo công thức Heron: ( ) ( ) ( ) 2 S p p a p b p c= . Nên ( ) ( ) ( ) 2 8 8abcp S abc p a p b p c (đúng, theo kết quả câu c) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. Ví dụ 17. (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Đại học Vinh năm học 2009 2010 vòng 2) Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18. Chứng minh rằng: 2 3 5 3 5 2 5 51 1 1 2 1 3 7 y z z x x y x y z + + + + + + + + + + + Giải. Xét biểu thức 2 3 5 3 5 2 5 1 1 2 1 3 y z z x x y T x y z + + + + + + = + + + + + . Khi đó 2 3 5 3 5 2 5 3 1 1 1 1 1 2 1 3 y z z x x y T x y z + + + + + + + = + + + + + ữ ữ ữ + + + 8 2 3 5 2 3 5 2 3 5 1 1 2 1 3 x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + + = + + + + + 1 1 1 9 24.9 72 24 24 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 21 7x y z x y z = + + ì = = ữ + + + + + + + + . 72 51 3 7 7 T = . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi , , 0 6 1 1 2 1 3 3 2 3 18 2 x y z x x y z y x y z z > = + = + = + = + + = = . Ví dụ 18. (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Lê Hồng Phong, TP. HCM năm học 2000 2001) Cho , 0x y > và 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 2 4A xy x y xy = + + + . Giải. Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt đợc khi 1 2 x y= = , ta tìm cách tách các hạng tử của A nh sau: 2 2 1 1 1 5 4 2 4 4 A xy x y xy xy xy = + + + + ữ ữ + . áp dụng bất đẳng thức AM GM và các hệ quả: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 1 5 4 5 2 4 2 11 2 4 4 2 A xy x y xy xy x y x yx y + ì + = + + = + + + ++ ữ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y= = . Vậy , 0 1 min 11 2 x y A x y > = = = . Ví dụ 19. (Đề thi TS lớp 10 chuyên trờng Phan Bội Châu Nghệ An năm học 2007 2008) Cho x, y là các số dơng thỏa mãn 1 1x y + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y A y x = + . Giải. Ta hãy thử áp dụng luôn bất đẳng thức AM GM để tìm giá trị nhỏ nhất của A nhé! Ta thấy: 2 2. x y x y A y x y x = + ì = Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y. Lời giải quả thật ngắn gọn đến khó tin phải không các bạn. Nhng thực chất đây là một lời giải sai! Các bạn không tin ? Nào, các bạn cùng để ý nhé, khi thay x = y vào 1 1x y + thì ta sẽ có ngay 1 1x x + với x > 0. Rõ ràng không có số dơng x nào thỏa mãn bất phơng trình này! Nghĩa là cách giải ban đầu của chúng ta là không thể chấp nhận đợc! Ta giải lại nh sau: Từ giả thiết suy ra 1 1 1 2 4 4 x x y x y y y x + . áp dụng bất đẳng thức AM GM: 15 15.4 17 2 16 16 16 16 4 x y x y y x y A y x y x x y x = + = + + ì + = ữ . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi , 0 1 1 1 2 2 16 x y x x y y x y y x > = + = = = . 9 Ví dụ 20. Cho các số dơng x, y thỏa 4x y+ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 2 3 4 2 4 x y S x y + + = + . Giải. Dự đoán giá trị nhỏ nhất của S đạt đợc khi x = y = 2 nên ta giải nh sau: Ta có: 2 1 1 2 4 8 8 2 x y y x y S x y + = + + + + + ữ ữ 3 2 1 1 4 3 9 2 2.3 1 2 4 8 8 2 2 2 x y y x y ì + ì ì + = + + = . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Ví dụ 21. (Đề thi đại học khối D năm 2008) Cho , 0x y . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x y xy P x y = + + . Giải. