kỹ thuật chọn điểm rơi dự đoán dấu = trong bất đẳng thức cauchy

MụC LụC Mở đầu…………………………………………………………………Trang - Lí chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang - Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang - Đối tƣợng nghiên cứu……………………………………………………Trang - Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………… ….Trang Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang 2.2 Thực trạng vấn đề trƣớc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… Trang 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………………………………………………………………….Trang 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trƣờng……………………………………… Trang 19 Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang 19 - Kết luận…………………………………………………………………Trang 19 - Kiến nghị……………………………………………………………….Trang 19 Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang 20 Phụ lục………………………………………………………………… Trang 23 1 Mở đầu: - Lí chọn đề tài: + Bất đẳng thức nội dung khó với học sinh nhƣng lại nội dung quan trọng kỳ thi đại học Trong trình học ứng dụng lí thuyết để làm tập học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn, lúng túng xuất phát từ đâu, phƣơng pháp giải nhƣ Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dãy bƣớc biến đổi, đánh giá thông qua bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=” bất đẳng thức thời điểm Sai lầm học sinh hay gặp không kiểm tra dấu “=” bất đẳng thức có xảy hay khơng? Nhƣ học sinh dễ mắc sai lầm áp dụng bất đẳng thức mà không xảy dấu “=” Học sinh xuất phát từ đâu? Làm cách để suy luận bất đẳng thức cần dùng toán Dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cauchy kỹ thuật suy ngƣợc nhƣng logic, dựa “kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cauchy để giải toán nhằm giúp em hạn chế giảm sai sót trình giải tốn Đó lí tơi chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu: Thơng thƣờng gặp tốn bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ học sinh liên tƣởng đến dạng mẫu học áp dụng bất đẳng thức học nhƣng thực tế nhiều toán kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp dạng toán phức tạp mà để giải địi hỏi phải có nhận xét đặc biệt Một nhận xét đặc biệt dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cauchy để giải toán - Đối tƣợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 10B2 10B3 trình học chƣơng bất đẳng thức Tôi lựa chọn lớp trƣờng THPT Lƣu Đình Chất có điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng +Học sinh: Chọn lớp 10B2 nhóm thực nghiệm 10B3 nhóm đối chứng tiến hành kiểm tra kiến thức để đánh giá so sánh mức độ hai lớp trƣớc tác động Kết kiểm tra cho thấy điểm trung bình hai lớp khơng có khác nhau, tơi dung phép kiểm chứng T- Test để kiểm chứng chênh lệch điểm số trung bình hai lớp trƣớc tác động Kết : Bảng Kiểm chứng để xác định nhóm tƣơng đƣơng Đối chứng(ĐC) Thực nghiệm(TN) TBC 5,5 5,5 P= 0,43 P=0,43 > 0,05 , từ kết luận chênh lệch điểm số trung bình hai nhóm TN ĐC khơng có ý nghĩa, hai nhóm đƣợc coi tƣơng đƣơng Bảng Thiết kế nghiên cứu Nhóm Kiểm tra trƣớc TĐ Tác động (TĐ) KT sau TĐ Thực nghiệm 01 Dạy học theo hệ thống 03 tập liên quan Đối chứng 02 Dạy học theo hệ thống 04 tập có nhiều loại Ở thiết kế sử dụng phép kiểm chứng T- Test độc lập - Phƣơng pháp nghiên cứu: + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Toán học tuổi trẻ +Thực hành thơng qua q trình giảng dạy +Điều tra kết học tập học sinh từ thấy đƣợc mức độ hiệu đạt đƣợc học sinh thực đề tài Qua rút kinh nghiệm thực tốt trình xây dựng đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: +) Dựa vào nội dung chƣơng trình sách giáo khoa lớp 10 Cụ thể :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chƣơng IV đại số 10 Khi giải tốn bất đẳng thức chƣơng trình sách giáo khoa 10 sử dụng số định lí tính chất nhƣ sau: ) a b, b c a c ) a b a + c b + c ) a b ac b c (c > ) ) a b ac b c (c < ) ) a b ,c d a + c b + d ) a b ,c d ac bd (a > , c > ) )a b a 2n+1 b 2n (n * N ) a b a ) a b ) a b ) 2n+1 b 2n a a ab a b * (n N , a > 0) b (a > ) b , a ,b a ab b a b ) a+ , a > a ) x 0, x x, x ) a > 0: x a x a x a x x x ) a b a b a a a a b +) Dựa vào số tài liệu liên quan +) Học sinh lớp 10 trƣờng THPT Lƣu Đình Chất 2.2.Thực trạng vấn đề trƣớc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Một là: Qua thực tế dạy học thấy chƣơng trình lớp 10 phần bất đẳng thức, số tập sách giáo khoa hạn chế thời lƣợng Hai là: Trong sách giáo khoa, sách tập đại số ban nâng cao khơng có tốn bất đẳng thức yêu cầu nêu dấu “=” xảy ra? Do học sinh khơng có thói quen thử lại dấu “=” có xảy hay khơng? Đây sai lầm học sinh hay gặp phải 2.3 Các giải pháp sử dụng để sử dụng giải vấn đề sau + ) + : Bài toán mở đầu : Bài tốn Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x +) Sai lầm thƣờng gặp : A x x x x +) Nguyên nhân sai lầm: MinA=2 x x vơ lý x x +) Xác định điểm rơi: Hàm số: f x x hàm số đồng biến 4; x Vì x1 f x2 x ; x1 , x f x2 Nên : 4; x2 1 x1 x x1 M in A 17 4 15 4 16 x Do bất đẳng thức Cauchy xảy dấu điều kiện số tham gia phải nên ta đƣa tham số cho điểm rơi x=4 cặp số x phải x Với x=4 cho cặp số: x 4 1 x 16 +) Lời giải đúng: A x x 15 x x 16 x 16 x 16 x 17 M in A x x 1 17 16 16 x x x 4 Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức A x x x lời giải x sai? Lời giải lại tách A x x 15 x x 16 x 16 ? ? Làm nhận biết đƣợc điều đó…? Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải toán cực trị A PHƢƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, cơng cụ hồn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm a , a , , a n ( n ) ta ln có: a1  a2 an n n a a a n Dấu “=” xảy a1  a2 an * Một vài hệ quan trọng: a1 a2 a2 1 a1 a2 an 2n số dƣơng ( n Cho an ) ( a1   n ( a1 b1 ) ( a n v ô ùi an n a1  0, i 1, n (1 ) v ô ùi  a2 Z ,n b ) ( a n ): 0, i an 1, n a , a , , a n , b1 , b , , b n bn ) n a a a n n ta có: b b b n Trong chứng minh bất đẳng thức, việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở không đƣợc thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện ln đƣợc thỏa mãn suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy đƣợc kĩ thuật nhƣ ta vào số toán sau: Bài tốn 2: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x x +) Xác định điểm rơi: Hàm số: f x x x Vì x1 f x2 x ; x1 , x x2 Nên f x2 1 x x1 3 3; : 3; x1 M in A đồng biến 28 x x1 x 3 3 25 27 Nên ta có : +)Sơ đồ điểm rơi: x 3 x 1 27 9 Ta phải tách để sử dụng bất đẳng thức Cauchy khử hết biến dấu '' '' xảy +) Lời giải: A x x x x 27 27 x 25 x x x 27 27 x x 27 28 M in A x x 27 27 x x 25 x 28 27 27 3 Bài tốn 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=2x + 18 x Sơ đồ điểm rơi : x=4 18 18 x 2x 32 Lời giải: S=x + 18 9x = 2x 18 16 x 32 32 = 18 16 2 x x 9x 2 16 16 x 23 + x + + 23 18 x + 23 x 16 =41 16 Vậy với x=4 Min S = 41 Bài toán : Cho x, y x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x y 1 x y +) Xác định điểm rơi: Do A biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ A x y +)Sơ đồ điểm rơi: x x y 3 y 2 1 x y 2 +) Lời giải: A x A y 1 4x 4y x y x y 4y y 4x x M in A 4x x 13 4y y x, y x, y Bài toán 5: Cho 2 x 9 y 13 3 y 0 x y y x x x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: đạt x y xy xy +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo M in S S x, y nên ta dự đoán Sơ đồ điểm rơi : xy x y 4 16 xy +) Lời giải : S xy xy xy