Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến là tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để dẫn dắt hình thành cho HS một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần các em có được một phương pháp giải cơ bản nhất.

1 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến ngành giáo dục thị xã Bình Long Tơi (chúng tơi) ghi tên đây: Số TT Ngày tháng Nơi công tác năm sinh Chức danh NGUYỄN VĂN 7/10/1977 Trường THCS Giáo Họ tên HUÂN An Lộc B Trình độ Tỷ lệ (%) đóng chun góp vào việc tạo mơn sáng kiến ĐHSP 100% viên Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: " Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị " Chủ đầu tư tạo sáng kiến (trường hợp tác giả không đồng thời chủ đầu tư tạo sáng kiến)3: Khơng có Lĩnh vực áp dụng sáng kiến4: Toán Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu 10/2020 Mô tả chất sáng kiến5: 5.1 Tính sáng kiến: + Những toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn chương trình tốn THCS tương đối khó, đặc biệt việc ứng dụng kiến thức cách giải + Trong chương trình đại số lớp 8, phần chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị (chủ yếu phần vận dụng đẳng thức đáng nhớ ), ôn thi tuyển sinh 10, thi trường chuyên ôn thi hoc sinh giỏi có nhiều nâng cao Trong khn khổ viết xin đề cập đến vấn đề " Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị " + Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tịi, lựa chọn xử lí thơng tin tình cụ thể 5.2 Nội dung sáng kiến: 5.2.1: Thực trạng vấn đề Qua trình bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi lớp 10, tơi thấy: - Đa số HS sợ tốn chứng minh, tốn cực trị khơng hình dung cách giải, nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - HS không áp dụng kiến thức biết để CM bất đẳng thức tìm cực trị - Khả tư để tìm kiến thức áp dụng vào yêu cầu toán yếu Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp 5.2.2: Cơ sở lớ lun Nhiều năm gần kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi cấp bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường có toán yêu cầu chng minh bt ng thc v tìm giá trị lớn (GTLN); giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Các toán chng minh bt ng thc v tỡm cực trị phong phú đa dạng, tương đối khó học sinh THCS Để giải toán bt ng thc v cc tr học sinh phải biết bin đổi tương đương biểu thức đại số, phải sử dụng nhiều đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp kiến thức kỹ tính toán, tư sáng tạo Vậy làm để học sinh định hướng hướng đi, hay hình thành công thức "ẩn tàng" gặp toán chng minh bt ng thc v cực trị đại số L giỏo viờn trc tip giảng dạy tốn trường THCS, q trình giảng dạy, đặc biệt ôn thi lớp 10 học sinh giỏi, tơi ln trăn trở, tìm tịi, chọn lọc phương pháp hợp lý để dẫn dắt hình thành cho HS cách suy nghĩ làm quen với dạng tốn để dần em có phương pháp giải Trong khuôn khổ nhỏ xin nêu kiến thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị " 5.2.3: Giải pháp Trong đề tài này, xin nêu định nghĩa cực trị kiến thức để giải tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cc tr Các kiến thức cần thiết Các định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định xỏc nh D : M gọi GTLN f(x,y, ) xác định D nÕu ®iỊu kiƯn sau ®ång thêi tho¶ m·n : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Max f(x,y, ) = fmax víi (x,y, )  D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định xỏc nh D : M gäi lµ GTNN cđa f(x,y, ) tập xác định D đến điều kiện sau đồng thời thoả mÃn : f(x,y, )  M (x,y, )  D  (x0, y0, )  D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Min f(x,y, ) = fmin víi (x,y, )  D C¸c kiÕn thøc th­êng dïng 2.1 Luü thõa : a) x2  x  R  x2k  x  R , k  z  - x2k  Tỉng qu¸t : f (x)2k  x  R, k  z  - f (x)2k  Tõ ®ã suy : f (x)2k + m  m x  R, k  z M - f (x)2k  M b) x  x   ( x )2k  x0 ; k z Tỉng qu¸t : ( A )2k   A (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x|   x|R b) |x+y|  |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y  x.y  c) |x-y|  |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y  x.y  vµ |x|  |y| 2.3 Mét số bất đẳng thức đơn giản thường gặp suy từ bất đẳng thức (a+b)2 a b c d a2 + b2  2ab (a + b)2  4ab 2( a2 + b2 )  (a + b)2 a b  2 b a 1 e b  a  a  b 2.4 BÊt ®¼ng thøc Cauchy : * ai  ; i = 1, n : a1  a   a n  n n a1 a .a n nN, n 2 dấu "=" xảy  a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ( Inequality of arithmatic and geometric means ) Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM-GM ( AM viết tắt arithmatic mean GM viết tắt geometric mean ) - Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin-Louis Cauchy ( 1789-1857 ), tức bất đẳng thức Cauchy 4 - Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều toán bất đẳng thức cực trị * Bất đẳng thức viết hai dạng khác tương đương  ab  ab      2 a  b  a  b  2 Trong phạm vi chương trình tốn cấp THCS, quan tâm nhiều đến ba trường hợp riêng bất đẳng thức Cauchy :  Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp VÝ dô : Cho a > b > T×m GTNN cđa M = a + b( a  b) Gi¶i : Ta cã : M = a + b( a  b) 1 = b + (a-b) +  3 (theo Cauchy) b.