Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12

Phép biến hình trong mặt phẳng đã được đề cập ở các lớp trước lớp 12 và tập trung ở chương I hình học lớp 11 nên trong quá trình giải bài tập trắc nghiệm các em thường quên hoặc chưa nắm chắc cách vận dụng các phép biến hình vào giải bài tập. Vì những lý do trên, cùng với sự giúp đỡ chỉ đạo của Ban Giám hiệu nhà trường và tổ chuyên môn, tác giả đã thực hiện viết sáng kiến kinh nghiệm với tên:” Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12”.

PHẦN CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Lý chọn đề tài Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Hơn nội dung kỳ thi THPTQG năm học 2016-2017 mơn tốn, theo chủ trương Bộ Giáo dục Đào tạo, chủ yếu kiến thức lớp 12 dựa kiến thức lớp trước Phép biến hình mặt phẳng đề cập lớp trước lớp 12 tập trung chương I hình học lớp 11 nên trình giải tập trắc nghiệm em thường quên chưa nắm cách vận dụng phép biến hình vào giải tập Vì lý trên, với giúp đỡ đạo Ban Giám hiệu nhà trường tổ chuyên môn, thực viết sáng kiến kinh nghiệm với tên:” Một số ứng dụng phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12” Cơ sở lý luận thực tiễn Lịch sử toán học cho thấy đại số phát triển tảng hình học trước Rất nhiều cơng trình nhà tốn học lớn Descartes, Fermat …đã nghiên cứu vấn đề Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến hai nội dung: Hàm số số phức Trong nội dung hàm số, với hàm số xác định ta đơn ánh: Suy ra: song ánh Do thay thao tác phép tính đại số ta chuyển thao tác hình học đồ thị hàm số Trong nội dung số phức ta đặt qui tắc số phức có dạng đại số với điểm mặt phẳng Dễ thấy qui tắc song ánh Do chuyển phép toán đại số số phức phép biến đổi hình học Mục đích đối tượng nghiên cứu Nếu ứng dụng phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm giúp học sinh hiểu chất hình học tốn giải tốn nhanh Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Ứng dụng đề tài Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số 1.1 Dựng đồ thị hàm số thông qua phép biến hình từ đồ thị hàm số cho 1.1.1 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số phép tịnh tiến theo véc tơ Hình 1.1.1 Từ ta thấy từ đồ thị hàm số ta “dịch lên” theo trục tung đơn vị ta thu đồ thị hàm số Nếu từ đồ thị hàm số ta “dịch xuống” theo trục tung đơn vị ta thu đồ thị hàm số Hiển nhiên, phép tịnh tiến trở thành phép đồng Chú ý: Nếu khơng có điểm bất động 1.1.2 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số phép tịnh tiến theo véc tơ Hình 1.1.2 Từ ta thấy từ đồ thị hàm số ta “dịch sang trái” theo trục hoành đơn vị ta thu đồ thị hàm số Nếu từ đồ thị hàm số ta “dịch sang phải” theo trục hoành đơn vị ta thu đồ thị hàm số Hiển nhiên, phép tịnh tiến trở thành phép đồng 1.1.3 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số phép co dãn theo trục hồnh Hình 1.1.3 Nếu phép co với hệ số co Nếu đo phép dãn với hệ số dãn Nếu ta dựng đồ thị hàm số sau lấy đối xứng qua trục tung Điểm bất động điểm nằm trục tung 1.1.4 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Do đó, đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số phép co dãn theo trục tung Hình 1.1.4 Nếu phép dãn với hệ số dãn Nếu đo phép co với hệ số co Nếu ta dựng đồ thị hàm số sau lấy đối xứng qua trục hồnh Điểm bất động điểm nằm trục hoành 1.1.5 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Hình 1.1.5 Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Vì nên đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số cách giữ nguyên phần bên trục hoành ( kể điểm nằm trục hoành), lấy đối xứng phần bên trục hồnh qua trục hồnh, sau bỏ phần bên trục hoành Những điểm nằm trục hoành điểm bất động 1.1.6 Đồ thị hàm số Giả sử thuộc đồ thị hàm số đặt tương ứng với điểm thuộc đồ thị hàm số Dễ thấy qui tắc đơn ánh Hình 1.1.6 Vì nên đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số cách bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung Những điểm nằm trục tung điểm bất động 1.1.7 Đồ thị Ta có đo đồ thị suy từ đồ thị hàm số cách bỏ phần bên trục hoành, lấy đối xứng phần bên trục hoành qua trục hồnh Hình 1.1.7 1.2 Ứng dụng vào giải