hệ thức vi ét trong chương trình toán phổ thông

Qua ứng dụng của hệ thức Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán liên quan đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc 2, một dạng toán luôn nằm trong đề thi tuyển sinh

Hoàng Trung Kiên

HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

Hoàng Trung Kiên

HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình làm luận văn

dù không thuận tiện về mặt địa lý

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tôi có những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành Didactic Toán

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn :

• Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SĐH, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học vừa qua

• Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Nguyễn Hữu Tiến (TP.HCM), trường THCS Bình Quới Tây (TP.HCM) đã hỗ trợ tôi thực hiện các thực nghiệm đối với học sinh

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn sát cánh cùng tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những người thân yêu trong gia đình tôi, những bạn bè tâm giao của tôi Họ, những người

đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tôi hoàn tất tốt luận văn

Hoàng Trung Kiên

ải cách giáo dục

GV : giáo viên

HS : học sinh MTBT : máy tính bỏ túi SGK : sách giáo khoa SBT : sách bài tập SGV : sách giáo viên TCTH : tổ chức toán học THCS : trung học cơ sở THPT : trung học phổ thông

Lời cảm ơn

Danh mục các chữ viết tắt

MỞ ĐẦU 1

1.Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

2.Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu 2

3.Phương pháp nghiên cứu 3

4.Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: Phân tích thể chế dạy học ở bậc đại học đối với định lí Vi-ét 6

1.1.Định lý Vi-ét trong giáo trình [a] 6

1.2.Định lí Vi-ét trong giáo trình [b] 13

Kết luận chương 1 18

Chương 2: Phân tích thể chế dạy học ở bậc phổ thông đối với định lí Vi-ét 20

2.1 Phân tích SGK, SBT Toán 9 21

2.2 Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10 34

2.3 Phân tích SGK 11, 12 nâng cao 48

Chương 3: Điều kiện sinh thái của hệ thức Vi-ét 53

3.1 Trong chương trình toán THCS 53

3.2 Trong chương trình toán THPT 57

Kết luận chương 3 60

Chương 4: Thực nghiệm 62

4.1.LỚP 9 62

4.1.1 Mục đích thực nghiệm 62

4.1.2 Tổ chức thực nghiệm 62

4.1.3 Phân tích tiên nghiệm 63

4.1.4 Phân tích hậu nghiệm 70

4.2 LỚP 10 77

4.2.1 Mục đích thực nghiệm 77

4.2.2 Tổ chức thực nghiệm 77

4.2.3 Phân tích tiên nghiệm 77

4.2.4 Phân tích hậu nghiệm 78

4.3 LỚP 12 85

4.3.1 Mục đích thực nghiệm 82

4.3.2 Hình thức thực nghiệm 82

4.3.3 Phân tích tiên nghiệm 82

4.3.4 Phân tích hậu nghiệm 85

KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Phương trình và hệ phương trình là hai trong số những kiến thức đại số

cơ bản nhất của toán học ở trường phổ thông Khái niệm về phương trình đã được đưa vào chương trình toán phổ thông từ rất sớm Ở bậc tiểu học các em

đã được tiếp xúc với phương trình bậc nhất một ẩn thông qua bài toán “tìm x”, phương trình được chính thức giới thiệu trong SGK Toán 8 Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 và tuyển sinh đại học, việc nắm vững kiến thức cũng như công cụ để giải các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình là không thể thiếu nếu như muốn đạt kết quả cao Một trong những công cụ mạnh mẽ và hữu ích đó chính là “hệ thức Vi-ét”

Hệ thức Vi-ét được trình bày ở SGK Toán 9 tập 2 sau khi học sinh đã

học xong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc hai Qua ứng

dụng của hệ thức Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán liên quan đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc 2, một dạng toán luôn nằm trong đề thi tuyển sinh 10 cũng như tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trên khắp

cả nước trong nhiều năm qua Tuy nhiên, ứng dụng của nó vào việc giải hệ phương trình ở cấp học này còn mờ nhạt Ở lớp 10, định lý Vi-ét được trình bày ngắn gọn với mục đích ôn lại cho học sinh nhưng đến năm học 2011-

2012 thì nó được nằm trong phần giảm tải của Bộ giáo dục đào tạo với mục tiêu “cắt giảm các nội dung trùng lặp”

Vậy để tìm hiểu sự tồn tại của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông hiện nay, những câu hỏi sau đây cần thiết được giải đáp:

Nh ững ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã xuất hiện, tồn tại và tiến triển như thế nào trong các SGK? Chúng có thực sự được khai thác hết trong chương trình toán phổ thông hiện hành? Liệu học sinh có thực sự hiểu và nắm rõ công c ụ giải toán mạnh mẽ này?