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 x y xy x y xy x y xy P x y x y x y = = = + + + + + + Do , 0x y nên ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y xy x y xy P x y x y + + + + = + + + + . Mặt khác, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 1 1 1 4 1x y xy x y xy x y x y xy+ + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 1 4 4 4 1 1 x y xy x y x y xy P P x y + + + + + + = + + . Vậy , 0 1 min 4 x y P = chẳng hạn khi x = 0 và y = 1 và , 0 1 max 4 x y P = chẳng hạn khi x = 1 và y = 0. Ví dụ 22. Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng: 1 1 1 8 8 8 4 4 4 x y z x y z+ + + + + + + Giải. áp dụng bất đẳng thức AM GM: 3 8 8 64 3 8 .8 .64 12.4 x x x x x + + = . Tơng tự: 8 8 64 12.4 y y y + + , 8 8 64 12.4 z z z + + . Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên: ( ) ( ) 1 1 1 2 8 8 8 3.64 3 4 4 4 x y z x y z+ + + + + + + + (1) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM GM lần thứ hai: 3 3 6 8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 3.64 x y z x y z + + = = (2). Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 8 8 8 8 8 8 2 8 8 8 3.64 3 4 4 4 x y z x y z x y z x y z+ + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 8 8 8 3 4 4 4 8 8 8 4 4 4 . x y z x y z x y z x y z+ + + + + + + + + + + + + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Ví dụ 23. Cho các số thực dơng a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1 a b c + + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2 4a b c a b c a b c + + + + + + + + Giải. Theo hệ quả (2) bất đẳng thức AM GM ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 4 4 4 4 16a b c a b a c a b a c a b a c a b c = + + + + = + + ữ ữ ữ ữ + + + + + + + . Tơng tự, lập thêm hai bất đẳng thức nữa rồi cộng tơng ứng vế của ba bất đẳng thức lại, ta đợc: 1 1 1 1 4 4 4 1 2 2 2 16 4a b c a b c a b c a b c + + + + = ữ + + + + + + . 10 [...]... z x y Bất đẳng thức trên là đúng theo hệ quả (2) bất đẳng thức Cauchy Schwarz nên (1) cũng đúng Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Giải Do abc = 1 nên nếu đặt a = II ứng dụng của các bất đẳng thức cơ bản Chúng ta đã đợc học hai bất đẳng thức cổ điễn, đó là bất đẳng thức AM GM và bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy Schwarz còn có dạng mở rộng hơn nữa bất đẳng thức Holder... các tên gọi khác sau đây: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Cauchy Bunyakovsky Schwarz (viết tắt là bất đẳng thức CBS) hay bất đẳng thức Schwarz Tuy nhiên ngời Việt Nam hay gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki Đây là cách gọi không đúng và có sự nhầm lẫn Mặc dù có những tên gọi khác nhau, nhng nội dung của bất đẳng thức nh sau: ( a1 , a2 , , an ) Nội dung của bất đẳng thức: Cho hai bộ n số thực... 1) bất đẳng thức tơng tự rồi nhân vế với vế n bất đẳng thức ta có đợc bất đẳng 1 thức cần chứng minh Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn = n 1 Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu Kĩ thuật Cauchy ngợc dấu là một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khá mới mẻ và độc đáo Cơ sở của kĩ thuật này là: Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, ta đợc một bất đẳng thức mới ngợc chiều với bất đẳng. .. trình, bất phơng trình và hệ bất ph ơng trình Điểm rơi của bất đẳng thức không ngặt là điểm mà ở đó giá trị của các biến làm cho đẳng thức xảy ra Ví dụ: Điểm rơi của bất đẳng thức a 2 + 1 2a là a = 1 Các bất đẳng thức mà trong đó vai