Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Ag-Mg và các bài tập áp dụng

Nhằm giúp các em học sinh hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu mà Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Ag-Mg và các bài tập áp dụng đã được thực hiện.

       I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI                  Bất đẳng thức là một vấn đề khó trong tốn học, đặc biệt là học sinh  THPT. Đối với nhiều trường THPT trong tỉnh, có thể nói rằng bài tốn bất  đằng thức nói chung và bài tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nh÷ng  bài tốn được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại  học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra đề chung của Bộ GD – ĐT.           Riêng đối với trường THPT DTNT Tỉnh để học sinh khơng sợ học phần  bất  đẳng thức đã là một vấn đề đối với giáo viên .Vì vậy tìm ra phương pháp  giúp học sinh khơng những có hứng thú với các bài tốn về bất đẳng thức đơn  giản mà còn   làm được các bài bất đẳng thức trong các kỳ thi tuyển sinh Đại  học, các kỳ thi học sinh giỏi, tơi viết chun đề " BẤT ĐẲNG THỨC AG­MG  VÀ CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG'' m ột trong những bất đẳng thức cổ điển nhất ,  dễ chứng minh nhưng cũng có nhiều áp dụng nhất khơng chỉ ở những bài tốn  đơn giản  mà còn ở những bài tốn khó           Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần u thích bộ mơn, nhằm giúp  các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở ra  một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo  nền  tang cho cac h ̉ ́ ọc sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự đông viên, giup đ ̣ ́ ỡ  cua Ban Giam hiêu, đông nghiêp trong tô Toan tr ̉ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ường THPT DTNT Tỉnh . Tôi  đã  manh dan vi ̣ ̣ ết chuyên đề này.      II.THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI              1. Thuận lợi ­   Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập  ­  Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự  học và u thich mơn hoc ́ ̣ ­  Có sự khích lệ  từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chun  đề.  ­ Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến  cuả đồng nghiệp     2. Khó khăn ­  Đa sơ hoc sinh h ́ ̣ ọc u ph ́ ần bất đằng thức. Có tư tưởng sợ học phần  này.              ­ Gi áo viên mất nhiêu thời gian để soạn bài       3. Số liệu thống kê Trong các năm trước, khi gặp bài tốn liên quan đến bất đằng thức, số lượng  học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau: Khơng  Nhận biết,  nhận nhưng khơng    biết  biết  vận dụng Số lượng Tỉ lệ ( %) 44 66,7 22,2 Nhận biết và  biết vận  dụng ,chưa  giải được  hoàn chỉnh 9,9 Nhận biết và  biết vận dụng  , giải được  bài hoàn chỉnh 1.1        III.  NỘI DUNG        1.Cơ sở lý luận 1. Cho hai số dương a, b. Ta có:                                Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi  a = b 2. Cho ba số dương a, b, c . Ta có :    3. Với hai số dương a, b. Ta có :                                                                                                                                       Dấu  “ = “ xảy ra khi và chỉ khi  a = b 4. Tổng qt: Cho  và  Khi đó :  với       2 . Nơi dung ̣   BÀI TẬP 1:   Chứng minh rằng với mọi số thực khơng âm a, b, c. Ta có:                                        Giải:        Ap dụng bất đẳng thức AM – GM  cho ba số a, b, c . Ta có:                                                                                                              Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Tổng qt:     ;                                                    Dấu  “ = “ xảy ra khi và chỉ khi  BÀI TẬP 2:    Chứng minh rằng với mọi số thực khơng âm a, b, c. Ta có:                                  Giải:    Ta có:                                                                                                                                          Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c BÀI TẬP 3:   Chứng minh rằng với mọi số thực khơng âm a, b, c , d . Ta có:                                 Giải:             Đặt: S =                                         M=                                        N=            Ta có :               M+N=4.    Áp dụng bất đẳng thức AM­GM thì:                               M+S=                 N+S=                                 M+N+2S8 S2                                     Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c = d BÀI TẬP 4:    Cho   (1) Giải BÀI TẬP 5 :    Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz=1, chứng minh:                         Giải:            Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số. Ta có:                            Tương tự, ta có:                 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z BÀI TẬP 6:    Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c >0, ta có:                          Giải:             Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM cho vế trái:              Mặt khác:                                              = = .        Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c  BÀI TẬP 7:  Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam  giác.CMR   a)  .     b)  Giải a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM  ta có:     b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ⇒   Dấu “ = ” xảy ra cho cả  a) và b) khi và chỉ khi  đều : a = b = c ( p là nữa chu vi của  ABC: )  BÀI TẬP 8 : Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:                     ;          x>0 Phân tích:                                         Giải:          Ta có:                       là hàm một biến và  Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là:  BÀI TẬP 9: Chứng minh rằng : Với mọi x, y, z >0, ta có:                               Giải:             Ta có:                         Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z BÀI TẬP 10: Chứng minh rằng : Với mọi a, b, c, d >0, ta có:                                                 Giải:                Ta có: VT =                                                                                                                                                              Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d BÀI TẬP 11: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3. Chứng  minh:                                Phân tích:            Nếu ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM thì:                          ?                               