Phan thu nhat
CAC Li THUYET CO BAN VE TiCH PHAN
| — Li THUYET
1 Nguyén ham
1.1 Dinh nghia nguyén ham, ho nguyén ham (tich phan khéng xdc dinh)
Hàm số (+) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trén khoang (a ; b) nếu với mọi x € (a; b), tacé F’ (x) = f(x)
Ham s6 F(x) dugce goi 1a nguyén ham cua ham sé f(x) trên đoạn KỆ bị nếu với mọi x e [ư; b] ta có #7 (x) = ƒ), các đẳng thức F’ (a) = fla); F’ (b) = f(b)
được hiểu là
tim LO-FO _ pa va tim LOO)
xa" X-a xo?” Xx— = f(b)
Nếu hàm số ƒ{+) có một nguyên hàm #(+) thì nó có vô số nguyên hàm và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x) + C, trong dé C 1a hang sé tuy y (vi
(F(x)+C) = f(x)) nén F(X) + C goi là ho nguyén ham cha f(x) Ngudi ta ki
hiệu họ tất cả các nguyên hàm của ham sé f(x) la [foodx (đọc là tích phân bất
định của ƒ(v) hay họ các nguyên hàm của ƒ(3)) 1.2 Các tính chất cơ bản của nguyên hàm
a) nh [/COdx Œ là hàng số, z 0)
b) [7(x)+£s(x)|J= [7)áx* [s(x)
c) Ki) oat = f(x)
Trang 22 Tich phan
2.1 Dinh nghĩa tích phân (/ích phản xác định)
Giả sử +) là hàm số liên tục trên một khoảng #7, ¿ và b là hai số bất kì thuộc #, F(z) là một nguyên hàm của f(x) trên #/ Hiệu số F(b) — F(a) duge goi b la tich phan ttr a dén b cua f(x) và được kí hiệu là [f (Jax Tich phan nay con a được gọi là tích phân xác định vì kết quả của nó là một hằng số b Công thức NEWTON-LEIBNITZ : [f(x)dx=F(x)| ? =F(b)- F(a) ad
(là một trong những công thức tính quan trọng dùng để tính tích phân khi ta đã tìm được nguyên hàm của hàm số ƒ(x), nói cách khác việc tính tích phân nhờ công thức này là một phép toán nối dài của phép tìm nguyên hàm, nhưng không
phải với công thức này ta sẽ tính được mọi tích phân cho dù tích phân đó là rất
đơn giản)
2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân
Trang 34) Ìr6)=-jy)2 ©) Ìrt)= [r&)4e+ [r9 Đ Ìf0Jw= [ft)#= [r)4=r0)-rt hy lx) > O rên đoạn [ø; 6] => [r(sjare0 b b 1) f(x) 2 g(x) trén doan [a; b| => [f(x)ax2 [a(x)ax b k) m < f(x) < M trén doan [a; b|=>m(b-a)s [f(x)dx<M(b-a) a t n) ¿ biến thiên trên đoạn [a; b] => G(rt)= [f(x)dx 1a một nguyên hàm a cua f(t) va G(a) = 0 II - CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Trước khi giới thiệu các phương pháp tính tích phân chúng tôi đề cập tới cách thức sử dụng bảng nguyên hàm Trên mặt phương pháp luận thì chúng ta đều coi đây không phải là một phương pháp tính mà là kĩ thuật đương nhiên học sinh phải biết nếu muốn tính tích phân, nhưng trên thực tế thì do học sinh THPT đang giải những bài toán tính tích phân đơn giản nên chúng tôi dành phần đầu của các phương pháp để đề cập tới cách thức sử dụng bảng nguyên hàm
Để các em có thể nâng cao được kĩ năng này thì chúng ta cần nhớ bảng
nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Bảng này nhiều học sinh nói là
khó nhớ, nhưng nếu chúng ta chỉ cần lưu ý rằng bảng nguyên hàm được suy ra từ bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản thì các em sẽ rất đễ học và tiếp thu
Trang 4BANG CAC NGUYEN HAM CO BAN Bang dao ham Bảng nguyên hàm (tương ứng) [ax=x+C yt! = x" (œ = CONST, OF -l) +] X [ta = +C (œ =€onst.œ # —l) at —] ƒ* =Inl|+C x [ca =e”+€ °(0<a#1) x a fa* dx = ing (0<a#1) (sin) =cos.x [cos xdx =sinx+C r (—cos x) = sinx {sin xdx =-cosx+C dx (tanx) = 5 J 5 =tanx+C COS“ x cos” x ' dx ( cotx) =—> E 5 =-cotx+C sin’ x Sin“ x
Khi sử dụng bảng nguyên hàm các em nên linh hoạt và đặc biệt phải kết
hợp với các tính chất của tích phân cùng một số biến đổi phổ biến thì sẽ dễ dàng giải quyết được các bài toán về tìm họ nguyên hàm (tích phân bất định)
hoặc tính tích phân (tích phân xác định) mà hình thức của nó là khá phức tạp Bail:
3\jx~4
Tim /= ` (x>0)
Trang 5Giải : l= pues V2x7 3V 2x dự TỔ +$.4°-3 r= PY ay PENS +f dx — = xx ave fave ave =3 AaB fe sae fata - be eb =3Inx-682 fx+ˆ\xŠ+-® 3€: Š Vx Bai2: Tim = [{x?-+2+3) ax Giải : = f(x? +2043) ara xế 4x9 att Ot a $203 4607 $C
Nhung trong qua trình áp dụng phương pháp này các em học sinh không được lạm dụng mở rộng bảng nguyên hàm vì nếu làm như vậy các em sẽ rất dễ bị trừ điểm trong các kì thi vì bảng đạo hàm này đã được quy định tại sách giáo khoa lớp l2 Đơn cử trong một số sách thường ghi công thức f dx l1n x-aT 2a X—ad +C và các em thường thấy hay và áp dụng luôn Nếu ~ ` aw xơ ^ X⁄ x+ữ
Trang 61 Su dung vi phén hàm số
Cũng như việc sử dụng bảng nguyên hàm thì việc dùng vị phân hàm số ta thường không coi đó là một phương pháp mà đương nhiên khi tính tích phân học sinh phải biết sử dụng Tuy nhiên trong phần trình bày này thì chúng tôi lại đưa nó như là một phương pháp sử dụng cơ bản vì tính phổ biến của nó
Trong chương trình sách giáo khoa các em đã làm quen với khái niệm vi phân của một hàm số và ứng dụng của nó trong tính gần đúng Nhưng để dễ hiểu thì ta chỉ cần nhớ công thức tính vi phân như sau Z[ffx)]= ƒ#' (x)dx
Sử dụng vi phân là một cách thức mở rộng bảng nguyên hàm Có nghĩa hoc sinh nên hiểu nếu có một công thức trong bảng nguyên hàm là fax =x+C thi
ta sẽ có công thức tương ứng là [af (x) = f(x)+C (vidu:
[a(sin x) = sinx +C; fa(xt2?)= x42? +C)
Mở rộng ra thì sử dụng vi phân còn đưa các bài toán phức tạp về các dạng quen thuộc (ví dụ : bài toán tính / = Em —=- nếu nhìn nhanh thì thấy
4x“ -4x—3
không có gì quen thuộc nhưng nếu ía biến đổi một chút thì các em sẽ thấy
Lúc này ta déu dé dàng nhận biết đây là bài toán f v2- a2 rất quen thuộc
và cách giải nó hoàn toàn tương tự bài 3 đã giải ở trên) Các bài toán sau sẽ thể
Trang 8Bài 9 : a) (Đề thì tuyển xinh đại học, cao đẳng năm 2003 — khối B) TL Tính tích phân 7 = —— dx ) 1+sin2x Giải : T14
Trang 9C) (Để thí tốt nghiệp trung học phổ thông không phân ban năm 2007) e 2 Tính tích phân 7 = (2 | dx x Giải : “1 In? X Ta dé thay J = [In” xz(In x)= | i - d) (Dé thi tuyén sinh dai hoc, cao dang ndm 2005 khối D) Noa Tính tích phân / = (er + COS x}eos xdx 0 Giải : TL 2 + Ta dé thay / = fe" * cosxtcos” x)dx duoc tach : 0 7 m “hại 17, 1' nt I= [e*d(sinx)+— [dx+— [cos2xd(2x) =e+==1 0 25 + 4
Nhu vay qua các bài tập từ bài 4 đến bài 9 thì ta thấy sử dụng vi phân có vai trò quan trọng như thế nào trong quá trình tính tích phân, nó có thể áp dụng
