Tập hợp điểm thỏa mãn với đẳng thức vecto

TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ I.

TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ

I Lý thuyết

Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vec tơ, có thể xảy ra các trường hợp sau:

(1) 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  M là trung điểm AB

(2) 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗  M là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶

(3) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ M thuộc tia AB K > 0; M thuộc tia AB

K > 0; M thuộc tia đối AB

(4) |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑅  M  (A, R)

(5) |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  M thuộc trung trực AB

II Áp dụng

Bài 1: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn

a) |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐶𝐵

 M(A, B, C)

b) |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Ta có: |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 M thuộc trung trực BC

Bài 2: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn

a) |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Gọi E là trung điểm AB

Ta có |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |2𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | (E là trung điểm AB)

 |𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =1

2|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=12𝐵𝐴

 M(E;1

2𝐴𝐵) b) |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Gọi E là trung điểm AB

F là trung điểm AC

Ta có: |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |2𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |2𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (vì E là trung điểm AB; F là trung điểm AC)

 |𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 M thuộc trung trực EF

c) |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =3

2|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | Gọi G là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶

E là trung điểm AB

Ta có: |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =3

2|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |3𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =32|2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (G là trọng tâm ∆𝐴𝐵𝐶, E là trung điểm AB)

 |𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 M là trung trực GE

Bài 3: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 Gọi E là điểm thỏa mãn 2𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 2𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗

 3𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

 −3𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

 E thuộc cạnh AB thỏa mãn AE = 1

3𝐴𝐵

 Gọi F là điểm thỏa mãn 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2(𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗

 3𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 -3𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

 F thuộc cạnh AB thỏa mãn AF = 2

3𝐴𝐵

 |2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Ta có: |2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 |2(𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |(𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) + 2(𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )|

 |3𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (2𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |3𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )|

 |3𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 0⃗ | = |3𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 0⃗ |

 |3𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |3𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |  |𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

 M thuộc trung trực EF

Bài 4: Cho ∆𝐴𝐵𝐶; Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12

Giải:

* Gọi I là điểm thỏa mãn 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 (𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ ) + 2𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 (𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ ) + 2(𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗

 2𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ + 2.2𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 2𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ + 4𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ + 2(𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0⃗

 3𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ = −2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

 −3𝐸𝐼⃗⃗⃗⃗ = −2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

 𝐸𝐼⃗⃗⃗⃗ =2

3𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

 I thuộc đoạn EF thỏa mãn EI = 2

3𝐸𝐹

* Ta có: |𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12

 |(𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ ) + 2(𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ ) + 3(𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ )| = 12

 |6𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + (𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 3𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ )| = 12

 |6𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ + 0⃗ | = 12

 |6𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ | = 12

 |𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ | = 2

 M  (I; 2)