Trong nội dung thi tuyển sinh lớp 10 thì việc sử dụng hệ thức Vi-ét luôn được đề cập, điều đó nói lên tầm quan trọng của nó ở cấp học này Hệ thức

Vi-ét và ứng dụng được trình bày trong SGK lớp 9 là một bài học, nhưng lên

lớp 10 thì chỉ được đề cập dưới dạng một mục nhỏ trong bài 2 “Phương trình

quy về phương trình bậc nhất, bậc hai”, sau đó không còn xuất hiện nữa và

hiện nay đã được giảm tải, theo văn bản của Bộ giáo dục thì phần “I Ôn tập

về phương trình bậc nhất, bậc hai” trong bài 2 là không dạy Vậy phải chăng

ứng dụng của nó không còn thích hợp nữa hoặc quá ít môi trường để sử dụng Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi sau:

- Ở cấp độ tri thức khoa học, hệ thức Vi-ét và ứng dụng được trình bày như thế nào? Có sự khác biệt nào với sự trình bày tri thức này ở trường phổ thông? Tại sao lại có sự khác biệt này?

- Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng xuất hiện như thế nào? Chúng được trình bày để giải quyết những bài toán gì?

- Có sự tương đồng và khác biệt nào về ứng dụng của hệ thức Vi-ét giữa 2 cấp học (THCS và THPT)?

- Tại sao hệ thức Vi-ét xuất hiện lại ở chương trình toán THPT? Có gì mới mà SGK ở cấp học này muốn giới thiệu? Những sai lầm mắc phải của học sinh ở THCS có còn xuất hiện? Tương lai của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông ở nước ta?

2 Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm cách trả lời cho các câu hỏi được nêu ra ở trên Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sẽ vận dụng những yếu tố công cụ của Didactic Toán: hợp đồng didactic, lý thuyết nhân chủng học và cách tiếp cận sinh thái học Cụ thể đó là các khái niệm của lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức, quy tắc hành động, tổ chức toán học và quan hệ dinh dưỡng theo cách tiếp cận sinh thái Bằng những công cụ của các lý thuyết này, chúng tôi sẽ rút ra được các quy tắc của hợp đồng didactic trong thực tế

dạy học Ngoài ra chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận sinh thái học để nghiên cứu sức sống của tri thức trong thể chế dạy học ở trường phổ thông hiện nay Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi xin trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu của mình như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế gắn với hệ thức Vi-ét có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng ra sao?

CH2: Mối quan hệ thể chế thể chế với hệ thức Vi-ét đã được xây dựng và tiến triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông? Có sự chuyển hóa didactic nào gắn với tri thức này?

CH3: Có sự tương đồng và khác biệt nào giữa 2 mối quan hệ thể chế với

hệ thức Vi-ét và ở cấp THCS và THPT? Tại sao lại có sự khác biệt này? Đặc trưng của các TCTH liên quan đến hệ thức này ở từng cấp học? Có sự ràng buộc nào gắn với các TCTH này?

CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở Việt Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được minh họa bằng sơ đồ sau:

Nghiên cứu tri thức khoa học

Thể chế dạy học Toán ở bậc đại học

Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy

Thể chế dạy học Toán ở trường phổ thông

Nghiên cứu thực nghiệm Quan hệ cá nhân của học sinh

Trên đây là sơ đồ phương pháp nghiên cứu, cụ thể chúng tôi sẽ làm các công

việc sau:

- Trước tiên chúng tôi sẽ phân tích các giáo trình ở bậc đại học để nghiên cứu hệ thức Vi-ét ở cấp độ tri thức khoa học Qua sự phân tích này, chúng ta sẽ thấy được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức

- Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích các sách giáo khoa, sách bài tập ở cấp THCS (lớp 9) và cấp THPT (lớp 10, 11, 12) song song với việc tham khảo sách giáo viên Cụ thể sẽ phân tích các TCTH liên quan đến hệ thức này để thấy được sự tiến triển cũng như ứng dụng của nó qua từng

cấp học Ngoài ra chúng tôi sẽ tham khảo thêm “Tài liệu bồi dưỡng

thường xuyên cho giáo viên” để hiểu thêm về sự ràng buộc của thể chế

gắn liền với tri thức Qua đó chúng ta sẽ thấy được “quan hệ dinh dưỡng” của tri thức trong thể chế dạy học hiện nay

- Những kết quả nghiên cứu ở trên có thể giúp ta rút ra các giả thuyết nghiên cứu cũng như một số hợp đồng dạy học ngầm ẩn giữa giáo viên

và học sinh mà chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương

- Phần mở đầu gồm một số ghi nhận ban đầu và những câu hỏi xuất phát dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

- Trong chương 1 chúng tôi sẽ nghiên cứu sự trình bày hệ thức Vi-ét và ứng

dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học qua việc nghiên cứu các giáo trình đại học

- Mở đầu chương 2 là sự phân tích SGK Toán 9, cụ thể là các TCTH liên quan đến hệ thức Vi-ét Tiếp đến sẽ phân tích SGK Toán 10 nâng cao để thấy được sự tiến triển và khác biệt so với cấp THCS Qua đó giúp ta nắm được đặc trưng của 2 mối quan hệ thể chế đối với hệ thức này ở từng bậc học Sau

cùng chúng tôi sẽ phân tích SGK Toán 11, 12 nâng cao để tìm hiểu quan hệ dinh dưỡng của hệ thức Vi-ét

