Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT.

Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT HOA LƯ A SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc Học vị: Thạc sỹ khoa học Toán học Chức vụ: Tổ phó tổ Tốn – Tin Đơn vị: Trường THPT Hoa Lư A Ninh Bình, tháng năm 2014 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 1/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giả thuyết khoa học …… Mục đích đề tài Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài …… Chương I Phương pháp tiếp tuyến …… 1.1 Kiến thức chuẩn bị …… 1.2 Một số ví dụ minh họa …… 1.3 Bài tập tự luyện 18 Chương II Khai thác tính chất hàm số y = ax+b CM BĐT 19 2.1 Kiến thức chuẩn bị …… 19 2.2 Một số ví dụ minh họa …… 2.3 Bài tập tự luyện 26 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 2/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học sơ cấp ngày phát triển, phần toán sơ cấp hay, khó đa dạng phương pháp Bất đẳng thức thường xuất đề thi Đại học, Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi thường gây khó khăn học sinh Hiện nay, chương trình phổ thơng, thời lượng cho phần bất đẳng thức cịn ít, phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại vơ đa dạng Trong sách giáo khoa trình bày số cách chứng minh bản: lớp 10 có trình bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức (biến đổi tương đương, phản chứng, sử dụng bất đẳng thức cổ điển TBC – TBN, Bunhia…), lớp 11 giới thiệu phương pháp chứng minh qui nạp, đặc biệt chương trình 12 có ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Từ thực tiễn kinh nghiệm thân năm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn tơi lựa chọn đề tài: “Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức” với mong muốn giúp đỡ em học sinh có thêm cách nhìn bất đẳng thức, qua rèn luyện thao tác tư duy, bồi dưỡng lực tự học từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … tốn với trợ giúp thích hợp giúp em nắm bắt cách giải dạng tốn đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh THPT Mục đích đề tài - Hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức - Rèn luyện thao tác tư duy, bồi dưỡng lực tự học cho học sinh THPT Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phạm vi nội dung mơn Tốn chương trình THPT Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến học sinh, giáo viên thực trạng dạy học chủ đề trường phổ thông Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 3/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Thực nghiệm sư phạm: - Dạy thử nghiệm lớp 10 chương chứng minh bất đẳng thức lớp 11 sau học xong ý nghĩa hình học đạo hàm đầu năm lớp 12 học ứng dụng đạo hàm - Đánh giá tính khả thi hiệu hệ thống tập minh họa cho phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra thu hoạch học sinh - Đánh giá, thống kê kết học sinh thi học sinh giỏi theo năm học Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, phần nội dung đề tài gồm chương Chương I trình bày phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức Chương II khai thác tính chất hàm số y  ax  b chứng minh bất đẳng thức Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 4/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Chương I PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Trong khuôn khổ sáng kiến, đề cập đến ứng dụng nhỏ đạo hàm việc chứng minh bất đẳng thức, phương pháp tiếp tuyến Ý tưởng phương pháp tiếp tuyến sử dụng cơng thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số để tìm biểu thức trung gian đánh giá bất đẳng thức 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại toán sau: Cho hàm số f  t  liên tục có đạo hàm D Khi đó, tiếp tuyến điểm t0  D (giả sử có phương trình y  a  t  t0   b ) nằm (nằm dưới) đồ thị hàm số f lân cận D0  D t0 hiển nhiên ta có f  t   a  t  t0   b  hay f  t   a  t  t0   b  , t  D0 Từ tính chất ta thấy với t1 , t2 , , tn  D0 f  t1   f  t2    f  tn   a  t1  t2   tn  nt0   