Luận văn Thạc sĩ Toán học Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Header Page of 89 Đề tài Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên LỜI MỞ ĐẦU Xác Suất Thống Kê lĩnh vực Toán học ứng dụng, đòi hỏi sở toán học sâu sắc Ngày mô hình Xác Suất thực ứng dụng rộng rãi Khoa Học Tự Nhiên Khoa Học Xã Hội Trong luận văn này, nghiên cứu khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với trình ngẫu nhiên khác Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề lĩnh vực khác toán học, vật lý, sinh học, học, khoa học trái đất, kinh tế … Luận văn gồm chương : Chương : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “ Trong chương nghiên cứu nhắc lại kiến thức cần cho luận văn này, cần đọc kỹ khái niệm nắm vững kết mở đầu việc giới thiệu không gian Hilbert gồm biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính lập phương trình dự đoán, nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện chứng tỏ kỳ vọng có điều kiện dự đoán tốt Khai triển tắc trình ngẫu nhiên nghiên cứu chương Ngoài nghiên cứu trình Wiener tích phân Ito hai khái niệm quan trọng nghiên cứu trình ngẫu nhiên Đây khái niệm sở để nghiên cứu vấn đề Chương : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “ Footer Page 1Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Đề tài Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Chương nghiên cứu định nghĩa, tính chất bổ đề đa thức Hermite tính chất khai triển Fourier – Hermite Một vài bổ đề ứng dụng chứng minh chương công cụ để ta sử dụng tiếp cho chương sau Chương : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương mở rộng đa thức Hermite chương nghiên cứu trình ngẫu nhiên dạng Hermite Bắt đầu khái niệm trình ngẫu nhiên dạng Hermite Sau mở rộng khái niệm xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu tập trực chuẩn đầy đủ L2 ( R ) L2 ( R n ) Cuối nghiên cứu nêu số đặc tính vi phân ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên dạng Hermite Footer Page 2Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Đề tài Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ……………………………………………………………… Lời nói đầu ……………………………………………………………… Mục lục ………………………………………………………………… CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN……………………… §1.1 Không gian L2 (Ω , F , P) …………………………………… 1.1.1 Biến ngẫu nhiên ……………………………………… 1.1.2 Định nghĩa …………………………………………… 1.1.3 Định nghĩa ………………………………………… 1.1.4 Tính chất ……………………………………………… 1.1.5 Định lý (Định lý phép chiếu không gian Hilbert) 1.1.6 Tính chất phép chiếu ……………………………… 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính L2………………………… 12 1.1.8 Phương trình dự đoán ………………………………… 13 1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện dự đoán tốt L2……… 14 §1.2 Khai triển tắc trình ngẫu nhiên ………………….16 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dạng tổng hàm ngẫu nhiên bản……………………………………………… 16 1.2.2 Khai triển tắc trình ngẫu nhiên ……………… 18 1.2.3 Đưa trình ngẫu nhiên dạng tắc…………… 20 1.2.4 Mốt số khai triển tắc đặc