Một số thể hiện đường thẳng Ơ-le trong chương trình toán phổ thông

Trong bài viết, chúng tôi giới thiệu cách thể hiện đường thẳng Ơ-le trong tam giác theo trình tự kiến thức thuộc chương trình toán phổ thông hiện hành. Trên cơ sở chọn lọc một số nội dung kiến thức từ các nguồn tài liệu tham khảo, chúng tôi tinh chỉnh, bổ sung nội dung kiến thức sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh theo từng khối lớp từ lớp 6 đến lớp 12.

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 MỘT SỐ THỂ HIỆN ĐƯỜNG THẲNG Ơ-LE TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Trần Văn Kịch Trung tâm Thực hành - Thí nghiệm, Trường Đại học Đồng Tháp Tác giả liên hệ: tvkich@dthu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 08/02/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 31/03/2021; Duyệt đăng: 22/04/2021 Tóm tắt Trong viết, chúng tơi giới thiệu cách thể đường thẳng Ơ-le tam giác theo trình tự kiến thức thuộc chương trình tốn phổ thông hành Trên sở chọn lọc số nội dung kiến thức từ nguồn tài liệu tham khảo, tinh chỉnh, bổ sung nội dung kiến thức cho phù hợp với đối tượng học sinh theo khối lớp từ lớp đến lớp 12 Qua đó, chúng tơi đề xuất giải chi tiết số toán nâng cao liên quan số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng Kết đạt viết giúp học sinh có cách nhìn tổng quan chủ đề đường thẳng Ơ-le thơng qua nhiều cách tiếp cận khác tốn học Từ khóa: Ba điểm thẳng hàng, đường thẳng Ơ-le - SOME DEMONSTRATIONS OF THE EULER LINE IN THE MATHEMATICS CURRICULUM OF GENERAL EDUCATION Tran Van Kich Center for Practices and Experiments, Dong Thap University Corresponding author: tvkich@dthu.edu.vn Article history Received: 08/02/2021; Received in revised form: 31/03/2021; Accepted: 22/04/2021 Abstract In this paper, we introduce ways to demonstrate the Euler line in a triangle, subject to the sequence of mathematics knowledge designed in the current Mathematics curriculum of general education Drawing on different sources of reference, we refine and supplement the existing contents so as to suit each grade level from the 6th to the 12th Thereby, we proposed some advanced problems and their detailed solutions related to some ways of proving the three collinearity points The obtained results help students have an overview of the Euler line with several different approaches Keywords: Three collinear points, Euler line DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.863 Trích dẫn: Trần Văn Kịch (2021) Một số thể đường thẳng Ơ-le chương trình tốn phổ thơng Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 13-20 13 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Đặt vấn đề Đường thẳng Ơ-le tam giác đường thẳng qua ba điểm: Trực tâm, Trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường thẳng mang tên nhà tốn học Euler (1707-1783) cơng bố vào năm 1765 (Wikipedia, 2020) Đường thẳng Ơ-le liên quan đến điểm thẳng hàng chủ đề quan trọng nghiên cứu tốn học Vậy học sinh phổ thơng truyền tải tiếp cận kiến thức nào? Chương trình tốn phổ thơng nay, chưa tìm thấy có học riêng để giảng dạy đường thẳng Ơ-le cho học sinh Học sinh tiếp cận kiến thức hình thức giới thiệu thông qua đọc thêm hình