( a  b) b( a  b) b( a  b) M   minM =  b = a-b = a   b( a  b) b  a  b  VËy : minM =   VÝ dô : Cho x, y số thực thỏa mãn x + y = Chứng minh   xy x  y  Gi¶i : ab  Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy dạng : ab    , ta có     2 x  y  1  xy  x  y  2 2 xy ( x  y )   xy  x  y   2 2   x  y  Dấu " = " xảy   2  xy  x  y  x  y 1  Kỹ thuật ghép đối xứng Trong toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật " ghép đối xứng " để toán trở nên đơn giản Ở tốn bất đẳng thức, thơng thường hay gặp phải hai dạng toán sau : +) Dạng 1: Chứng minh X  Y  Z  A  B  C Ý tưởng Nếu ta chứng minh X  Y  A Sau đó, tương tự hóa để Y  Z  B Z  X  2C ( nhờ tính chất đối xứng tốn ) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh +) Dạng 2: Chứng minh XYZ  ABC với X , Y , Z  Ý tưởng Nếu ta chứng minh XY  A2 Sau đó, tương tự hóa để YZ  B ZX  C ( nhờ tính chất đối xứng tốn ) Sau nhân ba bất đẳng thức lại theo vế lấy bậc hai, ta có XYZ  A2 B 2C  ABC  ABC VÝ dô 1: Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh ab bc ca    abc c a b Gi¶i : Bài tốn có dạng X  Y  Z  A  B  C với ab bc ca , A = a, B = b, C = c ,Y  , Z  c a b ab bc Để ý hai biểu thức đối xứng với b ( tức vai trò a c ) c a X Do đó, sử dụng kỹ thuật gép đối xứng, ta dễ dàng chứng minh : ab bc   2b ( theo Cauchy) c a Từ tốn giải hồn tồn VÝ dơ 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1    1 x 1 y 1 z Tìm giá trị lớn Q = xyz Gi¶i : Từ giả thiết 1    , ta suy 1 x 1 y 1 z  1    y z  1   2   1   1 x  1 y   1 z  1 y 1 z Tương tự : 2 1 y zx ; 2 1  z 1  x   z yz  2 1  y 1  z   x xy 1  y 1  x  Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu xyz   xyz  1  x 1  y 1  z  1  x 1  y 1  z  yz 1  y 1  z  Dấu "=" xảy Vậy maxQ = y z  x 1  x   y   z  x yz     2 1  x  y  z 1 x  y  z   Kỹ thuật Cauchy ngược dấu VÝ dô 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN T a b c   2  b  c  a2 Gi¶i : Để ý theo bất đẳng thức Cauchy a ab ab ab a  a a 2 1 b 1 b 2b b bc c ca Hoàn toàn tương tự  b ; c 2 1 c 1 a Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, suy T a b c ab  bc  ca ab  bc  ca    abc  3 2 1 b 1 c 1 a 2 Ta lại có ab  bc  ca  , điều hiển nhiên ab  bc  ca  a  b  c 3 Dấu "=" xảy a = b = c = Vậy minT = a = b = c = VÝ dô 2: Cho số x, y, z  x+ y + z = Chứng minh x  y  z  1  x 1  y 1  z  Gi¶i : Do x+ y + z = nên bất đẳng thức cần chúng minh viết lại thành  x  y  z  x  y  z    x  y  y  z  z  x  Do vai trò x z bất đẳng thức nhau, nên ta hồn tồn giả sử 2 x  z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng  a  b   4ab , ta có  x  y  z   x  y  z  Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta x  x  y  z   ( x  y )( z  x)  y ( x  z )  Hiển nhiên giả sử x  z Bài toán chứng minh Dấu "=" xảy x = z = 0,5 y = 5.3 Khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng cho GV bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trường THCS, phụ đạo nâng cao ơn thi tuyển sinh lớp 10 7 Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đối với Gv: Nắm vững kiến thức phối hợp phương pháp cách linh hoạt Đối với Hs: Nắm vững kiến thức, tự tin, động, sáng tạo Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả1: Kết cụ thể: Năm học 2020 – 2021, ôn tập phụ đạo lớp Lớp Sĩ số Biết hướng giải Tỉ lệ % Không biết cách giải Tỉ lệ % Chưa áp dụng 38 15 39,5 23 60,5 Áp dụng 38 25 65,8 13 34,2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có)7: Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Phú Thịnh, ngày 28 tháng 01 năm 2021 Người nộp đơn Nguyễn Văn Huân ... nêu kiến thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị " 5.2.3: Giải pháp Trong đề tài này, xin nêu định nghĩa cực trị kiến thức để giải tốn chứng minh bất đẳng thức. .. sợ toán chứng minh, toán cực trị khơng hình dung cách giải, nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - HS không áp dụng kiến thức biết để CM bất đẳng thức tìm cực trị - Khả... THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường có toán yêu cầu chng minh bt ng thc v tìm giá trị lớn (GTLN); giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Các toán chứng minh bất đẳng thức tìm cùc trÞ rÊt phong