IV. tản mạn với bất đẳng thức
b. M đạt giá trị nhỏ nhất.
37.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
22010 2011 1 2012 2010 2011 1 2012 1 x x C x + − + = − . 38.Cho 0≤ ≤ ≤ ≤z y x 6 và 8 10 x y x y z + ≤ + + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3 3
D x= +y +z .
39.Cho x2 +2y2+5z2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E xy yz zx= + + .
40.Cho , , 0, 3 2
x y z> x y z+ + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y z 1 1 1
x y z
= + + + + + . Dạng 3 – Bài toán cực trị hình học
1. Cho tam giác ABC. Một điểm M nằm trong tam giác. AM kéo dài cắt BC ở D, BM kéo dài cắt AC ở E và CM kéo dài cắt AB ở F. Chứng minh AM BM CM 6
DM +EM + FM ≥ . A A F E M la b C lc lb B D C B a C (hình 1) (hình 2)
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh tan .cotB C≥2.
3. Tìm o o
4. Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh lần lợt là a, b, c và la, lb, lc là ba đờng phân giác ứng với ba cạnh ấy. Chứng minh 1 1 1 1 1 1
a b c
a b c+ + < + +l l l .
5. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Yên Bái năm học 1999 – 2000)
Cho tứ giác ABCD có tổng các góc BAD và CDA bằng 900, các cạnh AB = CD, BC = a,
AD = b. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AC, AD, BD, BC.
a. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b. Gọi diện tích tứ giác MNPQ là S. Chứng minh ( )2
8
a b
S≥ − . Dấu “=” xảy ra khi nào?
6. (Đề thi TS lớp 10 trờng PT Năng khiếu – ĐHQG, TP HCM năm học 1997 – 1998)
Chứng minh rằng với mọi tứ giác ABCD ta có: AC2+BD2 ≤AD2+BC2+2AB CD. . Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.
7. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và ba đờng cao tơng ứng ha, h hb, c. Chứng minh
a. 2 ( ) ( )
4ha ≤ + +a b c b c a+ −
b. ( 2 2 2) ( )2
4 ha + +hb hc ≤ a b c+ +
8. (Đề thi giải Lê Quý Đôn lớp 8, quận 5 TP HCM năm học 1996 – 1997)
Cho tam giác ABC có các đờng trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh 2 cot cot 3 B+ C≥ . A A N M P N B C B M C (hình 3) (hình 4)
9. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác sao cho MNP là tam giác vuông cân.
Xác định vị trí của M, N, P sao cho diện tích tam giác MNP là nhỏ nhất.
10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6
sin x+cos x với x∈Ă .
11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm M trong tam giác vẽ MD⊥BC, ME⊥CA,
MF ⊥AB (D BC E AB F∈ , ∈ , ∈AB). Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng
2 2 2
MD +ME +MF đạt giá trị nhỏ nhất.
12. Hình thang ABCD có diện tích bằng 1 và AB // CD, AC ≥ BD. Giá trị bé nhất của đờng chéo
AC là bao nhiêu?
13. Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c. Một điểm M nằm trong tam giác. Từ M hạ các đờng vuông góc có độ dài x, y, z lần lợt lên các cạnh a, b, c. Tìm vị trí của điểm M để tổng
a b c
x+ +y z đạt giá trị nhỏ nhất.
14. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Tứ giác này cần có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác AOD nhỏ nhất?
15. (Bất đẳng thức Ptolemy)
Cho tứ giác ABCD. Chứng minhAC BD AB CD AD BC. ≤ . + . . Đẳng thức xảy ra khi nào?
16. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9, TP HCM năm học 1999 – 2000)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M di động trên đờng tròn (O). Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
A A
B C B C
M (hình 5) (hình 6)
17. Cho đờng tròn (O ; R) và dây cung BC, một điểm A chuyển động trên đờng tròn (A khác B và
C). Tìm vị trí của điểm A để tích AB.AC đạt giá trị lớn nhất.
18. Một hình vuông và một hình tam giác có chu vi bằng nhau. Diện tích hình nào lớn hơn?
19. Trong các tam giác có chu vi không đổi, hãy tìm tam giác có bán kính đờng tròn nội tiếp lớn nhất.
20.Cho đờng tròn (O ; R) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) sao cho khoảng cách từ O đến d nhỏ hơn R 2. M là điểm di chuyển trên d, từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A,
B nằm trên (O)). AB cắt MO tại N.