Tài liệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức pdf

Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC CÔSI PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC CÔSI I. Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi - Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra đợc kết quả nhanh chóng và định hớng cách giả nhanh hơn. - Quy tắc dấu bằng: dấu bằng = trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hớng cho ta phơng pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. - Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thơng rất hay mắc sai lầm này. áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải đợc đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu = phải đợc cùng đợc thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. - Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối u, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất th- ờng xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. - Quy tắc đối xứng: các BĐT thờng có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là nh nhau do đó dấu = thờng xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu = xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hớng đợc cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngợc lại II. Bất đẳng thức Côsi (CAUCHY) Dạng tổng quát (n số): x 1 , x 2 , x 3 x n không âm ta có: Dạng 1: 1 2 1 2 n n n x x x x x x n + + Dạng 2: 1 2 1 2 n n n x x x n x x x+ + Dạng 3: 1 2 1 2 n n n x x x x x x n ữ + + Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n x x x= = = 2 Hệ quả 1 Nếu: 1 2 n x x x S const+ + + = = thì: ( ) 1 2 P n n S Max n x x x = ữ = khi 1 2 n S n x x x == = = Hệ quả 2 Nếu: 1 2 n x x x P const= = thì: ( ) 1 2 2 n Min S n Px x x =+ += khi 1 2 n n x x x P== = = III. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ) n = 2: x, y # 0 khi đó: n = 3: x, y, z # 0 khi đó: 2.1 2 x y xy + 3 3 x y z xyz + + 2.2 2x y xy+ 3 3 x y z xyz+ + 2.3 2 2 x y xy ữ + 3 3 x y z xyz ữ + + 2.4 ( ) 2 4x y xy+ ( ) 3 27x y z xyz+ + 2.5 1 1 4 x y x y + + 1 1 1 9 x y z x y z + + + + 2.6 ( ) 2 1 4 xy x y + ( ) 3 1 4 xyz x y z + + Bình luận Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) # Trung bình nhân (TBN). Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thờng nhng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3) đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức. 3 IV. Các kỹ thuật sử dụng 1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều # . Đánh giá từ tổng sang tích. Bài 1. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ,8 a b ca b b c c a a b c + + + Giải Sai lầm thờng gặp Sử dụng: x, y thì x 2 - 2xy + y 2 = ( x- y) 2 # 0 x 2 + y 2 # 2xy. Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + (Sai) Ví dụ: 2 2 3 5 4 3 24 = 2.3.4 # (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng Sử dụng BĐT Cô Si: x 2 + y 2 # 2 2 2 x y = 2|xy| ta có: 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 a b ab b c bc c a ca + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + (Đúng) Bình luận Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả đợc BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. Cần chú ý rằng: x 2 + y 2 # 2 2 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dơng. Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si nh bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si. Trong bài toán trên dấu # đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số. Bài 2. Chứng minh rằng: ( ) 8 2 64 ( )a b ab a b+ + a,b # 0 Giải 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 8 2 4 ụSi 2 4 2 .2 2 2 2 2 . . C a b a b a b ab a b ab ab a b = = + = = + + + + + 2 64 ( )ab a b= + Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) # 9ab a, b # 0. Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) # 3 3 3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab= Bình luận 9 = 3.3 gợi ý sử dụng Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b đợc xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số sẽ khử đợc căn thức cho các biến đó. Bài 4. Chứng minh rằng: 3a 3 + 7b 3 # 9ab 2 a, b # 0 Giải Ta có: 3a 3 + 7b 3 # 3a 3 + 6b 3 = 3a 3 + 3b 3 + 3b 3 3 3 3 3 3 3 Cụsi a b = 9ab 2 Bình luận 9ab 2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b 3 thành hai hạng tử chứa b 3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b 2 . Khi đã có định hớng nh trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn. Bài 5. Cho: , , , 0 1 : 1 1 1 1 81 3 1 1 1 1 a b c d CMR abcd a b c d > + + + + + + + Giải Từ giả thiết suy ra: ( ) ( ) ( ) ụsi 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - C b c d bcd a b c d b c d b c d ữ ữ ữ + + + + + + + + + + + + + + Vậy: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 d 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 bcd a b c d cda b c d a abc a b c d a b c d dca c d c a abc d a b c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 81 abcd Bài toán tổng quát 1 Cho: ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , 1 0 1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x x x CMR x x x x n x x x x > + + + + + + + + Bình luận Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn Bài 6. Cho , , 0 1 1 1 : 1 1 1 8 1 a b c CMR a b c a b c ữ ữ ữ > + + = (1) Giải ụsi 1 1 1 (1) . . 2 2 2 . . . . 8 C a b c VT a b c b c c a a b bc ca ab a b c a b c = + + + = = (đpcm) Bài toán tổng quát 2: Cho: ( ) n 1 2 3 1 2 31 2 3 , , , , 1 1 0 1 1 1 1 : 1 1 1 1 n n n n x x x x CMR x x x xx x x x ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + + + = > Bài 7. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 1 1 1 1 1 8 , , 0 3 a b c a b c abc abc a b c ữ ữ ữ ữ ữ + + + + + + + Giải 6 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ụsi 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 C a b c a b c a b c ữ ữ ữ ữ + + + = + + + + + + + + (1) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc =+ + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 2 2 3 ụsi 3 3 3 3 11 3 C a b c abc abc abc+ + = + + (2) Ta có: ( ) 3 3 3 3 ụsi 2 1. 81 C abc abc abc ữ =+ (3) Dấu = (1) xảy ra 1+a = 1+b = 1+c a = b = c Dấu = (2) xảy ra ab = bc = ca và a = b = c a = b= c Dấu = (3) xảy ra 3 abc =1 abc = 1 Bài toán tổng quát 3 Cho x 1 , x 2 , x 3 , ., x n # 0. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + + + + + + + Bình luận Bài toán tổng quát trên thờng đợc sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lợng giác trong tam giác sau này. Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình đồng bộ và đối xứng là rất quan trọng, giúp ta định hớng đợc hớng chứng minh BĐT đúng hay sai. Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay đợc sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo. 2. Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 1. CMR: 2 . 0 a b a b b a + > Giải Ta có: 2 2 Cụsi a b a b b a b a + = Bài 2. CMR: 2 2 2 2 1 a a R a + + 7 Giải Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ụsi 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 C a a a a a a a a = = = + + + + + + + + + + Dấu = xảy ra 2 2 2 1 1 1 1 0 1 a a a a = + + = = + Bài 3. CMR: ( ) 1 3 0a a b b a b + > > Giải Ta có nhận xét: b + a b = a không phụ thuộc vào biến b đo đó hạng tử đầu a sẽ đợc phân tích nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ụsi . 1 1 1 3 . 3 0 C a b a b b a b a b b a b b a b b a b + = + + = > > Dấu = xảy ra ( ) ( ) 1 b a b b a b == a = 2 và b = 1. Bài 4. CMR: ( ) ( ) 2 4 3 0 1 a a b a b b + > > + (1) Giải Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dới mẫu. Tuy nhiên biểu thức dới mẫu có dạng ( ) ( ) 2 1a b b + (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số 2 là một thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất đối với b, khi đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu. Vậy ta có: ( ) ( ) 2 1a b b + = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a theo 2 cách sau: 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 = ( ) 1 1 2 2 b b a b + + + + Từ đó ta có (1) tơng đơng : VT + 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 4 1 2 2 1 1 1 b b a a b a b b b a b b = + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ụsi . . . . 1 1 4 4 4 2 2 1 1 C b b a b a b b b + + = + + ĐPCM 8 Bài 5. CMR : 3 1 2a 1 2 3 4 ( ) 1 a b a b a b + > Giải Nhận xét: Dới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc sử lí với 1 biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng thì đây là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do đó: Ta có đánh giá về mẫu số nh sau: ( ) ( ) 2 2 4. 4. 4. 2 4 b a b a b a b a ữ ữ ữ + = = Vậy: 3 3 3 ụsi 3 2 2 3 ụsi 3 3 2a 1 2 1 1 1 1 . . 4 ( ) C C a a a a a a a b a b a a a a + = = = + + + + + Dấu = xảy ra 2 1 1 1 2 b a b a a b a = = = = Bình luận Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kỹ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngợc lại phải phụ thuộc vào dấu của BĐT. Bài 6. Bài toán tổng quát 1 Cho: 1 2 3 , 0 1 n x x x x v k Z> > > > . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 1 k kk n k n k n n n n k a a a a a a a a k ữ ữ + + + Giải VT = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 n n k kk n n n n a a a a a a a a a a a a a a + + + + + 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 . 1 . n n n n n k k k n n n k k a a a a a a a a a k k k k a a a a a a a + + + + + + = + + 1 4 4 44 2 4 4 4 43 1 4 4 4 442 4 4 4 4 43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 2 . . 1 1 2 . . n n n n n k k k n n n n k k k a a a a a a a a n k a k k k k a a a a a a a ữ ữ + + 1 4 442 4 4 43 1 4 4 44 2 4 4 4 43 ( ) 1 2 1 1 2 n k n k n k k ữ ữ + + = Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo học sinh thờng bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thờng đợc sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi. 3. Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu = trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu = , quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ đợc sử dụng để tìm điểm rơi của biến. Bài 1. Cho a # 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1 S a a = + Giải Sai lầm thờng gặp của học sinh: 1 S a a = + # 2 1 a a =2 Dấu = xảy ra 1 a a = a = 1 vô lí vì giả thiết là a # 2. Cách làm đúng Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1 a để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu = xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau: 10 1 1 ; (1) 1 ; (2) 1 , 1 ; (3) ; (4) a a a a a a a a a a ữ ữ ữ ữ ữ Vậy ta có: 5 1 4 4 2 1 3 1 3 3.2 2 4 4 4 a a a a S a a + + + == + . Dấu = xảy ra a = 2. Bình luận Ta sử dụng điều kiện dấu = và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để tìm ra = 4. ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu = trong việc áp dụng BĐT Côsi cho 2 số , 4 1a a và 3 4 a đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi là a = 2. Bài 2. Cho a # 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 S a a = + Giải Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 2 2 1 1 4 a a = = 2 1 4 = = 8. Sai lầm thờng gặp 2 2 2 . 1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9 2 8 8 8 8 8 8 4 4 4 8 8.2 a a a a a S a a a a a ữ = + + + = + = + + = + = MinS = 9 4 Nguyên nhân sai lầm Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS = 9 4 là đáp số đúng nhng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a # 2 thì 2 2 2 4 8 8.2a = là đánh giá sai. Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. 11 Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): (sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm) 1 2 1 1 2 a a = = 2 1 2 = = 4. [...]... qua việc khảo sát hàm số hoặc dùng định lý Lagrage để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức có một biến số Loại 1 Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp thờng dùng là sử dụng đạo hàm để lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó suy ra tính đúng đắn của bất đẳng thức cần chứng minh e x >1 + x với x 0 Giải Bài 1 Chứng minh rằng Xét hàm số f ( x ) = e x 1 x Ta thấy f(x) liên... F Chứng minh: MD ME MF MA MB MC MA MB MC + + = 1 ; b) + + = 2; + + 6; a) c) DA EB FC DA EB FC MD ME MF MD ME MF MA MB MC DA EB FC + + 3/ 2 8 + + 9/ 2; d) e) f) MA MB MC MD ME MF MA MB MC V Một số ứng dụng khác của bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức để giải phơng trình và hệ phơng trình Bài 1 Giải phơng trình 1 x + y 1 + z 2 = ( x + y + z ) 2 Giải Điều kiện: x 0, y 1, z 2 áp dụng bất đẳng thức. .. a = b = c # ABC đều 1 1 1 + + 1 Bài 5 Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì : 2+ a 2+b 2+c Giải Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với: 1 1 1 a b c 1 +1 +1 1 + + 1 2+a 2+b 2+c 2+ a 2+b 2+c x y z x y z Đặt a = y ; b = z ; c = x ; thỏa điều kiện a.b.c = y z x = 1 Bất đẳng thức đã cho tơng x y z đơng với: x + 2 y + y + 2 z + z + 2 x 1 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ( x ( x + 2 y... hay e x > 1 + x + x với x > 0 2 2 35 Bài 3 Chứng minh rằng x x3 < sin x < x với x > 0 6 Giải sin x< x Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với x3 sin x> x 6 Ta chứng minh sin x < x với x > 0 với x > 0 Xét f ( x ) =sin x - x , f ( 0 ) = 0 f , ( x ) = cos x 1 0 f ( x) nghịch biến sin x - x 0 6 Bài 4 Chứng minh rằng 2sin x + 2 tan x 2 x+1 với 0 < x < 2 Giải áp dụng bất đẳng thức côsi: 2sin x + 2 tan x 2 2sin x.2tan x = 2.2 2sin x + 2 tan x 2 =2 sin x + tan x +1 2 sin x + tan x +1 2 Yêu cầu bài toán Việc chứng minh 2 sin x + tan x 2 x sin x + tan x 2 với 0 < x < sin x + tan x +1 2 2 36 2 x+1 tơng đơng với chứng minh: xét hàm số f ( x ) = sin x + tan... 9.14 Cho a + b + c = 1 a, b, c > 0 a + b + c = 1 Chứng minh rằng ab + bc + ca abc 8 27 Chứng minh rằng 16abc a + b Kỹ thuật chọn điểm rơi và nhân thêm hằng số trong đánh giá từ TBN sang TBC 9.15 a 3 ab c 2 + bc a 3 + ca b 4 Cho b 4 Tỡm Max S = 2 2 c 2 9.16 Cho x, y, z >0 Tìm Min f(x, y, z) = 9.17 Chứng minh rằng: n < 1 + 9.18 Chứng minh rằng: S = 1 + 9.19 ( Gợi y: CMR n n 1 n ( x + y... + b = z > 0 Khi đó bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức sau: y x y+zx z+x y x+ yz z x y z + + + ữ+ + + + ữ 6 ữ 2x 2y 2z x y x z z y Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy áp dụng BĐT Côsi ta có: VT # 2 y x z x y z +2 +2 = 2+2+2 = 6 x y x z z y Dấu = xảy ra x = y = z a = b = c 26 a2 b2 c2 Bài 2 Cho #ABC Chứng minh rằng: + + a+b+c b + c a c + a b a +b c Giải b +... biểu thức toán học tơng đối còng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết đợc phơng hớng giải,ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trạng thái dễ biến đổi hơn Phơng pháp trên gọi là phơng pháp đổi biến Bài 1 Chứng minh rằng: c a b 3 + + a, b, c > 0 (BĐT Nesbit) a +b b+c c+a 2 Giải b + c = x > 0 y+zx z+ x y x+ yz ; b= ; c= Đặt: c + a = y > 0 a = 2 2 2 a + b = z > 0 Khi đó bất đẳng thức. .. x3 xn 1+ 2+3+ + n 2 (1) n N (n 1) n Bài 5 Chứng minh rằng: n n < 1 + Giải Với n = 1, 2 ta nhận thấy (1) đúng Với n # 3 ta có: n n = n n n 1.1 1 14 2 4 3 n + n + 1 + 1 + 1 14 244 4 3 n2 n n2 = 2 n + ( n 2) n + 2 n 2 < = 1+ n n n Bài toán tổng quát 2 m n 1 1 Chứng minh rằng: 1 + ữ < 1 + ữ m n m < n N 20 (1) Giải m 1 1 Ta biến đổi (1) về bất đẳng thức tơng đơng sau: n 1 + ữ < 1 + m n m . Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC CÔSI PHƯƠNG PHáP 1. Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC CÔSI I. Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi -. song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra đợc kết quả nhanh chóng và định hớng cách giả nhanh hơn. -. một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hớng đợc cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngợc lại II. Bất đẳng thức Côsi (CAUCHY) Dạng tổng quát (n số): x 1 , x 2 , x 3 x n