: () '( ')f M zM z
CHƯƠNG 3 BÀI TẬP VẬN DỤNG
3.3. Bài toán dựng hình
Bài 3.9. Cho đường thẳng d, hai điểm A và B ở cùng phía bờ d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho MN = m cho trước và AM = BN.
Lời giải
+ Phân tích: Ta dựng N qua phép tịnh tiến
: ' ' m T M N A A → → uur
Khi đó A'N=NB (= AN)
Do đó N là giao của đường thẳng d với x là trung trực của A'B. + Dựng: Hình 3.9 B A' A M N d x
Dựng d, A, B, m
A' = T Amuur( ), x là đường trung trực của A'B. N = x d∩ , M = T Nmuur( )
+ Chứng minh: MN = m, NB = NA' = MA.
+ Biện luận: A'B vuông góc với d bài toán vô nghiệm.
A'B không vuông góc với d thì bài toán có 1 nghiệm hình. Bài 3.10. Cho hai điểm A và B ở khác phía bờ là đường thẳng d. Hãy dựng điểm M trên d để d là phân giác của AMB· .
Lời giải
+ Phân tích: Giả sử đã dựng được M∈d và M thỏa mãn đầu bài Ta thấy qua Đd: A→A' thì A'∈ MB ⇒ M ≡ A'B∩d.
+ Dựng:
Dựng A, B và d, A' = Đd(A), M≡BA' ∩d
+ Chứng minh: vì d là trung trực của AA' nên d là phân giác của AMB· . + Biện luận: nếu AH≠BI thì bài toán có 1 nghiệm.
nếu AH = BI thì bài toán vô nghiệm.
Bài 3.11. Cho tam giác ABC. Dựng hình vuông MNPQ sao cho M∈AB, N∈AC,
P, Q ∈ BC.
Lời giải
+ Phân tích: Giả sử dựng được hình vuông MNPQ thỏa mãn bài toán, nếu tạm gác điều kiện N∈AC thì có vô số hình vuông M'N'P'Q' thỏa mãn M'∈AB,
Hình 3.10 I B A M A'
P', Q' ∈ BC. Nếu chọn tâm vị tự là B thì qua phép k B V : M'N'P'Q' →MNPQ với ' BN k BN = + Dựng: ∆ABC
Dựng hình vuông M'N'P'Q' sao cho M'∈AB, P', Q' ∈ BC. Nối BM' cắt
AC ở N. Hạ NP // N'P' suy ra MNPQ là hình cần dựng.
+ Chứng minh: Vì M'N'P'Q' là hình vuông suy ra MNPQ là hình vuông. + Biện luận: Bài toán luôn có 1 nghiệm hình.
Bài 3.12. Cho đường tròn (O), một điểm A và một đường thẳng d, dựng tam giác cân tại A sao cho B ∈ (O), C ∈ d.
Lời giải
+ Phân tích
Giả sử đã dựng được ∆ABC vuông cân tại A thỏa mãn điều kiện đầu bài. Khi đó B ∈ (O) và B ∈ d' = Q90A0( )d + Dựng: Dựng (O) và d d' = Q90A0( )d , B = (O) ∩ d', C = Q90A0( )B . Ta có ∆ABC cần dựng Hình 3.11 C A N M B M' N' P Q P' Q' Hình 3.12 O B d d' A C
+ Chứng minh: Theo cách dựng suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân thỏa mãn đầu bài.
Biện luận: Tùy thuộc vào số giao điểm của d' và đường tròn (O) ta có số nghiệm hình tương ứng.
Bài tập 3.13. Hãy dựng tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O, R) đã cho và nhận các đường thẳng l1, l2, l3 đồng quy tại O là các đường phân giác.
Lời giải
+ Phân tích
Giả sử đã dựng được ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O, R) tại các tiếp điểm K, I và J tương ứng với AB, BC và CA, nhận các đường thẳng l1, l2, l3
tương ứng là các đường phân giác của các góc A, B, C.
Các tiếp điểm K, I và J đôi một đối xứng với nhau qua các đường phân giác l1, l2, l3 của các góc A, B, C. Nghĩa là với Đl1, Đl2 , Đl3tương ứng là các
phép đối xứng qua các trục l1, l2, l3 thì Đl3(I) = J, Đl1(J) = K, Đl2(K) = I.
Gọi A', B', C' là một trong hai giao điểm của (O) lần lượt với mỗi l1, l2, l3
(hình 3.13), ta đặt ¼A B' '=a B C, ' '¼ =b AC c, » = thì a, b và c được xác định.
Đặt ¼A J' =¼A K' =x B K, '¼ =B I»' = y C I C J, '¼ = ¼' =z với x, y, z là các số
dương. Giải hệ phương trình:
x y a y z b z x c + = + = + =
với điều kiện b c− ≤ ≤ +a b c ta được
1 1 1
( ), y = ( ), z = ( )
2 2 2
x = a c b+ − a b c+ − b c a+ −
Suy ra các điểm I, J, K trên (O) được hoàn toán xác định bởi x, y, z. Từ đó ta có cách dựng. A O J K A' 3 l 2 l
+ Cách dựng
Dựng 1( ), y = (1 ), z = (1 )
2 2 2
x= a c b+ − a b c+ − b c a+ −
Dựng ¼A J' =x B K, '¼ = y C I, '¼ =z
Dựng các tiếp tuyến với (O) qua I, J, K ta được tam giác ABC phải dựng. + Biện luận
Với điều kiện b c− ≤ ≤ +a b c, bài toán có hai nghiệm hình đối xứng với nhau qua tâm O khi ta thay các điểm A', B', C' bởi các điểm đối xứng qua O tương ứng của chúng.