nb Như vậy, bất đẳng thức có dạng “tổng hàm” vế trái bất đẳng thức có giả thiết t1  t   tn  nt0 với đẳng thức xảy tất biến ti t0 ta thử chứng minh phương pháp tiếp tuyến, nghĩa ta tìm phương trình tiếp tuyến y  a  t  t0   b điểm t0 đồ thị hàm số y  f  t  , sau tiến hành kiểm chứng BĐT f  t   a  t  t0   b  hay f  t   a  t  t0   b  , t  D0 1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a, b, c, d  thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh a b c d     2 2  3a  3b  3c  3d Lời giải + Từ giả thiết suy a, b, c, d  0;4 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  d  + PTTT đồ thị hàm số f  t   t  1 điểm M 1;  y   t  3  3t 32  8   t  5 t  1 t   t  3   0, t   0; 4 (*) + Ta có  3t 32 32   3t  + Thay a, b, c, d vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm  Nhận xét: Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 5/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức - Khi xét hiệu f  t    a  t  t0   b  , ta thường tách nghiệm kép t  t0 (điểm dấu đẳng thức xảy ra) - Khi trình bày lời giải, ta khơng cần viết giai đoạn tìm tiếp tuyến mà đưa ln bất đẳng thức đặc trưng cho toán cần chứng minh Tương tự, ta u cầu học sinh lên trình bày Ví dụ Ví dụ Ví dụ Cho a, b, c, d  thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 3 3  a   b   c   d            a    b    c    d   27 Lời giải + Từ giả thiết suy a, b, c, d   0;4  Dấu đẳng thức xảy a  b  c  d   t    + PTTT đồ thị hàm số f  t     điểm M 1;  y  t  27 27  27  t2  t  2t  + Ta chứng minh  , t   0;4  (*)   t  1  t  6t    t   0;4    27 t 2 (luôn t  6t   t  t    2t   0, t   0;4  ) + Thay a, b, c, d vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm Ví dụ Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    2  a  b  c 10 Hướng dẫn + Xét hàm f  t   t  0;1 1 t2 18 1  + PTTT đồ thị hàm số f  t  điểm M  ;  y  t  25 50  10  + Ta chứng minh t 18  t  , t   0;1 1 t 25 50 Ví dụ Cho a, b, c, d  thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh  a3  b3  c3  d   a  b  c  d  Lời giải + Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 6/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức  6a  a    6b3  b    6c3  c    6d  d   5t  1  + PTTT đồ thị hàm số f  t   6t  t điểm M  ;  y   32  + Ta có  6t  t   5t  1 5t    4t  1  3t  1  0, t   0;1  f  t   , t   0;1 (*) 8 + Thay a, b, c, d vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm Qua Ví dụ 4, yêu cầu học sinh tương tự làm Ví dụ Ví dụ Cho a , b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a2  2a   b  c   b2  2b   c  a   c2  2c   a  b   Hướng dẫn + Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2  2a    a   b2  2b2    b   c2  2c    c  + PTTT đồ thị hàm số f  t   + Ta chứng minh Thật t2  2t    t  t2  2t    t   2  t2  2t    t   t4  5 điểm M 1;  y   3 t4 , t   0;3 t2  2t  2t  t       2 3t  6t  3  t  1  6  Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc xác định dấu biểu thức f  t    a  t  t0   b  D làm sau: - Dựa vào dấu bất đẳng thức cần chứng minh - Dự đoán cách thay giá trị t  D vào biểu thức f  t    a  t  t0   b  - Phân tích f  t    a  t  t0   b    t  t0  h  t  xác định dấu h  t  D Trong ví dụ ta sử dụng cách Tuy nhiên số tốn việc phân tích gặp khó khăn tốn chứa thức Do đó, ta gợi ý cho học sinh sử Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 7/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức dụng phương pháp hàm số, tận dụng ln kết mà em tính đạo hàm hàm f  t  lập phương trình tiếp tuyến ý đạo hàm hàm số f  t    a  t  t0   b  có nghiệm t  t0 Ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x y z    1 x 1 y 1 z Hướng dẫn + PTTT đồ thị hàm số f  x   + Ta chứng minh Xét hàm số g  x   x 1  điểm M  ; y  15x  1  12 1 x 3  x  15 x  1 , x   0;1  x 12 x  15 x  1  0;1  x 12 g '  x    x  Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh Bài tập tương tự Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a2  1  b2   c   82 a b c Hướng dẫn + Xét hàm