Nên khơng thể dùng cách này Giải:          Ta có:                               Vì :                 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =1.  BÀI TẬP 12:  Chứng minh rằng  :   Giải Ta biến đổi BĐT như sau:  ⇔      ⇔      ⇔      ⇔      ⇔      BÀI TẬP 13: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn: a+b+c+d=4 Chứng minh rằng :          Giải:        Ta có:               Tương tự : VT                        Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =d=1 BÀI TẬP 14:      Cho a, b, c, d là bốn số dương thỏa mãn : a+b+c+d=4 Chứng minh rằng :                 Giải:             Ta có:                                  VT  BÀI TẬP 15:        Cho     Tìm GTNN của  Giải Mặt khác . Vậy  Dấu “=” xảy ra .        VI. B ÀI T ẬP ÁP D ỤNG   Bài1: .  Chứng minh rằng  :    Bài 2: Chứng minh rằng  :  Bài 3: . Chứng minh rằng:  Bài 4:  Cho  là các số dương thỏa mãn  Chứng minh rằng: Bài 5: Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác.CMR                            Bài 6 . : Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam  giác.CMR                   Bài 7.   Cho:            V. KẾT QỦA Chun đê này đã đ ̀ ược thực hiện giảng dạy khi tơi tham gia dạy 10NC và   Lun thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong q trình h ̣ ̣ ̣ ̀ ọc chun đê này, ̀   học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng  khi gặp các bài tốn liên quan, tạo   cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở  ra cho học sinh cách nhìn  nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền   tang cho ̉   học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả sau khi thực hiện chuyên đề: Không  Nhận biết,  nhận nhưng không    biết  biết  vận dụng Số lượng Tỉ lệ ( %) 7.1 10 17,5 Nhận biết và  biết vận  dụng ,chưa  giải được hoàn  chỉnh 22 38,6 Nhận biết và  biết vận dụng ,  giải được bài  hoàn chỉnh 21 36,8               VI. GIẢI PHÁP MỚI Dang tốn  ̣ trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi  bài tốn lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt   các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chun đề  này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy   sáng tạo. Đê đat kêt qua cao  h ̉ ̣ ́ ̉ ọc sinh cần  luyên tâp nhiêu, có thêm nhi ̣ ̣ ̀ ề u  thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan        VII. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY 1. Q trình áp dụng Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số  năm, tơi  đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số  bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải 2. Hiệu quả sau khi sử dụng Sau khi học sinh học xong chun đề  này học sinh thấy tự  tin hơn, hứng   thú hơn, tạo cho hoc sinh ni ̣ ềm đam mê, u thích mơn tốn, mở  ra một cách   nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang ̉   cho học sinh tự học  va t ̀ ự nghiên cứu.  3. Bài học kinh nghiệm Từ  thực tế  giảng dạy chuyên đề  này, một kinh nghiệm được rút ra là   trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ  bản, biêt v ́ ận dụng linh  hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề  mở rộng, nâng cao, khắc   sâu kiến thức một cách hợp ly v ́ ới các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng   năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh Chun đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó   hình thành kỹ  năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp   nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy  cua h ̉ ọc sinh        VII. KẾT LUẬN                     Bất đẳng thức AM – GM là bất đẳng thức rất quen thuộc ở phổ thơng  nhưng để sử dụng được nó khơng phải là điều đơn giản. Có những bài ta phải  dùng AM – GM xi và phải chọn được hệ số nhưng có những bài lại phải  dùng ngược          Trên đây là một số bài tốn áp dụng bất đẳng thức AM – GM mà tơi thấy  hay và đã sắp xếp lại. Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên việc sưu tầm, tổng  hợp và sắp xếp chưa được hồn thiện. Rất mong được thầy giáo và các bạn  đồng nghiệp ghóp ý                        Tơi xin chân thành cảm ơn!      IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO: 10 1. Bất đẳng thức, định lý và áp dụng. Tác giả: Nguyễn Văn Mậu. Nhà xuất bản  Gi Dục 2. Bai tâp đ ̀ ̣ ại số lớp 10 3. Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai­ NXB Ha Nơi năm 2002 ́ ̣ ́ ̉ ̉ ̀ ̣ 4. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo­NXB Giáo Dục năm 2009       Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2015                                                                                     Người thực hiện                                                                     T ạ Th ị Th úy Chinh MỤC LỤC Số TT Mục Lục Trang 11 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC  GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI  III. NỘI DUNG IV. B ÀI T ẬP ÁP D ỤNG 10 11 V. KẾT QỦA VI. GIẢI PHÁP MỚI VII. THỰC TIỄN GIẢNG DẠY VIII. KẾT LUẬN       IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO: 11 12 13 13         12 13 ... = .        Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c  BÀI TẬP 7:  Cho tam giác ABC với a,b,c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam  giác.CMR   a)  .     b)  Giải a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM  ta có:     b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:...       VI. GIẢI PHÁP MỚI Dang tốn  ̣ trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và phong phú. Mỗi  bài tốn lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt   các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chun đề ...                    Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c = d BÀI TẬP 4:    Cho   (1) Giải BÀI TẬP 5 :    Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz=1, chứng minh:                         Giải:            Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số. Ta có: