4. Cấu trúc của luận văn
3.2. Trong chương trình toán THPT
Ở lớp 10, hệ thức Vi-ét xuất hiện ở chương 3 “Phương trình và hệ phương trình”. Trong bài 2 “Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn”, mục 3 “Ứng dụng của định lí Vi-ét” nhắc lại cho học sinh những kiến thức đã học ở lớp 9: (SGK10 trang 75)
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai - Phân tích đa thức thành nhân tử
- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu trong SGK Đại số 10 nâng cao là: - T1: “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
- T2’: “Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm” - T6: “Xét dấu các nghiệm”
- T7: “Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương”.
Ngoài ra còn có kiểu nhiệm vụ T8 “Biện luận hệ phương trình” với số lượng ít ỏi trong SGK10 (1 câu).
Kiểu nhiệm vụ T2’ “tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm” là cầu nối từ cấp THCS lên THPT, tuy nhiên ở mức độ phức tạp hơn như tính: 3 3 4 4
1 + 2 ; 1 + 2
x x x x .
Ví dụ: døk 3. 18 t r ang 61 S B T 10
“ Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình 2x2
– 11x + 13=0. Hãy tính: a x) 13+x 23 b x) 14+x 24 c x) 14−x 24 1 2 2 2 2 1 2 1 ) x (1− )+ x (1− ) d x x x x Giải: …
58 4 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ) [( ) 2 ] 2 11 13 13 2. 2. 2 2 2 3409 16 + = + − − = − − = b x x x x x x x x …”
Khi giải quyết các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2’ ở SGK10, tầm quan trọng của các “đa thức đối xứng cơ bản” đã được nâng lên khi các biểu thức chứa nghiệm có bậc lớn hơn 2. Qua đó tạo tiền đề để các em có thể giải quyết các đa thức có bậc cao hơn nữa ở đại học ( [b] trang 127, bài 3.22).
Tầm quan trọng của hệ thức Vi-ét được mở rộng khi học sinh được học bài 5 “Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn”, thông qua kiểu nhiệm vụ T1 “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”. Đây là kiểu nhiệm vụ chính ở giáo trình bậc đại học mà chúng tôi đã phân tích ([a] và [b]).
Hai kiểu nhiệm vụ T6 và T7 có mối quan hệ mật thiết như chúng tôi đã trình bày ở chương 2. Để giải quyết T7, học sinh phải nắm vững kĩ thuật giải T6, đó là kĩ thuật τ6 “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”. Kiểu nhiệm vụ T7 lại xuất hiện trong chương 4 “Bất đẳng thức và bất phương trình”. Ở bài 8 “Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai” có hai bài tập liên quan đến ứng dụng của định lí Vi-ét (bài 74, 75 trang 154 SGK10).
Ví dụ:
“74. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x4 + (1 -2m) x2 + m2 – 1 =0. (1) a) Vô nghiệm;
b) Có hai nghiệm phân biệt; c) Có bốn nghiệm phân biệt.
Giải:
Đặt z = x2
(z ≥0), ta được phương trình z2+ −(1 2 )m z+m2− =1 0 (2)
59
a) Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm âm.
- (2) vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ <0
(1- 2m)2 – 4(m2 -1) =5 -4m <0 5
4
>
m . - (2) chỉ có 1 nghiệm âm khi và chỉ khi
0 0 0 ∆ ≥ > < P S
Thay ∆= 5-4m, P = m2-1 và S = 2m-1, ta được hệ bất phương trình
2 5 4 0 1 0 2 1 0 − ≥ − > − < m m m Suy ra: m <-1.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi m <-1.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Ta xét hai trường hợp:
- Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P = m2 -1 < 0 hay -1 < m< 1.
- Nếu ∆ = 0 hay 5 4
=
m thì phương trình (2) có một nghiệm kép dương 3
4
=
x .
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( 1;1) 5 4
∈ − ∪
m .
c) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là
60 2 5 4 0 0 5 0 1 0 1 4 0 2 1 0 − > ∆ > > ⇔ − > ⇔ < < > − > m P m m S m .”
