SỬ DỤNG ĐẠO HÀM - KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

KHAI THÁC KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LÕM ĐỂ ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC Cơ sở lí thuyết a Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x ) liên tục [a; b ] có đồ thị (C) Khi ta có hai điểm A(a; f (a )), B(b; f (b)) nằm đồ thị (C) i) Đồ thị (C) gọi lồi (a; b) tiếp tuyến điểm nằm cung AB ln nằm phía đồ thị (C) ii) Đồ thị (C) gọi lõm (a; b) tiếp tuyến điểm nằm cung AB nằm phía đồ thị (C) y _ y _ a _ x _ x _ _ a b _ b _ Đồ thị hàm số lồi Đồ thị hàm lõm b Dấu hiệu đồ thị lồi Định lí 1: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm cấp hai liên tục (a; b ) * Nếu f ''(x ) > "x Ỵ (a; b ) đồ thị hàm số lõm (a; b) * Nếu f ''(x ) < "x Ỵ (a; b ) đồ thị hàm số lồi (a; b ) c Ứng dụng Từ hình ảnh trực quan định nghĩa cho ta phương pháp giải toán BĐT cực trị sau : Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa Định lí 2: (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số y = f (x ) liên tục có đạo hàm đến cấp hai [a;b] i) Nếu f ''(x ) ³ "x Ỵ [a; b ] f (x ) ³ f '(x )(x - x ) + f (x ) "x Î [a; b ] ii) Nếu f ''(x ) £ "x Ỵ [a; b ] f (x ) £ f '(x )(x - x ) + f (x ) "x Ỵ [a; b ] Đẳng thức hai Bất đẳng thức xảy Û x = x Ta chứng minh định lí sau i) Xét hàm số g(x ) = f (x ) - f '(x )(x - x ) - f (x ) , x Ỵ [a; b ] Ta có : g '(x ) = f '(x ) - f '(x ) Þ g ''(x ) = f ''(x ) ³ "x ẻ [a; b ] ị g '(x ) = Û x = x g '(x ) đổi dấu từ - sang + x qua x nên ta có : g(x ) ³ g(x ) = "x Ỵ [a; b ] ii) Chứng minh tương tự Định lí 3: (Bất đẳng thức cát tuyến) Cho hàm số y = f (x ) liên tục có đạo hàm đến cấp hai [a;b] i) Nếu f ''(x ) ³ "x Ỵ [a; b ] f (x ) ³ f (a ) - f (b) (x - a ) + f (a ) "x Ỵ [a; b ] a -b ii) Nếu f ''(x ) £ "x Î [a; b ] f (x ) £ f (a ) - f (b) (x - a ) + f (a ) "x Ỵ [a; b ] a -b Đẳng thức BĐT có x = a x = b Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a a +1 Giải: Xét hàm số f (x ) = Ta có: f '(x ) = (x + 1) x x +1 + b b +1 c + c +1 £ 10 với x Î (0;1) Þ f ''(x ) = - 3x (x + 1) < "x Ỵ (0;1) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hịa Nên ta có: 1 f (a ) £ f '( )(a - ) + f ( ) 3 1 f (b ) £ f '( )(b - ) + f ( ) 3 1 f (c) £ f '( )(c - ) + f ( ) 3 ỉ1ư Suy : f (a ) + f (b) + f (c) Ê f ' ỗ ÷ (a + b + c - 1) + f ( ) = è3ø 10 Đẳng thức xảy Û a = b = c = Ví dụ : Cho số thực dương a, b, c thỏa : a + b2 + c2 = Chứng minh 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8b ³ Giải : Xét hàm số : f (x ) = f '(x ) = - (1 + 8x )3 1 + 8a , < a £ Ta có : Þ f "(x ) = 48 (1 + 8x )5 >0 "x Ỵ (- ; ] Nên ta có : f (a ) ³ f '(1)(a - 