số f  t   t   0;1 t2  82  40 82 27 82 t + PTTT đồ thị hàm số f  t  điểm M  ;  y   3 41 41   + Ta chứng minh t2  40 82 27 82  t , t   0;1 (sử dụng bảng biến thiên) t 41 41 Các ví dụ cần có giả thiết a1  a2   an  n , để sử dụng phương pháp tiếp tuyến Tuy nhiên tốn, có đồng bậc tử mẫu số hạng đồng bậc hai vế bất đẳng thức cần chứng minh, ta nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến nhờ việc chuẩn hóa tốn Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Cho a, b, c  Chứng minh Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 8/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức 2  2a  b  c    2b  c  a    2c  a  b  2 2a   b  c  2b   c  a  2c   a  b   Lời giải + Do số hạng có tử mẫu biểu thức đẳng cấp nên không tính tổng quát ta giả sử a  b  c  Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh a  6a  b  6b  c  6c     24 a  a  b  2b  c  2c  + PTTT đồ thị hàm số f  t   + Ta chứng minh t  6t  điểm M 1;8  y  4t  t  2t  t  6t   4t  4, t   0;3 t  2t   a  b c   Ví dụ Cho a, b, c  Chứng minh  a  b  c      b  c 2  c  a 2  a  b 2    Lời giải + Do số hạng có tử mẫu biểu thức đẳng cấp nên khơng tính tổng quát ta giả sử a  b  c  Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng a 3  a   b 3  b   c 3  c   + PTTT đồ thị hàm số f  t   + Ta chứng minh t 3  t  2t   1 điểm M  1;  y   4 t 3  t   2t   t  1   2t   0, t  0;3 (luôn đúng) , t   0;3    4 3  t  Ví dụ Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1       4    a b c a bc ab bc ca Lời giải + Vì vai trị a, b, c đồng bậc hai vế nên không tính tổng quát ta giả  1 sử a  b  c  Mặt khác, a, b, c ba cạnh tam giác nên a, b, c   0;  Bất đẳng thức cần  2 1  1  1         chứng minh trở thành  1 a a  1 b b  1 c c  Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 9/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức + PTTT đồ thị hàm số f  t   1   điểm M  ;3  y  18t  1 t t 3   1  1 + Ta có     18t  3   3t  1  2t  1  0, t   0;  (*) 1 t t   2 + Thay a, b, c vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài tập tương tự: 1) Cho a, b, c  Chứng minh a b  c b  c  a  b c  a c  a b 2) Cho a, b, c  Chứng minh  c a  b a  b 2 c   b  c  a    c  a  b    a  b  c  2 b  c   a  c  a   b2  a  b   c Hướng dẫn: Nếu đem số hạng vế trái bất đẳng thức trừ ta có số hạng bất đẳng thức 3) Cho a, b, c  Chứng minh a b c    bc ca ab Hướng dẫn Bất đẳng thức có nhiều có cách chứng minh ngắn gọn Tuy nhiên chuyên đề hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tiếp tuyến Khơng tính tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp a  b  c  Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng a b c    Ta chứng minh 3 a 3b 3c t 3t   , t   0;3 3t Việc sử dụng tính chất logarit log a  bc   log a b  log a c ( a, b, c  0, a  ), ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh toán bất đẳng thức với giả thiết a1.a2 an   n nhờ sử dụng ẩn phụ Ví dụ 10 Cho a, b, c  thỏa mãn abc  Chứng minh a2  b2  c2     a  b  c 2 Lời giải Ta có abc   ln a  ln b  ln c  Đặt x  ln a, y  ln b, z  ln c Khi ta có tốn Cho số thực x , y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 10/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức + Ta có   ab   a  b2  + Tương tự, ta có 1 2      2 2  ab  bc  ca   a  b    b  c    c  a        + Để vận dụng giả thiết a  b4  c  , ta đặt x  a  b2 , y  b2  c , z  c  a Khi  x, y, z   2 2 2 2 4 4 4  x  y  z   a  b    b  c    c  a    a  b    b  c    c  a   12  x, y, z   0;12  + Ta chứng minh 1 1    8 x 8 y 8 z + Dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  z  + PTTT đồ thị hàm số f  t   + Ta có 1  1 điểm M  4;  y  t 144 36 8 t  6    t   , t   0;12  (*)  t  144 36  + Thay x, y, z t (*) cộng bất đẳng thức theo vế ta có đpcm Tuy nhiên tốn sau (nhìn tương tự Ví dụ 14) phương pháp tiếp tuyến khơng giải  Ví dụ 17 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh 1    2a 2b 2c Nhận xét: Ta thấy, phương pháp tiếp tuyến trường hợp riêng