Lí thuyết và trắc nghiệm giải nhanh về khoảng cách

BÀI GIẢNG: GIẢI TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH HÌNH KHƠNG GIAN CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ A LÍ THUYẾT Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Cấp độ 1: Mặt phẳng chứa đường cao  Dựng đường vng góc với cạnh đối diện (Xem lại giảng cấp độ 1) - Cấp độ 2: Điểm chân đường vng góc (3 trường hợp) - Cấp độ 3: Từ điểm đến mặt phẳng (Ap dụng phương pháp đổi điểm) B BÀI TẬP VÍ DỤ Bài 1: Cho hình chóp S.ABC Có SA   ABC  Đáy tam giác cạnh a Góc đường thẳng SB đáy 60o a) Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng: A a B a C 2a b) Gọi khoảng cách từ điểm A đến (SBC) X Tỉ số A B C D 2a X a D Hướng dẫn giải a) Ta có: góc đường thẳng SB đáy góc đường thẳng SB đường thẳng AB  SBA  60o Mặt phẳng (SAC) có chứa đường cao SA  Cấp độ Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt AC H  d  B,SAC   BH BH  BH  đường cao tam giác ABC cạnh a a a  d  B,SAC   2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị a  Đáp án B b) Điểm A chân vng góc  Cấp độ Từ A kẻ AI  BC  I  BC  ,AK  SI  K  SI  Ta có: SA  AB.tanSBA  a.tan 600  a 3, AI  1 1   2 2 AK SA AI a    a 3      a  2 2 3a 3a 3a 3a a a a X  AK   AK   X  AK     a a 5  Đáp án C Bài 2: Cho hình chóp SABCD với SA   ABCD  Đáy hình vng cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) A 2a 2a Thể tích khối chóp 2a B a3 C D a Hướng dẫn giải Nhận xét: Mặt phẳng (SCD) không chứa đường cao  Không phải cấp độ Mặt khác điểm A chân vng góc  Cấp độ Kẻ AH  SA  H  SD  ta có: CD  AD  CD   SAD   CD  AH  CD  SA  SA   SABCD   AH  CD 2a  AH   SCD   d  A,SCD   AH   AH  SD Trong tam giác vng SADcó: 1   2 AH SA AD2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  1 1 1     2 2 2 2 2 SA AH AD 4a a 4a  2a  a    5  SA2  4a  SA  4a  2a 1 2a  VS.ABCD  SA.SABCD  2a.a  3  Đáp án B Bài 3: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Sau rút gọn tối giản khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) có giá trị mẫu số A B C D Hướng dẫn giải +) H chân đường vng góc kẻ từ S đến mặt đáy (ABCD) +) Từ H kẻ HI  CD  I  CD  , HK  SI  K  SI  +) Tam giác SAB tam giác cạnh a  SH  a CD  HI  CD   SHI   CD  HK  CD  SH SH   ABCD   +) Ta có HK  CD  HK   SCD   d  H,SCD   HK  HK  SI +) Trong tam giác vuông SHI: 1 1 3a a a 21         SK   SK   2 2 2 2 SK SH HI 3a a 3a 7 a 3 a      d  A,SCD   d  H,SCD   SK  a 21  Đáp án B Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật tâm O Với AB = a, BC = 2a Gọi I trung điểm AO, SI   ABCD  ,SI  a Nếu ta có khoảng cách từ B đến mặt (SCD) 4a khoảng cách từ I đến (SCD) 13 có giá trị bằng: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! A a 13 B 3a 13 C 2a 13 D a 13 Hướng dẫn giải AB SCD   d  A,SCD   d  B,SCD   d  A,SCD  d  I,SCD   4a 13 AC 3 4a 3a   d  I,SCD   d  A,SCD    IC 4 13 13  Đáp án B Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AA’ =a, AC = 2a Tính khoảng cách từ A’ đến (ACD’) A a B a C a D a Hướng dẫn giải +) Từ D kẻ DM  AC  M  AC  ,DH  D'M  H  D'M  AC  DM  AC   DD'M   AC  DH  AC  DD' +) Ta có: DH  AC  DH   ACD'  d  D,ACD'  DH  DH  D'M +) Trong tam giác vng ACD có: AD2  AC2  DC2  4a  a  3a  BC  AD  a   1 1    2 2  2 AD DC 3a a 3a  DM +) Trong tam giác vuông DD’M: 1 1 3a a a       DH   DH   d  D, ACD'   2 DH DD' DM a 3a 3a 7 +) A 'D  AD'  I  d  A ', ACD'  d  D, ACD'   A 'I a   d  A ', ACD'   d  D, ACD'   DI  Đáp án A >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (1) Mặt phẳng chứa đường cao => Dựng đường vng góc với cạnh đối diện (2) Xét xem thấy điểm chân đường vng góc (3) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC) Đáy tam giác cạnh a Góc đường thẳng SB đáy 600 a) Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng: √ A b) Gọi khoảng cách từ điểm A đến (SBC) x Tỉ số A √ B C √ √ B √ D 2a là: C √ √ D √ √ Giải: a)  SB;  ABC     SB; AB   SBA  600 Gọi H trung điểm AC ta có   BH  AC  BH   SAC   d  B;  SAC    BH  BH  SA SA  ABC       Ta có BH  a a  d  B;  SAC     2d  B;  SAC    a 2 Chọn B b) Gọi E trung điểm BC,  SAE  kẻ AK  SE  K  SE  ta có:  BC  AE  BC   SAE   BC  AK   BC  SA  SA   ABC    AK  SE  AK   SBC   d  A;  SBC    AK  x   AK  BC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ta có : AE  a Xét tam giác vng SAB có : SA  AB.tan 600  a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAE có :  AK x   a 1 a 15      AK  x 2 SA AE 3a 3a 3a 15  5 Chọn C Bài Cho hình chóp SABCD với SA ⊥ (ABCD) Đáy hình vng cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) A 2a3 √ Thể tích khối chóp là: B C D a3 Giải: Kẻ AH  SD ta có: CD  AD  CD   SAD   CD  AH  CD  SA  AH  CD 2a  AH   SCD   d  A;  SCD    AH    AH  SD Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng SAD có 1 1  2     SA  2a 2 AH SA AD 4a SA a Vậy VS ABCD 1 2a3  SA.S ABCD  2a.a  3 Chọn B >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Bài Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Sau rút gọn tối giản khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) có giá trị mẫu số là: A B C D Giải Gọi H trung điểm AB  SH  AB  SH   ABCD  Ta có: AB / /CD  AB / /  SCD   d  A;  SCD    d  H ;  SCD   Gọi E trung điểm CD, mặt phẳng (SHE) kẻ HK  SE ta có: CD  HE  CD   SHE   CD  HK  CD  SH  HK  CD  HK   SCD    HK  SE  d  H ;  SCD    HK Ta có: SH  a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SHE có: 1 a 21      HK  2 HK SH HE 3a a Vậy d  A;  SCD    a 21 Chọn B Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật tâm O với AB = a, BC = 2a Gọi I trung điểm AO, SI ⊥ (ABCD), SI = a Nếu ta có khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) √ khoảng cách từ I đến (SCD) có giá trị >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! A B √ C √ D √ √ √ Giải: Ta có AB / / CD  AB   SCD   d  B;  SCD    d  A;  SCD   Ta có: AI   SCD   C   d  I ;  SCD    d  A;  SCD   d  I ;  SCD    AC  IC 3 d  A;  SCD    d  B;  SCD   4 4a 3a  d  I ;  SCD     13 13 Chọn B Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AA’ = a, AC = 2a Tính khoảng cách từ A’ đến (ACD’) A a B a C a D a Bài 5: Giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ta có: A ' D   ACD '  O  d  A ';  ACD '  d  D;  ACD '   A'O 1 DO  d  A ';  ACD '   d  D;  ACD '  Kẻ HD  AC , mặt phẳng (DD’H) kẻ DK  D ' H , ta chứng minh DK   ACD '  d  D;  ACD '   DK Ta có: DA  4a  a  a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ACD ta có: 1 1 a      DH  2 DH AD CD 3a a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng DD’H có: 1 a      DK  2 DK DH DD ' 3a a Vậy d  A ';  ACD '    a Chọn A >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!