biệt…………………… 22 §1.3 Cơ sở trực giao trực chuẩn không gian Hilbert………… 25 Footer Page 3Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Đề tài Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa (Trực giao trực chuẩn) ………………25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) …………………………………… 25 1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao trực chuẩn ) ………… 26 1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) ………………………26 §1.4 Quá trình Wiener ……………………………………… 27 1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener )………………………… 27 1.4.2 Các tính chất trình Wiener độ đo …………………27 1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều ……………………………… 37 §1.5 Tích phân Ito … ……………………………………………… 39 1.5.1 Định nghĩa ……………………………………………… 39 1.5.2 Các tính chất tích phân Ito …………………… 40 1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều ……………………………… 43 1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên hàm hợp, công thức Ito … 44 CHƯƠNG ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 Đa thức Hermite ………………………………………………… 48 2.1.1 Định nghĩa ……………………………………………… 48 2.1.2 Liên hệ đa thức trực giao đa thức Hermite ………49 2.1.3 Đạo hàm đa thức Hermite ……………………………50 2.1.4 Các bổ đề đa thức Hermite ………………………… 53 §2.2 Khai triển Fourier – Hermite hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57 2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite …………………………57 2.2.2 Tính chất ……………………………………………… CHƯƠNG §3.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE… 58 60 Khái niệm trình ngẫu nhiên dạng Hermite……………… 60 3.1.1 Định nghĩa ……………………………………………… 60 Footer Page 4Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Đề tài Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên 3.1.2 Các ví dụ ………………………………………………… 60 §3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ L2 ( R ) L2 ( R n ) …………… 62 3.2.1 Định nghĩa ……………………………………………… 62 3.2.2 Các tính chất …………………………………………… 62 3.2.3 Định nghĩa ……………………………………………… 64 3.2.4 Tính chất ………………………………………………… 65 §3.3 Một số đặc tính vi phân ngẫu nhiên ………………………… 66 3.3.1 Định nghĩa ……………………………………………… 66 3.3.2 Định lý ……………………………………………………67 3.3.3 Bổ đề …………………………………………………… 67 3.3.4 Hệ …………………………………………………… 69 3.3.5 Các tính chất trình dạng Hermite……………… 70 KẾT LUẬN …………………………………………………… 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 75 Footer Page 5Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Đề tài Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.1 KHÔNG GIAN L2 (Ω , F , P) Phần giới thiệu không gian biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L2( Ω, F , P ) 1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên đại lượng mà giá trị phụ thuộc vào kết thí nghiệm Ta định nghĩa xác biến ngẫu nhiên : Xét phép thử ngẫu nhiên với tập Ω σ - đại số F biến cố Biến ngẫu nhiên ánh xạ X : Ω → R = ( −∞, + ∞ ) cho: ( X (τ ) ≤ x ) ={ τ ∈Ω \ X (τ ) ≤ x }∈ F, ∀x ∈ R : X −1 ( B ) = {τ ∈Ω \ X (τ )∈ B} ∈ F , ∀B ∈ B với B tập tập Borel R Ta xét tập B