số toán Bài (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên (Hình 1.2.1) Xác định tất giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt A B C D Hình 1.2.1 Hình 1.2.2 Hướng dẫn: Theo 1.1.5 ta dễ dàng dựng đồ thị hàm số (Hình 1.2.2) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng Dựa vào đồ thị ta có: Do chọn A Bài (Chuyên ĐH Vinh) Cho hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ ( Hình 1.2.3) Tất giá trị tham số để hàm số có ba điểm cực trị A B C D Hình 1.2.3 Hướng dẫn: Theo 1.1.1 1.1.5 đồ thị hàm số suy từ đồ thị hàm số cách thực phép tịnh tiến theo sau dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối Dễ thấy cực trị hàm số nằm hoàn toàn bên bên trục hồnh Do dựng đồ thị hàm trị tuyệt đối thỏa mãn yêu cầu tốn Hình 1.2.5 Hình1.2.4 Nếu hai cực trị hàm số nằm hai phía trục hồnh đựng đồ thị hàm số có cực trị (Hình 1.2.6) Hình 1.2.6 Vậy chọn A Bài Cho đồ thị hàm số hình vẽ ( Hình 1.2.7) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B C D Hình 1.2.7 Hình 1.2.8 Hướng dẫn: Theo 1.1.6 đồ thị hàm số dựng hình 1.2.8 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng tiệm cận ngang Chọn C Bài Cho hàm số bậc ba có đồ thị hình ( Hình 1.2.9) Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Khi A B C D Hình 1.2.9 Hướng dẫn: Theo 1.1.3 1.1.4 ta suy đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số cách thực phép dãn theo trục hoành với hệ số dãn ( Hình 1.2.10) sau thực phép dãn theo trục tung với hệ số dãn (Hình 1.2.11) 10 Hình 1.2.10 Hình 1.2.11 Vậy Chọn D Bài Tìm để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt A B C D Hướng dẫn: Ta có: Theo 1.1.7 số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị đường thẳng Dựa vào đồ thị suy để phương trình cho có nghiệm phân biệt Chọn A Hình 1.2.12 1.3 Bài tập đề nghị 11 Bài Giá trị lớn nhỏ hàm số Tính A 56 B 54 C D 52 Bài Tìm để phương trình sau có nghiệm A B C D Bài Cho hàm số có đồ thị hình bên ( Hình 1.3.1) Số cực trị hàm số A B C D Hình 1.3.1 Bài Cho hàm số có đồ thị hình bên ( Hình 1.3.2) Số đường tiệm cận hàm số A B C D Hình 1.3.2 Bài Giá trị để phương trình có nghiệm phân biệt A 12 B C 2 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức 2.1 Các phép biến hình ứng với phép tốn tập số phức 2.1.1 Phép cộng hai số phức Dựa định nghĩa phép cộng hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức biểu diễn điểm , số phức biểu diễn điểm Khi điểm biểu diễn số phức có cách tịnh tiến điểm theo 2.1.2 Phép trừ hai số phức Dựa định nghĩa phép trừ hai số phức ta có nhận xét sau: Giả sử số phức biểu diễn điểm , số phức biểu diễn điểm Khi điểm biểu diễn số phức có cách tịnh tiến điểm theo 2.1.3 Phép nhân hai số phức Giả sử hai số phức có biểu diễn dạng mũ , Khi đó: Do điểm biểu diễn cho điểm suy từ điểm cách thực liên tiếp phép quay tâm góc quay phép vị tự tâm tỉ số 2.1.4 Phép chia hai số phức Giả sử hai số phức có biểu diễn dạng mũ , Khi đó: Do điểm biểu diễn cho điểm suy từ điểm cách thực liên tiếp phép quay tâm góc quay phép vị tự tâm tỉ số 2.1.5 Phép lấy số phức liên hợp 13 Dựa định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau: Nếu biểu diễn cho số phức biểu diễn cho số phức đối xứng với qua trục 2.1.6 Phép lấy mô đun Giả sử điểm biểu diễn số phức Giả sử điểm biểu diễn số phức , điểm biểu diễn số phức Khi 2.2 Một số biểu diễn hình học số phức thường gặp 2.2.1 Đường thẳng Phương trình biểu diễn cho đường thẳng Đường thẳng cịn biểu diễn phương trình 2.2.2 Đường trịn, hình trịn Phương trình biểu diễn đường trịn tâm bán kính Phương trình biểu diễn hình trịn tâm bán kính 2.2.3 Đường Elip Phương trình , , biểu diễn cho Elip có tiêu điểm độ dài trục lớn Nếu Elip suy biến thành đường trịn Nếu Elip suy biến thành đoạn thẳng 2.2.4 Đường Hyperbol Phương trình , biểu diễn cho đường hyperbol có tiêu điểm , độ dài trục thực Nếu hyperbol suy biến thành đường thẳng bỏ đoạn thẳng 2.2.5 Đường Parabol 14 Cho Parabol có đường chuẩn tiêu điểm Khi phương trình Parabol có dạng: 2.3 Ứng dụng vào giải toán Bài (Đề minh họa lần năm 2017-BGD) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức hình vẽ bên Điểm điểm sau điểm biểu diễn số phức A Điểm B Điểm C Điểm D Điểm Hình 2.3.1 Hướng dẫn: Theo 2.1.3, để biểu diễn số phức ta thực liên tiếp phép quay tâm góc quay ( Đây phép đồng nhất) phép vị tự tâm tỉ số Do chọn C Bài Cho số phức thỏa mãn Biết điểm biểu diễn số phức đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn Hướng dẫn: Vì nên điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm bán kính Chú ý rằng: 15 Phép quay biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến tâm thành tâm Phép vị tự tỉ số biến đường trịn thành đường trịn có bán kính , biến tâm thành tâm Do theo 2.1.3, điểm biểu diễn số phức đường trịn Vì nên tâm Bán kính Theo 2.1.1, điểm biểu diễn số phức đường tròn Vì nên tâm Phép tịnh tiến khơng làm thay đổi bán kính nên bán kính Vậy tâm , bán kính Hình 2.3.2 Bài Cho số phức biểu diễn hình vng hình bên (Hình 2.3.2) Trong hình vng sau khơng kể hình vng biểu diễn hình biểu diễn cho số phức Hình 2.3.3 16 A B C D Hướng dẫn: Để tìm hình biểu diễn cho số phức ta thực phép biến hình sau: Ě Phép đối xứng trục Ě Phép quay tâm góc quay Ě Phép tịnh tiến theo Do chọn A Bài Cho số phức thỏa mãn , hai số phức thỏa mãn phương trình Tìm giá trị lớn 17 Hướng dẫn: Theo 2.2.3 đường elip có độ dài trục lớn Theo 2.1.1 2.1.3 elip có độ dài trục lớn Do Bài (Đề minh họa lần năm 2017-BGD) Xét số phức thỏa mãn Gọi , giá trị nhỏ giá trị lớn Tính A B C D Hướng dẫn: Theo 2.2.3, dễ thấy phương trình đoạn thẳng với Hình 2.3.4 Giả sử Do độ dài đoạn Ta có phương trình đường thẳng ; Vậy , 2.4 Bài tập đề nghị Bài Cho số phức thỏa mãn số phức thỏa mãn Giá trị lớn giá trị nhỏ Khi A 16 18 B C D Bài Cho số phức có miền biểu diễn miền kể biên hình vng hình vẽ ( Hình 2.4.1) Diện tích miền biểu diễn số phức A 17 B C C Hình 2.4.1 Bài Cho số phức thỏa mãn số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ A B C D Bài Cho số phức Khi A B C D Bài Trong mặt phẳng phức cho elip có phương trình Biết số phức biểu diễn elip Tính diện tích elip A 19 B C D PHẦN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Tiến hành kiểm tra trắc nghiệm với tập đề tài cho lớp 12A1 Sau tiến hành dạy chuyên đề “Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12” tiến hành kiểm tra thứ hai với tập kiến nghị đề tài Kết thu sau: Trung bình Khá Giỏi Lần 5/26 15/26 6/26 Lần 1/26 16/26 9/26 Thời gian Nhanh Các em làm nhanh với kết xác sau tiếp cận thêm phương pháp làm 20 PHẦN KẾT LUẬN Kết luận chung Đề tài bước đầu có kết khả quan giúp em học sinh hiểu rõ chất hình học đại số số vấn đề hàm số số phức Giúp em tư tốt giải toán giải tốt tốn ứng dụng hình học vào giải tốn Hướng phát triển Vì thời gian kinh nghiệm hạn chế nên đề tài chưa đầy đủ Vì thời gian tới tiếp tục nghiên cứu mối liên hệ hình học đại số chủ đề khác, đào sâu mở rộng hai chủ đề hàm số số phức Đề xuất, kiến nghị Hiểu chất hình học đại số giúp em tránh máy móc tư tơi đề xuất chương trình giảng dạy đổi sách giáo khoa tới cần làm rõ vấn đề mối liên hệ hình học đại số hơn, đặc biệt làm rõ ý nghĩa ứng dụng phép biến hình mặt phẳng Người thực đề tài Hoàng Xuân Định 21 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… 22 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP SỞ …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải toán nào, G-Polya, NXB Giáo Dục, 1997 Hình học lớp 11, Trần Văn Hạo (Chủ biên), NXB Giáo Dục, 2007 Sách giáo khoa toán lớp 12 ( Bộ bản) Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại Học Sư Phạm, 2011 24 ... thuyết thực nghiệm Ứng dụng đề tài Dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia PHẦN MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TỐN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số 1.1... trình có nghiệm phân biệt A 12 B C 2 Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức 2.1 Các phép biến hình ứng với phép tốn tập số phức 2.1.1 Phép cộng hai số phức Dựa định nghĩa phép cộng hai số phức... C D PHẦN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Tiến hành kiểm tra trắc nghiệm với tập đề tài cho lớp 12A1 Sau tiến hành dạy chuyên đề ? ?Một số ứng dụng phép biến hình vào giải tốn trắc nghiệm lớp 12? ?? tiến hành