Tập hợp điểm thỏa mãn với đẳng thức vecto

TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ I Lý thuyết Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vec tơ, xảy trường hợp sau: (1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = ⃗0  M trung điểm AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0  M trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 (2) 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ M thuộc tia AB (3) 𝐴𝑀 K > 0; M thuộc tia AB K > 0; M thuộc tia đối AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑅  M  (A, R) (4) |𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  M thuộc trung trực AB (5) |𝐴𝑀 II Áp dụng Bài 1: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a) |𝐴𝑀 𝑀𝐶 | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ |  |𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐶𝐵  |𝐴𝑀  M(A, B, C) ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) |𝐴𝐵 𝐴𝑀| = |𝐴𝐶 𝐴𝑀| ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có: |𝐴𝐵 𝐴𝑀| = |𝐴𝐶 𝐴𝑀| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐶  |𝑀𝐵  M thuộc trung trực BC Bài 2: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a) |𝑀𝐴 𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴 𝑀𝐵 | Gọi E trung điểm AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có |𝑀𝐴 𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴 𝑀𝐵 | ⃗⃗⃗⃗⃗ | (E trung điểm AB) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝐴  |2𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝐴  |𝑀𝐸 2  M(E; 𝐴𝐵) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) |𝑀𝐴 𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴 𝑀𝐶 | >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Gọi E trung điểm AB F trung điểm AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴 Ta có: |𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |2𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (vì E trung điểm AB; F trung điểm AC)  |2𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  |𝑀𝐸  M thuộc trung trực EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ c) |𝑀𝐴 𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶 | = |𝑀𝐴 𝑀𝐵 | Gọi G trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶 E trung điểm AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Ta có: |𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (G trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶, E trung điểm AB)  |3𝑀𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  |𝑀𝐺  M trung trực GE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Bài 3: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0  Gọi E điểm thỏa mãn 2𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗0  2𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗  3𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗  −3𝐴𝐸  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵  E thuộc cạnh AB thỏa mãn AE = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0  Gọi F điểm thỏa mãn 𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐴 + 2(𝐹𝐴 𝐴𝐵 ) = ⃗0 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0  3𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗  -3𝐴𝐹  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐹 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵  F thuộc cạnh AB thỏa mãn AF = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴  |2𝑀𝐴 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Ta có: |2𝑀𝐴 𝑀𝐵 | = |𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗  |2(𝑀𝐸 𝐸𝐴) + (𝑀𝐸 𝐸𝐵 )| = |(𝑀𝐹 𝐹𝐴) + 2(𝑀𝐹 𝐹𝐵 )| ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (2𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |3𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐹𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ )|  |3𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗0| = |3𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗0|  |3𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |3𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  |𝑀𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  |3𝑀𝐸  M thuộc trung trực EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶 Bài 4: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |𝑀𝐴 Giải: ⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 ⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶 * Gọi I điểm thỏa mãn 𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 ⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐶  (𝐼𝐴 𝐼𝐶 ) + 2𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗  (𝐼𝐴 𝐼𝐶 ) + 2(𝐼𝐵 𝐼𝐶 ) = ⃗0 ⃗⃗⃗⃗ + 2.2𝐼𝐹 ⃗⃗⃗⃗ = ⃗0  2𝐼𝐸 ⃗⃗⃗⃗ + 4𝐼𝐹 ⃗⃗⃗⃗ = ⃗0  2𝐼𝐸 ⃗⃗⃗⃗ + 2(𝐼𝐸 ⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗  𝐼𝐸 𝐸𝐹 ) = ⃗0 ⃗⃗⃗⃗ = −2𝐸𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗  3𝐼𝐸 ⃗⃗⃗⃗ = −2𝐸𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗  −3𝐸𝐼  ⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐼 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐹  I thuộc đoạn EF thỏa mãn EI = 𝐸𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶 * Ta có: |𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗  |(𝑀𝐼 𝐼𝐴) + 2(𝑀𝐼 𝐼𝐵 ) + 3(𝑀𝐼 𝐼𝐶 )| = 12 ⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ )| = 12 ⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶  |6𝑀𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗0 | = 12  |6𝑀𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12  |6𝑀𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗ | =  |𝑀𝐼  M  (I; 2) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!