4. Cấu trúc của luận văn
2.2. Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10
Tài liệu phân tích:
+ Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. (kí hiệu là SGK10)
35
+ Nguyễn Huy Đoan chủ biên (2010), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. (kí hiệu là SBT10)
Chúng tôi không chọn bộ SGK Toán 10 cơ bản vì theo “Hướng dẫn thực hiện
việc điều chỉnh nội dung dạy học môn Toán cấp THPT” mà Bộ GDĐT gởi cho các
tỉnh vào tháng 8 năm 2011, với mục tiêu “cắt giảm những nội dung trùng lặp” thì phần 3 “Định lí Vi-ét” (SGK Toán 10 cơ bản trang 58) được chỉ đạo “không dạy” vì nội dung của phần này không có gì mới so với cấp dưới. Ở phần 3 “Hướng dẫn thực hiện các nội dung” có ghi rõ: “Đối với các bài, các phần không dạy thì GV dùng
thời lượng của các bài, các phần này dành cho các bài, các phần khác hoặc sử dụng để luyện tập, củng cố, hướng dẫn thực hành cho HS”. Như vậy, ở bộ SGK Toán 10 cơ bản, GV chỉ cho học sinh làm bài tập để củng cố kiến thức liên quan đến định lí Vi-ét đã học ở lớp 9, số lượng bài tập trong bộ sách này cũng rất hạn chế. Đó là lí do chúng tôi chọn phân tích bộ SGK Toán 10 nâng cao.
Hệ thức Vi-ét và ứng dụngđược giới thiệu trong mục 3 của bài 2: “Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn”. Cụ thể, SGK10 đã trình bày như sau:
“Ở lớp dưới, chúng ta đã học định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai.
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức x1+x2 = −b
a và x x1 2 = c
a.”
Do đã được học định lí Vi-ét ở lớp 9 nên SGK10 không dẫn dắt học sinh rút ra công thức x1+x2 = −b
a,x x1 2 = c
a thông qua một hoạt động nào mà chỉ nhắc lại nội dung định lí. Tuy nhiên, có một sự khác biệt về cách phát biểu nội dung của định lí. Ở SGK9, định lí Vi-ét được phát biểu dưới dạng mệnh đề “nếu … thì”, còn ở SGK10 là “khi và chỉ khi”. Qua sự khác biệt trên, ta thấy được mức độ yêu cầu vận dụng định lí Vi-ét ngầm ẩn mà noosphère đặt ra ở 2 cấp học:
36
+ Ở lớp 9, nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì ta có thể sử dụng công thức Vi-ét để tính tổng và tích của chúng.
+ Ở lớp 10, ngoài mệnh đề thuận như lớp 9 còn có mệnh đề đảo, đó là nếu có tổng và tích của 2 số bất kỳ, ta có thể lập được một phương trình bậc hai nhận 2 số ấy làm nghiệm.
Thực chất mệnh đề đảo ở trên đã xuất hiện một cách không tường minh ở cấp THCS, đó chính là kiểu nhiệm vụ T5 “xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” đã xuất hiện ở SBT9 nhưng không có ở SGK9.
Sau đó, SGK10 đã nhắc lại những ứng dụng của định lí Vi-ét mà học sinh đã được học:
“Định lí Vi-ét có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn như:
1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai; 2) Phân tích đa thức thành nhân tử:
Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x1)(x - x2) (xem bài tập 9);
3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình x2 – Sx + P =0.”
Ngoài ba ứng dụng đã nêu, SGK10 đã trình bày thêm một ứng dụng quan trọng khác của định lí Vi-ét, đó là “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”. SGK10 đã viết như sau:
“Định lí Vi-ét cho phép ta nhận biết dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai mà không cần tìm các nghiệm đó. Ta có nhận xét sau đây.