toán sau: Cho số thực a1 , a2 , , an  D thỏa mãn điều kiện g  a1   g  a2    g  an   ng   với   D Chứng minh f  a1   f  a2    f  an   nf   (  nf   ) Để giải toán ta thường nghĩ đến phương án biểu diễn f   qua g   , nên ta xét hàm số h  t   f  t   m.g  t  với t  D Ở đây, m số xác định cho  điểm cực tiểu (cực đại) hàm số đồng thời h   giá trị nhỏ (lớn nhất) hàm số D Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 16/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Vì  điểm cực tiểu (cực đại) hàm số nên h     m  f '   g '   Vì h   giá trị nhỏ (lớn nhất) hàm số D nên h  t   f  t   m.g  t   h     h    , t  D (*) Khi thay a1 , a2 , , an vào t (*) cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ta giải toán theo phương pháp f ' 1 1 Chọn m   g ' 1 2t + Xét hàm g  t   t , f  t   + Xét hàm số h  t   1  t 0; 2t   + Từ bảng biến thiên ta thấy h  t   , t  0; (*)   + Thay a, b, c vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Yêu cầu học sinh thử giải lại ví dụ theo phương pháp Không bất đẳng thức đại số, mà số bất đẳng thức lượng giác, phương pháp tiếp tuyến cịn có nhiều áp dụng Ta xét ví dụ sau:  Ví dụ 18 Chứng minh 1) sin A  sin B  sin C  3 , ABC 2) cos A  cos B  cos C  , ABC 3) tan A  tan B  tan C  3, ABC nhọn Lời giải 1) Nhận xét: Đây bất đẳng thức tam giác Học sinh hồn tồn giải theo kiến thức lớp 11 nhờ sử dụng bất đẳng thức sin x  sin y x y  sin , x, y   0;   2 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 17/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Khi đó, ta có  A B  2sin  sin A  sin B    sin C  sin   2sin 3  Vậy sin A  sin B  sin C  C   4sin A B C    4sin  3 , ABC Tuy nhiên, phương pháp học sinh cần nhớ bất đẳng phụ Do đó, phương pháp tiếp tuyến ta thấy tương đối dễ vận dụng học sinh:   1   + PTTT đồ thị hàm số f  t   sin t , t   0;   điểm M  ;  y   t    2  3  1   + Xét hàm số g  t   sin t   t     0;   2 3 1     Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;    sin t   t    , t   0;   (*) 2  3 + Thay A, B, C t (*) cộng BĐT theo vế ta có đpcm 2) 3     + PTTT đồ thị hàm số f  t   cos t , t   0;   M  ;  y   t     3  2 + Xét hàm số g  t   cos t  3    t     0;    3   Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;   3  cos t   3    t    , t   0;   (*)  3 + Thay A, B, C t (*) cộng BĐT theo vế ta có đpcm 3) Cách       + PTTT đồ thị hàm số f  t   tan t , t   0;  M  ;  y   t    3  2 3       + Xét hàm số g  t   tan t   t     0;  3   2         Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;   tan t   t    3, t   0;  (*) 3  2  3  2 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 18/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức + Thay A, B, C t (*) cộng BĐT theo vế ta có đpcm Cách Áp dụng đẳng thức tam giác ta có tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C , ABC nhọn Áp dụng bất đẳng thức TBC-TBN tan A  tan B  tan C  3 tan A tan B tan C  tan A tan B tan C  3  đpcm  Ví dụ 19 Chứng minh sin A B C sin sin  , ABC 2 Lời giải Cách + Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng ln sin A B C  ln sin  ln sin  3ln 2 2 t 1  + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f  t   ln sin , t   0;   điểm M  ;ln  2 3 y 3    t    ln  3 t 3   + Xét hàm g  t   ln sin   t    ln  0;   2  3   + Từ bảng biến thiên  g  t   g    0, t   0;   (đpcm) 3 Cách + Áp dụng đẳng thức tam giác cos A  cos B  cos C   4sin A B C sin sin 2 + Theo chứng minh Ví dụ 18, ta có cos A  cos B  cos C  Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A A B C  sin sin sin  2 2 Page 19/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức 1.3 Bài tập tự luyện 2 1 2a  b  c   1) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh    a b c 2) Cho a, b, c   thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a  b4  c   a  b  c  3) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh   a  b  c    a2  b2  c2  4) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh 1    a bc b ca