Đề tài nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc om Tr-ờng THPT CHUYÊN QUảNG BìNH oc c ti nghiờn cu khoa hc cu PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH kh on g bo BấT ĐẳNG THứC Giỏo viờn hng dn : Nguyễn Chiến Thắng Nhóm tác giả: Tập thể chuyên Toán khóa 2012-2015 Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc LI NểI U Trong mụn Toỏn trng THPT, bt ng thc ngy cng c quan tõm ỳng mc v t cú sc hp dn mnh m nh v p v tớnh c ỏo ca phng phỏp v k thut gii chỳng cng nh yờu cu cao v t cho om ngi gii Bt ng thc l mt nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh quỏ trỡnh hc cng nh cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua Ngoi bt ng thc cng l mt dng thng gp cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp c tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t oc Cỏc bi toỏn bt ng thc khụng nhng rốn luyn t sỏng to, trớ thụng minh m cũn em li say mờ v yờu thớch mụn Toỏn ca ngi hc Trong ti nghiờn cu khoa hc ny, th lp 10 Toỏn trng THPT cu Chuyờn Qung Bỡnh xin trỡnh by mt s v bt ng thc, mt s phng phỏp chng minh bt ng thc ti gm cỏc bi vit ca cỏc Nhúm tỏc gi kh on g bo nhúm tỏc gi c trỡnh by di dng cỏc chuyờn -2- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc MC LC LI NểI U MC LC BT NG THC AM-GM V NG DNG om Bt ng thc AM-GM 1.1 nh lớ 1.2 Chng minh 1.3 Cỏc dng thng gp c Vớ d Bi t gii 23 oc BT NG THC MINKOWSKI V NG DNG 24 Bt ng thc Minkowski 24 1.1 Bt ng thc Minkowski dng 24 cu 1.1.1 nh lớ 24 1.1.2 Chng minh 24 1.2 Bt ng thc Minkowski dng 25 bo 1.2.1 nh lớ 25 1.2.2 Chng minh 25 Vớ d .25 Bi t gii 28 on g BT NG THC HOLDER V NG DNG 29 Bt ng thc Holder .29 1.1 Dng tng quỏt 29 1.1.1 nh lớ 29 kh 1.1.2 Chng minh 29 1.2 M rng ca bt ng thc Holder 30 1.3 M rng ca bt ng thc Holder 30 1.4 M rng ca bt ng thc Holder 30 Vớ d .30 Bi t gii 41 BT NG THC CAUCHY-SCHWARZ 43 -3- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 1.Bt ng thc Cauchy-schwarz .43 1.1 nh lớ 43 1.2 Chng minh .43 1.3 H qu 45 Vớ d .45 om Bi t gii 78 BT NG THC CHEBYSHEV 82 1.Bt ng thc Cheybyshev .82 1.1 nh lớ 82 c 1.2 Chng minh .82 Vớ d .83 oc Bi t gii 96 BT NG THC MUIRHEAD 97 Gii thiu bt ng thc Muirhead 97 cu Mt s khỏi nim liờn quan n Bt ng thc Muirhead .97 2.1 B tri 97 2.2 Trung bỡnh loi [a] .98 bo 2.3 Tng hoỏn v .98 2.4 Tng i xng 98 2.5 Lc Young 99 kh on g nh lý Muirhead .99 K thut s dng nh lớ Muirhead 101 Phng phỏp chung 101 S dng nh lý Muirhead vi AM GM, Holder, ASYM, Schur 102 5.1 Bt ng thc AM GM 102 5.2 Bt ng thc Holder 102 5.3 Bt ng thc ASYM 102 5.4 S dng nh lý Muirhead vi bt ng thc Schur 102 Vớ d 103 Bi t gii 112 -4- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc PHNG PHP PQR 114 Kin thc liờn quan 114 1.1 nh ngha v cỏc phộp bin i 114 1.2 Phng phỏp pqr kt hp bt ng thc Schur 114 