skkn ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Mã số:……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ứng dụng phép biến hình vào giải toán hình học Người thực hiện: Nguyễn Thanh Bằng Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý Giáo dục Phương pháp giảng dạy môn : Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Sản phẩm đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh      Hiện vật khác: Đĩa CD Rom Năm học 2011-2012 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Thanh Bằng Ngày ,tháng, năm sinh: 31 - 09 – 1977 Nam/ nữ: Nam Địa chỉ: Ấp Long Hiệu, xã Long Tân, huyện Nhơn Trạch, tỉnh Đồng Nai Điện thoại: Cơ quan: 06138689153 Nhà riêng: 0613.561382- ĐTDĐ: 0982179116 Fax: / Email: thanhbang3009@gmail.com Chức vụ: Bí thư đoàn TNCS trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO − Học vị: Cử nhân − Năm nhận bằng: 2000 − Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC − Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán học − Số năm có kinh nghiệm: 12 năm − Các SKKN có năm gần Chuyên đề 1: PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC HỌC TẬP MÔN TOÁN Chuyên đề 2: MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÁO DỤC “HỌC SINH CÁ BIỆT VỀ ĐẠO ĐỨC” SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị : Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Nhơn Trạch, ngày 10 tháng năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học : 2011 - 2012 Tên sáng kiến kinh nghiệm : ứng dụng phép biến hình vào giải toán hình học Họ tên tác giả: Nguyễn Thanh Bằng Tổ: Bộ môn Toán Lĩnh vực : Quản lý giáo dục:  Phương pháp dạy học môn :  Phương pháp giáo dục:  Lĩnh vực khác :  1- Tính - Có giải pháp hoàn toàn :  - Có giải pháp cải tiến , đổi từ giải pháp có :  2- Hiệu - Hoàn tòan triển khai áp dụng tòan ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tòan ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  3-Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc họach định đường lối , sách : Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn , dễ thực dễ vào sống : Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng : Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên ghi rõ họ tên ) ( Ký tên , ghi rõ họ tên đóng dấu ) Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Phần I : MỞ ĐẦU I/ BỐI CẢNH Năm học 2011-2012 năm học tiếp tục triển khai tích cực thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào trình dạy học " Do trình dạy học đòi hỏi thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em II/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong trình giảng dạy nhận thấy học sinh e ngại học môn hình học, em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp không khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Với lí trên, đầu năm học, từ giai đoạn tổ chức lớp giảng dạy, thân ý, quan tâm đến việc học tập giúp đỡ em học sinh làm để học tốt môn hình học Từ suy nghĩ trên, thân mạnh dạn chọn đề tài: “Ứng dụng phép biến hình vào giải toán hình học” III/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen, nên nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học Tìm phương pháp dạy học phù hợp, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phép biến hình ứng dụng việc giải toán Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu sử dụng nhóm phương pháp sau: − Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lý có liên quan đến đề tài − Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên học sinh) − Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) − Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) − Phương pháp thực nghiệm V/ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI Trong đề tài nghiên cứu ứng dụng phép biến hình mặt phẳng chương trình lớp 11 nâng cao (Các phép biến hình, ứng dụng phép biến hình vào giải toán) Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường trung phổ thông Vì tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phép biến hình, ứng dụng chương trình hình học lớp 11” Phần II: NỘI DUNG I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lôgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt 2.Cơ sở tâm lí học: Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư đứng trước khó khăn cần phải khắc phục Vì giáo viên cần phải để học sinh thấy khả nhận thức với điều biết với tri thức nhân loại Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp trung sở, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Toán học, môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngoài có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học phép biến hình, em thường có tâm lí: ứng dụng phép biến hình để làm gì, nói cách khác em không gắn lý thuyết vào thực hành, em không muốn học chương này.Vì giáo viên cần rõ, cụ thể hướng dẫn cho học sinh ứng dụng phép biến hình vào giải toán 3.Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học tốt Giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh II/ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh lớp 11 năm học 2011-2012 2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học: Thông qua khảo sát chất lựơng đầu năm thu kết sau: Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ 11A01 41 25 60.9% 11A02 43 30 63.6% Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Đạt diểm 16 14 Tỉ lệ 39.1% 36.4% Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết thấp Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em lúng túng việc tìm ảnh hình qua phép biến hình - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lôgíc hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học Đây môn học đòi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó không học sinh mà khó giáo viên việc truyền tải kiến thức tới em Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn môn hình học đời sống Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội thích hợp Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán III/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong học phần: Các phép biến hình, ứng dụng học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu chất Óc tư hàm, suy luận lôgíc, khả khaí quát phân tích hạn chế, đặc biệt phần ứng dụng phép biến hình Vì học sinh lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu xin đưa vài ứng dụng phép biến hình cụ thể giải toán hình học lớp 11: Định nghĩa phép biến hình 1.1 Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng 1.2 Một số phép biến hình mặt phẳng 1.2.1 Phép tịnh tiến r r u Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ ≠ , phép biến hình biến điểm uuuuur r r M thành điểm M’ cho MM ' = u , gọi phép tịnh tiến theo vectơ v r Kí hiệu: Tu Vậy: Tur uuuuur r ⇔ (M) = M’ MM ' = u 1.2.2 Phép dời hình Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm gọi phép dời hình 1.2.3 Phép đối xứng trục Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a gọi phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ đối xứng vớ M qua trục a Kí hiệu: Đa uuuuuur uuuuuur M M ' = − M ⇔ 0 M (M giao điểm a với đoạn thẳng Vậy: Đa(M) = M’ MM’) 1.2.4 Phép đối xứng tâm Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O phép biến hình biến điểm uuuur uuuuur r M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa OM + OM ' = Kí hiệu: ĐO uuuuur uuuur ⇔ OM ' = − OM Vậy: ĐO(M) = M’ 1.2.5 Phép quay Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác ϕ không đổi Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = ϕ gọi phép quay tâm O, góc quay ϕ Kí hiệu: Q(O, ϕ ) Vậy: Q(O, OM = OM '  ϕ )(M)=M’ ⇔ (OM , OM ') = ϕ 1.2.6 Phép đồng Định nghĩa: Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng 1.2.7 Phép vị tự Định nghĩa: Cho điểm O cố định số k không đổi, k ≠ Phép biến hình uuuuur uuuur biến điểm M thành điểm M’ cho OM ' = kOM , gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu: V(O,k) uuuuur uuuur Vậy: V(O,k)(M)=M’ ⇔ OM ' = kOM 1.2.8 Phép đồng dạng 10 a) Gọi M’,(C’),d’ ảnh M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox Ta có M’ (1;-5) (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3 Đường tròn (C’) có tâm I’=Đ Ox(I)=(1;2) bán kính R=3 Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9 Gọi N’(x’;y’) ảnh N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có x ' = x x = x ' ⇔  