cho tính tích phân cho các loại hàm sơ cấp hữu tỉ, vô tỉ, lượng giác và hàm siêu
việt Các em học sinh cần luyện tập kĩ để có thể sử dụng một cách thuần thục
2 Phương phóp đổi biến
Trang 10* Quy tac 1: Dat x = h(t) => dx = h)dt
Biến đổi ƒ(x)dx theo ¢ va dr, gia sit f(x)dx = g(Ndt
Doi can h(m) = a ; h(n) = b, h) là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn chứa m, n b Khi đó : J6 [ae= Gi) m = G(n)—G(m) m (với G(r) la mot nguyén ham cua g(f)) * Ouy tac 2: Datt =u(x)> dt = ul (xd
Biến đổi ƒ{+x)dx theo / và đr, giả st f(x)dx = v(t)dt
D6i can u(a) = œ, w(b) = B, (+) có đạo hàm liên tục trên đoạn chứa œ, ÿ
b p
Khi đó: [f(x = [vŒ)4:= =V(B)-V(a)
a
(voi V(r) la mot nguyén hàm của v))
Tuy nhiên hai quy tắc trên chỉ là những công thức ở dưới dạng khái quát,
trên thực tế khi thực hiện việc đổi biến thì các em học sinh cần nắm vững một
số quy định có tính chất như các kĩ thuật khi làm các bài cụ thể là :
2.1 Biện pháp lượng giác hoá
Bài 10 : (Đề thì Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2000 — khối B)
a
Tinh tich phan / = I x? Va* — x" dx (a la hang s6 duong) Giải :
TL Từ
Dat x = asint > dx = acostdt (véi t <[-5: 5)
Trang 11TL 7U TL TL 42 42 p= © fein? 2tdt = “—[(- cos 4r)d r= fa £ si 4r) 4 0 8 0 8 0 a l= @t_a*sin4t 7 _ an | 8 32 lJP l6"
Theo như ví dụ trên thì ta có thể rút ra một nhận xét quan trọng là : Đối với một số bài tính tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân chứa một căn bậc 2 và
đại lượng bên trong căn có những hình thức nhất định nào đó thì ta có thể đổi
biến dưới dạng lượng giác hoá giống như bài 10 để nhằm mục đích trục căn
Chúng tôi giới thiệu cụ thể một vài cách đặt phổ biến sau :
— Nếu tính [role —m 2 dx thi dat x = ——
cost
— Néu tinh jr[ú» —* * Jar thi dat x = msint — Néu tinh litem ° thi dat x = mtant
— Néu tinh i x— thì dat x = sin” t
m+x _`'
— Néu tính [ on if Ja thì đặt x = mcos2t
Các em có thể suy rộng ra cho một số bài toán khác Tuy nhiên phép lượng giác hố này khơng chỉ thực hiện với bài có chứa căn mà còn có thể thực hiện ở dang khác như các ví dụ sau
Baill:
1 d
Tính tích phân /= [—“——
Trang 12Giải - Đặt v = tan dx=(1 + tan ˆ 0)di Đổi cận x=0 = ứ=0:x=1 =/= T Khi đó " m " HỶ j= pol ttn’ pdr tdt = feos 2 dt = 3 Ja+2 Joos 2a( 21) 0 (14 tan? ry 0 oO + ; 3 a 4 7+2 =| —ft+ =-——— 2 4 8
Trong thực tế còn biện pháp lượng giác hoá khác dùng cho các bài tính tích phân hàm lượng giác
2.2 Biện pháp hữu tỉ hố
Ngồi việc trục căn bằng biện pháp lượng giác hoá như trên ta có thể trục
Trang 13b) (Dé thi tuyén sinh dai hoc, cao dang ndm 2004 — khối A) 2 dx Tính tích phân 7= |————— J xX+V¥x-1 Hu6ng dan dat r= Vx-1 Két qua |= =4in2 B se Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng : | /|w s(s).# g(x) )dx dat a g(x) = rf (k là bội số chung nhỏ nhất của m, n) Bài 13 : Tìm/= —— (x>0) #2 + AV x Gidi : Dat x= 1° => dx= 6/ đt (r>0) Khi đó dt /?—16 16dt d(1+4) 1=6 [—— =6 [~~ +6 J =6 |(-4)d (1-4) +96 J =3(-4} +96In|r+4|+€=3(Wx =4) +96In({x+4)+C e Mot s6 chu ý khác
Trang 14việc đổi biến là x = hoặc đặt jx”—1 = r theo hướng dẫn thì sẽ không cost