Nhận xét
Cho phương trình bậc hai ax2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1≤ x2). Đặt S = −b
a và P= c
a . Khi đó:
- Nếu P < 0 thì x1< 0< x2 (hai nghiệm trái dấu);
37
- Nếu P >0 và S<0 thì x1 ≤ x2 <0 (hai nghiệm âm).” Đi kèm với nhận xét trên là một ví dụ và chú ý như sau: “ Ví dụ 4. Phương trình bậc hai 2 (1− 2)x −2(1+ 2)x+ 2 =0 có a= −1 2<0 và 2 0 = > c nên P < 0.
Vậy phương trình đó có hai nghiệm trái dấu. CHÚ Ý
Trong ví dụ 4, cả hai kết luận phương trình có hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu đều được suy ra từ P<0.
Trường hợp P>0, ta phải tính ∆ (hay ∆') để xem phương trình có nghiệm hay không rồi mới tính S để xác định dấu các nghiệm.”
Như vậy, trong ba trường hợp xét dấu được nêu ra trong phần nhận xét, trường hợp phương trình có hai nghiệm trái dấu, học sinh không cần phải tính ∆ (hoặc
'
∆ ). Cách trình bày của SGK khá dài và gây khó hiểu cho học sinh khi vừa nêu nhận xét kèm theo chú ý.
Tuy nhiên, SBT lớp 10 nâng cao đã cung cấp cho học sinh cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai một cách đầy đủ và ngắn gọn hơn trong SGK. Qua đó, học sinh dễ nắm bắt kiến thức hơn, trang 57 SBT có viết:
“ Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < 0.
Phương trình có hai nghiệm dương ∆ ≥ 0, P > 0 và S > 0. Phương trình có hai nghiệm âm ∆ ≥ 0, P > 0 và S < 0.”
Để minh họa cho trường hợp P >0, SGK đã trình bày ví dụ 5 như sau: “Ví dụ 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình sau (nếu có)
(2− 3)x2+2(1− 3)x+ =1 0. (*) Giải. Ta có 2 3 0 = − > a và c = 1 >0 => P >0; 2 ' (1 3) (2 3) 2 3 ' 0
38
2 3 0
= − >
a và − = − −b' (1 3)> => >0 S 0.
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm dương.”
Như vậy, ngoài những ứng dụng của định lí Vi-ét mà học sinh đã được biết ở lớp 9, SGK10 đã giới thiệu thêm một ứng dụng quan trọng khác đó là: xét dấu các
nghiệm của một phương trình bậc hai. Điều này cũng nằm trong phần kĩ năng mà SGV 10 nâng cao đã nhắc tới ở trang 106: “Biết áp dụng định lí Vi-ét để xét dấu các
nghiệm của một phương trình bậc hai và biện luận số nghiệm của một phương trình trùng phương”.
Bên cạnh việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, học sinh có thể sử dụng định lí Vi-ét để biện luận số nghiệm của một phương trình trùng phương. Điều này được trình bày sau cùng trong phần “ứng dụng của định lí Vi-ét” trong SGK. “Việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai giúp ta xác định được số nghiệm của phương trình trùng phương.
Ta đã biết, đối với phương trình trùng phương ax4+bx2+ =c 0 (4)
Nếu đặt y = x2 (y≥ 0) thì ta đi đến phương trình bậc hai đối với y ay2+by+ =c 0. (5)
Do đó, muốn biết số nghiệm của phương trình (4), ta chỉ cần biết số nghiệm của phương trình (5) và dấu của chúng.”
Kiến thức về phương trình trùng phương đã được giới thiệu ở lớp 9, nhưng việc xác định số nghiệm dựa vào định lí Vi-ét đã không được đưa vào ở cấp học này mà học sinh chỉ mới được làm quen với cách giải. Để minh họa cho ứng dụng biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương, SGK đã đưa ra ví dụ 6.
“Ví dụ 6. Cho phương trình
2x4 −2( 2− 3)x2− 12=0. (6)
Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình (6) có bao nhiêu nghiệm? Giải. Đặt 2
( 0)
= ≥
y x y , ta đi đến phương trình 2y2−2( 2− 3)y− 12 =0. (7)
39
Phương trình (7) có a= 2 >0 và c= − 12<0 nên có hai nghiệm trái dấu. Vậy phương trình (7) có một nghiệm dương duy nhất, suy ra phương trình (6) có hai nghiệm đối nhau.”
Qua cách trình bày “ứng dụng của định lí Vi-ét” trong SGK10, ta thấy chỉ có thêm một ứng dụng mới mà học sinh được học, đó là “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”. Vì thực chất việc “biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương” cũng suy ra từ việc xét dấu trên.
Một ứng dụng rất quan trọng khác của định lí Vi-ét được SGK10 trình bày ở bài 5 “ Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn”. Cụ thể, trong ví dụ 2 trang 98 SGK đại số 10 nâng cao:
“Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (II) 2 2 4 2. + + = + + = x xy y xy x y
Cách giải. Ta có nhận xét rằng vế trái của mỗi phương trình trong hệ đã cho là một
biểu thức đối xứng đối với x và y (nghĩa là: khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức không thay đổi). Trong trường hợp này, ta dùng cách đặt ẩn phụ
S = x + y và P = xy. Khi đó, x2 + xy + y2= (x +y)2 – xy = S2 – P. Do đó, từ hệ (II), ta có hệ phương trình (ẩn là S và P) 2 4 2. − = + = S P S P
Dễ thấy hệ này có hai nghiệm là 3
5 = − = S P và 2 0. = = S P ”
Qua ví dụ 2, SGK10 đã đưa ra một khái niệm mới đó là “ biểu thức đối xứng” mà trước đó chỉ được nhắc tới trong SBT. Ở đây, SGK10 đã định nghĩa biểu thức đối xứng như sau: “ Khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức không thay đổi”.
Như vậy, học sinh đã được biết thêm một công cụ nữa để giải hệ phương trình mà các biểu thức được cho đối xứng, đó là sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa hệ về theo 2
40
ẩn S và P. Các hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình đối xứng (chú ý trang 100 SGK10).
Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong SGK10, SBT10
Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến nội dung định lí Vi-ét trong SGK và SBT lớp 10 để tìm ra sự khác biệt giữa hai mối quan hệ thể chế: THCS và THPT đối với hệ thức Vi-ét.
Dù SGK10 đặt trọng tâm vào ứng dụng mới của định lí Vi-ét “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”, song chúng ta vẫn bắt gặp một kiểu nhiệm vụ đã biết ở lớp 9, đó là kiểu nhiệm vụ T2’: “Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”.
Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”
Kiểu nhiệm vụ T2’ xuất hiện với số lượng hạn chế 7/29. Đặc trưng của 5 bài tập thuộc T2’: trước khi sử dụng công thức Vi-ét để tính, đề bài không yêu cầu kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Lấy ví dụ bài tập 10 trang 78 SGK lớp 10 nâng cao.
“Không giải phương trình x2 - 2x - 15 =0, hãy tính: a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó; b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó; c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.”
Từ sự có mặt của T2’ trong SGK10 cùng những đặc trưng của nó, chúng tôi càng củng cố thêm niềm tin về giả thuyết hợp đồng didactic đã nêu ở phần trước, đó là HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét” tồn tại ngầm ẩn ở học sinh qua các cấp học.
Bài tập 57c trang 101 SGK lớp 10 nâng cao chính là cơ sở để chúng tôi hình thành thực nghiệm sau này.
“ Cho phương trình (m – 1)x2 + 2x – 1 = 0. a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
41
c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình đó bằng 1.
Giải:
a) Phương trình vô nghiệm khi m <0. b) m >1.
c) Trước hết, điều kiện để phương trình có hai nghiệm là 0≤ ≠m 1. Gọi hai nghiệm là x1 và x2. Ta có 1 2 2 1 2 1 ; 1 1 − − + = = − − x x x x m m . Do đó: 2 2 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2 1 2 5. x x x x x x m + = + − = <=> = ±
Giá trị m= −2 5<0 nên bị loại. Kết luận: m= +2 5.”
