Tài liệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức pdf

Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi - Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta h

Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHáP 1 Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC CÔSI

I Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi

- Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng

các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra đợc kết quả nhanh chóng và định hớng cách giả nhanh hơn

- Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng Nó giúp ta

kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh Nó định hớng cho ta phơng pháp giải, dựa vào

điểm rơi của BĐT

- Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một

số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thơng rất hay mắc sai lầm này áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải đợc đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải đợc cùng đợc thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

- Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính,

các bài toán tối u, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất th-ờng xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên

- Quy tắc đối xứng: các BĐT thờng có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến

trong BĐT là nh nhau do đó dấu “=” thờng xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể

Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hớng đợc cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngợc lại

II Bất đẳng thức Côsi (CAUCHY)

• Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) # Trung bình nhân (TBN).

• Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thờng nhng lại giúp ta nhận dạng khi

sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức

IV Các kỹ thuật sử dụng

1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ # ” Đánh giá từ tổng sang tích

Bài 1 Chứng minh rằng: (a2+b2) (b2+c2) (c2+a2)≥8a b c2 2 2 ∀a b c, ,

Giải Sai lầm thờng gặp

Sử dụng: ∀ x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 # 0 ⇔ x2 + y2 # 2xy Do đó:

2 2

2 2

2 2

222

• Cần chú ý rằng: x2 + y2 # 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dơng.2 2

• Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si nh bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si

• Trong bài toán trên dấu “ # ” ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số

Bài 2 Chứng minh rằng: ( )8

2

64 ( )

a+ b ≥ ab a b+ ∀ a,b # 0

• 9ab2 = 9.a.b.b ⇒ gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi

áp dụng BĐT Côsi ta có b2 Khi đã có định hớng nh trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn

Bài 5 Cho:

, , , 0

1 :

1 1 1 1 1

n

n n

Ta có: ( ) ( ) ( ) ụsi ( ) ( ) ( )

3 3

Dấu “ = ” (3) xảy ra ⇔ 3abc =1 ⇔ abc = 1

Bài toán tổng quát 3

• Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình đồng

bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hớng đợc hớng chứng minh BĐT

Ta có đánh giá về mẫu số nh sau: ( ) ( ) 2

Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số

để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thờng bị mắc sai lầm Một kỹ thuật thờng đợc

sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn

điểm rơi.

3 Kỹ thuật chọn điểm rơi

Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ đợc sử dụng để tìm điểm rơi của biến

Bài 1 Cho a # 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a 1

a

= +

Giải Sai lầm thờng gặp của học sinh: S a 1

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

ađể sao cho khi áp dụng BĐT

Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có các hình thức tách sau:

1 ;1 (1)

1

; (2) 1

a

a

a a

a

α

α

αα

a và 34ađạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi là a = 2.

Bài 2 Cho a # 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S a 12

4

8a ≥ 8.2 = là đánh giá sai.

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến

đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):

(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)

1 12

a a

α = ⇒α = 4

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi

1 2

Bài 4 Cho

32

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại 1

α α

• Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử số

Bài 5 Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Để tìm Min S ta cần chú ý S lá một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S nếu

có thờng đạt tại “điểm rơi tự do” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự do vì a, b, c,

d không mang một giá trị cụ thể) Vậy ta cho trớc a = b = c = d dự đoán

4 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC)

Nếu nh đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu # , đánh giá từ tổng sang“ ”

tích, hiểu nôm na là thay dấu + bằng dấu thì ng“ ” “ ” ợc lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng là thay dấu bằng dấu + Và cũng cần phải chú ý làm sao khi“ ” “ ”

biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.