Đến cuối năm lớp 11, học sinh mới sử dụng lại định lí Vi-ét để giải quyết câu 22b trang 227 SGK11 trong phần ôn tập cuối năm như đã trình bày ở chương 2. Ở lớp 12, hệ thức Vi-ét được sử dụng để giải một số hệ phương trình mũ và logarit, đó cũng chính là kiểu nhiệm vụ T1 “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1” mà học sinh đã tiếp xúc ở các năm trước. Tuy nhiên số lượng bài tập thuộc T1 là rất ít (1 ví dụ trang 125 và câu 72a trang 127 SGK12). Ngoài ra kiểu nhiệm vụ T1’ “Tìm hai số biết tổng và tích”, T5 “xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” cũng có mặt thông qua bài tập 20b/196 và 21b/197 trong chương IV “Số phức”.
Kết luận chương 3
Qua phân tích các SGK từ cấp THCS đến THPT, chúng tôi rút ra được các nhận xét sau đây:
- Hệ thức Vi-ét có một vai trò hết sức quan trọng ở cấp THCS, là một trong số các dạng chắc chắn có mặt trong đề thi tuyển sinh lớp 10. Do đó việc thể chế ưu tiên cũng như có các kiểu nhiệm vụ phong phú liên quan đến việc sử dụng hệ thức này trong SGK là rất cần thiết. Nhưng liệu học sinh có thực sự nắm rõ định lí Vi-ét ở cấp học này? Câu hỏi này sẽ được giải đáp khi tiến hành thực nghiệm cho giả thuyết về sự tồn tại hợp đồng mà chúng tôi đã nêu ra ở chương 2:
HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét”.
- Ở cấp THPT, các kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện ở cấp dưới chỉ được nhắc lại, phù hợp với mục tiêu “tránh các nội dung trùng lặp” mà bộ giáo dục đã chỉ đạo. Điều này dẫn đến việc quan niệm sai lầm định lí Vi-ét chỉ là công thức Vi-ét vẫn có thể không được khắc phục ở cấp học cao hơn. Vậy những sai lầm đã xuất hiện ở THCS có còn tồn tại ở THPT ? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi xin đặt ra giả thuyết sau:
61
GT2: “Việc học sinh không kiểm tra điều kiện có nghiệm trước khi sử dụng định lí Vi-ét ở cấp THCS vẫn còn tồn tại ở cấp THPT”.
- Những kiểu nhiệm vụ mới được giới thiệu không có nhiều sức ảnh hưởng, chúng chỉ xuất hiện “lác đác” với vỏn vẹn 1 hoặc 2 câu ở một số ít bài đơn lẻ ở các phần sau ( bài 8 SGK10, bài ôn tập cuối năm lớp 11, bài 8 chương 2 và bài 2 chương IV SGK12). Do đó học sinh có thể sẽ không ưu tiên vận dụng định lí Vi-ét vào những trường hợp khả thi. Như vậy, có thể nói thể chế dạy học ở bậc THPT đã không ưu tiên định lí Vi-ét, đó cũng chính là lý do vì sao kiến thức này đã được giảm tải và thậm chí không dạy (SGK Toán 10 cơ bản). Từ nhận xét trên chúng tôi quyết định sẽ tiến hành thực nghiệm ở hai lớp 9 và 12 để kiểm định giả thuyết GT1: GT1: “Công thức Vi-ét không được học sinh ưu tiên trong những trường hợp có thể sử dụng: nhẩm nghiệm hoặc biện luận nghiệm của hệ phương trình. ”
Kết quả thực nghiệm GT1 sẽ cho phép ta trả lời câu hỏi: “Hệ thức Vi-ét có thể tiếp tục tồn tại trong thể chế dạy học hiện nay ở Việt Nam?”
62
Chương 4
THỰC NGHIỆM
Mục tiêu của chương
Chương này có mục đích kiểm định hợp đồng didactic cũng như tính thích đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra. Chúng tôi xin nhắc lại hợp đồng và các giả thuyết nghiên cứu.
HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét”.
GT1: “ Học sinh không ưu tiên ứng dụng định lí Vi-ét trong những trường hợp có thể sử dụng: nhẩm nghiệm hoặc biện luận nghiệm của hệ phương trình”.
GT2: “Việc học sinh không kiểm tra điều kiện có nghiệm trước khi sử dụng định lí Vi-ét ở cấp THCS vẫn còn tồn tại ở cấp THPT”.
Để đạt được mục đích trên, chúng tôi tiến hành 3 thực nghiệm ở 3 khối lớp như sau:
- Lớp 9: sử dụng bộ câu hỏi điều tra để kiểm định hợp đồng didactic HĐ và giả thuyết GT1.
