Bất đẳng thức của hàm số

Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông, nó vừa là đối tượng để nghiên cứu mà cũng vừa là một công cụ đắc lực, với những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các cấp những bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng toán khá quen thuộc, nhưng để tìm ra lời giải không phải là một việc dễ dàng.

LỜI NĨI ĐẦU B ất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình tốn   phổ thơng, nó vừa là đối tượng để nghiên cứu mà cũng vừa là một cơng cụ  đắc  lực, với những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn học. Trong các  đề  thi chọn học sinh giỏi  ở các cấp những bài tốn chứng minh bất đẳng thức thường   xuất hiện như  một dạng tốn khá quen thuộc, nhưng để  tìm ra lời giải khơng phải là   một việc dễ dàng Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá phong phú, đa dạng và đã được khá   nhiều tài liệu đề  cập đến. Một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức  hoặc sáng tạo ra bất đẳng thức là việc sử  dụng các tính chất đại số và hình học của   tích phân Trên tinh thần đó tiểu luận gồm các phần: mục lục, mở đầu, 7 vấn đề, phụ  lục, kết   luận và tài liệu tham khảo Vấn đề 1: Bất đẳng thức của hàm số giới nội và lồi Vấn đề 2: Bất đẳng thức của hàm số liên tục Vấn đề 3: Bất đẳng thức của hàm số liên tục và đơn điệu Vấn đề 4: Bất đẳng thức của hàm số khả vi Vấn đề 5: Bất đẳng thức của hàm số khả tích Vấn đề 6: Sử dụng cơng thức tính độ dài cung phẳng để chứng minh bất đẳng   thức   Vấn đề  7: Sử  dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng để  chứng minh bất   đẳng thức  Nội dung trong 5 vấn đề  đầu đề  cập đến việc sử  dụng các tính chất đại số  đơn giản   của tích phân để chứng minh một số bài tốn liên quan, trên cơ sở đó đưa ra những ví dụ  áp dụng để  sáng tạo ra bất đẳng thức, 2 vấn đề  cịn lại đề  cập đến việc thơng qua   những ước lượng trực quan từ hình học để chứng minh  bất đẳng thức kèm theo những  ví dụ minh hoạ cụ thể Để  hồn thành tiểu luận này, chúng tơi đã cố  gắng tập trung nghiên cứu, xong do ít   nhiều hạn chế  về  thời gian cũng như  về  năng lực nên tiểu luận chắc chắn cịn nhiều   vấn đề chưa đề cập đến hoặc có đề  cập nhưng chưa đi sâu vào khai thác ý tưởng vấn  đề. Vì vậy tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu xót nhất định. Chúng tơi rất mong được   sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đọc về tiểu luận này                                                                                                                                            Quy Nhơn, ngày 11 tháng 11 năm 2009                                                                            Vấn đề 1 Bất Đẳng Thức Của Hàm Số Giới Nội Và Lồi Bài toán. Giả sử rằng trên [a,b] hàm f(x) giới nội và lồi. Chứng minh rằng  f (a ) + f (b) b �a + b � f ( x)dx ( b − a ) f � � a �2 � Chứng minh Vì f(x) lồi trên [a,b] nên với bất kỳ  x 1,x2    [a,b] ta có bất đẳng thức so sánh f( 1x1 +  2x2)    1f(x1) +  