3.4. Bài tập
Bài 3.14. Cho tam giác nhọn ABC, một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B. Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ trực tâm của tam giác ABC xuống đường thẳng d. Chứng minh rằng BKL là tam giác cân
(Petersburg 2000).
Bài 3.15. Cho O, H, G theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng OHuuur =3OGuuur.
b) Với mỗi điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, gọi M M M1, 2, 3
theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. c) Chứng minh rằng M M M1, 2, 3 thẳng hàng.
d) Gọi G1 là trọng tâm của hệ ba điểm M M M1, 2, 3. Chứng minh rằng G1 là
điểm cố định khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
e) Khi tam giác ABC không là tam giác đều, tìm quỹ tích điểm G1, khi M thay
Bài 3.16. Trên mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm O và hai đường thẳng vuông góc với nhau d, d’; OA và OB là hai bán kính vuông góc. Qua A và B kẻ hai đường thẳng tương ứng vuông góc với d, d’, chúng cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các giao điểm M khi A di động trên đường tròn.
Bài 3.17. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, trung tuyến BM có độ dài không đổi bằng R. Tìm quỹ tích điểm A.
Bài 3.18. Cho đường tròn tâm O bán kính R, BC là dây cung cố định, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 3.19. Cho nửa đường tròn đường kính MON. Từ một điểm A bất kỳ trên MN dựng đường thẳng vuông góc với MN. Đường vuông góc này gặp nửa đường tròn tại B. Trên OB lấy C sao cho OC = AB. Tìm quỹ tích điểm C khi A chuyển động trên MN.
Bài 3.20. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua B, C vẽ đường tròn thay đổi tâm D, từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AM’ với đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm N của MM’.
Bài 3.21. Cho (C) là nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Với mỗi điểm M trên nửa đường tròn, về phía ngoài nửa đường tròn, dựng tam giác AMNP theo thứ tự đó sao cho góc A =
2
π , AM = AP, cạnh NP vuông góc với AB và NP = R. Tìm quỹ tích đỉnh N khi M chạy trên nửa đường tròn (C).
Bài 3.22. Cho đường tròn tâm O và hai điểm cố điịnh A, B của đường tròn đó. Một điểm M chuyển động trên đường tròn (O). Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (C) và (C1) cùng qua M, tương ứng tiếp xúc với đường thẳng AB tại A và B. Hãy tìm quỹ tích của điểm N.
Bài 3.23. Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng và điểm O thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Một đường tròn tâm O đi qua A, B cắt d ở D và E. Các đường thẳng CD và CE tương ứng cắt đường tròn (O’) ở D’ và E’. Tìm quỹ tích của điểm D’ và E’ khi O chuyển động trên d.
Bài 3.24. Cho điểm B là điểm giữa hai điểm A và C. Qu A dựng tiếp tuyến AT với đường tròn T thay đổi tiếp xúc với AC ở C, BT cắt đường tròn T tại điểm thứ hai M. Tìm quỹ tích của điểm M.
Bài 3.25. Cho đường tròn cố định T tâm O, bán kính R và hai đường thẳng Ox, Oy vuông góc với nhau. Lấy điểm P trên đường tròn T. Tiếp tuyến với đường tròn T tại điểm P cắt Ox, Oy lần lượt ở A và B. Trục đẳng phương của đường tròn T và đường tròn (AOB) cắt Ox, Oy ở C và D. Khi điểm P chuyển động trên T tìm quỹ tích các trung điểm M của CD.
Bài 3.26. Cho ba đường thẳng d, d1 và d2 cùng đi qua điểm O. Từ điểm A trên d kẻ các đường thẳng đi qua hai điểm B và C cố định trên d2, chúng cắt d1 tương ứng tại D và E. Tìm quỹ tích giao điểm M của CD và BE khi A chuyển động trên d.
Bài 3.27. Cho đường thẳng xy, hai điểm A và B ở cùng phía bờ là xy. Dựng hai điểm M và N trên xy sao cho (AM + MN + NB) nhỏ nhất và MN = m cho trước. Bài 3.28. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Dựng điểm D trên (O) sao cho tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp một đường tròn nào đó.
Bài 3.29. Cho hai đường tròn (O), (O'). Dựng trên (O) và (O') hai điểm M và N sao cho MN // OO' và MN = m cho trước.
Bài 3.30. Cho 4 đường thẳng a, b, c, d đôi một không song song với nhau và điểm O. Hãy dựng hình bình hành ABCD có 4 đỉnh thuộc 4 đường thẳng đó và nhận O làm tâm.
Bài 3.31. Cho tam giác ABC và ba đường phân giác trong của nó. Hãy dựng tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC và có các cạnh song song với ba đường phân giác đó.
Bài 3.32. Cho ba đường thẳng a, b, c thỏa mãn a // b // c. Dựng tam giác đều ABC có 3 đỉnh nằm trên 3 đường thẳng đó.
KẾT LUẬN
Những kết quả chính mà nhóm đề tài đã đạt được trong quá trình nghiên cứu: 1. Hệ thống hóa một cách khoa học và chính xác các kiến thức cơ bản về số phức.
2. Sử dụng công cụ số phức nghiên cứu các phép biến hình trong mặt phẳng, chứng minh chi tiết một số các tính chất của các phép biến hình.
3. Minh họa việc việc sử dụng các phép biến hình giải một số bài toán hình học phẳng dựa trên công cụ số phức.
Việc sử dụng số phức như một công cụ giải toán không những mang lại cho chúng ta một phương pháp giải toán mới mà góp phần đáng kể vào việc rèn luyện kĩ năng và năng lực giải toán cho học sinh, sinh viên, đặc biệt là ứng dụng các phép biến hình để giải các bài toán hình học phẳng có thể cho chúng ta lời giải đẹp và ngắn gọn.