trò của các biến là nh nhau (bất đẳng thức đối xứng với các biến) thì đẳng thức thờng xảy ra khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên Ví dụ đẳng thức trong a 2 + b 2 +... tản mạn với bất đẳng thức Suy ngẫm về một bất đẳng thức Các bạn đã đợc biết đến bất đẳng thức từ thuở còn học mẫu giáo, bạn tin không? Có đúng vậy không? Học mẫu giáo, các bạn đợc làm quen với các con số, học cách so sánh chúng Càng lên cao, kiến thức về bất đẳng thức của bạn càng đợc mở rộng Trong quá trình nghiên cứu về bất đẳng thức, các bạn hết lần này đến lần khác gặp mặt bất đẳng thức a 2 + b... của bất đẳng thức này nh sau: Với m dãy số dơng a11 , a12 , , a1n , a21 , a22 , , a2n , , am1 , am2 , , amn ta có bất đẳng ( ) ( ) m m n n thức ai ữ m ai ữ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi m dãy đó tơng ứng tỉ lệ. j j ữ i =1 j =1 j =1 i =1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz chỉ là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Holder với m = m 2 ) ( Ngoài ba bất đẳng thức cổ điển trên, ta còn có các bất đẳng. .. Đôi khi, để giải phơng trình (hoặc hệ phơng trình, bất phơng trình, hệ bất phơng trình) ta thờng sử dụng những kiến thức về bất đẳng thức để chỉ ra các nghiệm của phơng trình (chính là điểm rơi của bất đẳng thức không ngặt) hoặc chứng minh phơng trình đó vô nghiệm 6 9 Ví dụ 68 Giải phơng trình: a + b = 3a 2b 3 16 4 3 6 9 6 9 6 9 Giải Theo bất đẳng thức AM GM: a + b + 16 = a + b + 64 3 a b 64 = 3a... 22011 Giải Không quá khó cho các bạn nhận ra bất đẳng thức này chính là một trờng hợp đặc biệt của bài toán tổng quát ở Ví dụ 55 với n = 2011 2 Những ứng dụng của bất đẳng thức trong cực trị hình học Cùng với những bất đẳng thức cơ bản trên, để làm đợc những bài toán cực trị về hình học, ta cần nắm vững thêm một số bất đẳng thức sau: (1) Với ba điểm A, B, C bất kì ta có: AB BC AC AB + BC Dấu = xảy... +b b +c c +d d +a 2 Giải Theo bất đẳng thức AM GM: a3 b3 c3 d3 ab 2 bc 2 cd 2 da 2 + 2 2+ 2 + 2 = a 2 +b 2 2 +c 2 +d 2 a 2 + b2 b + c c + d 2 d + a 2 a + b2 b +c c + d2 d + a2 13 ab 2 bc 2 cd 2 da 2 a + b + c + d ( a+b+c+d) + + + ữ= 2 2a 2b 2c 2d Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy Schwarz là bất đẳng thức do ba nhà toán học nổi tiếng:... bn ) Ta có: 2 2 an ( a1 + a2 + + an ) a12 a2 + + ì ì+ ì b1 b2 bn b1 + b2 + + bn 2 (bất đẳng thức này thờng gọi là bất đẳng thức Schwarz) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi k Ă : ai = kbi , i = 1, n Chú ý: Khi cho a1 = a2 = = an = 1 , ta đợc bất đẳng thức sau: 1 1 1 n2 + + ì ì+ ì Đây cũng là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy b1 b2 bn b1 + b2 + + bn (3) Cho 2 bộ n số thực dơng ( a1 , a2 , , an ) và . (2). Theo bất đẳng thức AM GM và hằng bất đẳng thức 2 0,x x ta thấy bất đẳng thức (2) đúng, do vậy bất đẳng thức (1) cũng đúng. Ví dụ 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( ) 4. gọi khác sau đây: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Cauchy Bunyakovsky Schwarz (viết tắt là bất đẳng thức CBS) hay bất đẳng thức Schwarz. Tuy nhiên ngời Việt Nam hay gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki + + + ữ + + + Bất đẳng thức (2) đúng, theo hệ quả (3) của bất đẳng thức AM GM. Ngoài ra còn nhiều cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt mà không cần dùng bất đẳng thức AM GM. Ví dụ: Biến