1) + f (1) f (b ) ³ f '(1)(b - 1) + f (1) f (c) ³ f '(1)(c - 1) + f (1) Þ f (a ) + f (b ) + f (c ) ³ f '(1)(a + b + c - 3) + f (1) (*) Mặt khác : (a + b + c)2 £ 3(a + b + c2 ) = Þ -3 £ a + b + c £ Þ a + b + c - £ f '(1) = - < nên từ (*) 27 Ta suy : f (a ) + f (b) + f (c) ³ f (1) = Nhận xét : Dấu hiệu giúp nhận phương pháp BĐT cần chứng minh có dạng f (a1 ) + f (a2 ) + + f (an ) ³ k f (a1 ) + f (a2 ) + + f (an ) £ k , (i = 1, , n ) số thực cho trước Trong số trường hợp BĐT chưa có dạng trên, ta phải thực Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa số phép biến đổi đưa dạng trên.Chúng ta cần ý số dấu hiệu sau · Nếu BĐT có dạng f (a1 ).f (a2 ) f (an ) ³ k ta lấy loganepe hai vế · Nếu BĐT cần chứng minh đồng bậc ta chuẩn hóa Tùy thuộc vào tốn mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp Ví dụ : Cho số thực dương a, b, c thỏa : a + b + c = Tìm GTLN biểu thức : b c a ổ ổ ổ P = ỗ a + + a ữ ỗb + + b2 ữ ỗ c + + c ÷ è ø è ø è ø Giải : ỉ ỉ è ø è ø Ta có : ln P = b ln(a + + a ) + c ln ỗb + + b2 ữ + a ln ỗ c + + c ÷ ỉ è ø Xét hàm số : f (x ) = ln ỗ x + + x ÷ , < x < Ta có : f '(x ) = x +1 Þ f ''(x ) = -x (1 + x ) Chứng minh : 1+ 1 (a + b + c )( + + ) ³ a + b + c + a + b + c a b c 3 (Trích đề thi Albania 2002) Lời giải Vì BĐT cho nên ta cần chứng minh Bđt với số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b2 + c2 = , bđt cần chứng minh trở thành: f (a ) + f (b) + f (c) ³ đó: f (x ) = 1+ - x với < x < Dễ thấy hàm số f có f ''(x ) > "x Ỵ (0;1) 3 x Nên theo BĐT tiếp tuyến ta có : ỉ f (a ) + f (b ) + f (c ) f ' ỗ ÷ (a + b + c - 3) + f ỗ ữ 3ứ ố ổ ỗ ữ ỗ ữ 3ứ ố ỡ ổ ùf ' ỗ ữ i = 1, 2, , n Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa n å i =1 £n Ta cần chứng minh : n Õ + ai2 i =1 Xét hàm số f (x ) = x 1+x £ (1) n , x > có f '(x ) = Þ f (x ) £ f '(1)(x - 1) + f (1) = (x - 1) + 2 (1 + x ) = 2 Þ f ''(x ) < "x > (x + 1) n n ÞÕ i =1 + ai2 n = Õ f (ai ) £ i =1 n Õ (ai + 1) £ 8n i =1 ổ n ỗ (ai + 1) ữ ữ ỗ i =1 2n = ỗ ữ Ê n n ỗ n ữ 8 ỗ ữ ố ứ 2n Đẳng thức xảy Û a1 = a2 = = an = Û tan x1 = tan x = = tan xn = p Û x1 = x = = xn = Nhận xét : Qua ví dụ trên, ta có kết tổng quát sau Định lí : Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm cấp hai éa;b ù n số a1, a2, , an ë û nằm đoạn éa;b ù thỏa mãn : ë û n å i =1 · Nếu f ''(x ) > "x Ỵ éa;b ù ta có : ë û · Nếu f ''(x ) < "x Ỵ éa;b ù ta có : ë û = k , na £ k £ nb n k å f (ai ) ³ nf (n ) i =1 n k å f (ai ) £ n f (n ) i =1 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hịa Ví dụ Cho tam giác ABC có góc khơng nhỏ tan 2p Chứng minh : A B C + tan + tan ³ - 2 Lời giải Khơng tính tổng qt, ta giả sử A ³ 2p p > B ³C ÞC £ ỉ pư ỉ pư è è Hàm số f (x ) = tan x , x Ỵ ç 0; ÷ có f ''(x ) > "x ẻ ỗ 0; ữ p dng BT tip tuyn, ta 3 ø ø có A p A p p f ( ) ³ f '( )( - ) + f ( ) 3 B p B p p f ( ) ³ f '( )( - ) + f ( ) 12 12 12 C p C p p f ( ) ³ f '( )( - ) + f ( ) 12 12 12 ổAử ị fỗ ữ+ ố2ứ ổB fỗ ữ+ ố2ứ ổC ộ p p ù ỉ A 2p p ỉA + B +C p f ỗ ữ f '( ) - f '( )ỳ ỗ - ữ ữ + f '( ) ỗ 12 ỷ ố ứ 12 è 2ø è2ø ë ỉp + f ỗ ữ + 2f ố3ứ ổp ổp A p Do f ' ỗ ữ - f ' ç ÷ > 0; - ³ è3ø è 12 ø ỉ ỉB ỉC ỉp f ỗ ữ + f ỗ ữ + f ç ÷ ³ f ç ÷ + 2f è2ø è2ø è2ø è3ø Đẳng thức xảy Û A = æp ỗ ữ ố 12 ứ A + B +C p = nên ta có : 2 ỉp ç ÷ = - đpcm è 12 ø 2p p ;B = C = hoán vị Ví dụ Cho số thực khơng âm a,b, c thỏa max {a, b, c} ³ a + b + c = Tìm GTNN biểu thức : P = + 3a + + 3b2 + + 3c Lời giải Khơng tính tổng qt, ta giả sử a = max {a, b, c} Þ a ³ , c £ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa Xét hàm số f (x ) = + 3x , x Ỵ ( 0;1) có f '(x ) = Þ f ''(x ) = - 2x (1 + 3x ) 2x (1 + 3x )2 > "x Ỵ (0;1) Áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có : 3 1 1 1 f (a ) ³ f '( )(a - ) + f ( ) ; f (b) ³ f '( )(b - ) + f ( ) ; f (c) ³ f '( )(c - ) + f ( ) 4 8 8 8 é ù 3 172 + 23 67 Þ f (a ) + f (b) + f (c) ³ ê f '( ) - f '( )ú (x - ) + f ( ) + f ( ) ³ f ( ) + f ( ) = û 4 8 ë 4 Đẳng thức xảy Û a = ;b = c = Vậy P = hoán vị 172 + 67 Nhận xét : Trong số trường hợp đồ thị hàm số y = f (x ) có khoảng lồi, lõm éa; b ù ta có đánh giá : f (x ) ³ f '(x )(x - x ) + f (x ) ,x Ỵ (a; b) Chẳng ë û hạn bạn xem đồ thị minh họa y _ a x _ O _ x0 b Ví dụ 10: Cho a, b, c Ỵ ¡ a + b + c = Chứng minh : a + b + c ³ 2(a + b + c ) Lời giải: Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa BĐT cho Û (a - 2a ) + (b - 2b ) + (c - 2c ) ³ Û f (a ) + f (b) + f (c) ³ Trong f (x ) = x - 2x Ta thấy f ''(x ) = 12x - 12x nên đồ thị hàm số f có khoảng lồi khoảng lõm ta khơng thể áp dụng BĐT tiếp tuyến Tuy nhiên ta đánh giá f (x ) qua tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = (vì đẳng thức xảy a = b = c = ) Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x ) điểm có hồnh độ x = là: y = 8x - 16 f (x ) - (8x - 16) = x - 2x - 8x + 16 = (x - 2)2 (x - 2x + 4) ³ "x ẻ Ă ị f (a ) + f (b ) + f (c ) ³ 8(a + b + c) - 48 = (đpcm) Chú ý Vì y = 8x - 16 tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x ) = x - 2x điểm có k hồnh độ x = nên ta có phân tích: f ( x ) - ( 8x - 16 ) = (x - ) g (x ) với k ³ g (2) ¹ Ví dụ 11: Cho a, b, c ³ a a2 + + a + b + c = Chứng minh rằng: b b2 + + c c2 + £ ( Vơ địch Tốn Ba Lan 1996) 10 Lời giải Ta thấy đẳng thức xảy a = b = c = f (a ) + f (b) + f (c) £ Bđt cho có dạng: x f (x ) = với x Ỵ [- ; ] 10 x2 + Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x ) điểm có hồnh độ x = 36x + : y = 50 (3x - 1)2 (4x + 3) 36x + 36x + x Ta có: - f (x ) = = ³ "x Ỵ [ - ; ] 50 50 x2 + 50(x + 1) Vậy : a a2 + + b b2 + + c c2 + £ 36(a + b + c ) + 9 = đpcm 50 10 Ví dụ 12 : Cho số thực a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh : Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 10 a b c + + ³ + bc + ac + ab 10 Lời giải Ta có : b +c 1-a a +c 1-b b +a 1-c bc £ ( ) =( ) ; ca £ ( ) =( ) ; ab £ ( ) =( ) nên 2 2 2 a b c 4a 4b 4c + + ³ + + = f (a ) + f (b ) + f (c ) + bc + ac + ab a - 2a + b - 2b + c - 2c + (Nhận xét : Đẳng thức xảy a = b = c = số f (x ) = x - 2x + Mặt khác: Þ 4x điểm có hồnh độ x = 4x x - 2x + 4a a - 2a + + - tiếp tuyến đồ thị hàm 99x - : y = ) 100 99x - (3x - 1)2 (15 - 11x ) = ³ "x Î (0;1) 100 100(x - 2x + 5) 4b b - 2b + + 4c c - 2c + ³ 99(a + b + c ) - 9 = đpcm 100 10 Ví dụ 13 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : æ 1 1 1 + + + 4ỗ + + ÷ a b c a +b +c èa + b b + c c + a ø Lời giải Khơng làm tính tổng qt ta giả sử a + b + c = , Bđt cho trở thành 5a - a - a2 + 5a - b - b2 + 5c - c - c2 £ Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác a + b + c = suy a, b, c ẻ (0; ) Ta cú : ị 5a - a - a2 - (18a - 3) = (3a - 1)2 (2a - 1) a - a2 £ "a Ỵ (0; ) 5a - 1 £ 18a - "a Ỵ (0; ) a - a2 Ta có hai Bđt tương tự Cộng Bđt lại với ta có: Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 11 5a - a -a + 5a - b -b 5c - + c -c £ 18(a + b + c) - = (đpcm) Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 14 Cho a, b, c > Chứng minh : (b + c - a )2 + (b + c)2 + a (c + a - b)2 (c + a )2 + b + (a + b - c)2 (a + b)2 + c ³ (Olympic Toán Nhật Bản 1997) Lời giải Vì Bđt cần chứng minh nên ta cần chứng minh Bđt với số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Khi Bđt cho trở thành: (1 - 2a )2 (1 - a )2 + a + (1 - 2b)2 (1 - b)2 + b2 Û 4a - 4a + Û 2a - 2a + 2a - 2a + + (1 - c)2 + c + 4b2 - 4b + + 2b - 2b + 2b - 2b + Û f (a ) + f (b) + f (c) £ Trong f (x ) = (1 - 2c)2 ³ + 4c - 4c + + ³ £ 27 2c - 2c + 2c - 2c + 27 2x - 2x + với x Ỵ (0;1) Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x ) điểm có hồnh độ x = 54x + 27 : y = 25 2(54x - 27x + 1) 2(3x - 1)2 (6x + 1) 54x + 27 Ta có: - f (x ) = = ³ "x Î (0;1) 25 25(2x - 2x + 1) 25(2x - 2x + 1) Þ f (a ) + f (b) + f (c) £ 54(a + b + c ) + 81 27 = 25 đpcm Trong ví dụ ta xét BĐT đối xứng ba biến đẳng thức xảy biến Phần ta xét số BĐT không đối xứng BĐT đối xứng đẳng thức xảy có hai biến không Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hịa 12 Ví dụ 15: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: 10(a + b + c ) - 9(a + b + c ) ³ (Trung Quốc 2005) Lời giải: Giả sử a ³ b ³ c Xét hàm số f (x ) = 10x - 9x , x Ỵ (0;1) có f '(x ) = 30x - 45x Þ f ''(x ) = 60x - 180x Þ f ''(x ) = Û x = x = đồng thời f ''(x ) > "x Ỵ (0; x ) f ''(x ) < "x Ỵ (x ;1) · Nếu a < x Áp dụng BĐT tiếp tuyến ,ta có: ỉ1ưỉ 1ử f (a ) f ' ỗ ữ ỗ a - ữ + 3ứ ố3ứố ổ1ử fỗ ữ ố3ứ ổ1ửổ 1ử f (b) f ' ỗ ữ ỗb - ữ + 3ứ ố3ứố ổ1ử fỗ ữ ố3ứ ổ1ửổ 1ử f (c) f ' ỗ ữ ỗ c - ữ + 3ứ ố3ứố ổ1ử fỗ ữ ố3ứ ổ1ử Þ f (a ) + f (b) + f (c) f ' ỗ ữ a + b + c - + f ố3ứ ( ) ổ1ử ỗ ÷ = è3ø · Nếu a > x Áp dụng BĐT tiếp tuyến cát tuyến ta có: f (a ) ³ f (1) - f (x ) - x0 (a - 1) + f (1) > f (1) = ( )( ) () ( )( ) () f (b) ³ f ' b - + f = f (c) ³ f ' c - + f = Þ f (a ) + f (b) + f (c) > Ví dụ 16: Cho DABC nhọn Tìm GTLN biểu thức: F = sin A sin2 B sin2 C Lời giải: Ta có : ln F = ln sin A + ln sin B + ln sin C p Xét hàm số f (x ) = ln sin x , x ẻ (0; ) ị f '(x ) = cot x Þ f ''(x ) = - ỉ pư "x ẻ ỗ 0; ữ ố 2ứ sin2 x p dụng BĐT tiếp tuyến với DMNP nhọn, ta có : Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 13 ( ) ( ( ) ( ( ) ) f (A) £ f '(M ) A - M + f (M ) = A - M cot M + ln sin M ) f (B ) £ f '(N ) B - N + f (N ) = B - N cot N + ln sin N ( ) f (C ) £ f '(P ) C - P + f (P ) = C - P cot P + ln sin P Þ tan M f (A) + tan N f (B ) + tan P f (C ) ³ tan M ln sin M + tan N ln sin N + tan P ln sin P Chọn ba góc M , N , P cho : tan M tan N tan P = = = k Þ tan M = k ; tan N = 2k ; tan P = 3k Mặt khác : tan M + tan N + tan P = tan M tan N tan P Þ 6k = 6k Þ k = Þ sin M = Þ f (A) + f (B ) + f (C ) £ ln ÞF £ 27 25 tan M + tan2 M + ln + ln = 10 ; sin N = = ln ; sin P = 10 27 25 Đẳng thức xảy Û A = M ; B = N ;C = P Vậy GTLN F = 27 25 Nhận xét : Từ cách giải trên, ta có cách giải cho tốn tổng qt sau : Cho DABC nhọn Tìm GTLN E = sinm A sinn B sin p C , với m, n, p số thực dương (Xem phần tập) Ví dụ 17 : Cho tam giác ABC nhọn Tìm GTNN biểu thức : F = tan A + tan B + tan C Lời giải : (Dựa theo lời giải 2M) ỉ pư è 2ø Xét hàm số f (x ) = tan x , x ẻ ỗ 0; ÷ , có f '(x ) = + tan2 x Þ f ''(x ) = tan x (1 + tan2 x ) > 0, ỉ pư "x Ỵ ç 0; ÷ è 2ø Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 14 Áp dụng BĐT tiếp tuyến với DMNP nhọn, ta có : f (A) ³ f '(M )(A - M ) + f (M ) = Þ cos2 M f (A) ³ cos M (A - M ) + tan M sin 2M + A - M 2 Tương tự : cos2 N f (B ) ³ sin 2N + B - N ; cos2 P f (C ) ³ sin 2P + C - P Þ cos2 M f (A) + cos2 N f (B ) + cos2 P f (C ) ³ sin 2M + sin 2N + sin 2P Ta chọn góc M , N , P cho : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k Vì M , N , P ba góc tam giác nên ta có đẳng thức : cos2 M + cos2 N + cos2 P + cos M cos N cos P = Þ (1 + + 