giải được bài toán hoặc rất phức tạp Để giải bài toán này thì chỉ cần sử dụng nhân biểu thức liên hợp x—Wx”—1 vào cả tử và mẫu số là sẽ được tính được tích phân hết sức đơn giản Giải : 22x|x= và? <1 Ja 2 2 l= [——————= [2x7dx- [2x x” —ldx I I 1 | Ỷ 2x3|? 7 14 \4-I]?|? 14-227 [=a | “Ip d(x? -1)= —4— — 2
Như vậy hai nguyên tắc trên chưa thể khái -quát hết tất cả các đạng bài toán
về tính tích phân đối với hàm vô tỉ mà tuỳ theo hình thức cấu tạo của bài toán về tính tích phân mà các em linh hoạt sử dụng các biện pháp khác như nhân
Trang 153) Đối biến không chỉ thực hiện với các bài tính tích phân cho hàm vô tỉ mà còn áp dụng cho hàm lượng giác theo hai loại sau :
Trang 16Tinh J = [ dx theo cách này Mở rộng thêm các em có thể giải V2 +sin x—cos x b fy (sin” x,cos” x}dx(m,n e Z) với nhận dạng : a * Néu m, n chan thi ta co thé dat tanx =f hoặc cotx = / hoặc sử dụng các công thức hạ bậc * Nếu m, n lẻ thì ta có thể đặt sinx = / hoặc cosx = í * Nếu m chấn, ø lẻ thì ta có thể đặt SInX = í
* Nếu m lẻ, n chan thi ta c6 thé dat cosx = ¢
Những bài toán ví dụ cho dạng này chúng tôi sẽ đề cập ở phần II trong cdc
bài giải đa phương pháp
Loại 2 : Biến đổi để đổi biến
Bai 17 : a) (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2008 - khối B)
{nls sin -
dx Tinh tich phan: J = |— :
sin2x +2(1+sin x+cos x)
Cyt
Gidi :
: T
Dat f= sinx+cosx > dt =(cos.x-sin x)dx =- Bsin{ x2 Jan
Trang 18Nhu vậy các em cũng thấy những đề thi tuyển sinh đại học những năm gần đây thì phương pháp đổi biến cho các hàm lượng giác sử dụng rất nhiều lần, tuy các bài toán là khác nhau nhưng biện pháp thực hiện thì tương tự như bài L7 và mấu chốt của các bài giải này là các em chỉ cần nắm vững“hệ thống các công
thức lượng giác để biến đổi thì sẽ thành cơng
4) Ngồi ra thì đổi biến còn sử dụng cho các hàm khác như hàm hữu tỉ, hàm siêu việt, như các bài tập sau
Bài I8 : (Đề thi Đại học Thuỷ lợi năm 1999) 3 2 Tính tích phân / = jw x +x +] Giải - + > wos x mw 2 Chia cả tử số và mâu số cho x sete g det l= 2 1 1/ 1x +1+ 5 ly) +3 * Đặt x— 1 => d(x— scat Xx x s Doi can x = | => 1r=0; xe J3 r=-2 Si" dt +3
Dat t = V3 tan u>dt= V3 (1 +tan? u\du
Déi cant=0 > w= 0st => u = arctan =
2 2
l arctan? arctan —~
—”
Trang 19Bài 19 : in? +3e" Tính tich phan / = foe ae, 5 ¢ +3e* +2 Gidi : Date* =t => e*dv=dt Doi canx=0 = t=1;x=1n2 => /=2 Khi đó n2(e "43]}e" dx 2 (r43)dt 12 2+3 2 I= ả œ2 +3ø*+ ~= | vf 243742 => 2] t2 trẻ [——— "2 (r+1)(+2) (+2) 1 G saa) 3 (at (t+1) )_ pee (r+2) 2) P4342 “2 ; tl _t —In I? eal a +S in| MU ioe 3in2 |, —2 t+2 2 8
5) Từ các bài: 15, 16, 18, các em học sinh đều dễ đàng nhận thấy nếu ta đặt kép thì các bài toán này sẽ đơn giản hơn rất nhiều, đơn cử như bài 1Š nếu
các em đặt xVx = øsin w thì bài toán sẽ rất ngắn Tổng kết phần đổi biến :
Từ các quy tác giải, kĩ thuật giải cơ bản và những chú ý trên, chúng ta cần
tổng kết chung phương pháp đổi biến này một cách khái quát nhất như sau : b Giả sử ta muốn tính [finde trong trường hợp với biến x, hàm số ƒ phức “oa tạp không tính được nguyên hàm, thì ta thay biến x bằng biến f theo cdc budc sau :