2f(x2) nếu  1   0 ,  2   0 ,  1 +  2 = 1 (theo định nghĩa) Vì hàm lồi trên một đoạn nên nó liên tục. Như  vậy, f(x) khả  tích trên [a,b]. Sử  dụng   tính chất lồi của f(x) ta có a +ξ b −ξ �a + b � f� + ) > [ f (a + ξ ) + f (b − ξ ) ] , a ξ b − a �= f ( 2 �2 � Tích phân theo  ξ  trịg khoảng [0,b­a] ta nhận được b −a b −a �b a+b 1� ) f ( a + ξ ) d ξ + f ( b − ξ ) d ξ ( b − a) f ( � �� �= �f ( x)dx      (1) 2 �0 �a ( b − a) trong tích phân đầu ta thay a + ξ   = t , cịn tích phân thứ  hai thay b­ ξ   = z. Chia [a,b]  b−a� � thành n phần bằng nhau  �∆xi = � và lập tổng tích phân với  ξ k = xk n � � b − a n−1 � k ( b − a ) � b − a n−1 �� � k� k Sn = a+ 1− � a + b� � f� � f� �= � n k =0 � n n n n � � � k = � � � k � k� k �� k� 1− � a + b �> � 1­ �f (a ) + f (b) Do f(x) lồi , ta có  f � � n � n� n �� n� � b − a n−1 �� k b−a � n +1 n −1 � k� � 1­ �f (a ) + f (b) �= f (a ) + f (b) �    (2) Bởi vậy  Sn > � � � n k =0 � n � n� � � n �2 Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (2) khi  n  (do f(x) khả tích ) ta nhận được b b−a f ( x)dx ( f (a) + f (b) ) a f (a ) + f (b) b �a + b � Kết hợp (1) và (2) ta có  ( b − a ) f ( x)dx ( b − a ) f � � a �2 � Ví dụ 1.1. Cho 0  0, p > 2.  Ta có  y '' = − p( p − 1) x p−2 < Vậy hàm số y = f(x) bị chặn và lồi trên [a,b]. Khi đó f (a ) + f (b) b f ( x)dx ( b − a) a p p p b p −a − b � ( b − a) �− x dx a p +1 p +1 a −b p p � ( a − b) a + b � p +1 p +1 p +1 p −1 b−1 � ( p − 1) a −b �ab ( p + 1) a −b ( ) ( ) ) ( ( ( ) 2 Ví dụ 1.2 Với 0  S2          Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = f(x) =  x +   ,với  ,     R 3) Nếu đồ thị y = f(x) lồi thì S3  1 thoả   Chứng minh  + ab, ∀a, b > p q p q Lời giải  1 Xét hàm số y = xp­1, x > 0. Vì  + =  nên x = yq­1. Do đó ta có hàm ngược yq = xq­1. Ta  p q p q a p−1 b q −1 a b dx + �x dx �� ab + �ab có  �x p q Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = f(a) = ap­1   Nhận xét.          Bài toán ở vấn đề 1 là một  trường hợp riêng của bài toán 7.1           Cho hàm số y = f(x) > 0, với x   [a,b] . Với mọi phép phân hoạch [a,b] bởi các   điểm chia  a = a0 a1 < < an = b , ta có a b � x + 1dx + � x − 1dx b +1 − f (an+1), f (ai ) f ( x)dx a i =   (*) n a − a max f (an+1), f (ai ) = S i =0 n+1 i S= n ( ( ) ) ( ) ( ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =b hoặc    a0 = a                                                                       an+1 = b                                                                       f(x) = const         Phương pháp để ra những dạng toán như trên là  Xác định được hàm số y = f(x) > 0 với x   [a,b]  Chọn     phép   phân   hoạch     biểu   diễn     bất   đẳng   thức   qua   b S , S , f ( x)dx và dựa vào (*) để kết luận bất đẳng thức. đối với bài tốn max,   a min ta cần lưu ý khả năng dấu “=” xảy ra         Ta có thể mở rộng lên cho tích phân 2 lớp như sau           Cho f(x,y) > 0 khả tích trên D. Cho mọi phép phân hoạch trên D thành các miền   nhỏ có diện tích  B0 , B1, B2 , , Bn n