- Lớp 10: sử dụng bộ câu hỏi điều tra với nội dung được trích từ thực nghiệm ở lớp 9 để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu GT2.
- Lớp 12: sử dụng bộ câu hỏi điều tra để một lần nữa kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu GT1.
4.1. Thực nghiệm ở lớp 9 4.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm này có mục đích nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với những ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Cụ thể, thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thích đáng của hợp đồng didactic HĐ và giả thuyết nghiên cứu GT1.
4.1.2. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành với học sinh lớp 9 THCS sau khi các em đã được học bài 6: “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” của SGK Toán 9 tập 2.
63 4.1.3. Phân tích tiên nghiệm
4.1.3.1. Câu hỏi thực nghiệm (phụ lục số 1) Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 2x2+3x− =5 0;
b) ( ) (2 )
2 1+ x − +3 2 2 x+ +2 2=0. Bài 2: Cho phương trình bậc hai
x2−2mx+m2+2m=0 (m: tham số)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm (nếu có) của phương trình.
Tìm m để: 2
1 2 1 2
(x +x ) −3x x =0.
4.1.3.2. Các biến tình huống và biến didactic ở bài 1
Mục đích của bài 1 là kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu GT1. V1. Dạng thức của phương trình V1a. Dạng tổng quát: 2 0( 0) + + = ≠ ax bx c a . V1b. Dạng chưa tổng quát.Ví dụ: 2 ( 0). + + = ≠ ax bx c d a V1c. Dạng trùng phương: 4 2 0( 0). + + = ≠ ax bx c a
Nếu phương trình được cho theo giá trị V1b thì HS có thể mắc sai lầm khi xác định các hệ số a, b, c do chưa chuyển vế để đưa phương trình về dạng tổng quát. Nếu sử dụng V1c sẽ gây thêm khó khăn khi làm bài cho HS, vì các em phải đặt ẩn phụ t = x2. Mục đích của bài 1 là kiểm tra xem HS có biết sử dụng công thức Vi-ét để tìm nghiệm phương trình bậc 2 hay không, nên chúng tôi sẽ sử dụng V1a để tạo thuận lợi cho HS nhận ra trường hợp a + b + c =0 hoặc a – b + c = 0.
V2. Hệ số a, b, c
V2a. Trường hợp b.c = 0.
Trong trường hợp b = 0, phương trình ở dạng 2
0
+ =
ax c , HS sẽ sử dụng
công cụ giải phương trình đã học ở lớp dưới, chẳng hạn x= ± −c
64
trường hợp c = 0, phương trình sẽ được quay về dạng 2
0
+ =
ax bx , HS sẽ sử dụng
kiến thức về phương trình tích để giải bài toán này. V2b. Trường hợp b.c ≠ 0.
Chúng tôi sẽ lựa chọn 3 hệ số của phương trình bậc 2 đều khác 0, khi đó kiến thức mà HS nhắm đến sử dụng sẽ là “biệt thức ” hoặc “công thức Vi-ét”. V2c. Trường hợp a +b +c =0 hoặc a –b +c =0.
Hai trường hợp trên đều có thể nhẩm nghiệm, tuy nhiên trường hợp a + b +c = 0 học sinh vẫn dễ nhận ra hơn, nên chúng tôi sẽ chọn trường hợp này nhằm tạo điều kiện thuận lợi nhất để học sinh sử dụng hệ thức Vi-ét.
V2d. Hệ số a, b, c nguyên
Khi một trong ba hệ số không thuộc Z, chẳng hạn thuộc Q hoặc I (ví dụ:
2
2x + − =x 1 0; hay 2 3
4 0.
4
+ − =
x x ) thì HS sẽ khó khăn trong việc nhận ra trường hợp a +b +c = 0 hay a –b +c = 0. Do đó chúng tôi lựa chọn giá trị V2d cho câu a, một phần tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh sử dụng công thức Vi-ét, một phần là gợi ý cách làm cho câu b. Ở câu b, cả 3 hệ số đều thuộc tập hợp số vô tỉ I, do đó khi sử dụng biệt thức ∆ để giải phương trình sẽ khó khăn hơn nhiều so với việc ứng dụng định lí Vi-ét. Việc lựa chọn giá trị V2d là khá quan trọng , nó sẽ cho thấy tầm ứng dụng của hệ thức này đối với học sinh.