S xy 15 16 xy 16 xy 15 16 xy 16 x y 15 17 2 M in S 17 x y x, y Bài toán 6:Cho x , tìm GTNN biểu thức y P x +) Định hƣớng cách giải: Do P biểu thức đối xứng theo đạt x y Lời giải: P x y xy 13 2 y 2 x y) y x x x đạt xuất y , tìm GTNN biểu thức y S x y ta thấy: (x y x x y) 2x y , xy y 2 2x y x 3 y 3x y ta áp 1 xy xy y 2x y y) 2 xy xy nên ta dự đoán đẳng 2x y x y ta muốn bất xy x, y (x dụng +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo M in S M in P 13 xy , ta dự đoán x, y xy xy xy y x, y Bài toán 7: Cho (x 2 2 xy x y xy xy x Min P = xy thức cho số ta có: +) Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức cho số: S x y 2x y xy 2 2x y 81 S (x y) xy 2x y 81 5( x y) (x Dấu xảy Bài toán : Cho x y) y x, y, z x z y xy 2 2x y xy 5( x y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x y z 1 x y z +) Xác định điểm rơi: Do A biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ A x y z +)Sơ đồ điểm rơi: x x y z y z 2 1 1 x y z +) Lời giải: A x y z 1 x y z x y z x y z y y z 3 4 +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo a,b A x x 2 15 M in A x x y y z z x y z z x y x y z x y z 15 2 x, y, z z Bài toán 9: Cho x S x y M in S y đạt y z x y z x y , tìm GTNN biểu thức 2 z x z z 4 Sơ đồ điểm rơi : x ,c nên ta dự đoán y z 16 +) Lời giải : S x 2 16 y 16 y  16 y 2 16  z    1 6 z 16 z 2 16  x    1 6 x 16 10 S 16 17 x 717 33 16 y 32 16 x 17 16 y 2x 16 16 z 17 16 y 16 y 717 32 z 2y 15 2z 16 z 16 x 17 z 717 16 x 16 17 x 17 32 M in S 16 z 17 17 5 x 16 16 x y 16 17 5 2x2 y2z z 2 z 17 16 16 y 16 x y z Vậy y 17 17 Bài toán 10: Cho x , y , z , t Tìm x S y giá trị nhỏ biểu thức: y z t x z z t x t y t x y y z z t x z x y z t z t x z t x y t x y z y z t x z t x y t x y t y z y z y a,b t x z y t ,c,d nên ta dự y x x y +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo đoán M i n S đạt x y z t Sơ đồ điểm rơi : x t t +) Lời giải : x S y x , y , z ,t S z x z z t t t 9x y y y x , y , z ,t z x z t x t x t 9x t y y y z z t x y z t x z t x y t x y z x x x y y y z z z t t t 12 y x x 40 M in S z x t x x z y y y z t y x z t y z t z x t y t z t y 8 x z 8 t x y z t x y t t 40 3 x, y, z Bài toán 11: Cho x S x y z y z 1 x y z , tìm GTNN biểu thức 11 t +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo đạt M in S x y z x y z 2 Sơ đồ điểm rơi : 1 x ,c nên ta dự đoán 2 a,b y z +) Lời giải : S = x x S 2 y z y z 2 1 x y z 1 1 1 1 8x 8y 8z 8x 8y 8z x y z x y z 1 1 8x 8y 8z 8x 8y 8z 33 1 x y z Bài toán 12 : Cho 9 4 9 xyz 4 x y z 9 4 27 27 M in S x y z x, y, z x y 2 z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S x y z xyz +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo M in S đạt x y z x, y nên ta dự đoán Sơ đồ điểm rơi : x x y z y z 3 3 3 xyz +) Lời giải : 12 S x S y xyz xyz z x y z xyz x y z 3 M in S x y z x, y, z Bài toán 13 : Cho xy 12 yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S x y z x, y, z +Dự đoán giá trị nhỏ đạt đƣợc 1 xy yz zx xyz xy 12 yz x 3, y 4, z + Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm ta có: x y 18 24 xy x z xz z 16 yz x z 12 13x 13 y 24 13x 13 y 48 24 x z xy xz 33 x z 16 y y 18 24 33 x x 33 x xyz 2 yz z y 12 xyz 13 x 13 y 24 13x 13 y 48 24 13 13 xy 24 13 13 13 xy 48 24 13 Cộng theo vế bất đẳng thức ta đƣợc : S x y z 1 xy yz zx xyz Bài toán 14 : Cho x, y, z 1 x y z 1 13 13 121 12 Tìm giá trị lớn biểu thức: 13 A x 2y 3z 2x 3y z 3x 2y z +) Định hƣớng cách giải: Do A biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ A x y z Để A : 2x x , , y z thể , 3y có x xử , 2y dụng 3z 3x gỉa thuyết 1 x y z phải đƣợc tách thành tổng số hạng y 2z Từ số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng nghĩ đến hệ z (2): Do đó: 2x 3y z x x y y x 36 x y z 1 36 x y z 36 x y z z 2y 3z x y y z 3x y z z y 2z x x y z n ê n :A = 2x M axA x 3y z x x, y, z 1 1 x y z x y z x, y, z x z Bài toán 15 : Cho z y 2y 3z 3x x y S y z 6 2z 36 x y z z Tìm giá trị lớn biểu thức: x y y +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo M in S đạt x y z z x x, y, z nên ta dự đoán Sơ đồ điểm rơi : x y z x y y z z x +) Lời giải : 14 x y 3 x 2 3 y y z 3 y z x 3 z x M axS = y 18 y z x y y z x z x 3 2 3 2 3 y z z 3 2 3 x S y 2 3 z x 9 x 4 3 3 18 z x, y, z,t Bài toán 16 : Cho x y z t Tìm giá trị lớn biểu thức: S 2x y 2y z +) Định hƣớng cách giải: Do S biểu thức đối xứng theo đoán M in S đạt x y z t 2z x, y, z,t t 2t x nên ta dự Sơ đồ điểm rơi : x y z t 2x y 2y z 2z t 2t x +) Lời giải : 3 3 2x 2y 2z 2t y z t x 3 4 3 4 3 4 3 4 2x y 3 4 3 4 2y z 2z t 3 4 3 4 2t x 15 3 2x y 2y z 2z t x 2t y 16 3 S 48 x y z t 16 S x y M axS = S z x 3 y 18 z x y z x x y z 3 3 18 z Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S x x Bài 2: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S 18 2x x Bài 3: Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S x x Bài 4: Cho x, y x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 5: Cho x, y x y S x y x y S x y x xy y xy xy y y S S x x, y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 8: Cho x x, y y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 7: Cho x x, y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 6: Cho y 2 x y xy z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S x y z 1 x y z 16 x, y, z Bài toán : Cho x y z 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S x y z xyz P a b 2 c S a b a 1 ab bc ca 2 2 b Q c c a bc 1 ab bc ca 1 ab bc ca b ca Bài toán 10 : Cho c ab x, y, z 1 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: A 2x 3y 4z 2y Bài toán 11 : Cho 3z 4x x, y, z x z y 2z x, y, z x y P x y y S x x z y y 1 xy yz zx z z yz y x zx z S 2x y 2y z 2z x , tìm GTNN biểu thức sau: 1 Q 4y Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài12: Cho 3x xy 1 xy yz zx 1 xy yz zx Chú ý: Cần ý bất đẳng thức Cơsi, có điều kiện số dƣơng khả nghĩ tới Cơsi Cách giải phải ngƣợc qui trình thơng thƣờng Đầu tiên phải dự đoán đƣợc điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi dự đoán… 17 2.4 Hiệu sau sử dụng + Học sinh: Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự ti sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học tự nghiên cứu + Bản thân : Sau áp dụng đề tài thấy trình giảng dạy học sinh học tốt đa số khơng mắc sai lầm giải tốn bất đẳng thức Kết luận, kiến nghị: - Kết luận: Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề chuyên đề, phƣơng pháp hàng vạn phƣơng pháp để giúp phát triển tƣ duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trƣớc hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thƣc bản, phân tích tìm hƣớng giải, đâu bắt đầu nhƣ quan trọng để học sinh không sợ đứng trƣớc tốn khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung , song khuôn khổ thời gian hạn ngƣời viết đƣợc ví dụ, tốn điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đƣợc đầy đủ hoàn thiện - Kiến nghị: Qua thực tế khảo sát học sinh đa số em chƣa học tốt nội dung bất đẳng thức nên ngại học nội dung này, nhiệm vụ giáo viên cần hệ thống tập lựa chọn cho phù hợp với đối tƣợng học sinh để giúp em nắm vững kiến thức nhƣ kỹ giải tốn, có nhƣ em u thích mơn tốn đạt kết cao Trong q trình hồn thành đề tài biết ơn đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ, tơi mong muốn nhận đƣợc ý kiến đóng góp để sáng kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích cho em học sinh 18 Tài liệu tham khảo: 1.Đại số lớp 10, b đại số lớp 102016 2016 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh- NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn Hạo- NXB Giáo Dục năm 2009 Sáng tạo bất đẳng thức Phạm Kim Hùng SVK9- Trƣờng ĐHKHTN- ĐHQGHN (NXB Tri Thức) 19 Phụ lục Kiểm tra tìm hiểu thực trạng: Đề Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x Biết : x a) x>0 b) x Biểu điểm đáp án: a) Do nên x>0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x P x x x ………………………………………………… điểm x M in P x = 1………………………………………………… điểm b) P x x 15 x x 16 x 16 x 16 = 15 x x 16 15 x 16 M in P 1,5 điểm ……………………………………………… 1,5 điểm ………….……………………………………………… điểm 15 17 4 17 ………….……………………………………… điểm ……………….……………………………………… điểm 20 Phụ lục Kiểm tra sau tác động Bài toán: Cho x,y,z số dƣơng thõa mãn điều kiện: x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 3x 3y 3z y z 2 x y z Biểu điểm đáp án: P 3x 3y 3z 2 x y z = 18x+ y+ x Do x,y,z số dƣơng nên x , 18z+ y , y 15 x y z …4 điểm z số dƣơng z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 18x+ 2 18x x =12 ………………………………………… điểm x Dấu xảy rakhi 18 x x x ……………………………………………………… điểm Tƣơng tự ta có: 18y+ 2 18y y 18z+ 15 x =12 ….……………………………………… điểm y 18z z Mà 2 =12 ………………………………………… điểm z y z 15 Cộng (1), (2), (3), (4) ta có P ……………………………………… điểm 21 Gía trị nhỏ P 19 x y z điểm 21 Phụ lục Bảng điểm lớp thực nghiệm: Stt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Họ tên Lê Tuấn Nguyễn Thị Mai Võ Thị Lê Thị Nguyễn Thế Ngô Hùng Tào Minh Nguyễn Thị Đỗ Ngọc Trần Thị Đỗ Thị Nguyễn Tác Nguyễn Thị Lan Lê Cung Lê Thị Nguyễn Thị Nguyễn Tuấn Đỗ Đức Nguyễn Khánh Nguyễn Thị Kiều Đặng Văn Phan Thị Nguyễn Thị Nguyễn Văn Nguyễn Thị Nguyễn Linh Lê Thị Tào Minh Ngô Khánh Nguyễn Thị Lê Thị Nguyễn Hữu Lê Văn Lê Thị Lê Thị Lê Thị Nguyễn Thị Vân Nguyễn Thị Nguyễn Thị Bùi Văn Nguyễn Hoằng Lê Thị Anh Chi Chiến Dung Dũng Đức Đức Hạnh Hoàng Hồng Huyền Hùng Hƣơng Kỳ Lan Lan Lâm Linh Linh Loan Luân Lƣu Mai Nam Nga Ngọc Oanh Phong Phƣơng Phƣơng Qúy Thông Thống Thùy Thúy Thủy Thƣ Thƣơng Trang Tuấn Tuấn Yến KT trƣớc tác động 7 4 6 6 8 8 7 6 KT sau tác động 6 6 10 7 8 9 9 10 10 8 8 22 Bảng điểm lớp đối chứng Stt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Họ tên Lê Phƣơng Lê Thị Mai Phan Hoàng Trần Việt Vũ Văn Nguyễn Đức Mai Văn Tào Quốc Nguyễn Tuấn Đỗ Văn Hoàng Anh Lê Minh Lê Trung Phạm Văn Lê Trung Nguyễn Văn Tào Thị Hoàng Văn Lê Văn Hoàng Thị Lê Đăng Lê Thị Hoài Lê Xuân Vũ Thị Ngọc Nguyễn Thị Lƣu Lê Đình Trịnh Thị Trần Thị Kim Lê Thành Lƣu Hoài Nimh Xuân Lại Thị Nguyễn Viết Ngơ Văn Phạm Văn Lê Xn Lê Ngọc Đồn Thị Anh Anh Anh Anh Bình Chính Chung Cƣờng Duy Dũng Đức Đức Đức Đức Hải Hậu Hiền Hoan Hòa Hồng Linh Linh Linh Linh Luyến Nam Nguyệt Oanh Sơn Sơn Sơn Thanh Thanh Thái Thắng Thu Thuận Thủy KT trƣớc tác động 5 6 4 7 6 6 4 6 7 KT sau tác động 5 5 7 6 7 5 23 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày20 tháng năm2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung ngƣời khác Ngƣời thực Hoàng Thị Thúy 24 ... Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề hiểu sâu kỹ thuật ? ?chọn điểm rơi? ?? việc giải toán cực trị A PHƢƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng. .. bất đẳng thức cần dùng toán Dự đoán dấu ? ?=? ?? bất đẳng thức Cauchy kỹ thuật suy ngƣợc nhƣng logic, dựa ? ?kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu ? ?=? ?? bất đẳng thức Cauchy để giải toán nhằm giúp em hạn... dấu ? ?=? ?? bất đẳng thức có xảy hay khơng? Nhƣ học sinh dễ mắc sai lầm áp dụng bất đẳng thức mà không xảy dấu ? ?=? ?? Học sinh xuất phát từ đâu? Làm cách để suy luận bất đẳng thức cần dùng toán Dự đoán