cho X −1 ( B ) biến cố, tức ∈ F, lớp tất biến cố X −1 ( B ) lớp biến cố cảm sinh biến số ngẫu nhiên X (τ ) 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA Ta xét không gian xác suất ( Ω, F , P ) lớp biến ngẫu nhiên bình phương khả tích định nghĩa Ω thỏa mãn điều kiện : Footer Page 6Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài EX = ∫X (τ ) P(dτ ) < ∞ Ω Khi đó, ta có : E ( cX ) = c EX , ∀c ∈ R, ∀X ∈ ξ Mặt khác: (X +Y) ≤ X + 2Y < ∞ Nên , ta có : E ( X + Y ) ≤ EX + EY < ∞, ∀ X , Y ∈ ξ Kí hiệu L2 ( Ω, F , P ) không gian Hilbert đại lượng ngẫu nhiên X cho EX < ∞ Với hai phần tử X , Y ta định nghĩa tích vô hướng L2 ( Ω, F , P ) < X , Y > : = E ( X Y ) = ∫ X (τ ) Y (τ ) P( dτ ) (1.1) Ω Không gian L2 (Ω, F , P) tập lớp tương đương với tích vô hướng định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác lớp tương đương xác định cách lấy phần tử lớp làm đại diện nên ta dùng kí hiệu X, Y để phần tử L2 ( Ω, F , P ) , ta dùng ngắn gọn L2 gọi biến ngẫu nhiên bình phương khả tích ta ý có X hiểu X đại diện cho lớp biến ngẫu nhiên tương đương với X 1.1.3 ĐỊNH NGHĨA L Sự hội tụ L2 hội tụ bình phương trung bình viết X n ⎯⎯ →X nghĩa là, dãy phần tử { X n } , { X n } ∈ L2 gọi hội tụ đến X : Footer Page 7Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài Xn − X : = E Xn − X →0 n → ∞ Để xây dựng tính đầy L2 không gian Hilbert ta phải xây dựng tính đầy L2 nghĩa X m − X n → m, n → ∞ tồn X ∈ L2 L cho: X n ⎯⎯ →X Ta xét tính chất : 1.1.4 TÍNH CHẤT X n +1 − X n ≤ 2− n ; n = 1, 2, 3… tồn biến Nếu X n ∈ L2 L ngẫu nhiên X (Ω, F , P ) cho X n ⎯⎯ →X Chứng minh: Chọn X = Đặt Xn : = ∞ ∑ j =1 X j − X j −1 , theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có : < X ,Y > ≤ X Y ∞ E ( ∑ X j − X j −1 ) = j =1 n Từ đó, suy tồn lim ∑ n →∞ j =1 ∞ ∑ j =1 ∞ E X j − X j −1 ≤ ∑ j =1 X j − X j −1 ≤ ∞ ∑ 2− j < ∞ j =1 X j − X j −1 giới hạn hữu hạn Như n lim ∑ ( X j − X j −1 ) = lim X n tồn n →∞ n →∞ j =1 1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý phép chiếu không gian Hilbert) Nếu A không gian đóng không gian Hilbert H x ∈ H thì: a) Tồn phần tử x ' ∈ A cho x − x ' = inf x − y y∈A Footer Page 8Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài x ' ∈ A ( x − x ' ) ∈ A⊥ b) x ' ∈ A x − x ' = inf x − y y∈ A x’ gọi chiếu (trực giao) x lên A, viết x ' : = PA x Định lý gọi định lý phép chiếu trực giao Chứng minh: a) Nếu d : = inf x − y y∈A tồn dãy { yn } , yn ∈ A cho yn − x → Hơn nữa, với k, l thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có : k −l Do đó, xét ym − x ∈ A, + k+l = ⎡⎣ k + l ⎤⎦ yn − x ∈ A Ta có: ym − x + yn − x + ym − x + x − yn = ⎡ ym − x + ⎣ yn − x ⎤ ⎦ tức là: ym + yn − x + y m − yn = ⎡ ym − x ⎣ 2 + yn − x ⎤ ⎦ Mặt khác, vì: ( ym − yn ) ∈ A, ≤ ym − yn ⎛ y − yn ⎞ = −4 ⎜ m ⎟− x ⎝ ⎠ ≤ − d + ( ym − x + yn − x 2 +2 )→0 ( ym − x + yn − x ) m, n → ∞ 10 Footer Page 9Luận of 89.văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page 10 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài Từ theo tiêu chuẩn Cauchy, ∃ x' ∈ H cho yn − x ' → A đóng nên x' ∈ A tính liên tục tích vô hướng nên : x − x' = lim x − yn n →∞ =d Để chứng minh tính x’ ta giả sử có y ' ∈ A cho: x − y' = x − x' =d dùng tính chất hình bình hành ta có : ≤ x '− y ' ⎛ x' + y'⎞ ⎟− x = −4 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ + 2⎜ x ' − x ⎝ 2 + y '− x ⎞ ⎟ ⎠ ≤ −4 d + 4d = ⇒ y' = x' b) Nếu x ' ∈ A ( x − x ') ∈ A⊥ x’ phần tử A định nghĩa a) với y ∈ A có : x− y = x − x ' + x ' − y, x − x ' + x ' − y 2 = x − x ' + x '− y ≥ x − x' dấu “ = “ đạt y = x ' Ngược lại, x ' ∈ A ( x − x ') ∉ A⊥ x không phần tử A có phần tử x’’ : 11 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 10 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 63 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài Áp dụng công thức tính tích phân phần ta có : k ⎡ k k −1 I ≡ ( −1) ( b(t ) ) ⎢ϕ ( ) (v; t )Qm (v; t ) ⎣ = ( −1) k +1 ∞ −∞ − ∫ϕ ( k −1) R ⎤ (v; t ) Qm' (v; t ) dv ⎥ ⎦ k ( b(t ) ) ∫ ϕ ( k −1) (v; t ) Qm' (v; t ) dv R Tiếp tục cách ta có k I = ( −1) k + m ( b(t ) ) ∫ ϕ ( k − m ) (v; t ) Qm( m ) (v, t ) dv R Ta xét trường hợp : + Trường hợp 1: Nếu m < k I = +Trương hợp 2: Nếu m = k , sử dụng công thức (3.3) I = ( −1) 2k k ( b(t ) ) ∫ R ⎪⎧ ( v - a (t) ) ⎪⎫ exp ⎨⎬ du k b ( t ) ⎭⎪ ⎩⎪ b(t ) k! ⎧⎪ ( v - a (t) )2 ⎪⎫ = k ! ∫ exp ⎨⎬ du b(t) R ⎭⎪ ⎩⎪ = k ! 2π b ( t ) Vậy tính chất chứng minh xong 3.2.3 ĐỊNH NGHĨA Với m = 0,1… t ∈ [ 0, T ] ta xác định hàm Hermite suy rộng bậc m : ⎧⎪ ( v - a (t) )2 ⎪⎫ hm (v; t ) = Qm (v; t ) exp ⎨⎬ ⎪⎩ b(t ) ⎪⎭ 64 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 63 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 64 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài Và ta xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng bậc m ( K m (v; t ) = m ! 2π b(t ) ) − (3.5) hm (v; t ) 3.2.4 TÍNH CHẤT Tập hợp hàm { K m }m=0 xác định (3.16) tập hợp sở trực giao L2 ( R ) ∞ Chứng minh: Sử dụng công thức (3 5) với số nguyên k m không âm ∫K k (v; t ) K m (v; t )dv ¡ = ∫ (k! 2π b(t ) ¡ ( = k ! 2π b(t ) ) − 2 ) ( m! − ( hk ( v; t ) m! 2π b(t ) 2π b(t ) ) − ) − hm ( v ; t ) dv ⎧⎪ ( v - a (t) )2 ⎫⎪ ∫R Qk (v, t )Qm (v, t )exp ⎨- 2b(t ) ⎬ dv ⎪⎩ ⎪⎭ = δ k ,m W 65 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 64 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 65 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài § 3.3 MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.3.1 ĐỊNH NGHĨA Cho { Wt :t ≥ } trình Wiener tiêu chuẩn chiều (chuyển động Brown ), ta xác đinh công thức Hermite công thức truy hồi sau : * H ( Wt , t ) : =1 * H ( Wt , t ) : = Wt Wt2 t − 2 * W tW H ( Wt , t ) : = t − t * Wt t Wt2 t H ( Wt , t ) : = − + 24 * H ( Wt , t ) : = ⎡ ⎤ * * ⎥ 1⎢ H n ( Wt , t ) : = ⎢ Wt H n −1 ( Wt , t ) − t H n − ( Wt , t ) ⎥ , n⎢ ⎥ ⎣ ⎦ * n = 2,3 Hoặc ta xác định cách khác công thức truy hồi sau : * H n ( Wt , t ) : = Vậy { * H n ( Wt , t ) , n ∈ N } ( −t ) n ⎡ ⎛ x2 exp ⎢ ⎜ n ! ⎣⎢ ⎝ 2t ⎞ dn ⎟ n ⎠ dx ⎛ ⎛ x ⎞ ⎞⎤ exp ⎜ ⎜ - ⎟ ⎟⎥ ⎝ 2t ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎝ x = Wt trình ngẫu nhiên ta gọi chúng trình ngẫu nhiên dạng Hermite 66 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 65 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 66 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài 3.3.2 ĐỊNH LÝ * * Cho H n = H n ( Wt , t ) trình ngẫu nhiên dạng Hermite Khi với m nguyên lớn ta có vi phân ngẫu nhiên * m −1 * m ( m − 1) * m − * ⎛ * m⎞ d ⎜ H n ⎟=mH n d H n + H n H n −1 dt ⎝ ⎠ (3.6) Để chứng minh định lý ta cần chứng minh bổ đề sau 3.3.3 BỔ ĐỀ : Đối với trình ngẫu nhiên dạng Hermite ta có * * d H n ( Wt , t ) = H n −1 ( Wt , t ) dWt (3.7) Chứng minh: Trước hết ta nhận xét : ⎛ u2 exp ⎜ ⎝ 2t ⎞ dn ⎟ n ⎠ dλ ⎡ ⎛ dn λ 2t ⎞⎤ − = u exp λ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎠⎦ dλn ⎝ ⎣ λ =0 = ( −t ) n ⎡ ⎛ ( u - λ t )2 ⎢exp ⎜ ⎜ 2t ⎢⎣ ⎝ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ λ = ⎛ u ⎞⎤ dn ⎡ ⎢exp ⎜ - ⎟ ⎥ du n ⎣ ⎝ 2t ⎠ ⎦ suy : dn dλ n n ⎡ ⎡ ⎛ ⎛ u2 ⎞ ⎛ u2 λ 2t ⎞⎤ n d exp ⎜ = exp ⎜ ⎢exp ⎜ λ u − ⎟⎥ ⎟ ( −t ) n ⎢ 2t du ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2t ⎣ ⎦ λ =0 ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ (***) Mà theo (3.1) * H n ( u, t ) ( −t ) = n ⎛ u2 ⎞ d n ⎛ u2 ⎞ exp ⎜ ⎟ n exp ⎜ - ⎟ n! ⎝ 2t ⎠ du ⎝ 2t ⎠ n * ⎛ u2 ⎞ ⎛ u2 ⎞ n d => exp ⎜ ⎟ ( −t ) exp = n ! H ⎜ ⎟ n ( u, t ) n 2t du 2t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 67 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 66 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 67 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài Thay vào (***) ta có : * ⎛ dn ⎡ λ 2t ⎞⎤ λ exp u ! = n H ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ n ( u, t ) ⎠⎦ dλn ⎣ ⎝ λ =0 ⎡ ⎛ λ 2t ⎞ ⎤ Vậy theo khai triển Taylor hàm ⎢ exp ⎜ λu − ⎟ ⎥ λ = ta có : ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎛ λ 2t ⎞⎤ ⎢exp ⎜ λ u − ⎟⎥ = ⎠⎦ ⎝ ⎣ ∞ * ∑ H ( u, t ) λ n n n=0 Mặt khác , ta áp dụng công thức Itô cho hàm ⎡ ⎛ ⎣ ⎝ φt = ⎢exp ⎜ λ Wt − λ 2t ⎞⎤ ⎟⎥ = ⎠⎦ ∞ * ∑ H n ( Wt , t ).λ n (3.8) n=0 Ta có φt lại nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên ⎧⎪dφt = λ φt dWt ⎨ ⎪⎩φ ( ) =1 t ⇒ φt =1 + λ ∫ φs dWs Từ đó, ta có: ∞ * t ∞ * ∞ t n =1 * ∑ λ n H n =1+ λ ∫ ∑ λ n H n dWs =1+ ∑ λ n ∫ H n −1 dWs n=0 n =0 * t (3.9) * ⇒ H n ( Wt , t ) = ∫ H n −1 ( Ws , s ) dWs Vậy * * d H n ( Wt , t ) = H n −1 ( Wt , t ) dWt Vậy bổ đề chứng minh xong 68 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 67 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 68 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài * Chứng minh định lý 3.3.2 Áp dụng công thức Itô cho hàm Y ( X t , t ) = X tm với m nguyên , lớn * X t ≡ H n ( Wt , t ) Từ công thức Ito ∂Y ∂Y ∂ 2Y dY (t ) = t , X (t ) ) b (t )dt ( t , X (t ) ) dt + ( t , X (t ) ) dX (t ) + ( ∂t ∂x ∂x Và (3.7) ta suy (3.6) Vậy định lý 3.3.2 chứng minh xong Ví dụ : Với m = từ công thức (3.6) ta có : * * * ⎛ * 2⎞ d ⎜ H n ⎟ = H n d H n + H n −1 dt ⎝ ⎠ • (3.10) Chú ý: Công thức (3.8) thu từ nhận xét sau: Giả sử X X