Có 1 bài tập cũng đã xuất hiện trong SGK9, đó là bài 9a trang 78 SGK lớp 10 nâng cao.
“ Giả sử phương trình ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x1 và x2. Chứng minh rằng ta có thể phân tích ax2 + bx + c =a(x – x1)(x – x2).”
Tương tự cũng có một ứng dụng của bài tập này mà SGK đưa ra đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Chúng tôi không phân tích bài tập thuộc dạng này vì nó chỉ sử dụng kết quả của bài tập chứ không trực tiếp sử dụng định lí Vi-ét và vì số lượng của bài tập này rất ít (chỉ 1 câu) trong SGK.
Kiểu nhiệm vụ T6: “Xét dấu các nghiệm”
Đây là kiểu nhiệm vụ mới và cũng là kiểu nhiệm vụ trong tâm liên quan đến hệ thức Vi-ét của SGK10. Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T6 là 7/29.
Ví dụ: døk 79d vt cpi 323 U I M n�r 10 nâng cao
“ Cho phương trình (m - 1)x2 + 2x - 1 = 0. …
b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đó có hai nghiệm trái dấu”
Kĩ thuật τ6:
+ Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0. (a≠ 0) + Xét xem phương trình bậc hai có nghiệm hay không bằng cách tính ∆.
42
+ Đặt S = −b;P= c
a a. Nếu:
- P < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu;
- P > 0 và S > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương; - P > 0 và S < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
Công nghệ θ6: nhận xét trang 76 SGK10.
Lời giải bài 57b/ 101 SGK10 minh họa cho kĩ thuật τ6:
“ Phương trình (m - 1)x2 + 2x - 1 = 0. (1) (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0 Suy ra: 1 0 1 1. m m − < − <=> >
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi m > 1.”
Kiểu nhiệm vụ T7: “Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương”
Đây cũng là một trong hai nhiệm vụ trọng tâm trong SGK10. Có 8/29 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này.
Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, học sinh phải nắm vững kĩ thuật τ6 “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”, từ đó mới xác định đúng số nghiệm của phương trình trùng phương.
Kĩ thuật τ7:
+ Đưa phương trình trùng phương ax4
+ bx2 + c = 0 (1) về phương trình bậc hai ay2 + by + c = 0 (2) bằng cách đặt y = x2 ( y≥ 0).
+ Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ay2 + by + c = 0. Khi đó: - (1) có 4 nghiệm: (2) có hai nghiệm dương phân biệt.
- (1) có 2 nghiệm: (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc (2) có nghiệm kép dương. - (1) vô nghiệm: (2) có hai nghiệm âm phân biệt hoặc (2) có nghiệm kép âm hoặc vô nghiệm.
43 Lời giải minh họa cho kĩ thuật τ7:
Ví dụ: D øk 20/ 81 S G K 10 nâng cao
“ Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm.
4 2 4 2 ) 8 12 0; )(1 2) 2 1 2 0; + + = − + + − = a x x c x x 4 2 4 2 ) 1,5 2, 6 1 0; ) ( 3 2) 0. − − + = − + − = b x x d x x Giải: 4 2 ) +8 +12=0 a x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: t2+ +8t 12=0. (2) ' 4 0. 8 0; 12 0. ∆ = > = − < = > S P
Suy ra: (2) có 2 nghiệm âm phân biệt => (1) vô nghiệm.
4 2 ) 1,5− −2, 6 + =1 0. b x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: −1,5t2−2, 6t+ =1 0. (2) ' 3,19 0. 26 2 0. 0. 15 3 ∆ = > = − < = − < S P
Suy ra: (2) có 2 nghiệm trái dấu => (1) có 2 nghiệm đối nhau.
4 2 )(1− 2) +2 + −1 2 =0. c x x (1) Đặt t= x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) trở thành: (1− 2)t2+ + −2t 1 2=0. (2) ' 2 2 2 0. 2( 2 1) 0; 1 0. ∆ = − > = + > = > S P
44
Suy ra: (2) có 2 nghiệm dương phân biệt => (1) có 4 nghiệm.