Nhưng có ba điều này: Đức tin, trông cậy tình yêu thương Nhưng điều trọng ba điều tình yêu thương BẢNG TRA CỨU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP I Các bất đẳng thức đáng nhớ Với x, y ∈ R ta có: x2 + y ⩾ 2xy ⇐⇒ xy ⩽ Vì (x + y)2 = x2 + y + 2xy ⩾ 4xy (x + y ) nên xy ⩽ (x + y)2 Áp dụng 1: x2 + y ⩾ (x + y)2 Áp dụng 2: x2 + y + z + t2 ⩾ (x + y + z + t)2 Vì x3 + y = (x + y)3 − 3xy(x + y) ⩾ (x + y)3 nên: x3 + y ⩾ (x + y)3 Vì x2 + y + xy = (x + y)2 − xy ⩾ (x + y)2 nên ghi nhớ: x2 + y + xy ⩾ (x + y)2 Tương tự: x2 + y − xy ⩾ (x + y)2 1 Ta có: xy ⩽ (x2 + y ); yz ⩽ (y + z ); zx ⩽ (z + x2 ) nên: 2 xy + yz + zx ⩽ x2 + y + z Ta có: (x + y + z)2 = x2 + y + z + 2(xy + yz + zx) ⩾ 3(xy + yz + zx) (x + y + z)2 = x2 + y + z + 2(xy + yz + zx) ⩽ 3(x2 + y + z ) nên: 3(xy + yz + zx) ⩽ (x + y + z)2 ⩽ 3(x2 + y + z ) 10 Cho a, b > x, y ∈ R Ta có: x2 + y x2 y + ⩾ a b a+b 11 Cho a.b ⩾ 1, ta có: 1 + ⩾ + a + b2 + ab 1 + + ⩾ 3 1+a 1+b 1+c + abc ( ) 1 1 13 Cho a, b > ta có: ⩾ + a+b a b 12 Cho a, b, c ⩾ , ta có: 14 Cho a, b > 0, chứng minh: (a + b)3 ⩾ 27 ab II Bất đẳng thức Cauchy cho số không âm Cho hai số không âm a, b ta có: a+b √ ⩾ ab Xảy dấu a = b Cho ba số không âm a, b, c ta có: a+b+c √ ⩾ abc Xảy dấu a = b = c LUYỆN TẬP Cho a, b, c > chứng minh: a b c + + ⩾ b+c c+a a+b a2 b2 c2 a+b+c + + ⩾ b+c c+a a+b a2 b+c HD Áp dụng BĐT Cauchy + ⩾a b+c Cho a, b, c > chứng minh: b3 c3 a2 + b2 + c2 a3 + + ⩾ b+c c+a a+b a b+c HD Áp dụng BĐT Cauchy +a ⩾ a2 b+c Cho a, b, c > chứng minh: Cho a, b, c > cho a + b + c = Chứng minh a + b ⩾ 16abc III Bất đẳng thức Schwartz (S-vac) “Tích vô hướng nhỏ tích độ dài ” III BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ (S-VAC) Cho hai số a, b x, y Ta có: |ax + by| ⩽ Xảy dấu “=” √ √ a2 + b2 x2 + y x y = hay ay = bx a b Cho hai số a, b, c x, y, z Ta có: |ax + by + cz| ⩽ Xảy dấu “=” √ √ a2 + b2 + c2 x2 + y + z x y z = = a b c