Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

§2 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I Phƣơng trình bậc ẩn phƣơng trình có dạng: ax  b   a   (1) với x ẩn, a ≠  b  a b a Ta có: 1  x   Do tập nghiệm (1) S    II Phƣơng trình bậc hai ẩn phƣơng trình có dạng: ax2 + bx + c = với x ẩn, a ≠ Công thức nghiệm   b2  4ac Nếu   : phương trình có nghiệm phân biệt x1,2  Nếu   : phương trình có nghiệm (kép) x   b   2a b 2a Nếu   : phương trình vơ nghiệm Định lí Vi–ét Nếu hai số x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c  chúng thỏa mãn hệ thức x1  x2   b c x1 x2  a a Ứng dụng định lí Vi–ét a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: Đặc biệt: a + b + c = ⇒ x1 = x2 = c a c a a – b + c = ⇒ x1 = – x2 = – b) Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức f  x   ax  bx  c có hai nghiệm x1 x2 phân tích thành nhân tử f  x   a  x  x1  x  x2  c) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình x2  Sx  P  d) Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1 x2 (x1 ≤ x2) Đặt S   c b P  Khi đó: a a Nếu P < x1 < < x2 ( hai nghiệm trái dấu) Nếu P > S > < x1 ≤ x2 ( hai nghiệm dương) Nếu P > S < x1 ≤ x2 < ( hai nghiệm âm) B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Giải biện luận phƣơng trình dạng ax + b = Phƣơng pháp a) Giả sử hai hệ số a b chứa tham số m Ta xét trường hợp sau: 1) a ≠ 0: nghiệm x =  b a 2) a = b ≠ 0: phương trình vơ nghiệm 3) a = b = 0: phương trình có tập nghiệm ℝ b) Trong trường hợp toán có kèm theo điều kiện, ta cần so sánh nghiệm với điều kiện Ví dụ Giải biện luận phương trình: m2x – = 16x + m (1) Giải Phương trình (1) ⇔ (m – 16)x = m +  m2 – 16 ≠ ⇔ m ≠ m ≠ –4: Phương trình có nghiệm x  m4  m  16 m   m2 – 16 = ⇔ m = ± 4: Với m = 4: phương trình trở thành 0x = nên phương trình vơ nghiệm Với m = –4: phương trình trở thành 0x = nên phương trình có nghiệm x tùy ý    m  4 Kết luận: *m ≠ –4 m ≠ 4: S =  *m = : S = Ø *m = –4: S = ℝ Bài tập Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) 2(m – 1)x – m(x – 1) = 2m – b) 3(m + 2)x + = 2x + 5(m + 2) c) m2(x – 1) = x – 3m + d) m2x – = 9mx + 3m Giải Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a) 2(m –1)x – m(x –1) = 2m – (1) (1) ⇔ 2mx – 2x – mx + m = 2m – ⇔ (m – 2)x – m + =  a = m – = ⇔ m=2: (1) ⇔ 0x + = ⇔ x ∈ Ø  a = m – ≠ ⇔ m ≠ 2: (1) ⇔ x = 3 m m2 Kết luận: *m = 2: S = Ø 3  m   m  2 * m ≠ 2: S =  b) 3(m + 2)x + = 2x + 5(m + 2) (2) (2) ⇔ 3mx + 6x – 3x + – 5m – 10 = ⇔ (3m + 3)x – 5m – =  a = 3m + = ⇔ m = –1: (2)⇔ 0x + = ⇔ x ∈ ℝ  a = 3m + ≠ ⇔ m ≠ –1: (2)⇔ x  5m  5  3m  3 Kết luận: *m = –1: S = ℝ 5 3 *m ≠ –1: S =   c) m2(x – 1) = x – 3m + (3) (3)⇔ (m2 – 1)x –m2 + 3m –2 = * a = m2 – = ⇔ m = ± 1: * m = 1: (3)⇔ 0x + = ⇔ x ∈ ℝ * m = ––1: (3)⇔ 0x + = ⇔ x ∈ Ø * a = m2 –1 ≠ ⇔ m ≠ ±1: m2  3m  m  (3)⇔ x   m2  m 1 Kết luận: *m = 1: S = ℝ Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! *m = –1: S = Ø m  2   m 1 *m ≠ –1 m ≠ 1: S =  d) m2x – = 9mx + 3m (4) (4)⇔ (m2 – 9m)x – 3m – =  a = m2 – 9m = ⇔ m = hay m = 0: *m = 9: (4) ⇔ 0x – 36 = ⇔ x ∈ Ø *m = 0: (4) ⇔ 0x – = ⇔ x ∈ Ø  a = m2 – 9m ≠ ⇔ m ≠ m ≠ 0: (4)⇔ x = 3m  m  9m Kết luận: *m = hay m = 9: S = Ø  3m     m  9m  *m ≠ m ≠ 9: S =  Giải biện luận phương trình: a)m(m  1) x  m(m  1) b) x m   m  c)(m  1) x  m  (m  2) x m  d)  m 1 m 1 Giải a)m(m  1) x  m(m  1) (1)  a = m(m –1) = ⇔ m = m = ±1: *m = 1: (1) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ Ø *m = –1: (1) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *m = 0: (1) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ  a = m(m2 – 1) ≠ ⇔ m ≠ m ≠ ±1: (1)⇔ x  m(m  1)  m(m  1) m  Kết luận: *m = hay m = –1: S = ℝ *m = 1: S = Ø Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!     m  1 *m ≠ 0; m ≠ m ≠ –1: S =  b) x m   m  (2) *a  m    m  : (2)  0x   x  *a  m    m  : m2 (2)  x   m  m2 KL :*m  : S  *m  : S   *m  : S   m2  c)(m  1)x  m  (3) *a  m    m  1: (3)  0x   x  *a  m    m  1 m 1  m 1 m 1 KL :*m  1: S  *m  1: S   (3)  x    *m  1: S     m 1 (m  2)x m  d)  (4) m 1 m 1 (4)  (m  2)x  m  4(m  1) *a  m    m  : (4)  0x   x  *a  m    m  0;m  1: m2   m  m2 KL :*m  : S  *m  1: S   (4)  x  *m  2;m  1: S  m  2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a) b) c) d) Giải biện luận phương trình: m2(x – 1)= – 2x 2x(m – 1)=m(x–1)+m2–2 m3x+1=m2(x+1) (x–1)m2–(2x+1)m+x+2=0 Giải a) m (x – 1) = – 2x (1) (1)⇔(m2 + 2)x – m2 – = Ta có ∀ m ∈ ℝ a = m2 + ≠ nên m2  (1)⇔ x   m 2 b) 2x(m – 1)=m(x–1)+m2–2 (2) (2)⇔ (m – 2)x = m2 – m – *a = m – = ⇔ m = 2: (2)⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *a = m – ≠ ⇔ m ≠ 2: (2) ⇔ x  m2  m   m 1 m2 Kết luận: *m = 2: S = ℝ *m ≠ 2: S = {m + 1} c) m3x+1=m2(x+1) (3) (3)⇔ (m3 – m2)x = m2 – *a = m3 – m2 = ⇔ m = hay m = 0: Khi m = 0: (3) ⇔ 0x = –1 ⇔ x ∈ Ø Khi m = 1: (3) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *a = m3 – m2 ≠ ⇔ m ≠ m ≠ 0: m2  m  (3) ⇔ x   m  m2 m2 Kết luận: *m = 1: S = ℝ *m = 0: S = Ø Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  m  1   m  *m ≠ m ≠ 0: S =  d) (x–1)m2–(2x+1)m+x+2=0 (4) (4)⇔ (m2 – 2m + 1)x – m2 – m + = ⇔ ( m – 1)2x – (m – 1)(m + 2) = *a = (m – 1)2 = ⇔ m =1: (4) ⇔ 0x = ⇔ x ∈ ℝ *a = (m – 1)2 ≠ ⇔ m ≠ 1: m2  m  m  (4) ⇔ x   (m  1)2 m 1 Kết luận: *m = 1: S = ℝ m  2   m 1  *m ≠ 1: S =  Giải biện luận phương trình: x  a x  b 2b(x  a)    (a   b) ab ab a  b2 Giải x  a x  b 2b(x  a)    (a   b) ab ab a  b2 ⇔ (x – a)(a + b) + (x – b)(a – b) + 2b(x + a) = ⇔ (2a + 2b)x – a2 – ab – ab + b2 + 2ab = ⇔ 2(a + b)x = a2 – b2 a  b2 a  b Vì a ≠ ± b nên phương trình có nghiệm x=  2(a  b) Vấn đề 2: Định m để phƣơng trình ax + b = thỏa điều kiện tập nghiệm Phƣơng pháp: Xét phương trình ax + b = (1) a  b  a) (1) có tập nghiệm ℝ ⇔  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a  b  b) (1) vơ nghiệm ⇔  c) (1) có nghiệm ⇔ a ≠ a   d) (1) có nghiệm⇔  a    b  Các ví dụ Ví dụ 1: Định m để phương trình sau có tập nghiệm ℝ m2(x – 1) + 3x = 4mx – (1) Giải 2 Ta có (1) ⇔ (m – 4m + 3)x + – m = 0; a = m2 – 4m + 3; b = – m2 m  4m   a   Do đó: (1) có tập nghiệm ℝ   b  9  m  m  hay m =  m3 m =  hay m =  Vậy m thỏa yêu cầu toán ⇔ m=3 Ví dụ 2: Cho phương trình m3x – m2(3x – 1) + 3(x + 1) + 4m = mx (2) Định m để phương trình (2) vơ nghiệm Giải Ta có: (2)⇔ m3x – 3m2x + m2 + 3x + + 4m = mx ⇔ (m3 – 3m2 – m + 3)x + m2 + 4m + = (a = m3 – 3m2 – m + = (m2 – 1)(m – 3), b = m2 + 4m + 3) Do (2) vơ nghiệm (m  1)(m  3)  a  m  1  m   m  m      b  m  4m   m   m  m  Vậy m thỏa yêu cầu m = m = Ví dụ 3: Cho phương trình m2(x + 1) = 2(2x – 1) + 3m (3) Định m để phương trình (3) có nghiệm Giải Ta có: (3)⇔ (m2 - 4)x + m2 – 3m + = (a = m2 – b = m2 – 3m + 2) (3) có nghiệm Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! m2   a   m   m  2   m   m  2     a    m     m   m  2    m  2 m       b   m  3m    m   m   Vậy (3) có nghiệm ⇔ m ≠ –2 Bài tập Định m để phương trình sau vơ nghiệm: a) (m + 1)x – (x + 2m) = b) (m + 1)2x – = (4m + 9)x + m c) m2(x – 1) = 2(2x – m – 4) d) (4m2 – 2)x = + 2m – x Giải a) (m + 1)x – (x + 2m) = (1) ⇔ mx – 2m – = a  m   m0 b  2m   Ta có: (1 ) vơ nghiệm ⇔  b) (m + 1)2x – = (4m + 9)x + m (2) ⇔ (m2 – 2m – 8)x – m – = m  2m   a   m4 Ta có: (2 ) vơ nghiệm ⇔  b  m   c) m2(x – 1) = 2(2x – m – 4) (3) ⇔ (m2 – 4)x – m2 + 2m + = m   a    m  4 Ta có: (3 ) vơ nghiệm ⇔  b  m  2m   d) (4m2 – 2)x = + 2m – x (4) ⇔ (4m2 – 1)x – 2m – = 4m   a   m Ta có: (4 ) vô nghiệm ⇔  b  2m   Xác định giá trị tham số để phương trình sau có tập nghiệm ℝ: a) m2x + m + = m2 + 4x b) a(x + 1) + b(2x – 1) = x – Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! c) m2x – m = 4x – d) m2(x – 1) = 9x + m – Giải 2 a) m x + m + = m + 4x (1) ⇔ (m2 – 4)x – m2 + m + = m   a   m2 Ta có : (1) có tập nghiệm ℝ ⇔  b  m  m   b) a(x + 1) + b(2x – 1) = x – (2) ⇔ (a + 2b – 1)x + a – b + = a  2b   a  1  a  b    b  Ta có : (2) có tập nghiệm ℝ ⇔  c) m2x – m = 4x – (3) ⇔ (m2 – 4)x – m + = m   a   m2 Ta có : (3) có tập nghiệm ℝ ⇔  b   m     d) m2(x – 1) = 9x + m – (4) ⇔ (m2 – 9)x – m2 – m + = a  m     m  3 Ta có : (4) có tập nghiệm ℝ⇔  b   m  m     Định m để phương trình sau có nghiệm: m2x = 4x + m2 + m –2 m2(x – 1) = x – m m(x – m) = x – m m(x – 1) = x – m2 Giải 2 a) m x = 4x + m + m –2 a) b) c) d) ⇔ (m2 – 4)x – m2 – m + = (1) m   a    m  2 Ta có (1) vơ nghiệm ⇔  b  m  m   Do (1) có nghiệm ⇔ m ≠ –2 10 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giải a)mx  2(m  3)x  m   (1)  a = m = 0: (1)⇔ –6x + = ⇔ x =  a = m ≠ 0: ∆’ = (m + 3)2 – m(m + 3) = + 3m *m < –3: ∆’ < nên (1) vô nghiệm *m = –3: ∆’ = nên (1) có nghiệm kép x = *m > –3: ∆’ > nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2  m   3m  m 1  2  Kết luận: *m = 0: S =   *m = –3: S = {0} *m < –3: S = Ø  m   3m    m   *m > –3 m ≠ 0: S =  b)(m  1)x  2(2m  1)x  4m   *a  m    m  1: (2)  2x    x  *a  m    m  1: (2)  '  (2 m  1)2  (m  1)(4m  1)   m *m < –2: ∆’ < nên (2) vô nghiệm *m = –2: ∆’ = nên (2) có nghiệm kép x  2m   m 1 *m > –2: ∆’ > nên (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2  15 2m   m  m Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! 5 KL :*m  1: S    2  *m  2 : S  3 *m  2 : S    2m   m   *m  2;m  1: S    m   c)3mx  (4  6m)x  3(m  1)  *a  3m   m  : (3)  4x    x  *a  3m   m  : (3)  '  (2  3m)2  3m(3m  3)  3m  *m > : ∆’ < nên (3) vô nghiệm *m = 3m   : ∆’ = nên (3) có nghiệm kép x  3m *m < 3m    3m : ∆’ > nên (3) có hai nghiệm phân biệt x1,2  3m 4 KL :*m  : S    3 1  *m  : S    2  *m  : S    3m    3m  *m  ;m  : S    3m   16 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! d)(k  5k  36)x  2(k  4)x   (4) *a  k  5k  36   k   k  4 1 *k=9:(4)  26x    x  26 *k  4 : (4)  0x    x  *a  k  5k  36   k  9;k  4 :  '  (k  4)2  (k  5k  36)  13k  52 *k < –4: ∆’ < nên (4) vô nghiệm *k > –4: ∆’ > nên (4) có hai nghiệm phân biệt x1,2  k   13k  52 k  5k  36 Kết luận:  1 *k  : S     26  *k  4 : S    k   13k  52  *k  4;k  : S     k  5k  36  e)(x  1)[(k  1)x  4]  (5) x  (5)   (k  1)x  (5a) *k  1: (5a)  0x   x  *k  1: (5a)  x   x0 k 1 (5a) có nghiệm x = ⇔ k + = ⇔ k = Do : +k = 3: x0 = ⇒ (5) có nghiệm x = +k ≠ 3: x0 ≠ ⇒ (5) có hai nghiệm x = 1; x = k 1 Kết luận: 17 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! *k  1 hay k  : S  1   *k  1;k  : S  1;   k  1 f)(mx  2)[(m  2)x  2] (6) (6a)  mx   (6)   (6b) (m  2)x   0x   *m  : (6)    x   2x    2x   *m  : (6)    x  0x    2 *m  0;m  : (6)  x1  hay x  m 2m Ta có: x1 = x2 ⇔ m = – m ⇔ m = Khi x1= x2 = Do đó: m = 1: (6) ⇔ x = m ≠ 1: (6) ⇔ x = x1 hay x = x2 *m  hay m=2 : S  1 Kết luận: *m  1: S  2 *m  0;m  1;m  : S  x1;x  Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: a) mx2 – (1 – 2m)x + m + = b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – = c) (x – 2)[(m – 1)x + 2] = d) (mx – 3)[(m + 1)x – 3] = Giải a) mx – (1 – 2m)x + m + = (1) m  a     (1  2m)  4m(m  4)  (1)có hai nghiệm phân biệt   m    m  ;m  20 20m   b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – = 18 (2) Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! m   a     (m  3)  (m  2)(m  5)  (2)có hai nghiệm phân biệt   m  m    m   m  c) (x – 2)[(m – 1)x + 2] = x  (m  1)x   (3)   (3) (3a) (3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (3a) có nghiệm khác m   m    (m  1).2   m  d) (mx – 3)[(m + 1)x – 3] =  mx   (m  1)x   (4)   (4) (4a) (4b) (4) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (4a) (4b) có nghiệm khác  m  m    m     m  3   m m 1 Cho hai phương trình: x2 + 2x – m = (1) x2 – 3x + 4m = (2) Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung Suy giá trị m để phương trình (x2 + 2x – m)( x2 – 3x + 4m) = có bốn nghiệm phân biệt Giải Xét phương trình: x2 + 2x – m = (1) x2 – 3x + 4m = (2) x02  2x0  m  *(1) (2) có nghiệm chung x0   x0  3x0  4m  x  m 5x0  5m     m   m  1 x  2x  m  m  m    0 19 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Với m = (1) ⇔ x = hay x = –2; (2) ⇔ x = hay x = Do (1) (2) chung x = có nghiệm Với m = –1 (1) ⇔ x = –1; (2) ⇔ x = –1 hay x = Do (1) (2) có nghiệm chung x = – Vậy (1) (2) có nghiệm chung ⇔ m = hay m = –1 x  2x  m  (*) (x + 2x – m)( x – 3x + 4m) =   x  3x  4m   2 Do đó: (*)có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (1) (2) có hai nghiệm phân biệt khơng có nghiệm chung  '(1)  m       (2)  9  16m  1  m     16 m  m   m  m  1 m  1  Tìm hệ số m k phương trình x2 + mx + k = 0, biết phương trình có hai nghiệm phân biệt m k Giải Phương trình x + mx + k = có hai nghiệm phân biệt m k m  m.m  k   k  2m   m    k  mk  k   4m  2m  2m     k  2 m  k m  k   Cho hai phương trình x2 – 8x + 4m =0 (1) x2 + x – 4m = (2) Xác định m để nghiệm (1) gấp đôi nghiệm (2) Giải 2 Xét x – 8x + 4m =0 (1) x + x – 4m = (2) Giả sử (1) có nghiệm x1 gấp hai nghiệm x0 (2) ⇒ x1 = 2x0 Khi ta có: x02  x0  4m  5x02  15x0  x0  x0    hay     2 (2x0 )  8(2x0 )  4m  4m  x0  x0 m  m  Với m = 0: 20 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! (1) ⇔ x2 – 8x = ⇔ x1 = hay x2 = (2) ⇔ x2 +x = ⇔ x3= hay x4 = –1 Ta thấy x1 = 2x3 nên m = nhận Với m = 3: (1) ⇔ x2 – 8x + 12 = ⇔ x1 = hay x2 = (2) ⇔ x2 +x – 12 = ⇔ x3= hay x4 = –4 Ta thấy x2 = 2x3 nên m = nhận Vậy m = m = Tìm k nguyên dương nhỏ cho phương trình: x2 – 2(k + 2)x + k + 14 = có hai nghiệm phân biệt Giải *Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > ⇔ (k + 2)2 – k – 14 > ⇔ k2 + 3k – 10 > ⇔ (k + 5)(k – 2) > ⇔ k < –5 k > Vì k số nguyên dương nhỏ nên k = Cho phương trình x2 – 2(m – 2)x + m2 – 12 = (1) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm: a) Có giá trị tuyệt đối b) Có giá trị tuyệt đối nghịch đảo Giải a) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| = |x2 |  '   x1  x hay x1  x   '  hay  S  4m  16   4m  16  hay  m    m  hay m  b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| |x2 | nghịch đảo nhau: 21 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  '   x1.x    P  hay P  1 4m  16   2 m  12  hay m  12  1 m    m   13 hay m=  11 m   13 hay m=  11 Vấn đề 4: Dùng phƣơng pháp đồ thị để biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc hai Phƣơng pháp Giả sử phương trình biến đổi dạng ax2 + bx + c = m (1) a, b, c số cho trước với a ≠ 0, m tham số Bước 1: Ta nói phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (P): y = ax2 + bx + c (d): y = m Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (d) (P) Bước 2: Vẽ parabol (P): y = ax2 + bx + c đường thẳng (d) : y = m hệ trục tọa độ Đường thẳng (d) song song trùng với Ox, cắt Oy điểm có tung độ m Bước 3: Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị m, ta xác định số giao điểm hai đồ thị, từ suy số nghiệm phương trình (1) 22 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Các ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình x  1(x2  4x   m)  (1) a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phn biệt Giải x  Ta có: (1)   x  4x   m (2) Phương trình (2) phương trình hồnh độ giao giiểm hai đường: *(d): y = m đường thẳng song song với Ox, cắt Oy điểm có tung độ m *(P): y = x2 – 4x + parabol ứng với x ≥ 1, có đỉnh (2;–3), bề lõm quay lên Khi x = y = –2 Theo dồ thị ta có: a) Phương trình cho có nghiệm ⇔ (d) phần đồ thị (P) với x ≥ có giao điểm ⇔ m ≥ –3 b) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt 23 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ⇔ (d) phần đồ thị (P) với x≥1 có hai giao điểm phân biệt ⇔ –3 < m ≤ –2 Ví dụ 2: Với giá trị m đồ thị hai hàm số y = 2mx + (d) y = (m – 6)x2 + m khơng cắt nhau? Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị (d) (P) là: (m – 6)x2 + m = 2mx + ⇔ (m – 6)x2 – 2mx +m – = (1) (d) (P) khơng cắt ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm Với m = 6: (1) ⇔ –12x + = : (1) có nghiệm Với m ≠ 6: (1) vô nghiệm ⇔ ∆ ‘ = 8m – 12 < ⇔ m < 3/2 Bài tập Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình sau: a) x2 – x +2 = 3x + m b) 2x2 – m = 4x – Giải 2 a) x – x +2 = 3x + m ⇔ x – 4x + = m (1) *Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = m với parabol (P): y = x2 – 4x + *Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (P) (d) *Ta có đồ thị (P) có dạng sau: *Nhìn đồ thị (P) ta có: +m < –2: (P) (d) khơng có giao điểm ⇒ (1) vơ nghiệm +m = –2: (P) (d) có giao điểm ⇒ (1) có nghiệm +m > –2: (P) (d) có hai giao điểm ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt 24 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! b) 2x2 – m = 4x – 3⇔ 2x2 – 4x + = m (2) *Phương trình (2) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = m với parabol (P): y = 2x2 – 4x + *Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm (P) (d) *Ta có đồ thị (P) có dạng sau: *Nhìn đồ thị (P) ta có: +m < 1: (P) (d) khơng có giao điểm ⇒ (2) vô nghiệm +m = 1: (P) (d) có giao điểm ⇒ (2) có nghiệm +m > 1: (P) (d) có hai giao điểm ⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt Cho phương trình x2 – 2x + – m = (*) Dùng đồ thị để: a) Biện luận theo m số nghiệm (*) b) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ –1;2] (*) c) Xác định m để (*) có nghiệm nhỏ Giải a) Ta có (*) ⇔ x – 2x + = m *Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d): y = m với parabol (P): y = x2 – 2x + *Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (P) (d) *Ta có đồ thị (P) có dạng sau: 25 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! *Nhìn đồ thị (P) ta có: +m < 2: (P) (d) khơng có giao điểm ⇒ (*) vơ nghiệm +m = 2: (P) (d) có giao điểm ⇒ (*) có nghiệm +m > 2: (P) (d) có hai giao điểm ⇒ (*) có hai nghiệm phân biệt b) Ta có: *Số nghiệm x ∈ [–1;2] phương trình (*) số giao điểm phần đồ thị (P) ứng với x ∈ [–1;2] (kí hiệu phần (P1)) (d) *Dựa vầo phần dồ thị (P) ứng với x ∈ [–1;2], ta có: +m < hay m > 6: (P1) (d) khơng có giao điểm ⇒ (*) khơng có nghiệm x ∈ [–1;2] +m = hay 3 ⇔ m > 1: (1) có hai nghiệm phân biệt nên (P) (P’) có hai giao điểm *∆’ = ⇔ m = 1: (1) có nghiệm kép nên (P) (P’) có giao điểm *∆’ < ⇔ m < 1: (1) vơ nghiệm nên (P) (P’) khơng có giao điểm b) y = x2 + 2mx – y = x2 + 4x – Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (P’) là: x2 + 2mx – 4= x2 + 4x – ⇔ (2m – 4)x + = (2) Do đó: *a = ⇔ m = 2: (2) ⇔ 0x + =0 ⇔ x ∈ Ø ⇔ (P) (P’) giao điểm *a ≠ ⇔ m ≠ 2: (2) có nghiệm ⇔ (P’) (P) có giao điểm c) y = x2 + 2mx + y = x – m2 Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (P’) là: x2 + 2mx + = x – m2 ⇔ x2 + (2m –1)x + m2 + = (3) Ta có: (3) có ∆ = (2m – 1)2 – 4(3 + m2) = –4m – 11 Do đó: *∆’ > ⇔ m <  11 : (3) có hai nghiệm phân biệt nên (P) (P’) có hai giao điểm phân biệt *∆’ = ⇔ m =  11 : (3) có nghiệm kép nên (P) (P’) có giao điểm *∆’ < ⇔ m >  11 : (3) vô nghiệm nên (P) (P’) khơng có giao điểm II PHƢƠNG TRÌNH ax + b = 27 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ax + b = (1) Hệ số Kết luận a0 (1) có nghiệm (1) vơ nghiệm b0 Chú ý: Khi a  (1) a =đgl phương trình bậc ẩn b=0 (1) nghiệm với x Bài Giải biện luận phƣơng trình sau theo tham số m: a) (m2  2)x  2m  x  b) m( x  m)  x  m  b) m( x  m  3)  m( x  2)  d) m2 ( x  1)  m  x(3m  2) e) (m2  m) x  x  m2  f) (m  1)2 x  (2m  5)x   m Bài Giải biện luận phƣơng trình sau theo tham số a, b, c: a) xa xb b   a (a, b  0) a b b) (ab  2)x  a  2b  (b  2a)x x  ab x  bc x  b2 c)    3b (a, b, c  1) a 1 c 1 b 1 d) x bc x ca x ab    (a, b, c  0) a b c Bài Trong phƣơng trình sau, tìm giá trị tham số để phƣơng trình: i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm a) (m  2) x  n  b) (m2  2m  3) x  m  c) (mx  2)( x  1)  (mx  m2 )x d) (m2  m) x  x  m2  iii) Nghiệm với x  R II GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải 28 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ax2 + bx + c = (a  0) (1) Kết luận Chú ý: >0 (1) có nghiệm phân biệt =0 (1) có nghiệm kép 