Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (Tiết 1) I Định nghĩa tính chất: Định nghĩa: A  B  A  B  Tính chất bản: acbc ac  bc (c  0) +) a  b  ac  bc  c   +) a  b   1  a b +) a  b;c  d  a  c  b  d +) a  b  0;c  d   ac  bd Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có dấu “=”; cần rõ dấu “=” xảy II Chứng minh: Bất đẳng thức cách sử dụng định nghĩa tính chất: Để chứng minh A  B ta cần chứng minh A  B  Chú ý: A2  0; A Bài 1: Chứng minh rằng: a  b2  c2    a  b  c  a, b,c Hƣớng dẫn giải a  b2  c2    a  b  c  Ta có:  a  b  c2   2a  2b  2c   a  2a  1   b  2b  1   c  2c  1   a  1   b  1   c  1 2 Ta có:  a  1  a  b  1  b  c  1  c 2   a  1   b  1   c  1   a  b  c    a  b  c   a, b,c  a  b  c    a  b  c  a, b,c Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!  a  12  a      Dấu “=” xảy   b  1   b    a  b  c   c    c  1     Bài 2: Chứng minh rằng: a  b2  c2  ab  bc  ca a, b,c (*) Hƣớng dẫn giải: *  2a  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca a, b,c Ta có: 2a  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca   a  2ab  b    b  2bc  c    a  2ac  c   a  b   b  c  a  c 2 Ta có:  a  b   a,b  b  c   b,c  a  c   a,c 2   a  b    b  c    a  c   a, b,c  2a  2b  2c2  2ab  2bc  2ca  a, b,c  a  b  c  ab  bc  ca a, b,c  a  b 2    Dấu “=” xảy   b  c    a  b  c   c  a   Bài 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab  bc  ca  a  b2  c2   ab  bc  ca  Hƣớng dẫn giải: Ta có: a  b  c  a   b  c   a  b2  2bc  c2 CMTT: b2  a  2ac  c2 c2  a  2ab  b2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!  a  b2  c2  2a  2b  2c2  2ab  2bc  2ca  2ab  2bc  2ca  a  b  c2 (1) +) Với a  b2  c2  ab  bc  ca Áp dụng 2: a  b2  c2  ab  bc  ca a, b,c (2) Từ (1) (2): ab  bc  ca  a  b2  c2   ab  bc  ca  a  b  Dấu “=” xảy  b  c  ABC c  a  Bài 4: Cho a, b, c  a CMR: a  b3  a b  ab2 b 1 1  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Hƣớng dẫn giải: a  b3  a 2b  ab2 a.Xét:  a  a b  ab  b3  a  a  b   b2  a  b    a  b   a  b2    a  b  a  b  a  b    a  b   a  b  Ta có:  a  b   a,b a  b  a,b    a  b   a  b   a, b   a  b3  a b  ab   a  b3  a b  ab a  b3  a 2b  ab2 b Áp dụng BĐT câu a ta có:  a  b3  abc  a b  ab  abc  a  b3  abc  ab  a  b  c   1  a  b  abc ab  a  b  c  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! Tương tự ta có: 1  b  c  abc bc  a  b  c  1  a  c  abc ac  a  b  c   1 1 1  3  3    a  b  abc b  c  abc c  a  abc ab  a  b  c  bc  a  b  c  ac  a  b  c  1 ca b  3  3  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc  a  b  c  1 1  3  3  (dpcm) a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc a  b  Dấu “=” xảy  b  c  a  b  c c  a  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!