B f x , y , f xi , yi  Gọi  S = i +1 i +1 i =0 i n B max f x , y , f xi , yi          S = i+1 i+1 i =0 i ( ( ( ( ) ( ) ( )) )) Khi đó ta có:  S � �f ( x, y )dxdy S D            Qua các  ứng dụng hình học của tích phân ta có chung một phương pháp để   chứng minh bất đẳng thức đó là  Cho y = f(x) liên tục và khơng âm trên [a,b] và gọi A(a,f(a)), B(b,f(b)). Chia [a,b] thành   n phần bởi các điểm chia :   a = x0 x1 xn = b  Trên cung AB lấy các điểm  A , A , , A có hồnh độ  x , x , , x n−1 n−1   a) Dựa vào độ dài cung AB và độ dài đường gấp khúc  AA1A2 An−1B ta tạo được một   số bất đẳng thức   b) Dựa vào diện tích hình thang cong giới hạn x = a, x = b, y = f(x), y = 0 và diện tích   các hình thang nhỏ  ( hay diện tích các hình chữ  nhật nhỏ) ta tạo được một số  bất   đẳng thức BÀI TẬP 1) Chứng minh   n   R* ta có   ( n + 1) n < n !e n < ( n + 1) n + 2) Tìm giá trị lớn nhất của  �π�                       P = barcsinb­cos2a+ 1­b , a �� 0, � ,b � � 4� ( 0,1) , ab = π n 1 + =1 p q a p bq + > ab      Chứng minh   a, b > 0 ta có  p q 4) Chứng minh    x, y : 0  0 , q > 0 thoả  ( 5) Chứng minh   x ta có  + x ln x + + x ) y−x + x2 6) Chứng minh với x > y ta có  ( x − y ) ( − x − y ) < ln 1+ x 1+ y 7) Với a, b   1 chứng minh  ab e a −1 + b ln b 8) Chứng minh  n − + n − 22 + + n − ( n − 1) π n 4 �π� , ∀x � 0, � π � 2� a­b a a −b < ln < 10) Cho 0  0, x �( 0, a ) , α < α � 1� f ( x) = �x + � , x > 0, α > � x� x2 f ( x) = , a > 0, x x+a f ( x) = ,x >0 x x , a > 0, x (0, a ) a−x f ( x) = eax , a > f ( x) = , x 0, a 1 + eax � �ax f ( x) = � e + ax � e � � � 1� f ( x) = ln � 1+ � ,x >0 � x� f ( x) = ln(1 + eax ), a > f ( x) = � �ax f ( x) = ln � e + ax � e � � f ( x) = sin k x, x �( 0, π ) , k < f ( x) = ln(1 + ), x (0, π ) sin x π f ( x) = cos k x, x �(0, ), k < π f ( x) = tan k x, x γ (0, ), k 2) Một số hàm lõm f ( x) = xα , x > 0, < α < α f ( x) = ( a − x ) , a > 0, x �(0, a ), < α < 1 f ( x) = ln x n , x > 1, n = 1, 2, f ( x) = ln(eax − 1), x > 0, a > f ( x) = ln x, x > π f ( x) = cos k x, x �� [0, ], k [0,1] f ( x) = sin k x, x �� [0, π ], k [0,1] f ( x) = ln(sin x), x [0, π ] sin x f ( x) = , x [0, π ] + sin x f ( x) = ln(1 − cos x), x (0, π ) x f ( x) = arcsin ,x 1+ x x f ( x) = arcsin , a > 0, x > a+x f ( x) = arctan x, x > KẾT LUẬN Tiểu luận đã tập trung nghiên cứu một số vấn đề chính sau đây Đã cụ thể hố các tính chất đại số của lý thuyết tích phân xác định bằng những  bài tốn và ví dụ  cụ  thể. Tiểu luận cịn đưa ra bảng một số  hàm lồi,hàm lõm  trong phần phụ lục để phục vụ cho việc sáng tạo ra bất đẳng thức Sử dụng tính chất hình học của tích phân để chứng minh bất đẳng thức. Đây là   một vấn đề khơng mới nhưng cịn ít tài liệu tốn THPT viết về vấn đề này Trình bày hệ  thống các ví dụ  áp dụng bao gồm 50 bài, trong đó 28 bài tham  khảo trong các tài liệu, cịn lại 22 bài được sáng tác dựa trên những kết quả từ  các bài tốn Trong q trình thực hiện đề tài chúng tơi cịn thấy một số vấn đề chưa được đề cập  hoặc có nhưng chưa đi