có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: ⎧dX = a1dt + b1dWt ⎨ ⎩dX = a2 dt + b2 dWt Khi : d ( X X ) = X 1dX + X dX + b1b2 dt * Với X ≡ X ≡ H n ( Wt , t ) Sử dụng công thức (3.7) ta có công thức (3.10) 3.3.4 HỆ QUẢ: * Cho H n ( Wt , t ) trình ngẫu nhiên dạng Hermite, ta có : 69 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 68 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 69 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài ∞ * ∑ H (W ,t ) = e n n=0 t − t exp ( Wt ) (3.11) Thật sử dụng công thức (3.8) với λ = ta có (3.11) 3.3.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE * Cho H n ( Wt , t ) , ∀n =1, 2,3 , t ≥ trình ngẫu nhiên dạng Hermite , ta có: { } * a) E H n ( Wt , t ) = (3.12) ⎧t * ⎫ tn ⎧*2 ⎫ b) E ⎨ H n ( Wt , t ) ⎬ = E ⎨ ∫ H n −1 ( Ws , s ) ds ⎬ = ⎩ ⎭ ⎩0 ⎭ n! (3.13) * ⎧t * ⎫ c) E ⎨ ∫ H n ( Ws , s ) H n −1 ( Ws , s ) dWs ⎬ = ⎩0 ⎭ * (3.14) * d) d H n + ( Wt , t ) = H n ( Wt , t ) dWt (3.15) ⎧t * ⎫ t * * * ⎪ ⎪ t E ⎨ ∫ H n ( Ws , s ) dWs ∫ H m ( Ws , s ) dWs ⎬ = ∫ E H n−1 ( Ws , s ) H m−1 ( Ws , s ) ds = 0, e) ⎪0 ⎪ ⎩ ⎭ { ∀n, m∈ N , n ≠ m } (3.16) Chứng minh: • Chứng minh tính chất (a) (b) Ta có : 70 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 69 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 70 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài * H n ( Wt , t ) ∈ L2 ( 0, t ) n =1, 2,3, ; t > từ (3.7) ta có : t * * H n ( Wt , t ) = ∫ H n −1 ( Ws , s ) dWS (3.17) * Ta chứng minh (a) (b) hàm bước nhảy, H n −1 ( Ws , s ) giả sử * (k ) * H n −1 ( Ws , s ) = H n − * (k ) sk ≤ s ≤ sk + ; H n − F ( sk ) - đo F ( sk ) độc lập với σ - trường sinh chuyển động Brown tương lai sau thời điểm sk a) Lấy kỳ vọng vế (3.17) { } * ⎛t * ⎞ E H n ( Wt , t ) = E ⎜ ∫ H n −1 ( Ws , s ) dWS ⎟ ⎝0 ⎠ ⎛ * (k ) ⎞ = ∑ E ⎜ H n − W ( s k +1 ) − W ( s k ) ⎟ k =0 ⎝ ⎠ = n −1 ( ⎛ * (k ) E ∑ ⎜⎜ H n − k =0 ⎝ ⎞ ⎞ ⎟ E W ( s k +1 ) − W ( s k ) ⎟⎟ = ⎠ ⎠ n −1 ) ( * (k ) H n − W ( s k +1 ) − W ( s k ) độc lập với { * } Vậy E H n ( Wt , t ) = b) => ⎛⎛ t * ⎞ ⎞ n −1 E ⎜ ⎜ ∫ H n −1 dWS ⎟ ⎟ = ∑ E H n( k−)1 H n( −j )1 W ( s k +1 ) − W ( s k ) W ( s j +1 ) − W ( s j ) ⎜⎝ ⎠ ⎟⎠ k , j = ⎝ { • ( )( Với j < k 71 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 70 of 89 Trần Thị Vân Anh )} Header Page 71 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài * (k ) ( j) ( W ( s k +1 ) − W ( s k ) độc lập với H n −1 H n −1 W ( s j+1 ) − W ( s j ) * ) Ta có : ⎧⎪ * ( k ) * ( j ) ⎫⎪ E ⎨ H n −1 H n −1 W ( s k +1 ) − W ( s k ) W ( s j+1 ) − W ( s j ) ⎬ = ⎪⎩ ⎪⎭ ⎧⎪ * ( k ) * ( j ) ⎫⎪ E ⎨ H n −1 H n −1 W ( s j +1 ) − W ( s j ) ⎬ E W ( s k +1 ) − W ( s k ) = ⎩⎪ ⎭⎪ ( )( ( ) ( { ) ) } (do E W ( s k +1 ) − W ( s k ) = ) Do : ⎧⎪⎛ * ( k ) ⎞ 2⎫ E H W s W s − n − ( k +1 ) ( k ) ⎪⎬ ⎟ ⎨⎜ ∑ k =0 ⎠ ⎪⎩⎝ ⎭⎪ ⎧⎛ * ( k ) ⎞ ⎫ ⎫ n −1 2⎪ ⎪ ⎪ = ∑ E ⎨⎜ H n −1 ⎟ ⎬ E W ( s k +1 ) − W ( s k ) ⎬ k =0 ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ ⎪⎭ ⎛⎛ t * ⎞ ⎞ E ⎜ ⎜ ∫ H n −1dWs ⎟ ⎟ = ⎜⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎝ n −1 ( ) ( ) ⎧⎪⎛ * ( k ) ⎞ ⎫⎪ = ∑ E ⎨⎜ H n −1 ⎟ ⎬ ( s k +1 − s k ) k =0 ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ ⎛t * ⎞ = E ⎜ ∫ H n −1 dt ⎟ ⎝0 ⎠ n −1 ⎧t * ⎫ ⎧*2 ⎫ E ⎨ H n ( Wt , t ) ⎬ = E ⎨ ∫ H n −1 ( Ws , s ) ds ⎬ ⎩ ⎭ ⎩0 ⎭ Vậy • Chứng minh (c ) Từ hệ thức (3.10) ta có : t H n * t * * ( W t ) = 2∫ H ( W , s ) H ( W , s ) dW + ∫ H ( W , s ) ds n t, s n −1 s n −1 s s Lấy kì vọng vế 72 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 71 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 72 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài * ⎛t * ⎞ ⎛t * ⎞ ⎧*2 ⎫ => E ⎨ H n ( Wt, t ) ⎬ = E ⎜ ∫ H n ( Ws , s ) H n −1 ( Ws , s ) dWs ⎟ + E ⎜ ∫ H n −1 ( Ws , s ) ds ⎟ ⎩ ⎭ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ Theo tính chất (b) ⎧ * ⎫ ⎧ t * ⎫ E ⎨ H n2 ( Wt , t ) ⎬ = E ⎨ ∫ H n2−1 ( Ws , s ) ds ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ nên * ⎧t * ⎫ ⎛t * ⎞ ⎛t * ⎞ E ⎨ ∫ H n −1 ( Ws , s ) ds ⎬ = E ⎜ ∫ H n ( Ws , s ) H n −1 ( Ws , s ) dWs ⎟ + E ⎜ ∫ H n −1 ( Ws , s ) ds ⎟ ⎩0 ⎭ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ Vậy E {∫ t * } * H n ( Ws , s ) H n −1 ( Ws , s ) dWs = Vậy tính chất (c) chứng minh xong • Chứng minh tính chất (d) : đẳng thức (3.15) đẳng thức (3.7) mà ta chứng minh • Chứng minh tính chất (e) : dựa vào tính đẳng cự Ito tích phân ngẫu nhiên 73 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 72 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 73 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài KẾT LUẬN Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên có nhiều vấn đề hấp dẫn, thú vị ứng dụng thực tế chúng sống Tôi muốn nghiên cứu thêm đưa ứng dụng thực tế chúng vào luận văn để có kết tốt đẹp mặt lý thuyết ứng dụng vào thực tiễn Khi nghiên cứu vấn đề luận văn nêu mối liên hệ đa thức Hermite, trình ngẫu nhiên dạng Hermite, đa thức Hermite suy rộng bậc m số đặc tính vi phân ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên dạng Hermite Hướng phát triển nghiên cứu sâu hệ số Fourier – Hermite suy rộng hàm Fourier – Hermite suy rộng Khi có tập trực chuẩn đầy đủ L2 ( Ca ,b [ 0, T ]) Ngoài nghiên cứu tiếp phép biến đổi không gian hàm Fourier – Wiener suy rộng 74 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 73 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 74 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] A D VENTXEL Giáo Trình Lý Thuyết Quá Trình Ngẫu Nhiên NXB “ Mir “ Maxcova, 1987 ( Bản dịch từ tiếng Nga sang tiếng Việt Nguyễn Viết Phú Nguyễn Duy Tiến) [2] DƯƠNG TÔN ĐẢM Quá Trình Ngẫu Nhiên Phần Mở Đầu NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006 [3] DƯƠNG TÔN ĐẢM Quá Trình Ngẫu Nhiên Phần I : Tích Phân Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 [4] ĐINH VĂN GẮNG Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê NXB Giáo Dục, 2000 [5] NGUYỄN BÁC VĂN Xác Suất Và Xử Lý Số Liệu Thống Kê NXB Giáo Dục, 2000 75 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 74 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 75 