- Chương 3 được đúc kết từ những kết quả của chương 2 kèm thêm những phân tích chương trình trong SGK Toán 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh dưỡng” của hệ thức Vi-ét

- Chương 4 trình bày thực nghiệm với học sinh Qua bộ câu hỏi thực nghiệm

sẽ kiểm chứng được hợp đồng didactic cũng như giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra ở chương 2, 3

- Phần kết luận sẽ tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương trước đồng thời đề cập đến những hướng mới có thể mở ra từ luận văn

Trong nội dung trình bày luận văn, sử dụng từ “hệ thức” hoặc “công thức” nhằm mục đích tránh sự trùng lặp làm câu văn lủng củng “Hệ thức” và

“công thức” đều mang ý nghĩa giống nhau, “hệ thức” được sử dụng nhiều hơn trong các sách giáo khoa Toán phổ thông ở Việt Nam hiện nay Ngoài

ra, khi sử dụng “định lí Vi-ét” thay cho “công thức Vi-ét”, chúng tôi muốn

đề cập đến “điều kiện để sử dụng công thức Vi-ét: phương trình đã cho phải

có nghiệm” được trình bày một cách tường minh trong sách giáo khoa, từ đó chúng tôi có thể rút ra được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức này

Chương 1

PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC ĐẠI HỌC

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình đại học chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm rõ nguồn gốc và tiến trình

mà công thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng của chúng ở bậc học này

Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai giáo trình sau:

- Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục (ký hiệu là

[a])

-Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại

học quốc gia TP Hồ Chí Minh (ký hiệu là [b])

Mục tiêu của việc lựa chọn hai giáo trình này là việc trình bày các vấn đề liên quan đến hệ thức Vi-ét tương đối phong phú hơn các giáo trình khác và đây cũng là hai giáo trình thường được nhiều trường đại học lựa chọn để sinh viên tham khảo

Cụ thể, giáo trình [a] đặc biệt làm rõ những dẫn xuất của công thức Vi-ét, còn các ứng dụng của nó thì được trình bày đầy đủ hơn ở giáo trình [b]

1.1 Định lý Vi-ét trong giáo trình [a]

Trong giáo trình này, định lý Vi-ét được đề cập chính thức ở chương V với nhan

đề “Vành chính và vành Ơclit” Nhưng hình dáng của công thức Vi-ét và ứng dụng của nó đã được trình bày ở chương trước, đó là chương IV “ Vành đa thức”

Cụ thể trong bài 2 “Vành đa thức nhiều ẩn”, khái niệm đa thức đối xứng đã được

trình bày ở trang 116 như sau:

“ Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị Trước hết ta hãy xét vành đa thức 2

ẩn A[x 1 ,x 2 ] Trong vành này ta chú ý tới hai đa thức đặc biệt sau đây:

f(x 1 ,x 2 )= x 1 + x 2 , g(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ”

Đến đây công thức Vi-ét đã phần nào được giới thiệu, đó là hai công thức: tổng

và tích Trong phần này, giáo trình đã lưu ý chúng như là hai đa thức đặc biệt Đa

thức đối xứng có thể được coi là yếu tố lý thuyết giải thích cho các kĩ thuật giải các

dạng toán liên quan đến định lí Vi-ét ở phổ thông

cũng là những đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.”

Các đa thức đối xứng cơ bản này tổng quát hơn là hai đa thức đặc biệt mà giáo trình đã chú ý ở phần trên, đó cũng chính là khái niệm liên quan trực tiếp đến việc hình thành công thức Vi-ét tổng quát sau này

Ngoài ra, trong phần ứng dụng được [a] nhắc tới sau đó thì hình bóng của hệ thức Vi-ét đã rõ ràng hơn

“ Tìm các số nguyên , ,α β γ sao cho

3 3 3

6

366

Vì f(a) = 0 khi và chỉ khi một trong các thừa số a−α,a−β,a−γ bằng 0, cho nên các nghiệm của f(x) là , ,α β γ Khai triển f(x) ta được

Cụ thể trong định lí 2 thì công thức đã xuất hiện như sau:

“ Định lí 2 Giả sử f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x], với K là một

trường Thế thì f(x) có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau

c c

c c

c c

c c

Ta nhận thấy rằng các vế trái của công thức trên chẳng qua là các đa thức đối xứng cơ bản của các phần tử α α1, 2, ,αn (chương IV) ”

Như vậy công thức Vi-ét được rút ra sau khi so sánh 2 dạng phân tích của một

đa thức f(x) có không quá n nghiệm trong trường K Trong phần trình bày ở định lí

2 này thì câu “ các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau” được lặp lại hai lần,

điều này có nghĩa là nếu f(x) có nghiệm bội cấp m (m>1) thì công thức Vi-ét vẫn

có thể được áp dụng

Ngoài ra, trong định lí 2 có đề cập “f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x],

với K là một trường” Do đó ta có thể hiểu công thức Vi-ét có tầm áp dụng rộng rãi