y' = −y  y = − y ' Thay vào phương trình d ta được: x’+2y’+4=0 Vậy phương trình d’ x+2y+4=0 b) Đường thẳng d1 qua M vuông góc với d có phương trình là: 2x + y - = Gọi M0 giao điểm d d toạ độ M0 nghiệm hệ: x − y + = x = ⇔  2 x + y − =  y = Vậy M0(2;3) Gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng trục d M trung điểm đoạn thẳng MM1 nên M1(3;1) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4).Hãy tìm toạ độ điểm A’ ảnh A qua phép quay tâm O góc quay 900 Giải: Gọi B(3;0), C(0;4) hình chiếu vuông góc A lên trục Ox,Oy Phép Q(O,900) biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB’A’C’ Ta thấy B’(0;3), C’(-4;0) ⇒A’(-4;3) 13 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 2y – = 0.Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 Giải: Cách 1: V(O,k)(d) =d’ ⇒ d’//d ⇒ d’ có phương trình:3x+2y+C=0 Lấy M(0;3) uuuuur uuuur OM ' = − OM thuộc d.Gọi M’(x’;y’) ảnh M qua phép vị tự cho, ta có x ' = ⇔  y ' = −6 Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ ⇒ C=12 Do phương trình d’ là:3x+2y+12=0 Cách 2: Gọi M’(x’;y’) ảnh M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có  x = − x'   x ' = −2 x  ⇔   y ' = −2 y y = − y '  ⇔ − x − y '− = ⇔ 3x '+ y '+ 12 = Điểm M thuộc d Vậy phương trình d’ là: 3x+2y+12=0 Cách 3: Lấy M,N d, tìm ảnh M’,N’ M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 Khi d’ đường thẳng M’N’ Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y-2 = 0.Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua 14 phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k= phép quay tâm O góc quay -450 Giải: Phép vị tự tâm I tỉ số k= biến d thành d1 ⇒ d//d1 ⇒ d1 có phương trình:x+y+C=0 Lấy M(1;1) thuộc d, V(I, )(M)=O, O thuộc d1 ⇒ d1 có phương trình:x+y=0 Q(O,-450)(d1) =Oy Vậy phương trình d’ là: x = Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải số toán dựng hình: Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm sau: Cách 1: Xác định M ảnh điểm biết qua phép biến hình Cách 2: Xem M giao điểm đường cố định với ảnh đường biết qua phép biến hình Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3) Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Giải: Giả sử điểm D(x;y) Ta có r ( D) = C Tuuu BA uuur , mà BA = (−4; −2) x = −  x = −2 ⇔  Do đó:  y = −  y = Vậy D(-2;1) Ví dụ 2: Hai thôn nằm vị trí A, B cách sông(Xem hai bờ sông hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây cầu MN bắc qua sông(cầu vuông góc với bờ sông) làm hai đoạn đường AM, NB(như hình vẽ) Hãy xác định vị trí cầu MN cho AM+NB ngắn Giải: 15 Trưòng hợp 1: Coi sông hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a b xem trùng Bài toán trở thành: Cho hai điểm A,B nằm hai phía khác so với đường thẳng a Tìm vị trí M A để AM+AN nhỏ Khi M giao điểm AB với a Trưòng hợp 2: a // b uuuur Nhận xét: a,b cố định ⇒ MN cố định uuuur T MN (A) =A’ ⇒ A’N = AM Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B uuuur Cách dựng: Dựng A’=T MN (A) Nối A’ với B cắt b N Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a M Khi MN vị trí xây cầu Ví dụ 3: Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d Hãy xác định điểm M d cho AM + MB bé Giải: Nhận xét: Gọi A’= Đd(A) ⇒AM=AM’ Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B Cách dựng: Dựng A’= Đd(A) Nối A’ với B cắt d M, AM+MB nhỏ · Ví dụ 4: Cho góc nhọn xOy , điểm A nằm góc Hãy xác định điểm B Ox, điểm C Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ 16 Giải: Nhận xét: Gọi A’ = ĐOx(A), A”=ĐOy(A) ⇒A’B=AB, A”C=AC ⇒AB+BC+CA=A’B+BC+A”C=AA” (nhỏ nhất) Dựng: A’ = ĐOx(A) A”=ĐOy(A) Nối A’ với A”, AA” cắt Ox Oy B C Khi chu vi tam giác ABC nhỏ · Ví dụ 5: Cho góc nhọn xOy , điểm A thuộc miền góc Hãy tìm đường thẳng qua A, cắt Ox, Oy M N cho A trung điểm MN Giải: Giả sử dựng hai điểm M,N thoả mãn yêu cầu toán Khi N=ĐA(M) Gọi O’x’ = ĐA(Ox), ta có N giao điểm O’x vàOy Từ ta có cách dựng: Dựng O’x’ = ĐA(Ox), gọi N giao điểm O’x Oy, M=ĐA(N).Khi M,N hai điểm cần tìm Theo cách dựng cặp điểm M,N Ví dụ 6: Cho đường tròn (O;R) (O1;R1) cắt A B Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (O;R) (O1;R1) M M1 cho A trung điểm MM1 17 Giải: Giả sử dựng đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Khi ta có M1=ĐA(M) Gọi đường tròn (O’,R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A Ta có M1 giao điểm (O’;R) với đường tròn (O1,R1) Cách dựng: Dựng đường tròn (O’,R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A.Gọi M1 giao điểm (O’;R) với đường tròn (O 1,R1) không trùng với A, M=ĐA(M1) đường thẳng d đường thẳng MM1 Theo cách dựng có đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng cắt a b, điểm C Tìm a b điểm A B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Giải: Giả sử dựng hai điểm A,B thoả mãn điều kiện đầu Ta thấy: CB ·ACB =45 , CA = ⇒ B ảnh A qua phép đồng dạng F có cách thực liên tiếp phép quay tâm C, góc quay -450, phép vị tự tâm C tỉ số Gọi a” ảnh a qua phép đồng dạng F Ta có B giao điểm b a” 18 Cách dựng: Dựng a’ ảnh a qua phép quay tâm C, góc quay -450 Dựng a” ảnh a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số B giao điểm a” b Dựng B’ ảnh B qua phép quay tâm C, góc quay 450 Dựng A ảnh B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số ( )-1 Theo cách dựng cặp điểm A,B Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A,B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C,D nằm đường tròn Giải: Giả sử dựng hình vuông M N ABCD thoả mãn điều kiện C D toán Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực PQ nên đường trung trực O DC đường trung trực AB Từ suy ra, dựng P hình vuông PQMN có phép vị tự A B A' B' Q I tâm I biến hình vuông PQMN thành C' hình vuông ABCD D' Cách dựng: Dựng hình vuông PQMN Lấy giao điểm C C’ đường thẳng IM đường tròn, lấy giao điểm D D’ IN đường tròn( ta kí hiệu cho hai điểm C, D nằm phía đường thẳng PQ) Gọi điểm B,A,B’,A’ hình chiếu điểm C,D,C’,D’ đường thẳng PQ Ta hình vuông ABCD A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện toán Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải số toán tìm tập hợp điểm Phương pháp: 19 Chứng minh tập hợp điểm cần tìm ảnh hình biết qua phép biến hình Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi đường tròn(O) Gọi M1 điểm đối xứng M qua A, M2 điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 Giải: M2 Gọi D trung điểm MM B ABCD hình bình hành Do điểm D cố định Phép đối xứng M1 qua điểm D biến M thành M3 O Do Quỹ tích điểm M3 ảnh C A đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D M D M3 Ví dụ 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC đường kính) đường tròn (O), điểm A di động (O) Chứng minh A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Giải: Cách 1: A D Gọi H trực tâm tam giác ABC, M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn (O) · D Ta có BCD =900 nên DC//AH, AD//CH O ⇒ tứ giác ADCH hình bình hành H uuur uuur uuuur ⇒ AH = DC = 2OM C uuuur uuuur Vì OM không đổi ⇒ T2 OM (A) =H B Vậy A di chuyển đường tròn (O) H di chuyển đường tròn (O’) ảnh (O) uuuur qua phép tịnh tiến theo OM Cách 2: 20 M Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi I, H’ giao điểm tia AH với đoạn thẳng BC vả đường tròn (O) · · · · Ta có: BAH = HCB ; BAH = BCH ' Do tam giác HCH’ cân C ⇒ H H’ đối xứng qua BC Khi A chạy đường (O) H’ A chạy đường tròn (O) ⇒ A di động D (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn ảnh (O) qua phép đối O xứng trục BC H C I B H' Cách 3: Gọi H trực tâm tam giác ABC, I trung điểm A D BC Tia AO BO cắt (O) M D Theo chứng minh cách 1ta có uuur uuur uur AH = DC = 2OI O Trong tam giác AHM có OI//AH OI = AH ⇒ OI đường trung bình tam giác AHM H C B I M ⇒ I trung điểm HM ⇒ H M đối xứng qua I Vì BC cố định nên I cố định Khi A di động (O) M di chuyển (O) Do A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I 21 Ví dụ 3: Cho đường tròn (O;R), I cố định khác O Một điểm M thay đổi (O) Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Giải: · Vì ON tia phân giác góc MOI nên MN OM IM − IN OM = = NI OI hay IN OI (O), I cố định M N I OM nên OI =k( k số, k ≠ 0) O IM − IN = k ⇔ IN = IM IN k +1 uur uuur ⇒ IN = IM k +1 ⇒ Vậy phép vị tự tâm I tỉ số k + biến điểm M thành điểm N Do M chạy đường tròn (O) N di động đường tròn (O’) ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số k + Ví dụ 