Bước 1! : Đặt v(x) = hữ)— v'(x)dx =Œ)di (Với v2), A(t) là hàm tuỳ ý
theo sự tính toán của học sinh và nó có thể là các loại hàm sơ cấp) Bước 2 : Biến đối ƒ©)dx theo / va dt, gid stt fd = g(ndt
Bước 3 : Đổi cận : để có được khi x = a thi f= m va x = b thi t =n (buéc này cũng có thể không có nếu đây chỉ là bài tìm họ nguyên hàm)
Trang 20b n n
Bước 4 : Đồi biến : | ƒ(x)dx = | sữứ)di =G0)|_ =G(@n—G(m) (Với Œ0) là
a m m
một nguyên hàm của ø())
Nếu sử dụng được tổng kết này thì các em sẽ khái quát được phương pháp
đổi biến này hơn so với sử dụng hai quy tắc như đã trình bày trong phần đầu
của phương pháp này Trong quá trình sử dụng phương pháp đổi biến chúng tôi cũng khuyên các em không nên lạm dụng phương pháp này thay cho phương pháp sử dụng vi phân vì cũng thông qua các bài tập, các em cũng phần nào
nhận ra tính hạn chế của nó, đó là dài hơn so với việc áp dụng vi phân và có nhiều bài phải đặt các điều kiện thích ứng
3 Phương phớp tích phôn từng phần
Về mặt bản chất đây là một phương pháp nhằm tách biểu thức dưới dấu tích phân thành hai phần, cụ thể về mặt lí thuyết là :
b
Giả sử ta muốn tính [fax trong trường hợp biến x là hàm số ƒ phức tạp
a
không tính được nguyên hàm, thì
Bước I : Ta tách ƒ(x)dx thành hai phần là w và đ», giả sử w = „(x) va dv = g(x)dx (dx luén thudc dy)
Trang 21TT 7t + [2x cos xdx 0 0 lR =H (i = 2dx Dat > 1 =—x" cosx cos xdx =dv v=sinx 2 7 2 " 2 l =Tm"+2xsinx ~ |2sin xảy =® +2cosx| =7 —4 0 0 0
Trang 22Qua 2 bài tập thì ta nhận thấy điểm mấu chối của việc sử dụng phương pháp tích phân từng phần là đặt lượng nào bang wu va lượng còn lai bang dv vi nếu như đặt không đúng thì không thể giải được bài tốn này Thơng qua kinh nghiệm thì cine tôi đưa ra một số dạng cơ bản như sau :
- Nếu i )In” xdx thi dat In"x =u con fdr =dv(neN ) b — Néu fr sin xdx (hoac [7 (x) cos xdx ) thi dat fix) = u con sinxdx = dv a (hoac cosxdx = dv) b b — Néu fe* cos xdx (hoac là sin xdx ) thi dat e* = u con cosxdx = dv a a (hoac sinx dx = dv) - Nếu [fie dx thi dat fx) = u con e* dx = dv b b — Néu [§indn x)4x (hoặc [cosún x)4x ) thì dat sindnx) = u (hoac a a cos(Inx) = 1), con dx = dv b — Nếu fa? +bx+c,dx thi dat Vax +bhx+e, =ucon dx = dy a b b L dx - ¬ -
— Nếu f (hoac [ )(neN,n>2) thì đặt — Tu (hoac
sin” x cos” x sin” * x
a q
I
———sz— =1) còn =dv (hoặc 5 =dh)
cos” x sin“ x cos’ x
Các em có thể tham khảo biện pháp đặt này qua việc giải: Ví dụ I : (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006 ~ khối D)
l
Tính tích phân 7 = [(x—2)e”*dx
0
Trang 237 (x-2)=u Hướng dẫn : đặt 2 e“*ảx = dụ _ 252 Kết quả 7= > = Ví dụ 2 : (Đề thị tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007 ~ khối D) ¢ Tinh tich phan J = [x° In? xdx ] - - In? x =u Huéng dan : dat xdx = dv 4 — Kết quả IS ¬ 32
Trang 24b) (Đề thì tốt nghiệp trung hoc phổ thông năm học 2004 — 200%) TL 2 Tính tích phân / = [(x+sin” x)COS xảy 0 a aR x+sin? x =u Hướng dân : đặt cos xdx = dv Két qua / = R2 2 3 c) Dé thi tuyén sinh dai hoc, cao đẳng năm 2004 - khối D 3 Tính tich phan I = fIn(x? - x)dx 2 2 = Hướng dẫn : dat In(x" x) =a dx =dv Kết quả 7 = 3ln3—2