sâu nghiên cứu như: dấu hiệu để nhận biết các yếu tố đại số  cũng như  hình học của tích phân trong các bài tốn bất đẳng thức cụ  thể, việc mở  rộng các tính chất đại số của tích phân xác định cho tích phân 2 lớp, 3 lớp,…;mở rộng  tính chất hình học của tích phân từ khơng gian 2 chiều lên 3 chiều, sử dụng tích phân   để chứng minh các bất đẳng thức chứa các số tổ hợp, nghiên cứu việc dùng tích phân   để  chứng minh các bất đẳng thức cơ  bản như  bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức   Cosi,…Vì thời gian khơng cho phép nên chúng tơi chưa thể thực hiên được những điều   mong muốn nhưng chắc chắn trong thời gian đến chúng tơi sẽ  tập trung tìm hiểu và  để tâm nhiều hơn về những vấn đề cịn đặt ra TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Q Dy ( chủ biên ), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoả; Tuyển tập 200 bài   thi vơ địch tốn, NXBGD [2] Võ Giang Giai, Chun đề bất đẳng thức, NXBĐHQG Hà Nội [3] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài tốn bất đẳng thức , giá trị  lớn nhất _ giá trị  nhỏ  nhất, NXBTPHCM [4] Nguyễn Văn Mậu ( chủ  biên ), Bất đẳng thức và một số  vấn đề  liên quan, NXB  ĐHKHTN Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXBGD [6] Hội tốn học VN, Tạp chí tốn học tuổi trẻ [7] Lê Hồng Đức (2009), Phương pháp giải tốn tích phân, NXBĐHSP [8] Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải tốn chun đề tích phân, NXBĐHQG Hà  Nội [9] Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia mơn  tốn, NXBĐHQG Hà Nội [10] http://anhngq.wordpress.com/bao­cao­khoa­h%e1%bb%8dc/         http://www.dayhocintel.net/diendan/showthread.php?p=49662         http://www.khkt.net/chu­de/13251/mot­so­lop­tich­phan­dac­biet/         http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=35223         http://diendantoanhoc.org/old/modules.php?name=News&file=article&sid=275         http://www.ebook.edu.vn/?page=1.1&view=2029         http://mathsvn.violet.vn/present/show/entry_id/2205346 ... Chú ý. Nếu f, g đều là? ?hàm? ?giảm thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?câu a) vẫn đúng. Tức là f, g đơn   điệu cùng chiều thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?câu a) đúng             Nếu f là? ?hàm? ?giảm, g là? ?hàm? ?tăng  thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?câu b) vẫn đúng. Tức là f, g... [2] Võ Giang Giai, Chuyên đề? ?bất? ?đẳng? ?thức,  NXBĐHQG Hà Nội [3] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài toán? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?, giá trị  lớn nhất _ giá trị  nhỏ  nhất, NXBTPHCM [4] Nguyễn Văn Mậu ( chủ  biên ),? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?và một? ?số. .. lấy tích phân một lớp hai lần, coi x là tham? ?số,  ta lấy tích phân theo biến y,   sau đó ta mới lấy tích phân theo biến x như thế việc chứng minh sẽ dễ dàng   Vấn đề 4.  Bất? ?Đẳng? ?Thức? ?Của? ?Hàm? ?Số? ?Khả Vi Bài tốn 4.1. Cho? ?hàm? ?số? ?y = f(x) có đạo? ?hàm? ?liên tục trên [a,b] và