1.3 M rng phng phỏp pqr kt hp hm s 117 om Bi t gii 119 PHNG PHP PHN TCH TNG BèNH PHNG S.O.S 124 Lý thuyt v vớ d 124 c 1.1 nh lý v cỏc k thut phõn tớch 124 1.2 Cỏc tiờu chun v k thut sp xp bin 130 oc 1.3 ng dng tỡm hng s k tt nht 135 Bi t gii 137 M rng 141 cu S DNG PHNG PHP S.O.S TRONG CHNG MINH BT NG THC 142 Li núi u 142 bo Xõy dng nh lớ, tiờu chun 142 Phõn tớch c s 143 Cỏc ng dng ca phng phỏp S.O.S 144 on g Bi dng 149 Bi dnh cho bn c 151 PHNG PHP DN BIN 153 Kin thc liờn quan 153 kh Vớ d minh 157 Bi dng 184 S DNG TIP TUYN TRONG VIC CHNG MINH BT NG THC 187 Phng trỡnh tip tuyn tng quỏt 187 S dng tip tuyn chng minh bt ng thc 187 Vớ d 188 -5- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc PHNG PHP NHN T LAGRANGE 203 C s lớ thuyt 203 Mt s vớ d 204 Bi dng 215 kh on g bo cu oc c om KT LUN 218 -6- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc BT NG THC AM-GM V NG DNG on Quc t Ngụ Hong Thanh Quang Bt ng thc AM-GM om 1.1 nh lớ nh lớ (Bt ng thc AM-GM) Vi mi s thc dng a1 , a2 , , an ta cú bt ng thc oc ng thc xy v ch a1 a2 an 1.2 Chng minh a1 a2 a1a2 cu Phng phỏp Quy np Cauchy Vi n : c a1 a2 an n a1a2 an n a1 a2 2 a1 a2 a1a2 (ỳng) bo Gi s bt ng thc ỳng vi n k ta s chng minh bt ng thc ỳng vi n 2k S dng gi thit quy np ta cú: on g a1 a2 a k a1 a2 ak ak ak a2 k 2k k 2k k a1a2 ak k ak 1ak a2k k a1 ak k ak a2k 2k a1a2 ak a2k Gi s bt ng thc ỳng vi n p ta s chng minh bt ng thc ỳng vi kh n p Tht vy, xột p s: a1 , a2 , , ap S dng gi thit quy np vi n p ta cú: a1 a2 a p p a1a2 a p p p a1 a p p a1 a p p a1a2 a p a1 a2 a p p a1a2 a p p p a1a2 a p -7- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc a1 a2 a p p p a1a2 a p a1 a2 a p p p a1 a p Theo nguyờn lớ quy np ta cú bt ng thc ỳng vi mi n 2, n om ng thc xy v ch a1 a2 an 1.3 Cỏc dng thng gp n2 n3 iu kin a, b a, b, c a, b, c, d Dng ab ab abc abc abcd abcd Dng ab ab abc abc abcd abcd Du bng a b a bc a bc d oc bo Vớ d cu n4 c n Vớ d 1: (Bt ng thc Nesbit) Chng minh rng vi mi s thc khụng õm a, b, c on g ta cú a b c bc a c a b kh Gii: Xột cỏc biu thc sau a b c bc a c a b b c a M bc a c a b c a b N bc a c a b S Ta cú M N Mt khỏc theo bt ng thc AM-GM thỡ -8- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc ab bc ca bc ac ab ac ab bc N S bc ac ab M S Vy M N 2S 2S hay om a b c bc a c a b ng thc xy v ch a b c (pcm) c Nhn xột: Bi ny cũn nhiu cỏch gii khỏc nhng cú l õy l cỏch hay nht vỡ vic ngh cỏc biu thc M , N khụng phi l d dng oc Vớ d trờn phn no cho ta thy c sc mnh v s tinh t ca bt ng thc AMGM, nhng ú ch mi l mt vớ d n gin Chỳng ta s xột n k thut thờm bt bt ng thc AM-GM qua vớ d sau cu Vớ d 2: Chng minh rng vi mi s thc khụng õm a, b, c ta cú bo a2 b2 c2 a bc bc a c a b kh on g Gii: S dng bt ng thc AM-GM, ta cú: a2 bc a2 b c a bc bc b2 ac b2 a c b ac ac c2 ab c2 a b c ab ab Cng theo v bt ng thc trờn ta cú: a2 b2 c2 a bc abc bc a c a b a2 b2 c2 a bc Hay bc a c a b -9- Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc ng thc xy v ch a b c (pcm) Nhn xột: õy l dng bi ỏnh giỏ im ri t AM sang GM Nu nhng mi ch tip xỳc qua bt ng thc AM-GM thỡ cú th nhn xột rng vic tỡm a2 bc a2 b c ỏnh giỏ a cú v mang nhiu tớnh may mn Nhng bc bc Khi ú om khụng phi vy, chỳng ta cựng ý, im ri ca bt ng thc trờn ti a b c a a2 a , chỳng ta phi to mt biu thc va cú giỏ tr bng , va bc a2 Hn na, v ca bt ng thc l ng bc c cú th loi c mu ca biu thc bc oc bc 1, t ú d dng nhn biu thc thờm vo phi l S dng kt qu bi ny ta cú th lm bi toỏn sau: Vớ d 3: [IMO 1995] Cho a, b, c tha abc Chng minh rng: cu 1 a b c b a c c a b (1) bo Gii: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi: abc abc abc 11 1 a b c b a c c a b a b c on g 1 2 11 1 a b c 1 1 1 2a b c b c a c a b kh 1 t x , y , z , ta quay tr li vớ d a b c Nhn xột: Bi ny cú th gii bng bt ng thc Cauchy Schwarz m chỳng ta s xột phn sau Vớ d 4: Cho a, b, c Chng minh rng: ab bc ca a bc a b 2c b c 2a c a 2b - 10 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Mt s vớ d Vớ d 1: Vi x, y dng tho x y 10 Tỡm giỏ tr ln nht ca: x y Thit lp hm Lagrange L( x, y, ) x y ( x3 y 10) 2x 2y 3x 3y oc T phng trỡnh th nht v th hai ta suy c x x im cc tr l nghim ca h y y x y 10 om Gii cu Ta cú cc tr xy v ch x y , t õy cú im dng 5, 5, x Giỏ tr ln nht ca x y l 25 25 15 y x3 y x3 y3 bo Chỳ ý: Vi vớ d ny, du bng xy ti tõm nờn khụng khú ta cú th ngh cỏch gii sau: on g Theo bt ng thc Holder: x y (1 1) x3 y x3 y 200 x y 25 kh Ta cựng xột mt vớ d n gin na sau õy Vớ d 2: Cho a, b, c, d tho a b c d Tỡm Min P a2 2b2 2c2 3d Li gii Thit lp hm Lagrange L(a, b, c, d , ) a 2b 2c 3d (a b c d 2) - 204 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 12 Kt lun: Min P 12 3 ti a ; b ; c ; d 7 7 c Khi ú P om 2a 4b im cc tr l nghim ca h 4c d a b c d a b tng ng vi: c d 12 7 7 oc Chỳ ý rng sau bit giỏ tr Min ca P xy b a ; b ; c ; d cu bng phng phỏp nhõn t Lagrange thỡ cú th ngh cỏch li gii sau: Li gii bo Ta thy 2 2 on g 3 a b c d 7 7 12 84 12 84 12 a 2b 2c 3d a b c d 49 49 Hoc khụng s dng nhõn t Lagrange, ta cú th dựng phng phỏp im ri AM- kh GM Ta cn cú , , , dng thc hin cỏc phộp ỏnh giỏ sau bng AM-GM: a a.2 2b b.2 2c c.2 3d d a 2b 2c 3d a.2 b.2 c.2 d ( ) - 205 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc s dng c iu kin a b c d , ta cn cú 2 2 (1) (2) om a 2b M theo iu kin du bng ca bt ng thc AM-GM 2c 3d Thay (2) vo (1): a2 4b2 4c2 9d Chỳ ý rng a, b, c, d nờn a 2b 2c 3d 7 7 c T ú cựng vi a b c d thỡ a ; b ; c ; d Qua cỏc bi toỏn trờn, ta ó thy c s tin li s dng phng phỏp oc nhõn t Lagrange Nhng s cú ý kin cho rng phng phỏp Lagrange cha tht s thuyt phc, vỡ s dng cỏc phng phỏp