thức tích hợp lồng ghép thí dụ, hay dạng tập đề nghị sách giáo khoa mơn tốn phổ thơng Riêng tài liệu tham khảo khác tài liệu tham khảo chuyên sâu, chun đề mơn tốn trung học sở, trung học phổ thông (Nguyễn Đức Tấn, 2015 Phan Huy Khải, 2011) mạng Internet (Nguyễn Hùng, 2020) có trình bày cách chứng minh đường thẳng Ơ-le Nhưng nhìn chung, việc trình bày giới thiệu đường thẳng Ơ-le học sinh phổ thông rời rạc qua nhiều tài liệu, kiến thức phân tán qua nhiều khối lớp Điều làm cho học sinh tiếp cận kiến thức gặp phải nhiều khó khăn Bài viết này, sở chọn lọc, xếp, tinh chỉnh bổ sung số nội dung kiến thức cách chứng minh định lý Ơ-le từ nguồn tài liệu nhằm để trình bày cách có hệ thống cách thể đường thẳng Ơle phù hợp với trình độ kiến thức học sinh theo khối lớp phổ thơng cách liên tục, có thứ tự từ lớp đến lớp 12 Với mong muốn phục vụ phổ rộng đối tượng học sinh nghiên cứu, tìm hiểu kiến thức cách dễ dàng Đặc biệt học sinh cuối cấp trung học phổ thơng tự thống kê để biết cách thể đường thẳng Ơ-le thông qua nhiều hình thức nhiều nội dung học khác như: Hình học 14 phẳng, Hình học tọa độ, Đại số véc tơ, Phép biến hình tập số phức… Thể đường thẳng Ơ-le học sinh phổ thông 2.1 Học sinh lớp Học sinh lớp bắt đầu làm quen với kiến thức mơn Hình học Trên sở ứng dụng kết đường thẳng Ơ-le, chúng tơi đề xuất tốn thể quy trình dựng hình sau nhằm giúp em rèn luyện kỹ dựng trung điểm đoạn thẳng cách dựng góc vng xác Đồng thời qua phát kết tính thẳng hàng ba điểm H,G,O cụ thể: Bài toán 1: Đề nghị học sinh thực theo thứ tự bước sau: Bước 1: Dựng đường trịn có tâmO, bán kính R tuỳ ý Bước 2: Chọn điểm A, B, C đường tròn tâm O cho AB BC CA (tam giác ABC tam giác thường) A N H G O B M C Hình Bước 3: Dựng M , N trung điểm hai đoạn BC , AC Bước 4: Nối hai điểm A, M hai điểm B, N Gọi G giao điểm AM BN Bước 5: Dựng đường thẳng d1 qua A vng góc BC Bước 6: Dựng đường thẳng d2 qua B vng góc AC Bước 7: Dựng giao điểm H d1 d2 Bước 8: Nối điểm H , G, O Bước 9: Ghi nhận xét: H , G, O có thẳng hàng khơng? Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 Sau thực qui trình trên, giáo viên thu kết sau: 1/ Giáo viên phân hoá hoc sinh theo nhóm: Nhóm 1: Gồm học sinh có điểm H , G, O thẳng hàng (nhóm có kỹ tốt) Nhóm 2: Gồm học sinh có điểm H , G, O khơng thẳng hàng (GV yêu cầu nhóm thực hành lại việc xác định trung điểm đoạn thẳng cách dựng góc vng xác…) 2/ Giáo viên giới thiệu cho học sinh tiếp cận tri thức mới: Thông qua Bài toán mà em vừa giải xong: “Ba điểm H, G, O tạo nên đường thẳng Đường thẳng gọi đường thẳng Ơ-le mang tên nhà tốn học lỗi lạc Euler (1707-1783) tìm vào năm 1765” (Wikipedia, 2020) 2.2 Học sinh lớp Học sinh lớp giới thiệu đường thẳng Ơ-le qua đoạn trích sau: “Có thể em chưa biết: Trong tam giác, gọi O điểm chung ba đường trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp), G điểm chung ba đường trung tuyến (trọng tâm), H điểm chung ba đường cao (trực tâm), O, G, H thuộc đường thẳng (G O, H OH=3OG) Đường thẳng chứa O, G, H gọi đường thẳng Ơ-le tam giác ABC; mang tên nhà tốn học lỗi lạc Lê-ơ-na Ơ-le (1707-1783)” (Phan Đức Chính Tơn Thân, 2003, tr 84]) Chúng ta cho em tiếp cận đường thẳng Ơ-le nói thơng qua cách giải tốn nhờ áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, trường hợp hai tam giác sau: Cách giải (Nguyễn Đức Tấn, 2015) Gọi M trung điểm cạnh BC Do G trọng tâm nên G AM ; AG 2GM Trên tia đối tia OA lấy điểm D cho OD OA Ta có OA O OAC Tương tự ODC OC OD OAC cân OCA ODC cân O OCD Trong tam giác ADC : DAC ADC ACD 1800 (OCA OCD) ACD 1800 DC AC 2ACD ACD 1800 900 Ta có BH AC ( H Trực tâm tam giác ABC ), nên BH DC Tương tự chứng minh được: BD CH BHC CDB (g.c.g ) BH MBH HMB A H G CD MCD (g.c.g ) B C M Hình DMC O D M , H , D thẳng hàng Từ MH MD nên M trung điểm HD Vậy AM HO trung tuyến tam giác AHD Suy HO AM tam giác ABC ) G (G trọng tâm Vậy H , O qua G HG 2GO (điều phải chứng minh) 2.3 Học sinh lớp Đối với học sinh lớp 8, Chúng ta cho học sinh tiếp cận đường thẳng Ơ-le thông qua cách giải toán nêu nhờ áp dụng hai tam giác đồng dạng sau: 15 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Suy H ; M ; D thẳng hàng MH Cách giải (Nguyễn Hùng, 2011) Các điểm M , N trung điểm BC AC AHB MON OM MN HA AB Vậy OM HA GM GA Mặt khác: HAG GOM nên (g g g) AH (1), GM Do OM HAG GMO le trong) (3) GMO (so le trong) Từ GHA OGM HGA (so HGA 180 H , G, O HGM thẳng HG MGO 180 hàng; 2GO Do A, G, M Học sinh lớp 9, Chúng ta cho học sinh tiếp cận đường thẳng Ơ-le thông qua cách giải tốn nêu nhờ tính chất hình bình hành sau: Gọi D điểm xuyên tâm đối A (hình vẽ) Ta có A 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) B Hình thẳng Do HG 2GO (điều phải chứng minh) Học sinh lớp 10 tiếp cận đường thẳng Ơ-le thông qua toán (TrầnVăn Hạo Nguyễn Mộng Hy, 2007, tr 21) sau: “Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O minh AH 2OM b/ Chứng minh OH H G B OA OB OC c/ Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng” Cách giải O C M D Hình Tứ giác BHCD có BH CD (cùng vng góc với AC ) DB CH (cùng vng góc với AB ) a/ Gọi D điểm đối xứng A qua O BH DC (cùng vng góc với AC ) BD CH (cùng vng góc với AB) Vậy BDCH bình hành A H G hình B O M Do tứ giác BHCD hình bình hành C D Hình 16 C M hàng nên suy H , G, O thẳng hàng (tính chất hai góc đối đỉnh) DBA G a/ Gọi M trung điểm BC Chứng Cách giải (Wikipedia, 2020) 90 O N H 2.5 Học sinh lớp 10 2.4 Học sinh lớp DCA AG A (1), (2), (3) HAG OMG HGA OMG (hai góc tương ứng) HGM ; MGO hai góc kề bù Vậy GO HG Ta có OA OD Suy OM đường trung bình tam giác (G trọng tâm) (2), Do HGM HD Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 Do M trung điểm HD nên AH 2OM b/ Ta có OB OA h3 : x OB OC y Suy Trực tâm: h1 OC 2OM OA AH c/ Ta biết OA OB AH OH OC h2 H 2;2 c/ Ta có tọa độ trọng tâm: (1) G 2 ; 3OG (2) Từ (1), (2) suy OH 3OG Suy ba điểm O, G, H thẳng hàng (đường thẳng Ơ-le tam giác ABC ) Sau đưa toán nâng cao nhằm để minh họa tính đắn định lý Ơ-le cách cụ thể, đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán phương pháp tọa độ sau: Bài toán 3: Cho tam giác ABC với A 2; , B 2; , C 4; a/ Viết phương trình đường trung trực tam giác Xác định toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ I 1;1 , H 2;2 , G G 4 ; 3 4 ; 3 Suy H , I , G thuộc đường thẳng có phương trình y x (là đường thẳng Ơ-le) HG 2 ; , GI 3 1 ; 3 HG 2GI 2.6 Học sinh lớp 11 Học sinh lớp 11 có kiến thức Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng Chúng tơi đề xuất cách giải tốn Ơ-le nêu Phép vị tự sau: Cách giải b/ Viết phương trình đường cao Từ suy toạ độ trực tâm H tam giác ABC Gọi A’;  B’;  C ’ trung điểm BC , CA, AC c/ Chứng tỏ H , I , G thẳng hàng, G trọng tâm tam giác ABC H Do O tâm đường tròn ngoại tiếp B C A' nên OA’ đường Hình trung trực cạnh BC Suy OA ' BC A’, mà B’C ’ BC (đường trung bình) nên OA ' B ' C ' Cách giải a/ Phương trình ba đường trung trực d1, d2, d3 tam giác có phương trình là: d1 : x y  d3 : x 0, d2 : x 2y B' G O Tương tự chứng minh được: OB ' A ' C ' ’ ’C ’ (giao Do O trực tâm tam giác AB đường cao) GA ' GA; GC ' GC b/ Phương trình đường cao: 2y C' Mặt khác G trọng tâm tam giác ABC nên có: Tâm I giao d1 d2 , ta I 1;1 h1 : x A 0, h2 : x 0, GB ' GB; 17 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Nếu M trung điểm Z1, Z Suy V (G , ) ( ABC ) A ' B 'C ' OM Mà H , O là trực tâm tam giác ABC tam giac AB ’ ’C ’ nên: GH (phép vị tự biến trực tâm thành trực tâm) V(G , ) (H ) O GO Suy H , G, O thẳng hàng GH (điều phải chứng minh) 2GO 2.7 Học sinh lớp 12 Học sinh lớp 12 sau học xong “Chương IV- Số phức” Học sinh biết cách biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Mỗi số phức z a bi, a, b tương ứng với điểm Z (a,b) đặt mp(Oxy) Số phức z gọi nhãn điểm Z Trong phần này, chúng tơi kí hiệu số phức chữ thường a,b,c, z… biểu diễn tương ứng mặt phẳng tọa độ chữ in A, B, C, Z… z2 (a2 b2i) có tổng là: z3 z1 z2 (a1 b1i) (a2 b2i) (a1 b1 ) (a2 b2 )i (a1 b1i) (a1 b1 );(a2 b2 ) tương ứng với véc tơ tổng Z3 y Z1 OZ1 OZ theo qui tắc hình bình hành 18 OZ ) Suy Theo (Cao Minh Quang, 2009, tr 16) có nêu kết luận sau: “Ba điểm Z , Z1, Z nằm đường thẳng tỷ số đơn z z2 V (z, z1, z ) số thực z1 z Suy phương trình tham số đường z1 (1 )z thẳng qua Z1, Z là: z Từ kết chúng tơi đề xuất tốn nâng cao đường thẳng Ơ-le giải phương pháp số phức sau: A, B, C biểu diễn số phức có nhãn a, b, c Hãy tìm số phức biểu diễn điểm H ,G,O trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo a,b, c ? Từ kiểm chứng H , G, O thẳng hàng? Cách giải Nên OZ OZ z1 z (OZ1 Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho tam giác ABC Biết đỉnh tương ứng véc tơ OZ Phép cộng số phức z1 m OZ Z2 x O Hình Ta biết, mặt phẳng tọa độ (Oxy) phép đổi trục tọa độ phương pháp tịnh tiến theo véc tơ cho trước biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó, bảo tồn vị trí tỉ số khoảng cách điểm đường thẳng Do vậy, khơng tính tổng qt tốn Ta chọn mặt phẳng tọa độ (Oxy) có gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho Nên O biểu diễn số phức khơng Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 13-20 Các điểm A, B,C biểu diễn số phức có nhãn a,b, c đề Gọi D điểm đối xứng O qua BC Do M trung điểm nên BC b c m d 2m b A B c O M G H D C Hình Điểm G ' có nhãn g' (a b c) a b c a m nằm trung tuyến AM (từ phương trình tham số) Tương tự, chứng minh điểm G ' nằm hai trung tuyến từ đỉnh B C Vậy G '  G, tức trọng tâm G có nhãn a g b c Mặt khác tứ giác AHDO hình bình hành AH OD nên h d a a b c Trực tâm H có nhãn số phức h=a+b+c Suy h 3g tức OH 3OG Vậy điểm H , G, O thẳng hàng (đường thẳng Ơ-le tam giác ABC ) Kết luận Trên sở nghiên cứu sưu