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài [6] NGUYỄN DUY TIẾN, ĐẶNG HÙNG THẮNG Các Mô Hình Xác Suất Và Ứng Dụng Phần I : - Xích Markov Và Ứng Dụng Phần II: - Quá Trình Dừng Và Ứng Dụng Phần III: - Giải Tích Ngẫu Nhiên NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 – 2001 [7] NGUYỄN DUY TIẾN, NGUYỄN VIẾT PHÚ Cơ Sở Lý Thuyết Xác Suất NXB Đại Học Và Trung Học Chuyên Nghiệp Hà Nội, 1983 [8] NGUYỄN DUY TIẾN, NGUYỄN VIẾT PHÚ Lý Thuyết Xác Suất NXB Giáo Dục Hà Nội, 2000 [9] NGUYỄN HỒ QUỲNH Chuỗi Thời Gian : Phân Tích Và Nhận Dạng NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật Hà Nội, 2004 [10] TRẦN HÙNG THAO Tích Phân Ngẫu Nhiên Và Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội, 2000 76 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 75 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 76 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài TIẾNG ANH [1] A J CHORIN Hermite Expansion In Monte – Carlo Simulations J Comput Phys, : 472 – 482, 1971 [2] BERNT OKSENDAL Stochastic Differential Equation – An Introduction With Application 6th edition, Springer, 2005 [3] DEBNATH L AND MIKUSINSKI Introduction To Hilbert Spaces With Application Academic Press ,1990 [4] F H MALTZ AND D L HITZL Variance Reduction In Monte Carls Computations Using Multi – Dimensional Hermite Polynimals J Comput Phys, 32 : 345 – 376, 1979 [5] R H CAMERON The Orthogonal Development Of Non – Linear Functionals In Series Of Fourier – Hermite Functionals Ann Of Math, 48 (1947), 385 – 392, [6] R H CAMERON Some Examples Of Fourier – Wiener Transforms Of Analytic Functionals Duke Math J 12 (1945), 485 – 488 77 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 76 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 77 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài [7] R H CAMERON AND W T MARTIN Fourier – Wiener Transforms Of Analytic Functionals Duke Math J 12 (1945), 489 – 507 [8] SEUNG JUN CHANG AND HYUN SOO CHUNG Generalized Fourier – Wiener Function Space Transforms J Korean Math Soc 46 (2009), No 2, 327 – 345 [9] WUAN LUO Wiener Chaos Expansion And Numerical Solutions Of Stochastic Partial Differential Equations Californial Institute Of Technology Pasadena , California Defended May 2, 2006 78 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 77 of 89 Trần Thị Vân Anh ... 1.7 1.8 15 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 14 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 15 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài §1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1... TUYẾN TÍNH TRONG L2 12 Luận văn thạc sĩ toán học Footer Page 11 of 89 Trần Thị Vân Anh Header Page 12 of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài Giả sử X1, X2 Y biến ngẫu nhiên L2, quan sát... 8Luận of 89 .văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Header Page of 89 Khai triển trực giao hàm ngẫu nhiên Đề tài x ' ∈ A ( x − x ' ) ∈ A⊥ b) x ' ∈ A x − x ' = inf x − y y∈ A x’ gọi chiếu (trực giao)