n gin hn cú th gii quyt mt cỏch nhanh chúng, nhng vi nhng bi toỏn cú iu kin du bng phc tp, cỏc cu phng phỏp khỏc lp tc s gp khú khn, xột bi toỏn sau Vớ d 3: (British Mathematical Olympiad 1996) bo Cho a, b, c thc tho a b c v a2 b2 c2 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : on g A a2b b2c c2a Nhn xột: Vi loi bi toỏn cú iu kin nh th ny, nhõn t Lagrange t vụ cựng hu hiu Ta cựng tham kho li gii sau: kh Xột hm nhõn t Lagrange L(a, b, c, , ) a 2b b2c c a (a b c) (a b2 c 6) 2ab c 22 a 2bc a 22b im cc tr l nghim ca h 2ca b 22 c a b c a b c - 206 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Cng v theo v ca ba phng trỡnh u tiờn li, ta c a b c 31 22 (a b c) 2ab c2 2bc a 2ca b2 (quy c mu bng thỡ t bng 0) (*) a b c c Suy ra: om 2ab c 22 a 2bc a 22b T ú 2ca b 22 c a b c a b c Ta ó tỡm c iu kin xy du bng ca bi toỏn ny, t õy cú th s dng oc Cauchy Schwarz nh sau cu 2 2 a 2ab c b 2bc a c 2ca b a b c 2ab c 2bc a 2ca b Li cú a 2ab c b 2bc a c 2ca b a 2b b 2c c 2b V 2ab c 2bc a 2ca a 2(ab bc ca)2 (a b2 c )2 54 Do ú A 2 bo on g Gi ta cn gii tỡm iu kin du bng xy vi b a, b, c nh th no kh Ta cú: 2ab c2 2bc a 2ca b2 a b c (2ab c )2 (2bc a )2 (2ca b )2 (2ab c )2 (2bc a )2 (2ca b )2 a2 b2 c2 a b2 c2 2ab c 2bc a 2ca b a b c Li cú - 207 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 2ab c 2bc a a b 2 2ab c b 2abc a 2b (b c) c 2b 2bc(b c) (6 b c )(b c) 2bc 6b 6c 3b3 b c c om Xõy dng ng thc tng t ri cng li, ta c 2bc 2ca 2ab 4(a b3 c3 ) b c c a a 2b 4(a b3 c ) bc ca ab 2(a b3 c ) 2ab c2 2bc a 2ca b2 a b c c Vi (1) Ta cú oc 2ab c 3a 2ab2 c 2b 3ab ab bc ca 2 a b c ab bc ca a b2 c (2) bo cu Xõy dng cỏc ng thc tng t ri cng li ta c T (1) v (2) ta cú a3 b3 c3 on g 2ab c 2bc a 2ca b2 Vi a b c Tng t trờn ta cú a3 b3 c3 kh Tng hp li ta cú h a b c a b c a b c 2 2 2 a b c (b c) b c b c bc 3 3 3 a b c (b c) b c bc(b c) a b c a b c a b c 2 2 2 a b c (b c) b c b c bc 3 bc(b c) 3 a b c (b c) b c Xột h (I) - 208 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc a b c a b c 2 2 b c bc b c a 3a a bc(b c) abc Mt cỏch tng t, ta cú a, b, c ln lt l ba nghim ca a thc f ( x) x3 3x om f (1) f ( 2) Ta thy f (1) f (1) f (1) f (2) T ú t x 2cos xột (0; ) , ta cú: 8cos3 cos 2 k ; x cos ; x cos 9 cu (0; ) nờn ta cú nghim x 2cos oc cos c Nờn nghim ca f ( x) thuc khong (2;2) bo a b c a 2 Xột h (II) b c bc b bc(b c) c T quy c (*) ta suy mt s bng thỡ c s bng 0, trỏi iu kin on g a2 b2 c2 Kt lun: A Du bng xy v ch a 2cos ; b cos ; c cos 9 v cỏc hoỏn v vũng quanh tng ng Qu vy iu kin ng thc ca loi bi toỏn ny rt phc tp, vic tỡm kh nú bng cỏc cỏch gii s cp l khụng kh thi, phng phỏp nhõn t Lagrange c a chớnh gii quyt iu kin du bng, dự phc n õu cng tng minh trn Vớ d 4: Cho a, b, c tho a2 b2 c2 Tỡm GTLN ca P a3 b3 c3 abc - 209 