4.1.3.3. Các biến tình huống và biến didactic ở bài 2
Bài 2 có mục đích kiểm chứng hợp đồng HĐ. Chúng tôi đã thiết kế bài 2 theo hướng đặt HS vào một tình huống ngoài hợp đồng.
V1. Cấu trúc đề
V1a. Có yêu cầu xét điều kiện có nghiệm của phương trình. V1b. Không yêu cầu xét điều kiện có nghiệm của phương trình.
HS thường gặp các bài toán liên quan đến việc sử dụng định lí Vi-ét, tương tự như các đề thi tuyển sinh 10 đã giới thiệu ở chương 3, đề bài thường yêu cầu xét điều kiện có nghiệm của phương trình trước tiên và kèm sau đó là câu hỏi sử dụng
65
định lí Vi-ét. Như đã nói ở trên, chúng tôi sẽ đặt học sinh vào một tình huống ngoài hợp đồng và do đó, chúng tôi lựa chọn giá trị V1b.
V2. Dạng thức của phương trình V2a. Dạng tổng quát: 2 0( 0) + + = ≠ ax bx c a . V2b. Dạng chưa tổng quát. Ví dụ: 2 ( 0). + + = ≠ ax bx c d a V2c. Dạng trùng phương: 4 2 0( 0). + + = ≠ ax bx c a
Chúng tôi vẫn lựa chọn giá trị V2a cho bài 2 vì mục đích thực nghiệm của bài 2 là kiểm tra xem học sinh có nắm vững định lí Vi-ét hay không, từ đó có thể kiểm chứng hợp đồng HĐ. Do đó nếu sử dụng giá trị V2b hay V2c sẽ tạo nên những khó khăn không đáng có đối với học sinh
V3. Biểu thức chứa x x 1, 2
Ở đây chúng tôi lựa chọn biểu thức chứa hai nghiệm x x1, 2 tương đối đơn giản, HS có thể sử dụng ngay công thức Vi-ét = +1 2 = −b, = 1 2 = c
S x x P x x
a a mà
không phải thực hiện thêm phép biến đổi đại số nào.
V4. Biệt thức ∆ ∆( ')
V4a. Biệt thức ( ')∆ ∆ không có dạng chính phương.
V4b. Biệt thức ( ')∆ ∆ có dạng chính phương.
Nếu ( ')∆ ∆ có dạng số chính phương thì HS có thể giải ra 2 nghiệm
1 , 2
2 2
− + ∆ − − ∆
= b = b
x x
a a sau khi đi tính ( ')∆ ∆ , rồi thay vào biểu thức đã cho để tìm m không mấy khó khăn. Chúng tôi sẽ dùng giá trị V4a để hướng HS vận dụng công thức Vi-ét.
V5. Số các giá trị tìm được của m V5a. Không có.
V5b. Một giá trị. V5c. Hai giá trị.
66
Khi tìm được m nhờ vào hệ thức ở đề bài, nếu chỉ có 1 giá trị m được tìm thấy thì việc HS mắc sai lầm sẽ rất lớn, học sinh có thể sẽ nhận ngay giá trị m vừa tìm được. Do đó chúng tôi thiết kế bài toán này với 2 giá trị m được giải ra, như vậy HS sẽ phân vân là chọn 1 trong 2 hay cả hai, khi đó HS sẽ phải nhớ đến điều kiện của định lí Vi-ét.
V6. Hệ số a
V6a. Chứa tham số m.
V6b. Không chứa tham số m.
Nếu hệ số a của phương trình bậc hai 2
0
+ + =
ax bx c có chứa tham số m
thì HS sẽ phải chia 2 trường hợp để giải : a = 0 và a ≠ 0. Việc phân chia trường hợp để biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 không nằm trong chương trình toán lớp 9, học sinh chỉ được tiếp xúc với dạng toán này ở THPT và nó cũng không phải là mục đích của thực nghiệm. Do đó chúng tôi lựa chọn giá trị V6b.
4.1.3.4. Phân tích các chiến lược và cái có thể quan sát được 4.1.3.4.1. Bài 1
Bài 1 với yêu cầu “giải phương trình”. Ở đây chúng tôi chỉ phân tích câu