Việc sử dụng tích phân từng phần các em cũng cần phải dùng một cách
sáng tạo như phải biết kết hợp với phương pháp sử dụng vi phân, đổi biến hoặc cần biến đổi trước khi áp dụng tích phân từng phần để tránh việc phải sử dụng
nhiều lần công thức này như ba bài tập sau
Trang 26Bài toán này để có thể nhận dạng và áp dụng tích phân từng phần thì trước hết ta phải đổi biến
Trang 274 Cach thi tach tich phan
Trên mặt phương pháp luận thì đây không phải là một phương pháp tính
mà nó chỉ là một kĩ thuật biến đổi giúp chúng ta chuyển một.tích phân phức tạp
thành nhiều tích phân đơn giản hơn Tuy nhiên trong một số bài toán thì việc tách tích phân lại là mấu chốt để giải quyết bài toán vì vậy chúng tôi đưa một số cách thức tách quen thuộc vào phần các phương pháp tính tích phân để các em dễ hệ thống hoá kiến thức Bản chất của việc tách ở đây chúng ta nên hiểu một cách đơn giản là việc áp dụng tính chất
j/0)*s0)]4x= [r(atrt folan
mà trước đó ta sử dung một trong các Kĩ thuật sau :
a) Sw dung công thức về tách phân thức để tách hàm phân thức dưới đấu tích phán thành nhiều hàm nhỏ b) Thêm bớt ải một lượng nào đó vào hàm số dưới dấu tích phân nhằm tách hàm đó thành nhiều hàm nhỏ Trên cơ sở đó tạo nhiều tích phân nhỏ đơn giản hơn 4.1 Thứ nhất về công thức tách phân thức
Ta dễ nhận thấy chỉ áp dụng cho phân thức tối giản (tức là bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, còn nếu khi gặp bài toán có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc
của mẫu thì ta chỉ việc lấy tử số chia cho mẫu số, các em sẽ dễ dàng có được phân thức tối giản) Cũng trong giới hạn chương trình toán sơ cấp thì chúng tôi chỉ trình bày công thức tách phân thức hay sử dụng mà thôi và nó cụ thể gồm những bước sau :
Bước ! : Các em dựa trên hình thức của phân thức mà đầu bài đã cho dé
phân tích ra nhiều phân thức nhỏ theo quy luật sau :
Le) "5
(ax + by" (<x? +dx+ e) (ax + by" (ax + by
Ay, Byx+C, + Byx+Cy
(ax+b) (cr? +dr+e) (cx? +ar+e)" : B,x+C,,
Trang 28Bước 2 : Các em tim Aj, Á› A,„; Bị, Bạ B
đồng nhất thức tử số của 2 vế, tức là các em quy đồng phân thức ở vế phải (vế vừa tách) rồi nhóm những đối số x cùng bậc một nhóm, tiếp đó cho hệ số của những đối số cùng bậc ở hai vế bằng nhau ta được một hệ nhiều phương trình, nhiều ân Giải hệ này sẽ tìm được A¡, A› A¿„; Bị, B› B,,;C¡.,C2 C,, Trên cơ mà „:C|,CCa C„ bằng phương pháp
sở đó các em đã tách phân thức ban đầu thành ( + ø) phân thức nhỏ Các em BỊ B; B„:C¡,C; C„ bằng cách khác mà chúng
tôi sẽ trình bày ở phần thứ hai
ciing c6 thé tim A,, A) A,,,; Oo
Trang 29—1'°(2x-1)dx 2! =.¬ c~2 e9) 2)- 12h VI dx 56 4 Sox-2 55 x +] 2 Sax +] Sax +l 2d tae I=TI 2 abe | tL 5x +] Đặt x = tan => dx = (1 +tan? !) 2 7 Đối cận x=0 > 1=0:x=1> mm 2 [I+en? na T 4 I==SIn2=In[x” +i}lo+ Tan | + tan” T ] _ I=-ZIn2—-1In2+1 " Binge eins 5 5 5 6 5 45 5 20
Các em nên lưu ý trong quá trình giải các đề thi đại học thì nhiều lúc đề bài
Trang 30không nên thêm vào vì ở đây bài toán đã tính toán rằng sau khi tách thì C = 0 và ta chỉ cần đơn giản thực hiện đúng theo hướng dẫn 3x+] A x ¬ y= yt 5+ Quy đồng mâu thức chung rồi bỏ mâu 2 (x+1} (x+l1} (x+l) vế ta được tử số tương ting cho hai vé 14 : 3x + 1 = Bx + (A + B) từ đó đồng nhất thức ta có hệ sau B=3 A=-2 = A+B=l B=3
b) Tính họ nguyên hàm của f(x) : Theo muc a) ta tach f(x) thanh hai phân thức nhỏ và tương ứng ta tách thành hai tích phân ;=6)+=| cay J Ga =-2Í(x+1) ”4(x+1)+3Í(x+1} ”4(x+1) ~2 -I -2(x+l 3(x+1 = ~2(x+1) 3+1) — + C + ~2 -l l 3 Vay | =———>-——+C (x+1 («+1)
Trong phạm vi quyển sách này thì chúng tôi cũng muốn mở rộng hơn cho các em học sinh một số công thức tách nữa mà sau này các em nên thuộc vì tính phổ biến của nó Công thức a : (x” = a)(x" -b) _a=b (x” -4] (x” -b| Công thức b : f(x) _ | f(x) f(x) (abe R,meN’) asinx+bcosx Acsinx+dcosx |, ccosx—dsin x
csinx+dcosx csinx+dcosx csinx+dcosx
Đối với công thức này thì các em lưu ý phân thức thứ nhất có tử số là mẫu
số còn phân thức thứ hai có tử số là đạo hàm cấp 1 cla mẫu số, các em cũng
Trang 31tim A, B bang phương pháp đồng nhất tử số hai vế tương tự như công thức tách phân thức Công thức c : asinx+bcosx+e =Á csinx+đcosx+e +B ccosx—dsinx csinx+dcosxth csinx+dcosx+h csinx+dcosx+h l + C as csinx+dcosx+h
Trang 32TL 4 Khi đó: 8= —L far=—41 +, 5 0 5 0 20 —— Ìn3 20 Bai 29 : (Dé thi Dai hoc Tai chính kế toán năm 1999) TL 2` ciny vực Tính tích phân 7 = ¬ ` } Asinx+3cosx+5 Giải : Theo công thức e
sinx+7cosx+6 — 4sinx+3cosx +5 4cos x— 3sin x
Trang 33Đổi cận x =0 =í =0:x= => =], 1 Í —l 1 J= f dt 5 = fra) 2a(re2) =) =1, ˆ ð(+2} ộ =l lạ 6 Vay I= Seino +2
Tuy nhiên các céng thitc a, b, c 6 trén không phải là đã khái quát hết việc tách mà trong nhiều bài toán (đặc biệt là tích phân hàm lượng giác) Do vậy nhiều khi bài toán bài thường đưa ra các công thức tách riêng biệt cho từng loại hàm cụ thể, đơn cử
Bài 30 : (Đề thi Đại học Bách khoa Hà Nội năm 1999)
Tìm hai số A, 8 để hàm số h(+) = —ŠI!2X_— có thể biểu diễn được dưới (2+sin x) dạng : A B 0 A(x) = —AE08* — 4, 27 COS* , từ đó tính tích phan = | h(x)dx (2+sin x} 2+sinx J 3
Nhu vậy bài toán này đề bài đã hướng dẫn một phương pháp tách cụ thể và
Trang 344.2 Thứ hai về thêm, bớt đi một lượng dé tách phân thức
Theo quan điểm của chúng tôi thì đây là một phần đòi hỏi các em học sinh phải có cách nhìn rất thông minh về bài toán đó và việc thêm bớt này phải đảm bảo sao cho sau khi thêm bớt ta phải tách ra được nhiều tích phân đơn giản hơn Bai 31:
Tinh | = j—“— (v6i x #0)
(14.28)
Ta hoàn toàn nhận thấy nếu để nguyên dang như vậy thì ta không thể tách phân thức này được kể cả các em đã có kiến thức về hệ thống các công thức tách ở trên Muốn làm bài toán này bằng phương pháp thêm bớt theo công thức,
ta phải nhân cả tử và mẫu của hàm dưới dấu tích phân với x ''? (Một thao tác
thêm, bớt) thì các em mới có thể áp dụng công thức a ở mục 4.1 ở trên
ý) | fF) — oF) (a,belR,me Ñ”)
(2-4-5) s<|[m-s} [n=]
Tuy nhiên trong phạm vị này chúng tôi sẽ không chữa cách này mà muốn đề cập cho các em một cách thêm, bớt sáng tạo hơn ; mm ye x98) dx (1 NHI (x7) I=] (14320) =| x( 1+ 27008) hư nh v2007 l= pt xe n|x|— ng In(t++?8)+€,