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Nhn xột : Trc gii quyt bi toỏn ny, ta cú nhng nhn xột sau õy: t biu thc bờn du giỏ tr tuyt i l Q thỡ Q nhn c cỏc giỏ tr õm v dng vi iu kin bi toỏn T ú max P max Q , maxQ Vỡ vy cú th i theo ng sau: tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca Q ri om so sỏnh giỏ tr tuyt i ca chỳng Hng i ny lm ta ngh n phng phỏp nhõn t Lagrange tỡm cc tr ca hm nhiu bin cú iu kin Gii Q p pq 2r nờn theo nh lớ ABC, giỏ tr nh oc Xột f (r ) Q , ta cú f (r ) l hm n iu trờn c Chuyn biu thc Q sang n p, q, r ( p a b c ;q ab bc ca ;r abc ) ta cú nht v ln nht t ba s a, b, c cú hai s bng cu Gi s a b , ú Q 2a c a c vi iu kin rng buc 2a2 c2 Xõy dng hm Lagrange L 2a c a 2c (2a c 1) bo 6a 2ac 4a 2 im dng l nghim ca h 3c a 2c 2a c on g Xột a thỡ a 0, b 0, c v P Khi c thỡ a b , c v P 2 kh Khi a, b, c khỏc 0, t h im dng ta cú 6a 2ac 3c a 4a 2c 4c 3ac a (a c)(4c a ) a c a 4c Kt hp 2a2 c2 1ta cú - 210 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc 33 33 13 P 33 P 3 So sỏnh cỏc giỏ tr ca P ta thu c: max P om a a 4c 2 c 2a c a c a 2a c c c Kt lun: max P ti b (a, b, c) (0;0;1), (0;0; 1) v cỏc hoỏn v Chỳ ý: ta cú th gii bi toỏn ny bng li gii s cp hn, tham kho cỏch lm ca S dng bt ng thc Cauchy Schwarz: b3 c3 abc a b3 c3 abc a3 b3 c(c ab) 2 cu a oc mt thnh viờn diendantoanhoc.net nh sau: (a b c ) a b (c ab)2 a b4 c 2c ab a 2b bo Ta cú ỏnh giỏ sau: ( a b) on g a b 2ab a 2c b2c 2abc Vỡ th a b4 c 2c ab a 2b2 a b4 c a 2b2 b2c c a kh a b4 c 2(a 2b2 b2c c a ) (a b2 c )2 Vy P 1, ng thc xy v ch a,b,c l mt hoỏn v ca mt hai b (0,0,1) v (0,0,-1) Li gii s cp trờn rt d hiu nhng cú c li gii p ny, thc s ngi lm toỏn cn cú mt k nng ỏnh giỏ iờu luyn, bi cú nhng bc ỏnh giỏ khỏ thiu t nhiờn, nh bc a 2b b 2c c a 2(a 2b b 2c c a ) Do vy dự õy - 211 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc l li gii s cp, nhng vic ngh li gii ny vụ cựng khú khn, ớt nht l bng cỏch no ú, ta phi bit trc iu kin ng thc ca bi toỏn Vớ d 5: Cho x, y , z khụng õm tho x y z Tỡm Min v Max ca om P x y 3z Thit lp hm nhõn t Lagrange L( x, y, z ) x y 3z ( x y z ) im Max, Min l nghim ca h Khi ú P 14 6561 cu oc c x 81 x y y 81 z z x y z 27 81 bo Xột cỏc trng hp ti biờn on g Trng hp 1: z Khi ú x y v L( x, y, 0) x y ( x y ) g ( x, y ) kh im Max, Min l nghim ca h Khi ú P x 27 x y y 27 x y 27 243 11 46 32 ; ; ; ; 243 243 81 81 243 Tng t vi cỏc trng hp cũn li P - 212 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc So sỏnh tt c, ta i n ỏp ỏn: 14 2 v ch x ; y ; z 6561 81 81 27 MaxP v ch x 0; y ; z 81 Vớ d (1999 Canada Math Olympiad) Cho x, y , z l cỏc s dng tho x y z Chng minh rng: oc Gii 27 c 2 A= x y y z z x xyz om Kt lun: MinP Lx ' im dng ti h Ly ' L ' z cu Thit lp hm Lagrange L x y y z z x xyz .