tầm cách tiếp cận chứng minh định lý Ơ-le từ sách giáo khoa tài liệu tham khảo, viết trình bày cách thể đường Ơ-le cách có hệ thống thơng qua Cách giải 1; Cách giải 2; Cách giải 3; Cách giải 4; Cách giải 5; Cách giải 6; Cách giải Các cách giải chọn lọc, xếp tinh chỉnh có bổ sung nhằm cô động lại kiến thức để phù hợp với khả trình độ học sinh theo khối lớp riêng lẻ (từ đến 12), nhờ mở rộng đối tượng học sinh tìm hiểu kiến thức đường thẳng Ơ-le cách độc lập qua nhiều hình thức khác Bài viết đề xuất toán mới: Bài toán 1; Bài toán 3; Bài toán nhằm làm cho kiến thức đường thẳng Ơ-le thể liên tục năm học phổ thông Điều vừa thể tính ơn tập, tính kế thừa kiến thức cũ để sáng tạo ý tưởng cho học sinh, đồng thời giúp học sinh kiểm chứng tính đắn đường Ơ-le hiều hình thức nhiều phương pháp khác sở toán học Riêng học sinh cuối cấp thống kê số cách tiếp cận đường thẳng Ơ-le tam giác thông qua nhiều cách nhiều nội dung học như: Hình học phẳng, Hình học toạ độ, Hình học véc tơ, Phép biến hình tập số phức Hơn qua cách trình bày chứng minh định lý Ơ-le, viết giới thiệu kỹ chứng minh “3 điểm thẳng hàng” chủ đề quan trọng, cần thiết học sinh phổ thông qua nhiều cách khác như: đường thẳng qua hai điểm đầu qua điểm thứ ba (Cách giải 1); sử dụng kiến thức hai góc kề bù (Cách giải 2); hai góc đối đỉnh (Cách giải 3); hai véc tơ phương (Cách giải 4); ba điểm thuộc đường thẳng (Cách giải 5); ảnh qua phép vị tự (Cách giải 6); biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ (Cách giải 7)./ Tài liệu tham khảo Cao Minh Quang (2009) Số phức ứng dụng hình học phẳng, www.Mathvn.com Đồn Quỳnh Văn Như Cương (2007) Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục Nguyễn Đức Tấn (2015) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 7, NXB Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 19 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Nguyễn Hùng (2011) Chứng minh số định lý Hình học tiếng kiến thức trung học sở Nguồn Mathvn – Thông tin – Tri thức Phan Đức Chính Tơn Thân (2002) Tốn 6, NXB Giáo dục Phan Đức Chính Tơn Thân (2003) Tốn 7, NXB Giáo dục Phan Đức Chính Tơn Thân (2004) Tốn 8, NXB Giáo dục Phan Đức Chính Tơn Thân (2005) Tốn 9, NXB Giáo dục 20 Phan Huy Khải (2011) Chuyên đề toán trung học phổ thông, NXB Giáo dục Trần Thị Vân Anh (2012) Phân dạng & phương pháp giải tốn Hình học 10, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Văn Hạo Nguyễn Mộng Hy (2007) Hình học 10, NXB Giáo dục Vũ Tuấn (2008) Bài tập giải tích 12, NXB Giáo dục Wikipedia (2020) Đường thẳng Euler https://vi.wikipedia.org/wiki/Đường_ thẳng_Euler  ... nằm đường thẳng tỷ số đơn z z2 V (z, z1, z ) số thực z1 z Suy phương trình tham số đường z1 (1 )z thẳng qua Z1, Z là: z Từ kết chúng tơi đề xuất tốn nâng cao đường thẳng Ơ-le giải phương pháp số. .. Đại số véc tơ, Phép biến hình tập số phức… Thể đường thẳng Ơ-le học sinh phổ thông 2.1 Học sinh lớp Học sinh lớp bắt đầu làm quen với kiến thức mơn Hình học Trên sở ứng dụng kết đường thẳng Ơ-le, ... (Wikipedia, 2020) Đường thẳng Ơ-le liên quan đến điểm thẳng hàng chủ đề quan trọng nghiên cứu toán học Vậy học sinh phổ thông truyền tải tiếp cận kiến thức nào? Chương trình tốn phổ thơng nay, chưa