4: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường tròn Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Giải: 22 Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho P AM=AB=AD AM AB = = Khi đó, ta có: AC AC B Ngoài ra; (AM,AB)=450 (AM,AD)=-450 A Suy ra, phép vị tự V tâm A, tỉ số k= biến điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A góc quay 450 biến điểm M thành điểm B Vậy R O M D Q C gọi F phép hợp thành V Q F biến C thành B Vì quỹ tích C đường tròn (O), nên quỹ tích B ảnh đường tròn qua phép đồng dạng F Đường tròn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính đường tròn (O) PQ đường kính (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu điểm P,Q cho (AR,AP)=450) Khi ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích điểm B đường tròn đường kính AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường tròn đường kính AQ Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua P, cắt (O) hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm uuuur uuur uuur M cho: PM = PA + PB Giải: 23 Gọi I trung điểm AB B uuur uuur uur PA + PB PI = uuuur uuur uuur I P uur Bởi PM = PA + PB = PI (C) Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k=2 O' O (C') A V biến điểm I thành điểm M Vì I trung điểm AB nên OI ⊥ AB Suy quỹ tích điểm I đường tròn (C) đường kính PO Vậy quỹ tích điểm M đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép vị uuuur uuur ' tự V Nếu ta lấy O’ cho PO = PO (C’) đường tròn đường kính PO’ Dạng 4: Dùng phép biến bình chứng bất đẳng thức hình học Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = B1 C1 c, p nửa chu vi, độ dài đường cao từ Chứng minh ≤ A p( p − a) B Giải H C Dựng đường thẳng d qua A song song với BC Gọi B1, C1 lần lược điểm đối xứng B, C qua đường thẳng d Ta có: AC1 = AC = b; AB1 = AB = c; BB1 = CC1 = 2AH = 2ha Xét tam giác AB1C ta có: AB1 + AC ≥ B1C = BC + BB12 24 ⇔ b + c ≥ a + 4ha2 ⇔ ha2 ≤ [(b + c) − a ] = p( p − a) ⇔ ≤ p ( p − a ) Phần III: KẾT LUẬN Kết Áp dụng đề tài học sinh lớp 11 thu kết sau (kết thúc học kì I năm học 2011-2012) Lớp Sỉ số Đạt diểm Tỉ lệ Đạt diểm Tỉ lệ 11A01 41 19.5% 31 80.5% 11A02 44 15 34.1% 28 65.9% Quan trọng học sinh cảm thấy hứng thú với môn hình học, không bị áp lực phải ngồi học hình học, tạo niềm tin hứng thú học tập Kết luận: Qua thời gian nghiên cứu đề tài vận dụng đề tài vào giảng dạy rút số ý kiến sau: • Giáo viên: Tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm ngại, sợ tiếp cận nội dung môn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học trở lên hấp dẫn người học thấy ý nghĩa môn học Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri học sinh, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thông qua hình thành phát triển nhân cách em 25 Phải thường xuyên học hỏi trau chuyên môn để tìm phương pháp dạy học phù hợp Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập học sinh Cho học sinh thấy ứng dụng lý thuyết vào thực hành Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh • Học sinh: Chăm nắm lý thuyết Có ý thức học tập, hiểu vấn đề cách sâu sắc Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc Kiến nghị: Nhà trường nên tổ chức bồi dưỡng thêm cho đối tượng học sinh khá, giỏi, yếu để em có khả tìm hiểu sâu kiến thức Nên có chuyên đề tự chọn để giáo viên học sinh trao đổi thẳng thắn với vấn đề, từ rút phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Do thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài không tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp bảo quý đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài Nhơn Trạch, ngày 10 tháng năm 2012 Người viết Nguyễn Thanh Bằng 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa lớp 11 chương trình chuẩn, nâng cao [2] Sách giáo viên lớp 11 chương trình chuẩn, nâng cao [3] Sách tập hình học 11 chương trình chuẩn, nâng cao [4] Ths Nguyễn Đức Bằng-Ths Dương Quang Hòa Phân loại phương pháp giải dạng tập hình học 11 [5] Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc- Bài giảng lời giải chi tiết hình học 11 [6] Nguyễn Mộng Hy – Nhà xuất GD- Các phép biến hình mặt phẳng [7] Đỗ Thanh Sơn – Nhà xuất GD- Các phép biến hình mặt phẳng 27