c ab 5) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca 6) Cho a, b, c, d  a  b  c  d  Chứng minh 1  a   1  b   1  c   1  d   7) Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh 10  a  b3  c3    a5  b5  c5   8) Cho a, b, c  Chứng minh 9) Cho a, b, c  Chứng minh 10) Cho a, b, c  Chứng minh 11) Cho a, b, c  Chứng minh 2  b  c  3a    c  a  3b    a  b  3c  2  b  c   2a  c  a   2b2  a  b   2c a3 a3   b  c   b3 b3   a  c  a b c    bc ac a b   c3 c3   a  b    a  b  c bc ca ab b c   a    4    a b c bc ca a b Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 20/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Chương II KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = AX + B TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Kiến thức chuẩn bị Cho hàm số y  f  x   ax  b Nếu xét đoạn  ;   đồ thị đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm A  ; f    B   ; f     Do đó,  f    f  x   0, x   ;      f      f    f  x   0, x   ;      f     f  x    f   ; f     ;  max f  x   max  f   ; f     ;  2.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a, b, c  0;2 Chứng minh  a  b  c    ab  bc  ca   Lời giải + Ycbt  f  a     b  c  a   b  c   bc   0, a  0; 2 , b, c   0; 2  f     , b, c  0;2   f    + Mà f       b   c   ; f    bc  , b, c   0; 2 Do đó, f  a   0, a, b, c  0;2 (đpcm) Ví dụ Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ab  bc  ca  2abc  27 Lời giải Bài toán xuất nhiều tài liệu giải theo phương pháp ứng dụng đạo hàm Vì vai trị bình đẳng ngang biến a, b, c nên việc chọn phần tử nhỏ (lớn nhất) làm cho giả thiết toán sáng tỏ thêm hay cho thêm giả Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 21/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức thiết Tuy nhiên, việc đánh giá để qui biến không đơn giản Ta xem lại cách giải sau: Cách + Vì vai trị a, b, c bình đẳng nên ta ln giả sử a  a, b, c   a  + Ta có VT   ab  ca    bc  2abc   a  b  c   bc 1  a  bc  a 1  a     1  2a  (vì  2a  )   1 a   a 1  a     1  2a    1 a   1 + Xét hàm f  a   a 1  a     1  2a  , với a  0;  Lập bảng biến thiên, tìm GTLN    3  1 hàm f  a  0;  , ta có điều phải chứng minh  3 Cách + Ycbt  f  a    b  c  2bc  a  bc   0, a   0;1 , b, c  0, a  b  c  27   f    bc  27 , b, c  0, b  c    f 1  b  c  bc   0, b, c  0, b  c   27 bc 7 + b, c  0, b  c  , f    bc     0   27   27 27 + b, c  0, b  c   b  c   f      27 Ta có điều phải chứng minh Trong cách giải trên, quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy qui hàm số bậc cao 1, với biến a , tham số b, c Khi đó, tốn có hai tham số, mà việc khai thác điều kiện cho hai tham số trường hợp a  , a  học sinh phát Do đó, ta hướng dẫn học sinh sử dụng biến đổi đại số để đưa hàm số chứa tham số Cách sau đây: Cách + Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 22/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức a  b  c   bc 1  2a   7   a 1  a   bc 1  2a   0 27 27 2  b  c  1  a   với  u  bc   + Ycbt  f  u   a 1  a   u 1  a   ,   27   a  0;1 f   f   0   1  a 2  , a   0;1  0      a  1  a   7 + Ta có f    a 1  a       , a   0;1   27   27 27  1  a 2 f      , a   0;1   Ví dụ Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a  b  c  abc  Lời giải Cách + Khơng tính tổng qt, ta giả sử a  a, b, c   a  + Khi đó, a  b  c  abc  a   b  c   bc  a   bc  a  3  a      a   (vì a   )   2 2  a  3  a   3 a    2  a    3 a  + Ta tìm GTNN hàm số f  a   a    a       a  0;1   2 Cách Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng 2 a  b  c  abc   a   b  c   2bc  abc   a    a   bc  a     2 bc + Ycbt  f  u    a   u  2a  6a   với  u  bc       a  , a   0;3   Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 23/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức f   f  0  , a  0;3 2 1  3  a    4  3 1 2  1 + Mà f     a     ; f    a     a  1  a    , a  0;3 2 4   2  Do đó, f  u   0, u   0;   a   điều phải chứng minh   Ví dụ Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a  