ở mọi trường số, bao gồm trường số thực R và cả trường số phức C

Qua sự trình bày những yếu tố lí thuyết liên quan trực tiếp đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a], ta thấy công thức này được xuất hiện dưới dạng một công cụ,

nó được gắn liền với việc xét nghiệm của các đa thức f(x) thuộc vành K[x] với K là một trường số bất kỳ Chúng ta cũng có thể thấy được một yếu tố lý thuyết quan trọng dẫn đến việc hình thành công thức này đó là các đa thức đối xứng cơ bản

Để tìm hiểu xem ứng dụng của hệ thức Vi-ét rộng rãi đến đâu, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến hệ thức này trong [a]

Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a]

Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”

Theo chúng tôi, đây là kiểu nhiệm vụ trọng yếu liên quan đến việc sử dụng hệ thức Vi-ét Vì số lượng bài tập trong giáo trình [a] khá hạn chế nên chỉ có 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1

+ Tính giá trị của các đa thức đối xứng vừa tìm được

+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z))

+ Sử dụng công thức Vi-ét để thay các hệ số của khai triển f(a)

Suy ra : xy+xz+yz = ±4 và xyz= ± 12

Xét đa thức f(a)∈ K[a] :

f(a) = (a – x)(a – y)(a – z)

Nghiệm của phương trình f(a) = 0 là x, y, z Khai triển f(a) ta được:

Đây là một hệ phương trình tương đối phức tạp đối với học sinh phổ thông và ngay cả với sinh viên đại học Việc sử dụng hệ thức Vi-ét nhờ vào phương pháp tìm giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản đã giúp giải bài toán không quá khó khăn

Ví dụ trên đã cho ta thấy được ứng dụng công cụ của công thức Vi-ét trong việc giải

+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z))

+ Sử dụng công thức Vi-ét thay để thay các hệ số của khai triển f(a)

f a( )=a3−σ1a2+σ2a−σ3

+ Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần tìm

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Kĩ thuật τ12 này không khác kĩ thuật τ11 là mấy vì chúng dựa trên cùng một môi trường công nghệ và lí thuyết giống nhau Nhưng khi dùng kĩ thuật τ12 thì lời giải được trình bày gọn gẽ hơn và tiết kiệm được thời gian hơn khi làm bài

Kiểu nhiệm vụ T2: “ Chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”

Biến đổi vế trái thành vế phải:

+ Biến đổi đại số để biểu thị đa thức qua các đa thức đối xứng cơ bản

+ Sử dụng công thức Vi-ét, suy ra điều phải chứng minh

Hoặc biến đổi vế phải thành vế trái:

+ Dùng công thức Vi-ét,

+ Biến đổi đại số, suy ra điều phải chứng minh

Lời giải bài tập minh họa cho kĩ thuật τ21:

Nhận xét:

Ở giáo trình [a] này có hai kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến công thức Vi-ét là kiểu nhiệm vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” và T2 “chứng

minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm” Đặc trưng của hai kiểu nhiệm vụ trên là

các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3, do đó mức độ phức tạp của các bài tập chỉ tương đối Mỗi kiểu nhiệm vụ chỉ có 1 bài tập nhưng qua đó chúng ta không chỉ thấy được công cụ Vi-ét hữu ích thế nào trong việc giải hệ phương trình bậc cao với số ẩn lớn hơn 2 mà còn mối quan hệ mật thiết giữa công thức này và lí thuyết về các đa thức đối xứng cơ bản

1.2 Định lí Vi-ét trong giáo trình [b]

Trong giáo trình [b], công thức Vi-ét xuất hiện ở chương III “ Vành đa thức” Cụ thể là ở bài 2 “ Nghiệm của đa thức”, công thức đã được đưa vào trang 97 như sau: “ Cho đa thức f(x) ∈ K[x]

i n

n

i j

i j n n

k

n k

i i i n n

”

Như vậy, ở [b] đã khẳng định rất rõ ràng rằng công thức Vi-ét được suy ra từ

việc so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau của một đa thức f(x)∈ K[x] , K

là một trường bất kỳ Việc trình bày công thức Vi-ét không khác lắm so với giáo trình [a], riêng về sự xuất hiện của công thức này với lí thuyết các đa thức đối xứng

cơ bản thì thứ tự có thay đổi mà [b] đã trình bày sau đó:

“ Ta thấy rằng các vế phải của công thức Vi-ét không thay đổi nếu ta thực hiện phép hoán vị bất kì trên các nghiệm α α1, 2, ,αn Đó là những đa thức đối xứng Trong bài 7 chúng ta sẽ khảo sát các đa thức này ”

Để hiểu rõ thêm chức năng của công thức Vi-ét trong [b], chúng ta cũng sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học có liên quan

Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [b]

Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”

Trong giáo trình này, có 4 bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ T1 đã có mặt ở giáo trình [a]

Ví dụ: døk 3 24a t r ang 128

“ Giải hệ phương trình sau:

2 2 2

214

Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”

Lời giải bài 3.22a minh họa cho kĩ thuật τ22:

“ Gọi x x x là 3 1, 2, 3 nghiệm của phương trình

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Kĩ thuật τ22 sử dụng khá hiệu quả cho những bài tập mà các hệ số của phương

trình được cho là những giá trị p, q … tượng trưng Còn với những phương trình mà

các hệ số là các số cụ thể, ta có thể sử dụng kĩ thuật τ23 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T2’ này

Kĩ thuật τ23:

+ Giải phương trình được cho (bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng máy tính bỏ túi…)

+ Thay giá trị của các nghiệm vừa tìm được vào biểu thức cần tính

Lời giải bài 3.22a minh họa cho kĩ thuật τ23:

“Nhận thấy tổng các hệ số của phương trình 3

2 3 0+ − =

x x có tổng bằng 0

Do đó phương trình sẽ có một nghiệm là 1 Khi đó

x3+2x− =3 (x−1)(x2+ +x 3)

Ph ương trình 2

3 0+ + =

lên một mối tương quan mật thiết giữa nghiệm và hệ số của một phương trình, đó

cũng chính là nguồn gốc của công thức Vi-ét mà [a] và [b] đã trình bày

Ở kĩ thuật τ23, ta sẽ giải một phương trình bằng phương pháp thuần túy (đưa về phương trình tích) hoặc bằng máy tính bỏ túi (casio fx 570ES Plus) Nhưng khi sử dụng kĩ thuật này có thể sẽ gặp một ít khó khăn trong việc tính toán đại số khi các nghiệm của phương trình là một biểu thức phức tạp (chứa căn, nhiều số hạng, …)

Ở kiểu nhiệm vụ T2’ này có một bài tập với yêu cầu có thể hơi khác về lời văn nhưng chúng tôi vẫn quy về cùng một kiểu nhiệm vụ, đó là bài 3.23 trang 128

Giáo trình [b] có cả 2 nhiệm vụ là T1 và T2 của [a], ngoài ra còn có thêm T2’ nhưng cả ba kiểu nhiệm vụ kể trên đều không nằm ngoài đặc trưng mà ta đã nhắc tới ở [a] là các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3 Như vậy, ta có thể coi đây là một ràng buộc ngầm ẩn của thể chế dạy học ở bậc đại học với tri thức này Qua các kiểu nhiệm vụ có mặt ở [b], ta lại thấy sức mạnh của công thức Vi-ét trong việc giải quyết các dạng bài tập liên quan đến nghiệm của phương trình và hệ phương trình, nhất là đối với trường hợp phương trình bậc cao (lớn hơn 2) Sự gắn kết của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ thức Vi-ét luôn được thể hiện qua việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ nêu trên

Bảng 1.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong [a], [b]

Kiểu nhiệm vụ Số bài tập

- Về sự xuất hiện của hệ thức Vi-ét:

Việc trình bày và cách thức xuất hiện hệ thức Vi-ét ở hai giáo trình [a] và [b] là tương tự nhau Công thức Vi-ét có mặt trong chương “Vành đa thức”, cụ thể là khi xét đến bài “Vành đa thức nhiều ẩn” và nó được rút ra từ việc so sánh hệ số của các lũy thừa giống nhau khi khai triển một đa thức f(x) ∈ K[x], K là một trường bất kỳ

và các nghiệm của f(x) có thể phân biệt có thể trùng nhau (nghiệm bội) Sự xuất

hiện này có liên quan mật thiết đến việc nắm vững lí thuyết về các đa thức đối xứng

cơ bản Dù thứ tự xuất hiện của hệ thức Vi-ét và các đa thức đối xứng cơ bản có khác nhau ở giáo trình [a] và [b] nhưng việc phải nắm vững đồng thời hai kiến thức này để giải các dạng toán liên quan đã được thể hiện rõ qua các kiểu nhiệm vụ

- Vai trò “công cụ” của hệ thức Vi-ét:

Qua sự trình bày cũng như cách thức xuất hiện của công thức Vi-ét, ta thấy tri thức này đóng vai trò là “công cụ” để giải quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan (kiểu nhiệm vụ T1, T2, T2’) Qua các kiểu nhiệm vụ vừa nêu, tầm quan trọng đặc biệt của công thức Vi-ét đã được khẳng định khi công cụ này được sử dụng trong việc giải quyết các hệ thức liên quan giữa các nghiệm phương trình, cho thấy được mối liên hệ đặc biệt giữa nghiệm và hệ số Trong đó cũng nêu bật được vai trò lí thuyết nền tảng của các đa thức đối xứng cơ bản

Như vậy, các ứng dụng của công cụ Vi-ét có còn được sử dụng đầy đủ ở cấp học thấp hơn (THPT và THCS)? Học sinh được tiếp cận với công thức Vi-ét như thế nào qua sự trình bày ở SGK toán phổ thông? Có sự khác biệt gì giữa hai mối quan

hệ thể chế này? Chúng tôi sẽ tìm cách trả lời những câu hỏi này qua kết quả phân tích thể chế ở chương 2

Chương 2

PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức phổ thông Cụ thể hơn, qua việc phân tích sách giáo khoa ở các khối lớp THCS và THPT, chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm

rõ nguồn gốc và tiến trình mà công thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng của chúng ở bậc học này Qua đó so sánh được sự khác biệt của tri thức này ở phổ thông và ở bậc đại học

Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai bộ sách giáo khoa sau sau:

+ Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục

Bên cạnh hai bộ sách đã nêu, với từng bộ sách chúng tôi sẽ tham khảo thêm sách giáo viên để làm cơ sở phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế với tri thức này ở phổ thông

2.1 Phân tích SGK, SBT Toán 9

Tài liệu phân tích:

+ Phan Đức Chính tổng chủ biên (2008), Sách giáo khoa Toán 9 Tập 2, Nxb

Giáo dục (sau đây được kí hiệu là SGK9)

+ Phan Đức Chính tổng chủ biên (2008), Sách bài tập Toán 9 Tập 2, Nxb

Giáo dục (sau đây được kí hiệu là SBT9)

Trong SGK9, công thức Vi-ét được đưa vào ở chương IV “Hàm số y=ax (2 a≠0) – Phương trình bậc hai một ẩn” Cụ thể là sau khi học sinh đã học xong bài “Công

thức nghiệm của phương trình bậc hai” và “Công thức nghiệm thu gọn”

“Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” là nhan đề bài 6 trong chương IV Trước khi vào nội dung bài học, SGK9 cũng đã hé lộ một phần nào đó nguồn gốc của công thức

này bởi một nhận xét bên dưới tựa đề là “Nghiệm và hệ số của phương trình có mối

liên quan kì diệu”

Trong bài 6 này, công thức Vi-ét được rút ra một cách gián tiếp thông qua một hoạt động nhỏ của học sinh:

ax bx c ( a≠0) thì

x x

a ”

Như vậy, công thức Vi-ét đã được học sinh rút ra từ một công thức nghiệm mà

học sinh đã học ở bài trước, đó là sử dụng biệt thức ∆ (delta) để biểu diễn nghiệm

của một phương trình bậc hai

Công thức Vi-ét có mặt trong một định lí mà điều kiện đi kèm là phương trình

bậc hai có 2 nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép Điều kiện này đã được nhắc tới

trong hoạt động ?1 của học sinh

Tiếp đến, SGK đã giới thiệu hai kí hiệu đặc biệt cho tổng và tích hai nghiệm, đó

là S và P SGK9 đã trình bày các kí hiệu này ở phần “ 2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng” :

“ Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P Gọi một số là x thì số kia

là S – x Theo giả thiết ta có phương trình

áp dụng được SGK nhắc tới sau đó, ta thấy có 2 ứng dụng nổi bật sau:

- Tìm một nghiệm khi đã biết nghiệm còn lại

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Ngoài 2 ứng dụng kể trên, một ứng dụng cũng không kém phần quan trọng đã được SGV lớp 9 đề cập đó là “nhẩm nghiệm” Đây chính là mục tiêu quan trọng ở

bài 6 mà SGV đã lưu ý “cần yêu cầu HS vận dụng triệt để hệ thức Vi-ét để tính

nhẩm nghiệm của phương trình” Ứng dụng này được giới thiệu đến học sinh thông

a …

Nếu phương trình 2

0( 0)

ax bx c a có a - b + c =0 thì phương trình có một nghiệm là x1= −1, còn nghiệm kia là x2 = −c

a ”

Như vậy, để học sinh nắm vững hệ thức Vi-ét cũng như ứng dụng “nhẩm nghiệm” của nó thì hai kiến thức trên đều được rút ra từ những bài làm của chính học sinh Việc làm này sẽ giúp học sinh khắc sâu hơn những điều vừa học cũng như phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo ở mỗi em

SGV lớp 9 tập 2 có lưu ý: “ Thực tế cho thấy nhiều HS sau khi tốt nghiệp trung

học cơ sở không biết sử dụng hoặc sử dụng kém công thức nghiệm trong trường hợp có thể dùng ' ∆ , không biết dùng hệ thức Vi-ét, thậm chí, không nhẩm được nghiệm trong trường hợp a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 Đó là những điều rất đáng khắc phục.” Nhận xét trên đã giải thích được ý đồ trình bày hệ thức Vi-ét và

ứng dụng của nó trong SGK

Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong SGK9, SBT9

Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ có trong SGK9 và SBT9 để làm rõ vai trò “công cụ” của hệ thức Vi-ét ở cấp học THCS

Kiểu nhiệm vụ T1 “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1” không xuất hiện một

cách tường minh mà dưới dạng một kiểu nhiệm vụ mà SGK9 đã trình bày ở mục 2,

đó là “tìm 2 số biết tổng và tích của chúng” Chúng tôi gọi đây là kiểu nhiệm vụ T1’, nó xuất hiện với số lượng là 12/46 bài

Kiểu nhiệm vụ T1’: “Tìm 2 số biết tổng và tích”

L ời giải bài 61a/64 SGK minh họa cho kĩ thuật τ13:

“ u và v là hai nghiệm của phương trình

x2−12x+28=0

Ta có: ' ∆ = 36 – 28 =8 ∆ =' 2 2;

x1= +6 2 2, x2 = −6 2 2

Vì 6+2 2 > −6 2 2 nên u= +6 2 2,v= −6 2 2.”