( x y z 1) bo xy z yz Hay ta cú yz x zx zx y xy on g Rỳt ta c xy z2 yz yz x2 xz xz y2 xy kh ( x y )( x y z ) y( x z) Cú h mi ( y z )( y z x) z ( y x) ( z x)( z x y) x( z y) Vi x y z ta cú L 27 Vi x, y , z ụi mt khỏc ta cú xyz ( x y z)( y z x)( z x y) Vụ nghim do: xyz ( x y z)( y z x)( z x y) (*) vi mi x, y , z khỏc nhau, dng - 213 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Tht vy xột x, y , z l ba cnh tam giỏc: x yz yzx ( x y z )( y z x) y yzxzx y ( y z x)( z x y ) z zx yx yz ( z x y )( x y z ) x om Nhõn theo v cỏc bt ng thc trờn ta cú xyz ( x y z)( y z x)( z x y) i .c Khi x, y , z khụng l ba cnh tam giỏc thỡ cú cỏc trng hp sau xy Mt tng ( x y z );( y z x);( z x y ) khụng dng, hai tng cũn oc li dng, gi s tng khụng dng ú l ( x y z) Thỡ v phi ca (*) khụng dng, v trỏi ca (*) dng nờn (*) hin nhiờn ỳng ii Tn ti hai ba tng ( x y z );( y z x);( z x y ) khụng dng, gi s cu l ( x y z) v ( y z x) , ta cú x y z y x (vụ lớ) Vy (*) luụn ỳng 1 ; ; 3 27 1 ; ; 4 64 27 on g f Li cú f bo Du bng ch xy x y z T ú im dng ti x y z 2 Kt lun ta cú A= x y y z z x xyz 27 kh Vớ d 7: Cho a, b, c thc tho a b c Chng minh rng: 2 a b c (a b c ) 3abc 3 2 (*) Nhn xột: Bi toỏn ny cha cú iu kin rng buc nờn ta cha th s dng phng phỏp nhõn t Lagrange, nhng chỳ ý bt ng thc (*) l bt ng thc thun nht, nờn ta cú th lm nh sau - 214 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Gii Chun hoỏ a2 b2 c2 ta cú (*) tr thnh: a3 b3 c3 3abc 3a 3bc 2a 3b 3ca 2b im dng l nghim ca h 3c 3ab 2c a b c c Rỳt ta c om Thit lp hm nhõn t Lagrange: L(a, b, c, ) a b3 c3 3abc (a b c 1) 3(a bc) 3(b ac) 3(c ab) 2a 2b 2c (a b)(ab bc ca) a b c (a c)(ab bc ca) ab bc ca (b c)(ab bc ca) cu oc Khi a b c thỡ a3 b3 c3 3abc bo Khi ab bc ca thỡ (a b c) a b c 2(ab bc ca ) Li cú a b c nờn a b c on g T ú a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ca ) kh Bi dng Cho cỏc s thc dng a,b,c tho a2 b2 c2 Chng minh rng 2(a 2b b c c a ) 15 3(a b c) 4(ab bc ca ) Hng dn: Thit lp hm Lagrange, gii h im dng ta c a b c Cho a, b, c tho a b c Tỡm Max ca P = (2a c)b (a c)(2c a)b Hng dn: xột riờng cỏc trng hp biờn, ri lp hm Lagrange cho trng hp tng quỏt ỏp s Max P= Cho a, b, c Chng minh: a b3 c3 3abc ab(a b) bc(b c) ca (c a ) Hng dn: Sau thit lp hm Lagrange, gii h im dng c a b c , sau ú xột trng hp biờn - 215 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Tng t trờn chng minh cỏc bt ng thc sau vi a, b, c i a (a b)(a c) b (b c)(b a ) c (c a )(c b) ii a k (a b)(a c) b k (b c)(b a ) c k (c a )(c b) Cỏc bi toỏn ny l cỏc dng c bit v tng quỏt ca bt ng thc Schur Cho a, b, c tho a b c v a2 b2 c2 Tỡm giỏ tr nh nht v ln om nht ca : P a3 b3 c3 Hng dn: tng t bi VD2, ta s dựng nhõn t Lagrange tỡm iu kin c du bng xy ri s dng bt ng thc Cauchy Schwarz Cho n v x1 , x2 , , xn ; y1 , y2 , , yn l 2n s thc tho iu kin n n n i i i