Các em cũng không nên máy móc là việc thêm bớt này chỉ dành cho các
hàm phân thức (thêm bớt vào tử số để tách phân thức) mà chúng ta cần phải hiểu rộng hơn là áp dụng cho cả các hàm từ hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm
Trang 35Giải : 7==[[0=+)=1]0=+)“œ= [[0=+)" -(I~x J Jats) 12 1 fi, 132 Bài 33 : 1 Tính tích phân /= [—S— I I+x" J3 Giải :
Ta nhận thấy l+ x® = (47 + D(rt =x? +1) do vay ta sé thực hiện thêm bớt
Trang 37Giải - I sol (re (oe) [= f _ {um Tỉ uw) 7 sin] _— sin| «+ — lsin| x+- "sẽ 71 TL T 7
sin| x+ |cos| x+ _ |—sin| x+ lcos| x+
| _ pints fJoosixe 3 }-sin( Eelma]
~ sin =I sin{ 4 la[x: 7 7 _ dx 6 6 3 T TL cos( 17] cos[ x47 =-2(Ƒ dx— | “lx) si xv 5) sin( x7] 3 6 dgin| x+ 5 ) apsin{ x7) sin{ x] =-_2 f - | =-2ln————-|+(C sn| x+ 5] sin[ x47 sin[ x7) 3 6 6 j| Bài 35 : Tính 7= Í dx e* +20 Giải : dy 1 (ec +20-e" Jax er dx p= [et "` ` e*+20 20 e* +20 20 e* +20 d{e* +20 1/5 ,
Các em cũng nên lưu ý thêm bớt chỉ mang tính kĩ thuật biến đổi mà không phải cứ dùng nó là sẽ giải xong bài toán, chúng tôi một lần nữa nhấn mạnh rằng
khi làm bài các em cần linh hoạt hơn khi kết hợp nó với các phương pháp khác
Trang 38Bài 36 : (Dé thì tuyển vinh đại học, cao đẳng năm 2006 - khối B) In5 dx Tinh tich phan / = | n3¢ +2e° -3 Giải - In5 Ta nhân với e* vao ca tt lan mau thi / = — tiếp đó ta đặt male +2—3e ẩn phụ Đặt : ¿` =f > dt =e*dx Đổi cận x = ln3 => £=3:x=ln5—= =5 t-2 lien [rs mi) r= Ji — t = Inj—— 3( t-] TRE f-2 r-Ì Sn? tr-1 2)
5 Phuong phdp su dung tich phan lién kết
Đây được coi là cách thức tính tích phân đặc biệt, bản chất của phương pháp này là tìm ra một tích phân liên kết với tích phân mà đầu bài đã cho, sao cho khi hai tích phân này hợp nhất với nhau thông qua phép cộng đại số thì ta
sẽ được những tích phân đơn giản hơn về cách thức tính
Việc tìm tích phân liên kết có 2 cách tìm chính
Trang 39Va lay
(cos x —sin x)dx (sin x +cos x) ;
J-Ƒ= ) - = In|sin x + cos.x +D
Sin x+€COS x SIn x + cos.x
Ta lấy : (1) —(2)>2†=-— In|sin x + cos x|+ x +E 1 => ] =—(-In|sin.x+cos.x|+.x)+F 2 Với C, D, E, F là các hằng số bất kì 5.1 Dùng cách đổi cận đặc biệt để fìm tích phân liên kết (2)
Từ bài 37 ta nhận thấy J chinh là tích phân liên kết của I Tuy nhiên việc tìm ra tích phân liên kết nhiều khi rất khó nên khi tích phân đó có cận thì ta có
Trang 406 Cac phuong phap va cach thitc gidi knac
6.1 Phương pháp đổi biến dựa vào hình thức tồn tại của hai cận của bài tích phân
Thông qua cách giải bài toán 7 = (oe thì các em có thể mở rộng g Sin.x + cos x
cho nhiều bài tích phân mà hàm số dưới đấu tích phân có nhiều loại hàm kết
hợp với nhau mà phương pháp tích phân từng phân không đạt hiệu quả Cụ thể ni thì các em có thể căn cứ vào cận của tích phân mà đổi biến (nếu [#G) )dx thi 0 m dat x = m — t và nếu [ZŒ) )dx thi dat x = — 1; m > 0) réi sử dụng tính chất —H b [/(x} = [f (Dar dé chuyển từ biến ? về biến x, tiếp đó lấy tích phân mới a a
hình thành cộng đại số với tích phân ban đầu sẽ tạo ra tích phân mới rất don
giản về biện pháp tính như một số bài toán sau :