Bài 1 CMR ab+ cd ≤ (a c b d+ ) ( + ) ∀a b c d, , , >0 (1)

Giải (1) ⇔ (a c b d+ ab) ( + ) + (a c b d+ cd) ( + ) ≤1 Theo BĐT Côsi ta có:

Bình luận

• Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số ⇒

ta có phép biến đổi tơng đơng (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ đợc các phân

Ta nhận thấy biểu thức có tính đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT sẽ xảy ra khi

Trong kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC ta thấy thờng nhân thêm các hằng số để sao cho sau biến tích thành tổng các tổng đó triệt tiêu các biến Đặc biệt là đối với những bài toán có thêm điều kiện ràng buộc của ẩn số thì việc nhân thêm hằng số các

em học sinh dễ mắc sai lầm Sau đây ta lại nghiên cứu thêm 2 phơng pháp nữa đó là phơng pháp nhân thêm hằng số, và chọn điểm rơi trong việc đánh giá từ TBN sang TBC Do đã trình bày phơng pháp điểm rơi ở trên nên trong mục này ta trình bày gộp cả 2 phần

5 Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC

Bài 1 Chứng minh rằng: a (b− +1) b a( − ≤1) ab ∀a b, ≥1

Giải

Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab sau đó áp dụng phơng pháp

đánh giá từ TBN sang TBC nh phần trớc đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phơng pháp mới: phơng pháp nhân thêm hằng số

điểm rơi của BĐT theo quy tắc biên là a = b = 1/2.

Nếu không nhận thức đợc rõ vấn đề trên học sinh sẽ mắc sai lầm nh trong VD sau

1.1

1.1

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2 trái với giả thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là nh nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là

1

3

a b c= = = từ đó ta dự đoán Max S = 6 ⇒ a + b = b + c = c + a = 23 ⇒ hằng số cần nhân thêm là 2

3 Vậy lời giải đúng là:

nắm đợc kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hớng nào cũng có thể giải quyết

Bài 4 Cho x, y > 0 Tìm Min f(x, y) = ( )3

2

x y xy

+

Giải

• Ta cũng có thể đánh giá tử số từ TBC sang TBN để có chiều “ # ”

Bài toán tổng quát 1

n n

điều trên tơng đơng với m tiến tới +#, khi m là hữu hạn thì dấu “<” là hoàn toàn

đúng Chúng ta cũng nhận thấy nếu m tiến ra + # thì hai vế của BĐT càng dần tới cùng một giá trị là e (cơ số tự nhiên của hàm logarit) Ta hiểu là trong quá trình này thì VP tiến nhanh hơn VT nhng sau này khi tung ra # thì tốc độ dần bằng nhau và khoảng cách ngày thu hẹp.(Mục này xin chỉ bình luận cùng với các bạn

1 1.1.1

3

1 1.1.1

3

1 1.1.1

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S làmột biểu thức đối xứng với a, b, c nên Max S thờng xảy ra tại điều kiện:

2 2

3 3

3

2 2

3 3

3

2 2

3 3

Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi vào chỉ khi # ABC đều: a = b = c

( p là nửa chu vi của tam giác #ABC:

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ # ABC đều: a = b = c

7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số

8 Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toàn về mặt biểu thức toán học tơng đối còng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết đợc phơng hớng giải,ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi

về trạng thái dễ biến đổi hơn Phơng pháp trên gọi là phơng pháp đổi biến

Bµi 2 Cho #ABC Chøng minh r»ng: a2 b2 c2 a b c

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c ⇔ # ABC đều.

Bài 5 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì : 1 1 1 1

Kỹ thuật chọn điểm rơi và đánh giá từ TBC sang TBN

9.1 Cho a # 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a2 18

+ + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của S abc= +abc1

9.5 Cho a, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b ab

a b ab

+

9.6 Cho

, , 0

32

+ + ≤ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S a= + + + + +2 b2 c2 1 1 1a b c

9.8 Cho a, b, c, d > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

9.25 Cho tam giác ABC, M thuộc miền trong tam giác Gọi MA, MB, MC thứ

tự giao với BC, AC, AB tại D, E, F Chứng minh:

V Một số ứng dụng khác của bất đẳng thức

áp dụng bất đẳng thức để giải phơng trình và hệ phơng trình

2

( 1) 1

1 ( 1).1

2( 2) 1 1

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

2

1 1 1

z y x z

Thö l¹i thÊy: x = y = 2 còng tháa m·n ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ

VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (2;2)

Bµi 5 Cho sè nguyªn n >1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2

2

Bài 6 Giải hệ phơng trình:

2 2 2 2 2 2

212121

=+

=+

Giải

Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = 0 Với x,y,z ≠ 0, từ hệ đã cho suy ra x>0, y>0, z>0

áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2 2

2 2 1 1 ( vỡ x 0)1

+

Vậy hệ có hai nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}

Bài 7 Tìm số nguyên dơng n và các số dơng a1 = a2 = = a… n thỏa các điều kiện

1 2

2

1 1 2

a a

2 4 4

213141

=+ +

=+ + +

−

− + − + + − =

Phơng pháp 2 Chứng minh bất đẳng thức bằng đạo hàm

Trong phần này ta sử dụng phơng pháp đạo hàm qua việc khảo sát hàm số hoặc dùng định lý Lagrage để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức có một biến số.