oc xi 1; yi 1; xi yi 2 cu n n Chng minh rng: xi yi n i i n n i i Hng dn: t A= xi , B= yi bo Lp nhõn t Lagrange, vit phng trỡnh tỡm im dng tng quỏt Suy c du bng xy Axi Byi ri phõn tớch thnh tng cỏc bỡnh phng kh on g Cho x, y tho iu kin x xy y Tỡm giỏ tr nh nht ca: x xy y Cho a,b,c,d Chng minh rng a b c d 2abcd a 2b sym Hng dn: Sau lp hm nhõn t Lagrange v a h im dng, dựng bi toỏn v bt ng thc Schur chng minh rng h cú nghim nht a b c d hoc a 0, b c d v cỏc hoỏn v, t ú i n kt qu Cho i 51 a 11 i i Tỡm giỏ tr ln nht ca P i - 216 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc Hng dn: Tng t bi Hng dn: Tng t bi om Cho i 51 Tỡm giỏ tr nh nht ca P i a 13 i i 10 Cho a, b, c, d , e thc tho a b c d e Chng minh rng ab bc cd de ea 2 2 a b c d e Vừ Quc Bỏ Cn Trn Quc Anh S dng phng phỏp oc i .c Ti liu: Cauchy-Schwarz chng minh bt ng thc Trn Phng Nhng viờn kim cng bt ng thc toỏn hc iii Diendantoanhoc.net kh on g bo cu ii - 217 - Truy cp www.khongbocuoc.com download thờm cỏc ti liu hc khỏc KT LUN Bi vit trỡnh by mt s k thut chng minh bt ng thc t c in n hin i, cỏc ý tng, vớ d v bi ó c sp xp mt cỏch cú h thng nhm giỳp cho i tng hc sinh cú iu kin ụn tp, nghiờn cu v phỏt om trin Do trỡnh cũn hn ch nờn bi vit khụng th trỏnh nhng sai sút v trỡnh by cng nh v chuyờn mụn Rt mong quý thy cụ v bn c c úng gúp ý kin ti cú th tr thnh mt ti liu tham kho tt kh on g bo cu oc Xin chõn thnh cm n - 218 - [...]... dụng 3 lần bất đẳng thức (*) cho 3 biến  a  b  ,  b  c  ,  c  a  thì bất đẳng thức sẽ rơi vào ngõ cụt, không thể đi tiếp Đến lúc dẫn đến bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức một biến thì bài toán đã trở nên đơn giản, ta nghĩ ngay đến phương pháp khảo sát hàm số trên đoạn kh Vậy là chúng ta đã cùng nhau đi hết chặng đường khám phá bất đẳng thức AM-GM Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức đã được... ) Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c Nhận xét: Để ý rằng biểu thức ở vế phải của bất đẳng thức chứa phép cộng giữa 2 kh biến ở cả tử và mẫu nên việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM một cách trực tiếp là vô cùng khó khăn Do đó phương án khả dĩ nhất là đổi biến để tạo ra bất đẳng thức mới Bây giờ, chúng ta sẽ xét tới một kĩ thuật mới trong việc chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM,... Vậy bất đẳng thức trên đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 - 19 - Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Nhận xét: Trong ví dụ trên, nếu không phát hiện ra bất đẳng thức phụ (1) thì việc giải là rất khó khăn Ví dụ trên còn có thể giải quyết bằng phương pháp dồn biến Cuối cùng, ta sẽ xét đến sự kết hợp giữa bất đẳng thức AM-GM và phương pháp. .. đưa bất đẳng thức về dạng (1) nhờ bất đẳng thức AM-GM - 17 - Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác 2 Bài toán này có thể giải bằng một số các khác như Cauchy-Schwarz, S.O.S, U.C.T Tiếp theo, chúng ta sẽ xét một số ví dụ về sự kết hợp giữa bất đẳng thức AM-GM với một số bất đẳng thức cũng như phương pháp khác om Đầu tiên chúng ta sẽ xét tới sự kết hợp giữa 2 bất đẳng thức. .. Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh .c Nhận xét: Bài toán trên thuộc dạng bài tập đánh giá điểm rơi của bất đẳng thức từ biểu thức GM sang AM Điểm khó của ví dụ trên là nằm ở chỗ đổi biến và tìm ra bất đẳng thức phụ (1) Bài tập trên còn có thể giải bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Ví dụ 6 [diendantoanhoc.net] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1 oc Chứng minh rằng:... dụ 2, 3, 4, 5 Kĩ thuật phối hợp giữa bất đẳng thức AM-GM và biến đổi đại số thông thường đã được đề cập trong các ví dụ 6 ,7 Các kĩ thuật đánh giá phủ định và phối hợp các bất đẳng thức đồng bậc ngược chiều đã được giới thiệu qua các ví dụ 8, 9 Sự kết hợp giữa bất đẳng thức AM-GM và các bất đẳng thức khác được giới thiệu trong các ví dụ 11, 12, 13 Cuối cùng, phương pháp cân bằng hệ số hay dấu - 22 -... Chứng minh: Giải: Theo bài ra ta có: 2a 2  b 2 2b 2  c 2 2c 2  a 2    3 ab bc ca ab  bc  ca  abc  1 1 1   1 a b c kh Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 1 2 1 2 1 2  2  2 2  2 2  3 2 a b b c c a (1) Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có: 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  2       2     3 2 a b b c c a a b c a b c Bất đẳng thức trên chứng minh. .. www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ỨNG DỤNG Đoàn Quốc Đạt – Ngô Hoàng Thanh Quang 1 Bất đẳng thức Minkowski 1.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng 1   1 a a1 a2    n b1 b2 bn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đặc biệt:  a  c   b  d  a 2  b2  c 2  d 2   a  m   b  n    c  p  sao cho 2 2 2 cu 1.1.2 Chứng minh  1 2 oc 2 a 2  b 2  c 2... các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 3a  b  c 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: c HD: Vì bất đẳng thức trên là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa: a  b  c  1 a 2  1  a   b2  1  b   c 2  1  c   2  a  b  c   3  a  b  c   2 2 3 2 a  b  c  3  a  b  c 2 2  3  VP 2 cu Ta có: VT  2 oc 2 Vậy ta có điều phải chứng minh, Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi... - Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác bằng không đối xứng trong bất đẳng thức AM-GM đã được đề cập trong hai ví dụ 14, 15 Qua các ví dụ trên phần nào cho chúng ta thấy vẻ đẹp, sức mạnh, sự linh hoạt của bất đẳng thức AM-GM trong việc chứng minh bất đẳng thức Sau đây là một số bài tập để giúp các bạn củng cố kiến thức: 3 Bài tập tự giải a b c    abc b c a om Bài