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, bài 32c/54 SGK9 trước khi sử dụng kĩ thuật τ13ta phải thực hiện một bước biến đổi quan trọng để đưa đề bài về dạng tổng tích , từ đó có thể ứng dụng hệ thức Vi-ét

Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”

Đây là kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện ở giáo trình [b], tuy nhiên các bài tập trong SGK9 ở mức độ đơn giản, hầu như xoay quanh yêu cầu “tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của phương trình” với số lượng 12/46 bài

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

- Các phương trình bậc hai được cho đa số là có nghiệm (chỉ có 2 phương trình được cho là vô nghiệm)

- Đi kèm với yêu cầu tính tổng và tích là việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình (tính ∆ , tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm)

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Lời giải bài 30/54a SGK9 minh họa cho kĩ thuật τ24:

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

có chứa tham số, trước khi sử dụng công thức Vi-ét đều có một yêu cầu đi kèm trước đó là “tìm m để phương trình có nghiệm” nhưng học sinh thường không hiểu được tại sao lại có yêu cầu này, chúng chỉ hiểu đây là hai yêu cầu khác nhau của bài toán mà không nhận ra được việc phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của định lí Vi-

ét trước khi sử dụng nó

Kiểu nhiệm vụ T3: “Nhẩm nghiệm”

Đây là kiểu nhiệm vụ không có mặt trong [a] và [b] “Nhẩm nghiệm” là một trong những kĩ năng mà SGV muốn học sinh đạt được Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này là 15/46 bài

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3: có 2 dạng

- Nhẩm nghiệm trong trường hợp a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 (chiếm đa số, 12/15 bài)

- Nhẩm nghiệm dựa vào công thức tổng tích 1+ 2 = −b; 1 2 = c

+ Các trường hợp còn lại, sử dụng công thức tổng 1 2

−+ = b

x x

a và tích x x1 2 = c

a

rồi sau đó nhẩm nghiệm

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Lời giải minh họa cho kĩ thuật τ3:

Kiểu nhiệm vụ T4: “Biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại”

Số lượng bài tập thuộc T4 là 6/46 bài

a ađể suy ra nghiệm kia

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Lời giải bài 60a/64 SGK9 minh họa cho kĩ thuật τ41:

ax bx c có nghiệm là x và 1 x thì 2tam thức ax2+bx+c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax2+bx+ =c a x( −x1)(x−x2).”

Bài tập trên thuộc kiểu nhiệm vụ T2 “chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm” có trong [a] Ngoài bài 33, SGK không có một bài tập nào thuộc kiểu nhiệm vụ này Lời giải có thể trình bày như sau:

ax bx c có nghiệm là x và 1 x 2 nên theo định lí Vi-ét

1 2 − ; 1 2

x x x x

a a (*) Thay (*) vào VP ta được:

+ Phân tích phương trình đã cho thành nhân tử dựa vào 1 nghiệm cho trước

+ Khai triển, so sánh hệ số của lũy thừa giống nhau để suy ra nghiệm còn lại

Công nghệ θ1: công thức Vi-ét

Lời giải minh họa cho kĩ thuật τ51:

115

−+ =

Bảng 2.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK9, SBT9

Kiểu nhiệm vụ Số bài tập

“ Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 +bx+c=0 ( a≠0) thì

x x

a ”

Như vậy, so với cả 2 giáo trình [a] và [b] thì ứng dụng của công thức Vi-ét đã bị

thu hẹp ở tam thức bậc hai trong chương trình toán phổ thông, trong khi công thức

này có thể áp dụng với một đa thức f(x) bậc n bất kỳ ở cấp bậc đại học Ở [a] và [b] không phát biểu thành “định lí Vi-ét” mà chỉ đưa ra công thức Vi-ét sau khi trình bày một định lí đi kèm trước đó:

“Định lí 2 Giả sử f(x) là một đa thức bậc n > 1 của một vành K[x], với K là một trường Thế thì f(x) có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau.”

Định lí trên cho phép ta sử dụng công thức Vi-ét với một đa thức bất kỳ ở bậc

đại học Do đó không cần phải xét điều kiện có nghiệm của một tam thức bậc hai

trong “định lí Vi-ét” ở chương trình toán phổ thông vì các đa thức ở bậc học này ta chỉ mới xét nghiệm trên trường số thực Vì vậy trong [a] và [b] chỉ gọi là “công thức Vi-ét” chứ không dùng “định lí Vi-ét” Vậy những học sinh ở bậc THCS đã hiểu kiến thức này như thế nào: định lí hay công thức?

Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ cho thấy có 3 kiểu nhiệm vụ chiếm ưu thế ngang nhau, đó là T1’ “tìm hai số biết tổng và tích”, T2’ “tính hệ thức liên quan

giữa các nghiệm”, T3 “nhẩm nghiệm” Ba kiểu nhiệm vụ này chiếm gần 85% tổng

số bài trong SGK Điều này phù hợp với mục tiêu mà SGV đã nhắc tới ở trang 47 như sau:

“ – HS nắm vững hệ thức Vi-ét

- HS vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như:

 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c =0,

a – b + c =0, hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những

số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn

 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.”

Kiểu nhiệm vụ T3 “nhẩm nghiệm” thực chất là “giải phương trình bậc hai”

“Nhẩm nghiệm” nhờ ứng dụng định lí Vi-ét là một phương pháp để giải phương trình bậc hai chính xác và gọn gàng Các bài tập thuộc T3 trong SGK đều có yêu cầu “tính nhẩm nghiệm”, do vậy học sinh sẽ biết sử dụng ngay hệ thức Vi-ét mà

không biết đây chính là một cách khác để giải phương trình bậc hai Vì thế chúng tôi rút ra được giả thuyết nghiên cứu sau:

GT1: “Công thức Vi-ét không được học sinh ưu tiên trong những trường hợp có thể sử dụng: nhẩm nghiệm hoặc biện luận nghiệm của hệ phương trình”

Các kiểu nhiệm vụ T2 “chứng minh hệ thức liên quan giữa các nghiệm” và T5

“xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” xuất hiện với

số lượng hạn chế do mức độ khó cũng như lưu ý mà SGV trang 48 đưa ra:“Nội

dung có thể dài, vì thế cần chọn cách dạy đơn giản nhất để học sinh nắm được những điều cơ bản nhất.”

Kiểu nhiệm vụ T1’ “tìm hai số biết tổng và tích” chính là dấu vết của kiểu nhiệm

vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” trong [a] Thực chất giải T1’ chính là giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn nhưng các bài toán thuộc T1’ không được trình bày dưới dạng này do học sinh chỉ mới được học cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, đồng thời nhằm đến hướng học sinh triệt để ứng dụng hệ thức Vi-ét

Các kiểu nhiệm vụ trong SGK9, SBT9 đơn thuần là yêu cầu học sinh tính toán nhờ công thức Vi-ét Tuy nhiên cũng có một số bài tập (bài 62/64 SGK9) học sinh phải biết biến đổi về dạng tổng tích, việc làm này cho thấy ảnh hưởng quan trọng một cách ngầm ẩn của các đa thức đối xứng cơ bản

Như vậy, SGK đã không có một kiểu nhiệm vụ nào giúp học sinh nắm vững định lí Vi-ét Nghĩa là trước khi sử dụng hệ thức này, các em phải xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai Qua việc phân tích các kiểu nhiệm vụ, chúng tôi

dự đoán tồn tại một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn ở HS:

HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét” tồn tại ngầm ẩn ở học sinh

2.2 Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10

Tài liệu phân tích:

+ Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nxb

Giáo dục (kí hiệu là SGK10)

+ Nguyễn Huy Đoan chủ biên (2010), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, Nxb

Giáo dục (kí hiệu là SBT10)

Chúng tôi không chọn bộ SGK Toán 10 cơ bản vì theo “Hướng dẫn thực hiện

việc điều chỉnh nội dung dạy học môn Toán cấp THPT” mà Bộ GDĐT gởi cho các

tỉnh vào tháng 8 năm 2011, với mục tiêu “cắt giảm những nội dung trùng lặp” thì phần 3 “Định lí Vi-ét” (SGK Toán 10 cơ bản trang 58) được chỉ đạo “không dạy” vì nội dung của phần này không có gì mới so với cấp dưới Ở phần 3 “Hướng dẫn thực

hiện các nội dung” có ghi rõ: “Đối với các bài, các phần không dạy thì GV dùng

th ời lượng của các bài, các phần này dành cho các bài, các phần khác hoặc sử

d ụng để luyện tập, củng cố, hướng dẫn thực hành cho HS” Như vậy, ở bộ SGK

Toán 10 cơ bản, GV chỉ cho học sinh làm bài tập để củng cố kiến thức liên quan đến định lí Vi-ét đã học ở lớp 9, số lượng bài tập trong bộ sách này cũng rất hạn chế Đó là lí do chúng tôi chọn phân tích bộ SGK Toán 10 nâng cao

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được giới thiệu trong mục 3 của bài 2: “Phương trình

bậc nhất và bậc hai một ẩn” Cụ thể, SGK10 đã trình bày như sau:

“Ở lớp dưới, chúng ta đã học định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai

Hai số x 1 và x 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai

Ở SGK9, định lí Vi-ét được phát biểu dưới dạng mệnh đề “nếu … thì”, còn ở

SGK10 là “khi và chỉ khi” Qua sự khác biệt trên, ta thấy được mức độ yêu cầu vận

dụng định lí Vi-ét ngầm ẩn mà noosphère đặt ra ở 2 cấp học: