Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Giải và biện luận các phương trình:... 2có hai nghiệm phân biệt 4.. Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung... Xác định m để một trong các nghiệm của 1 gấp đôi một nghiệm của

2 Định lí Vi–ét

Nếu hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai 2

0

ax bx c  thì chúng thỏa mãn các hệ thức x1 x2 b

c) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình 2

0

x Sx P d) Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1 ≤ x2)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Với m = 4: phương trình trở thành 0x = 8 nên phương trình vô nghiệm

Với m = –4: phương trình trở thành 0x = 0 nên phương trình có nghiệm x tùy ý

 Kết luận: *m = 2: S = Ø

* m ≠ 2: S = 3

2

m m



  

  b) 3(m + 2)x + 4 = 2x + 5(m + 2) (2)



Kết luận: *m = –1: S = ℝ

*m = –1: S = Ø

*m ≠ –1 và m ≠ 1: S = 2

1

m m



  

  d) m2x – 9 = 9mx + 3m (4)

3 Giải và biện luận các phương trình:

Giải

*k < –4: ∆’ < 0 nên (4) vô nghiệm

*k > –4: ∆’ > 0 nên (4) có hai nghiệm phân biệt là



     

b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – 5 = 0 (2)

(2)có hai nghiệm phân biệt

4 Cho hai phương trình: x 2 + 2x – m = 0 (1) và x 2 – 3x + 4m = 0 (2)

Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung Suy ra giá trị của m để phương trình (x2

+ 2x – m)( x2 – 3x + 4m) = 0 có bốn nghiệm phân biệt

Với m = 0 thì (1) ⇔ x = 0 hay x = –2; (2) ⇔ x = 0 hay x = 3 Do đó (1) và (2) có nghiệm chung là x = 0

Với m = –1 thì (1) ⇔ x = –1; (2) ⇔ x = –1 hay x = 4 Do đó (1) và (2) có nghiệm chung là x = –

(*)có bốn nghiệm phân biệt

⇔ (1) và (2) cùng có hai nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung

6 Cho hai phương trình x 2 – 8x + 4m =0 (1) và x 2 + x – 4m = 0 (2)

Xác định m để một trong các nghiệm của (1) gấp đôi một nghiệm của (2)

7 Tìm k nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình:

x 2 – 2(k + 2)x + k + 14 = 0 có hai nghiệm phân biệt

Định m để phương trình (1) có hai nghiệm:

a) Có giá trị tuyệt đối bằng nhau

b) Có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau

Giả sử phương trình được biến đổi về dạng ax 2 + bx + c = m (1)

trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0, còn m là tham số

Bước 1: Ta nói rằng phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2

Bước 3: Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị của m, ta xác định được số giao điểm của hai đồ thị, từ đó

suy ra số nghiệm của phương trình (1)

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho phương trình 2

x 1(x   4x 1 m)    0 (1) a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phn biệt

Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao giiểm của hai đường:

*(d): y = m là đường thẳng song song với Ox, cắt

Oy tại điểm có tung độ m

⇔ (d) và phần đồ thị (P) với x≥1 có đúng hai giao điểm phân biệt

⇒ (1) có một nghiệm

+m > –2: (P) và (d) có hai giao điểm

⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇒ (2) có một nghiệm

+m > 1: (P) và (d) có hai giao điểm

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt

2 Cho phương trình x 2 – 2x + 3 – m = 0 (*) Dùng đồ thị để:

a) Biện luận theo m số nghiệm của (*)

b) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ –1;2] của (*)

*Nhìn đồ thị (P) ta có:

+m < 2: (P) và (d) không có giao điểm

⇒ (*) vô nghiệm +m = 2: (P) và (d) có một giao điểm

⇒ (*) có một nghiệm

+m > 2: (P) và (d) có hai giao điểm

⇒ (*) có hai nghiệm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (P’) là:

–x2 + 4x – 3 = x2 – m ⇔ 2x2 – 4x + 3 – m = 0 (1)

Ta có (1) có ∆’ = 4 – 6 + 2m = 2m – 2

Do đó:

*∆’ > 0 ⇔ m > 1: (1) có hai nghiệm phân biệt nên (P) và (P’) có hai giao điểm

*∆’ = 0 ⇔ m = 1: (1) có nghiệm kép nên (P) và (P’) có một giao điểm

*∆’ < 0 ⇔ m < 1: (1) vô nghiệm nên (P) và (P’) không có giao điểm

Bài 3 Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:

i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x  R

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c

a – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c

a

 – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax2bx c 0

Để giải và biện luận phương trình ax2bx c 0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