Loại 1 Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Phơng pháp thờng dùng là sử dụng đạo hàm để lập bảng biến thiên của hàm

số, từ đó suy ra tính đúng đắn của bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài 1 Chứng minh rằng e >1 x x + với x≠0

x x x

xÐt hµm sè f x = sin( ) x+tanx−2x víi 0

3 3

2 3

2

02

3

3 3

Yªu cÇu bµi to¸n ⇔ a.sina+2cosa > sinb b+2.cosb

XÐt hµm sè f x = sin( ) x x+2.cosx víi 0<x<π

f x,( ) =sinx x+ cosx−2.sinx , f,( )0 =0

⇔ .sina a+2cosa > .sinb b+2.cosb

hay .sina a b− sinb > 2 cos( b−cosa)

Bµi 9 Chøng minh r»ng 4.tan 5 tan 90 0 <3.tan 6 tan100 0

chøng minh t¬ng tù ta còng cã 10.tan90 <9.tan100 (3)

Nh©n tõng vÕ (2) vµ (3) ta suy ra 4.tan 5 tan 90 0 <3.tan 6 tan100 0

Bµi 10 Cho x y≥ ≥z>0 chøng minh x y2. y z2. z x2.

đặt u= x

y , v =

z

y ta có u 1≥ ≥ >v 0nên bất đẳng thức có dạng u3+ +v2 u v2 3 ≥u v u ( 2 + +v2 1)

+ , ∀ >x 0

Híng dÉn häc sinh ®a vÒ chøng minh ⇔

1 1 1 1 1 2 1

x x x

<

+

> − +

− <

+ ∀ >x 0

§Æt ( ) 1 1

21

x

11

x x

π

− − − ≤ −

x − > ⇔ sin cosx ( x)−13 − >x 0 đặt g x = ( ) sin cosx( x)−13 −x

Giải

Từ giả thiết ⇒ b2 + = −c2 1 a2, c2 +a2 = −1 b2 và a2 +b2 = −1 c2

− ⇒ ( )

2

2 2

3 3.21

3 3.21

3 3.21

Loại 2: Dùng định lý lagrange

1 Định lý lagrange

Nếu hàm số y= f x( )liên tục trên đoạn [ ]a b và khả vi ; ( )a b thì tồn tại một số ;

c sao cho a<c<b khi đó ,( ) f b( ) f a( )

Xét h m số f à ( )x =sint , f x,( ) =cosx ⇒ f c,( ) =cosc

H m số fà ( )x =sint liên tục và khả vi trên [ ]x y với mọi x, y; ∈R thoả mãn các điều kiện của định lý lagrange nên ∃ ∈c ( )x y; để

Xét hàm số f x( ) =tanx liên tục và khả vi trên ( )a b ;

,( )

2

1cos

x x

α − −

− ⇔ x a − = −1 ( x 1 )α c n− 1

⇒ x a − >1 α( x− ⇔1) α(x−1 ) c a− 1 >α( x−1) ⇔c a−1 >1

bất đẳng thức đúng với c>1 và α -1>0 hay:x a − >1 α( x−1) với x>1 và α >1

Bài 5 Chứng minh rằng: ln(x+1) < x mọi x >0

Đây là dạng bài toán cha thể vận dụng đính lý lagrănge đợc ngay

Ta hớng dẫn học sinh đa về chứng minh

Bài 7 Cho n∈Ζ+ chứng minh rằng : x n 1−x < 1

2ne với mọi x∈( )0;1

2ne víi mäi x∈( )0;1 vµ n∈Ζ+

Bµi 8 Cho 0<a<b, n>1, chøng minh r»ng