b3  c3  6abc  Lời giải Cách + Vì vai trị a, b, c bình đẳng nên ta ln giả sử a  a, b, c   a  3 + Khi đó, a3  b3  c3  6abc  a3   b  c   3bc  b  c   6abc  a  1  a   3bc  3a  1 bc  a  1  a      3a  1 (vì 3a   )   1 a   a  1  a      3a  1   3  1 1 a  + Xét hàm số f  a   a  1  a      3a  1 , với a  0;  Tìm GTNN hàm    3 3  1 f  a  0;  ta có điều phải chứng minh  3 Cách + Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng  a  b   3ab  a  b   c  6abc   1  c   3ab 1  c   c3  6abc   ab  9c  3  3c  3c   4 + Ycbt  f  u    9c  3 u  3c  3c   a  b  1  c   0, với  u  ab   , c  0;1   4    1  c 2  1  + Ta có f     c    ; f    c  3c  3c  1  , c  0;1  đpcm   2    Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 24/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho a, b, c, d  0;1 Chứng minh 1  a 1  b 1  c 1  d   a  b  c  d  Lời giải + Ycbt  f  a   1  1  b 1  c 1  d   a  1  b 1  c 1  d   b  c  d   0, a   0;1 , b, c, d  0;1  f     , b, c, d   0;1  f 1  + Mà f 1  b  c  d  0, b, c, d   0;1 + Ta cần chứng minh f    1  b 1  c 1  d   b  c  d   0, b, c, d  0;1 + Ta xét toán: Chứng minh 1  b 1  c 1  d   b  c  d   0, b, c, d   0;1 (1) Ta thấy toán (1) tương tự toán ban đầu, nhiên giảm bớt biến Do đó, tiếp tục cách làm ta giải triệt để toán ban đầu Ycbt (1)  g  b   1  1  c 1  d   b  1  c 1  d   c  d   0, b  0;1 , c, d  0;1  g     , c, d   0;1  g 1  + Mà g 1  c  d  0; g    1  c 1  d   c  d   cd   g  b   0b, c, d  0;1 Ta có điều phải chứng minh Một số tốn, khơng phải lúc có sẵn dạng hàm số y  ax  b Tuy nhiên, số trường hợp, nhờ biến đổi, đánh giá bất đẳng thức đại số thích hợp ta áp dụng tính chất hàm số y  ax  b chứng minh Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Chứng minh a b c    1  a 1  b 1  c   1, a, b, c  0;1 b  c 1 c  a 1 a  b 1 Lời giải + Khơng tính tổng qt ta giả sử a  max a , b, c Khi VT  a bc  1  a 1  b 1  c  b  c 1 + Ta chứng minh f  a   a bc  1  a 1  b 1  c    0, a  0;1 , b, c  0;1 b  c 1 + b, c  0;1 , ta có Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 25/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức f 0  bc  bc   b  c   b  c 1 bc  b  c    b  c   bc b  c 1 b  bc   c2    1  bc   0 b  c 1 f 1  Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho a, b, c  0;1 Chứng minh a  b2  c  a 2b  b 2c  c a  Lời giải + Biến đổi bất đẳng thức dạng  b  1 a  c a  b2 c   b  c  + Vì a   0;1 nên a  a , suy  b  1 a  c a  b2c   b  c   b  1 a  c a  b2 c   b  c + Ta chứng minh  b  1 a  c a  b2c   b2  c  0, a, b, c  0;1  f  u    b  c  1 u  b2c   b  c  0, với  u  a  1, b, c  0;1  f     , b, c  0;1  f 1  + Ta có f    b 2c   b  c  1  c   c  1  b    b, c  0;1 f 1  b2c   b  b2   b, c  0;1 Vậy f  u   0, u   0;1 (đpcm) Ví dụ Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh x y  y z  z x  27 Lời giải + Khơng tính tổng qt ta giả sử x   x; y; z   x  1  Khi đó, x y  y z  z x  xy  y z  z x   y  z  x  y z 3  1   1 + Ycbt  f  x    y  z  x  y z  , x  0;  , y, z  0, x  y  z  27 3   3   f  f  , y, z  0, y  z  27 1 , y, z  0, y  z      27 0  Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 26/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức + Ta có f    y z  1  y  2z  4 , y, z  0, y  z  y y.2 z      y  z  2   27 27 1 11  f     y  z2   y2z  3 3  Vì x  2 y  z   z   y nên 3 1 4 1  f     y3  y  y    y  y2  y     27  27 27 3  Vậy ta có điều phải chứng minh Ta biết, bất đẳng thức xuất nhiều tốn (có thể trực tiếp gián tiếp), số trường hợp định việc khai thác tính chất hàm số y  ax  b để chứng minh bất đẳng thức hiệu việc giải lớp tốn Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1) Tìm m để hàm số y   4m  5 cos x   2m  3 x  m2  3m  nghịch biến  2) Tìm m để hàm số y  x  m sin x đồng biến  Lời giải 1) + Ycbt  y '    m  sin x   2m    0, x    g  u     4m  u   2m  3  0, x   1;1  g  1  + Do đồ thị hàm số y  g  u  , u   1;1 đoạn thẳng nên ycbt    g 1  2) Học sinh trình bày tương tự Ví dụ 10 Tìm x để bất phương trình x  x  sin