3)k + 6k = Þ k nghiệm dương phương trình : 6x + (1 + + 3)x - = (1) Þ sin 2M = - cos2 M cos M = 2k - k ; sin 2N = 2k 2(1 - 2k ); sin 2P = 2k 3(1 - 3k ) ÞF ³ sin 2M + sin 2N + sin 2P 2k Vậy GTNN F = = - k + 2(1 - 2k ) + 3(1 - 3k ) k - k + 2(1 - 2k ) + 3(1 - 3k ) k đạt A = M ; B = N ;C = P Với M , N , P ba góc tam giác nhọn xác định : cos M = k > 0; cos N = 2k ; cos P = 3k , k nghiệm dương PT (1) Nhận xét : Tương tự cách làm trên, ta tìm giá trị nhỏ biểu thức F = m tan A + n tan B + p tan C , m, n, p số thực dương A, B, C ba góc tam giác nhọn (Xem phần tập) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hịa 15 Ví dụ 18: Cho x , y, z > thỏa x + y + z = Tìm GTNN : P = x + + y2 + + z Lời giải: Ta có hàm số f (t ) = t ; g(t ) = + t ; h(t ) = + t , t Ỵ (0;1) hàm số có đạo hàm cấp hai dương khoảng (0;1) Nên với a, b, c > thỏa a + b + c = áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có: f (x ) ³ f '(a )(x - a ) + f (a ) ; h(y ) ³ h '(b )(y - b) + h (b) ; g (z ) ³ g '(c )(z - c) + g(c) ì ì ï ï k ï ïa = 3a = k ï ï ï b ï k ï Ta chọn a, b, c cho f '(a ) = g '(b) = h '(c) = k Û í =k Û íb = ï + b2 ï - k2 ï ï c3 k ï ïc = =k ï4 ï 4 - k3k ï (1 + c ) ỵ ỵ Do a + b + c = Û k + k 1-k + k 1-k k (1) = (2) Dễ thấy phương trình (2) ln có nghiệm khoảng (0;1) Þ P = f (x ) + g(y ) + h(z ) ³ f (a ) + h(b) + g(c) = k 3k + 1 - k2 + 1 - k3k Đẳng thức xảy Û x = a; y = b; z = c Vậy P = k 3k + 1-k + 1-k k với k nghiệm nằm (0;1) (2) Ví dụ 19 (BĐT Jensen) Cho hàm số y = f (x ) liên tục có đạo hàm cấp hai (a; b ) n số thực dương a1, a2 , , an có tổng n ỉ n a) Nếu f ''(x ) > "x Ỵ (a; b) ta có: f (xi ) f ỗ xi ữ ỗ ữ i =1 ố i =1 ứ với "xi Ỵ (a; b ) i = 1, n Đẳng thức có x1 = x2 = = xn Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 16 b) Nếu f ''(x ) < "x Ỵ (a; b) ta có: n ỉ n f (xi ) Ê f ỗ xi ữ ỗ ữ i =1 ố i =1 ø với "xi Ỵ (a; b ) i = 1, n Đẳng thức có x1 = x2 = = xn Lời giải a) Đặt y = a1a1 + a2a2 + + anan ị y ẻ (a;b) Vì f ''(x ) > nên áp dụng BĐT tiếp tuyến, ta có: ( ) f (ai ) ³ f '(y ) - y + f (y ) "i = 1,2, , n ( ) Þ f (ai ) ³ f '(y ) aiai - y + f (y ) "i = 1,2, , n Þ n n n ỉ n f (ai ) ³ f '(y )å (aiai - y ) + f (y )å = f (y ) = f ỗ aiai ữ ỗ ÷ i =1 i =1 i =1 è i =1 ø b) Chứng minh tương tự Ví dụ 20 (2M) Cho hai số thực dương x1, x 2, , xn a1, a2, , an thỏa mãn: n å xi = i =1 n å Chứng minh rằng: i =1 n a n a Õ xi i ³ Õ i i =1 i =1 Lời giải n i =1 BĐT cần chứng minh Û n i =1 å ln xi ³ å ln Hàm số f (x ) = ln x hàm lồi, nên áp dụng BĐT tiếp tuyến ta có: f (xi ) £ f '(ai )(xi - ) + f (ai ) = (xi - ) + f (ai ) Þ f (xi ) £ xi - + f (ai ) Þ n i =1 Þ n n å f (xi ) £ i =1 n å (xi - ) + i =1 n å f (ai ) = i =1 n å f (ai ) i =1 i =1 å ln xi £ å ln đpcm Chú ý: Điều thú vị BĐT Cơ si lại hệ tốn Thật vậy: Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 17 n Cho a1 = a2 = = an = ổ n ỗ xi n n ỗ ế xi Ê ế = ç i =n ç i =1 i =1 ç è å xi i =1 n Khi BĐT cho trở thành: n ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ( a1 = a2 = = an ) n å xi Þ i =1 n n ³ n Õ xi BĐT Cơ Si cho n số i =1 Bài tập áp dụng Cho a, b, c > Chứng minh: b +c a2 + c +a b2 + a +b ³ c2 1 + + a b c Cho a, b, c > thỏa a + b + c ³ Chứng minh rằng: a +b +c + b +c +a + c +a +b Cho x , y, z £ thỏa x + y + z = Chứng minh rằng: æ £1 1 + x2 + 1 + y2 + 1 + z2 £ 27 10 1ö 2ø Cho số thực a1, a2 , , an ẻ ỗ 0; ữ v a1 + a2 + + an = Chứng minh è ỉ1 ưỉ ỉ n - 1ữ n - ỗ - ữ ỗ - ữ ỗ ỗa ữỗa ữ ça ÷ è øè ø è n ø ( ) p Cho a, b, c, d Î (0; ) a + b + c + d = p Chứng minh sin a - sin b - sin c - sin d - + + + ³ cos a cos b cos c cos d Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 18 n Cho n số thực dương thoả mãn: å xi = n Cmr: x1 + x1 + + xn i =1 + xn £ 1 ( New Zealand 1998) + + + x1 + xn Cho tam giác ABC Tìm GTNN biểu thức p A A p B B p C C - ) cot + tan2 ( - ) cot + tan2 ( - )cot 4 4 4 4 Cho tam giác ABC Chứng minh A B C cos cos cos + + < 3£ A B C + sin + sin + sin 2 Cho tam giác ABC nhọn m, n, k > Tìm: P = tan2 ( 1) Giá trị lớn F = sinm A sinn B sink C 2) Giá trị nhỏ F = m tan A + n tan B + k tan C 10 Cho n số thực không âm a1, a2 , , an có tổng Chứng minh: n a1a2 an £ n (BĐT Cauchy) 11 Cho a, b, c > Chứng minh: (2a + b + c)2 2 2a + (b + c) + (2b + c + a )2 2 2b + (c + a ) 12 Cho a, b, c > Chứng minh: + (2c + a + b)2 2 2c + (a + b) £ (Mỹ - 2003 ) b +c c +a a +b a b c + + ³ 4( + + ) a b c b +c c +a a +b a b c 13 Cho a, b, c > Chứng minh: + + ³ 2 4(a + b + c ) (b + c ) (c + a ) (a + b ) 14 Cho a, b, c > a + b2 + c2 = Chứng minh : 1 ( + + ) - (a + b + c) ³ a b c 15 Cho x , y, z > Chứng minh: xyz (x + y + z + x + y + z ) (x + y + z )(xy + yz + zx ) £ 3+ ( Hồng Kông 1997) Nguyễn Tất Thu – Trường Lê hồng Phong – Biên Hòa 19 ... ac + ab a - 2a + b - 2b + c - 2c + (Nhận xét : Đẳng thức xảy a = b = c = số f (x ) = x - 2x + Mặt khác: Þ 4x điểm có hồnh độ x = 4x x - 2x + 4a a - 2a + + - tiếp tuyến đồ thị hàm 99x - : y = )... = 3x - - ln 3ø è3øè Þ ln A £ y(3x - - ln 3) + z (3y - - ln 3) + x (3z - - ln 3) = 3(xy + yz + zx ) - - ln £ (x + y + z )2 - - ln = -3 ln ÞA£ 1 Þ P ³ 3 Đẳng thức xảy Û x = y = z = 3 Vậy GTNN... [a; b ] f (x ) £ f ''(x )(x - x ) + f (x ) "x Ỵ [a; b ] Đẳng thức hai Bất đẳng thức xảy Û x = x Ta chứng minh định lí sau i) Xét hàm số g(x ) = f (x ) - f ''(x )(x - x ) - f (x ) , x Ỵ [a; b ] Ta