y  cos y    với y   Lời giải + Đặt u  sin y  cos y  u    2;  + Ycbt  Tìm x để f  u   x.u  x   0, u    2;        f  0   x  2 x      x  2 x   f 0  Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 27/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 11 Chứng minh với m  2 x   2m  1 x  3m   , với x   4;1 Lời giải + Ycbt  x   m  1 x  3m   0, x   4;1 , m   ; 2   f  m    2 x  3 m  x  x   0, m   ; 2 , x   4;1 (1) + Vì f  m  hàm bậc với hệ số góc 2 x   0, x   4;1 nên 1  f  2   0, x   4;1  x  3x   0, x   4;1 (luôn đúng)  Điều phải chứng minh 2.3 Bài tập tự luyện 1) Cho a, b, c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a  b  c  2abc  2) Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh  xy  yz  xz    xyz 3) Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh  x  y  z    x3  y  z   4) Cho  x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x  y  z  14 5) Cho  x, y, z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x  y  z  6) Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh  a3  b3  c3   15abc  7) Chứng minh với m  x   3m  1 x  m   , với x  Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 28/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau đây: Sáng kiến trình bày hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức thơng qua khai thác hai tính chất hàm số Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập giúp học sinh hiểu rõ chất, phương pháp chứng minh bất đẳng thức Từ đó, học sinh tự xây dựng tốn tương tự, tốn Chính điều kích thích say mê, tìm tịi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Sáng kiến kết tinh kinh nghiệm kiểm chứng qua hoạt động giảng dạy lớp ôn bồi dưỡng HSG nhiều năm đạt kết đáng khích lệ Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, bạn đồng nghiệp Tuy nhiên chắn nội dung sáng kiến không tránh khỏi khiếm khuyết định Rất mong nhận góp ý, phê bình thầy, bạn bè đồng nghiệp Xác nhận BGH Tổ trưởng chun mơn Ninh Bình, ngày tháng năm 2014 NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN Tống Thị Nguyệt Nguyễn Tử Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chun tốn Giải tích 12, NXBGD [2] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chun tốn Bài tập Giải tích 12, NXBGD Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 29/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức [3] Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, NXBGD 1998 [4] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức [5] Trần Phương, Tuyển chọn chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn Hàm số, NXBĐHQGHN [6] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức [7] Tạp chí THTT, số 408, tháng 6/2011 [8] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXBGD 1998 [9] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XV, NXBGD 2009 [10] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVI, NXBGD 2010 [11] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVII, NXBGD 2011 [12] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVIII, NXBGD 2012 [13] Tài liệu mạng Internet qua vài trang web sau http://mathforum.org/dr.math/ www.mathlinks.ro/ http://diendantoanhoc.net/ www.toanthpt.net/ www.mathvn.com/ http://mathworld.wolfram.com/ http://violet.vn/ Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 30/30 ... Page 20/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Chương II KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = AX + B TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Kiến thức chuẩn bị Cho hàm số y  f ... Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau đây: Sáng kiến trình bày hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức thơng qua khai thác hai tính chất hàm số. .. tuyến chứng minh bất đẳng thức Chương II khai thác tính chất hàm số y  ax  b chứng minh bất đẳng thức Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 4/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng