Chương IV PHÉP QUAY RIẾN THỨC CÂN NHỚ
1 Định nghĩa
Trong mặt phăng, cho một điểm cô định O và một điểm M, ơ là
một góc định hướng không đổi cho trước
Điểm M' được gọi là ảnh của điểm M M
trong phép quay ỳ(O; Ư) tâm O, góc quay ơ khi fom = OMỖ ] ( (OM,OM') - i a ứ O M OM = QMỖ Ta có: M 25M: Hình 78c (OM,OM)=<ứ
s Ngược lại: M là anh cua M' cho M
bởi phép quay R(O: -u)
MỖ RO! M
e R(O; Ởa) = ỞR(O; a)
O M
s Chú ý rằng với góc z không định hướng thì phép quay tâm O, góc quay Ủ sẽ biến điểm M thành hai điểm M' và M'
ề Trong phép quay R(O: Ư), O là điểm kép
e Phép quay R(0; +180Ợ) là một phép đối xứng S(O) MeỞỞỞC*3Ở+~ỞM
* Ánh của một hình
Khi điểm M vẽ một hình (F) thì ánh M' của M cho bởi phét quay R(O; a) sé vé mot hình (FỖ) gọi là ảnh (hay biến hình) của hinh (F) cho boi phep quay R(O; ề)
Do đó: Ảnh (biến hình! của một hình (F) cho bởi phép quay R(O; a) la mét hình (FỢ) gồm tất cả các điểm ảnh của tất cả các điểm của hình !F) cho bơi phép quay R(O; a)
(E)=IM.M-*Ộ2Ộ+M,M Ể)
Hình 7Sb M"
Trang 22 Tắnh chất
Phép quay là một phép dời hình, biến hình (F) thành hình (F) bằng hình (F')
3 Định lắ:
a) Ảnh của đoạn AB là A'B' = AB
b) Góc của hai vectơ đối ứng bằng góc quay A fal, AỖ B92, B AB "2", AB => (AB ; ABỖ) =a
c) Goi I 1a giao diém cua AB va AỖBỢ 1
Các tứ giác OIAA', OIBB' nội tiếp
4 Xác định phép quay R(O; Ủ) biến AB thành AB', AB va AB
là hai vectơ có cùng chiều dài cho trước (Hình 79)
ụ Góc quay ơ = (AB, ABỖ) OA = OA' OB = OBỖ (OA; 0AỖ) = a + k2n ae =a+k2n Hinh 79 e Ta cé: | với ke Z
Tâm quay O được xác định như sau:
+ O là giao điểm của các trung trực của các đoạn thang AAỖ, BBỖ + O là giao điểm thứ hai của hai duéng tron IAAỖ va IBBỖ, I là
giao điểm của AB và A'B'
+ O là giao điểm của trung trực của đoạn AA' và đường tròn IBBỖ 5 Tắch của hai phép quay
Trang 3{OM = OMỖ
Suy ra: + R My Ổ MỢ
((OM:OM*) un -
Do đó: Tắch cua hiu phep quay déng tam là một phép quay
đồng tâm mà góc quay băng tôi.Ợ các góc quay R(O; ơ).R(O: Ư` = RCO; ở +)
Nếu ư + ơ= 0 thì tịch của hai phép quay là một phép đồng nhất b, Tắch của hai phép quay khác tam (Hinh 89a, b) R(O; Ủ).R(O`: ở) =? AB-AW Taco: AB -Ẻ2Ộ, AB - ' AB; A'B)) = @ AB = AỔB" Ap ten, ap AP OAS (Ab;A B)=ơ AB= A*B' Suy ra: 4 _ : M Ở'5 MỢ (AB; A"B") = a - aỖ Hinh 80
c' Điểm kép của tắch hai phép quay
Gia su I là điểm kép trong tắch của hai phép quay R(O; a).R(OỖ; aỖ)
I Ria RIG a ty I
Gọi J là ảnh của I cho bởi phép quay R(0; ơ) thì I là ảnh của J cho bởi phép quay R(O', ở)
I Rios g J Ria, I
O và Ơ' đều nằm trên trung trực của IJ (Hình 80)
Trang 472
Cho OO' quay quanh O một Hình 81
góc 5 , OƠ' đến trùng với tia Ox, cho oo quay quanh OỖ một góc E Ở, ƠO đến trùng với tia ƠYy; Đa va OỖy giao nhau tại IL Đó là điểm kép trong tắch của hai phép quay
- Nếu Ủ + ơ'` # k2n, k e Z
R(O; ơ).R(Ơ; aỢ) = RU, a + aỖ) Hình 82 ~ Néua +aỖ = k2x = Ox, OỖy song song
Tắch của hai phép quay là một phép tịnh tiến (Hình 82 6 Tắch của một phép quay uà một phép tịnh tiến R(O; Ủ).T(V )=? - Phép quay R(O; ụ) biến AB thành AT: AB = A'B' (AB;AĐ)= Ủ [2m)
- Phép tịnh tiến T(Ỳ ) biến AE thành AỘBỢ = AB
AB Ở2Om, R(O;a) AB 7, TV) AB" R(O; Ủ).T(V ) AB = A'B" (AB, ABỖ) = o [27] Điều này chứng tỏ: Tắch của một phép quay và một phéỈ tịnh tiến là một phép quay
e Tắch của một phép tịnh tiến và một phép quay thì seo? Các em học sinh thử nghiên cứu xem?
Trang 5LUYEN TAP
49 Chứng minh rằng phép quay R(0; 0) co thé xem là tắch số của hai phép đối xứng trục
Hướng dẫn
Goi MỖ la ảnh của điểm M cho bởi phép quay R(O; 9)
Kế tia phân giác Oz của góc MOM' và các tia phân giác Ox, Oy của các góc MOz, zOMỖ
Goi M, la ảnh của M trong phép đối xứng truc Ox rồi chứng minh
M' là ảnh của điểm M; cho bởi phép đối xứng trục Oy Giải
Gọi M' là ảnh của điểm M trong phép quay R(O; 6) Dung tia phan giae Oz cua góc M
MOM' và các tia phan giac Ox, -y
Oy cua các góc MOz 20MỖ
Gọi Mì là anh cua diém M e ;
trong phép đối xứng S(Ox), di M,
nhiên M; e Oz
Ta cé: OM, = OM, OM = OMỖ => OMỖ = OM, x Tia phan giác Oy là trục đối xứng của góczOM'` yy
Ta có: OM' = OM Hình 83
Mịạc Oz
Suy ra M' là ảnh của M; trong phép đối xứng S(Oy'
Do đó phép quay R(O, 0) là tắch của hai phép đối xứng trục S(Ox) va S(Oy)
50 Trén dugng tron (O; R) lay hai diém A va B Hay tim trén cung AB một điểm C sao cho CA + CB có độ dài không đổi a
Giải
Giả sử ta đã tìm được trên cung AB một điểm C sao cho CA+CB=a
a là một độ dài không đổi cho trước
Phép quay R(C; 180ồ - ề) vai (CA;CB) = a + k360ồ, (k e Z) biến
Trang 6CB = CB = AB =a; (BA;BB)= Ế + m360ồ Do đó B' là giao điểm của đường
tròn (A; a) và cung chứa góc định
hướng > Đường thẳng AB' cắt
cung AB tại điểm thứ hai C, C là
điểm phải dựng
Phép đối xứng S(A), trục đối xứng A là trung trực của dây AB, biến điểm C thành điểm C' thỏa đề bài Vậy: Bài toán có hai nghiệm hình nếu
a <2R' = -^P_, với R' là bán kắnh
sin Ở
2
đường tròn ngoại tiếp AABB'
51 Trên đường tròn (O), lấy một điểm cố định A và một điểm di động B
Dựng tam giác đều ABC Tìm tập hợp các điểm C
Giải
Gia st (AB; AC) > 0 = (AB; AC) = 60ồ + k.360ồ, k e Z
Suy ra C là ảnh của B trong phép quay R(A; 60ồ) tâm A, có góc
quay 6 = 60ồ
Do đó khi điểm M chạy trên đường
tròn (O), ta có tập hợp các điểm C là
đường tròn (O'), ảnh của đường tròn (O) cho bởi phép quay trên (Hình 85)
Nếu (AB; AC) = -60ồ + k.360/, (k e Z)
thì tập hợp các điểm C là đường tròn
(OỢ) cho bởi phép quay R(A; Ở60ồ)
52 Cho tam giác đều ABC tâm O Hình 85
Hãy tìm ảnh của AABC trong phép quay R(O; 120ồ) tâm O, góc quay 120ồ Gidi
Giả sử ta có: ( AB; AC) = 60ồ = (OA;OB) = (OB,OC) = (ạOẠ;OA ) = 120ồ
Trang 7Do đó ta có: Phép quay R(O, 120) A
bién AABC thanh \BCA
Nếu (AB;AC) = -60' thị \ABC sẽ biến thành ACAB (Hình 86' Hình 86 53 Mot tam giác đều có định A cô định, định B chạy trên một hình (F) Tìm tập hợp các đỉnh C khi:
1 (F) là một đường thăng \ không di qua A 2 (F) la mét dudng tron (O, Bi khong di qua A
Gidi Xem tam giác đều ABC cạnh a
Giả sử (AB; AC) = 60Ợ + k.180ồ, k < Z
Suy ra C là ảnh của B trong phép quay R(A; 600)
1 Do đó khi B chạy trên một A
đường thẳng A không đi qua A thì tập hợp các điểm ẹ là đường thang AỖ khong di qua A Cách dung aỖ: Ke AH | Atai H Dựng H' là ảnh của H trong phép quay R(A; 60Ợ)
Dựng đường thẳng A' ' AH' tại H hoặc nối HCỖ; AỖ Ja ảnh cua A cho béi phép quay trén (Hinh 87) A' là tập hợp các diém C phai tim 2 Khi B chạy trên đường tròn (O; R) thì tập hợp các điểm Ạ là
đường tròn (Ể; R) với 0Ỗ Ja anh
của O trong phép quay R(A; 60Ợ)
Trang 8đ4 Cho hai đường thẳng (D) và (D') giao nhau
1 Hãy xác định tập hợp (T) các tâm quay trong phép quay R biến đường thẳng (D) thành đường thẳng D' 2 Cho A e (D) và A' e (D) Hãy xác định tâm quay biến điểm A thành điểm A' Giải 1 Gọi C là tâm quay, I là giao điểm của D và D' Dung CH 1 D va CHỖ 1 DỖ = H là ảnh của H trong phép quay R(C; 9) với 9 fa mot trong các góc hợp bởi D va DỖ => (D; IC) = (IC; DỖ) + k.180ồ, k ề Z Suy ra C nằm trên một đường phân giác của góc hợp bởi hai
đường thẳng D, D'
Đảo lại: Học sinh tự chứng minh
2 Goi C và C' là hai tâm quay biến D thành D, với C e xÍx va C' c yly, xlx và yIy là các phân giác của các góc hợp bởi D và D A' là ảnh của A trong các phép quay trên, A e D và A' e DỖ
Suy ra: C và C' nằm trên đường tròn (Ủ) ngoại tiếp AIAA' (Hình 89) Do đó C và C' là giao điểm thứ hai của xlx và yly với đường tròn (Ủ) hay C và C' là giao điểm của x'Ix và y'ỳy với trung trực A của đoạn AA'
B5 Cho hai đường tròn (O; R) và (Ơ; R`); A là một điểm thuộc (O) và A' là một điểm thuộc (O')
1 Xác định tập hợp các tâm quay Ủ biến đường tròn (O) thành đường tròn (O')
2 Xác định tâm Ủ' biến điểm A thành điểm A' Hướng dẫn: Xem bài 54
Học sinh tự giải
56 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), A và B cố định, C di động trên cung lớn AB Trên đường thẳng AC, lấy đoạn
AE = BC và AE cùng hướng với AC
Tìm tập hợp (E) các điểm D
Trang 9
57 Huong dan Dựng hinh bình hành ABCI) Co nhan xét gi vé AD va AE? Gidi Dung hinh binh hanh ABCD Taco: CD=BA =C 4),
Ta suy ra: Khi C chay trên cung lớn AB thì D chạy trên cúng AB), ảnh của cung AB cho bởi phép tịnh tiến T( BA ) (Hình 90) Ta lại có: e ACB =0 không đôi => (AD; AE) = 6 + k180" (k = Z) ề AE = AD (cùng bang BC)
Như vậy: E là ảnh cua D trong phép
quay R(A; @) với @ = 0 hoặc Ư = -Đ
Do đó khi D chạy trên cung lớn A'B của đường tròn (0Ỗ; R) với O' là ảnh cúa O trong phép T(BA) thì tập hợp (E) các điểm E là cung lớn AỢBỢ, ảnh của cung lớn A'B` cho bởi phép quay R(A; 9); cung AỢBỢ nằm trên đường tròn (OỢ; R), ảnh của đường tròn (Ơ?; R) trong phép quay trên
Nhận xét rằng B' z B" = A
Hãy dựng một hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của một hình bình hành
Hướng dẫn _
Xem hình vuéng ABCD tam 0
Giả sử ta đã dựng được hình vuông MNPQ có 4 đỉnh nằm trên các cạnh của hình bình hành đã cho: M e (AB), N eẠ (BC), P (CD), Q e (DAI Hãy chứng minh O là tâm của hình vuông MNP phải dựng Hình 90 Giải Cho hình vuông ABCD tâm O
Gia su ta đã dựng được hình vuông MNPQ có các đỉnh M,N,P, Q
nằm trên các cạnh của hình bình hành ABCD đã cho (Hình 91)
Trang 10Ta có: AAMQ = ACPN (Vì sao?) A M B => AAOQ = ACON = AOQ = CON = Q, O, N thang hang Q s ẻ Tương tự, ta có: P,O, N H thẳng hàng Do đó O là tâm của hình vuông MNPQ D ~ P c Ta có: OP = OQ Hình 91 (OQ; OP ) = 90ồ + k.360ồ, k e Z Suy ra P là ảnh của Q trong phép quay R(O; 90ồ) tam O, góc quay 6 = 907 ; Nhu vay P là giao điểm của CD và ảnh của AD cho bởi phép quay R(O; 90ồ) ề Dựng điểm P Ké OH 1 AD tai H
Dựng H' là ảnh của H trong phép quay R(O; 90ồ)
Kẻ đường thẳng d L OH' tại H, d cắt CD tại P
e PO cắt AB tại M,
Ta dung được hình vuông MNPqQ
B8 Cho hai đường thẳng cố định D, A và một điểm cố định A Hãy
78
dựng đoạn thẳng BC sao cho B e D, C e A và tam giác A8C cân
tại A có góc ở đỉnh  = ơồ
Hướng dẫn
Dựng AH L D tại H Tìm ảnh H của điểm H trong phép quay R(A; aồ) theo mét chiéu quay nao đó (theo chiều quay đương chẳng hạn) Lúc đó đường thẳng D có ảnh là đường thang DỖ cho bởi phép quay R(A; Ủồ)
Có nhận xét gì? Suy ra cách dựng
Giải
Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC cân tại A, có Â = Ủồ và
Be<D,CeA
Ta suy ra C là ảnh của B trong phép quay R(A; Ủồ) tâm A góc
quay ơồ theo chiều quay dương
Trang 11Cọi H là anh cua H cho bey phép quay do
Pung đường thang |} viông góc với All' tại HỆ
(hoặc D' tiếp xúc với đường
tron (A; AIT) tai HỖ)
[Ỗ la anh của D cho bơi phép quay R(A; aỢ)
T' cắt XỡC
Goi B la anh cua C cho bơi
piép quay R(A; -Ư'), đương Hinh 99 Cc
mién Be D
AABC cân tại A, BAC =ứ" với B ặ D và Ạ e A, là tam giác cần
ding (Hinh 92)
Mện luận:
eề Để D cắt A thì géc của \ và D phải khác aỢ
ềGọi HỢ là ảnh của H cho bởi phép quay R(A; ỞỦỢ), đường thang D biến thành đường thang DỢ i AHỢ tai HỢ, DỢ cat A tai C' Ta dung dugc tam gidc AỖBỖCỖ can tai A, có A =a v6i BỖ <ề Dva CỖ Ạ A Bai toan có hai nghiệm hình
Cần nhớ rằng góc của D hợp với D' và DỢ bằng nhau va bằng aỖ * Nếu một trong hai đường thẳng qua A, D chẳng hạn, thì sao?
Lúc đó, ảnh của A trong phép quay R(A; Ủ)) hoặc R(A; -ơ')
chắnh là A
Qua A, dựng đường thảng D' (hoặc DỢ) hợp với D góc a, DỖ (hoặc DỢ) cắt A tại C thoặc C"): Bài toán có hai nghiệm hình *59 Cho diém A và hai đường thẳng D;, D; giao nhau, không đi qua A
Hãy dựng một tam giác đều ABC với B < Dị và C e Dạ Giải
e Giả sử ta đã dựng được tam giác đều ABC với đỉnh A cho trước và B e Dị,C ề Dy
Ể thể giả sử thêm rằng ( AB; AC) > 0
= (AB; AC) = 60ồ
Như vậy C là ảnh của B
trong phép quay R(A; 601)
Trang 12*60 *61 80 tâm A, góc quay 0 = 60ồ Gọi D'); là ảnh của D; cho bởi phép quay R(A; 609) = DỖ, di qua C Do đó C là giao điểm của Dạ và DỖ, (Hinh 93) s Cách dựng: Dựng AH L D, tại H
Dựng H', ảnh của H cho bởi phép quay R(A; 600)
Dựng D; L AH tại H; D) là ảnh của D; trong phép quay trên
Đường thẳng D') cắt đường thẳng D; tại C
Phép quay R(A; -60ồ) biến điểm C thành điểm B di nhiên B : D Tam giác ABC là tam giác đều phải dựng s Chứng mình Ta có: C ỞR4-9Ộ', B Fe = AC Oo ae se (AC; AB) = -60ồ e Biện luận
+ Nếu D) và DƯ giao nhau: Với hai phép quay R(A; 609), R(A;-60ồ),
ta dựng được hai tam giác đều ABC: Bài toán có hai nzhiém hình
+ Nếu Dị và D; hợp với nhau một góc 60ồ và điểm A cho trước
nằm trên đường phân giác t'At của góc tù
Anh cia D, cho bởi phép quay R(A; 60ồ) hoặc R(A; Ở60) là D; sẽ
trùng với Dạ: Có vô số điểm C Bài toán có vô số nghiệm hình
+ Nếu Dị và D; hợp với nhau góc 60ồ và điểm A nằm ngoài
đường phân giác t'At Ta có: D¡ /⁄ Dạ ẹ ấếC
Bài toán không có nghiệm hình
Hãy dựng một tam giác đều ABC có 3 đỉnh nằm trên 3 tường thẳng song song (Dj), (Dz), (Dạ)
Hướng dẫn
Lấy A e Dạ (Xem bài đ9)
Hãy dựng một tam giác đều ABC có 3 đỉnh nằm trên 3 tường tròn đồng tam (a), (B), (y)
Giải
<= AABC đều
Trang 13Co the gia su thém rang A (a), Bee (hi Ạ c ty) và ( AB; AC ) = 60ồ
Suy ra Ạ là ảnh của B trong phép quay RUA, 60") tam A, géc quay 60ồ
Phép quay RA; 60Ợ: hiện đường tron (J9) tâm O, ban kinh R,
thành đường tròn (j! tâm Oồ bản kinh RƯ với O' là anh\cua O +
trong phép quay trên, Ó' - tơ) ! từ) Hinh 94 Do đó C 1a giao diém cua đường tròn (y) tam O, bán kắnh Rạ với đường tròn (`) e Cách dựng: Lấy điểm A tùy ý nằm trên đường tròn (Ủ) tâm O, bán kắnh Rị (Giả sử Rị > R; > Rạ)
Dựng diém OỖ, ảnh của O trong phép quay R(A; 600)
Dựng đường tròn (J`ì tâm O', bán kắnh R;; (B) chắnh là ảnh của () cho bởi phép quay R(A; 60ồ)
Suy ra C e (fỖ)
Do đó C là giao điêm của đường tròn (y) và đường tròn (PỖ)
Dựng điểm B, ảnh của ẹ trong phép quay R(A; -60ồ), B (B)
Tam giác ABC là tam giác đều phải dựng e Chứng minh: Học sinh tự chứng minh
ụ Biện luận:
Trang 14* 62 Cho hai đường thang xỖPx va y'Py Lấy A,M e xx và B,N c yy
82
với A, B cố định và M, N di động, P nằm giữa A và M, B nằm giữa P và N sao cho: AM = BN
1 Chứng minh rằng hai vectơ AM và BN đối ứng nhau trong một
phép quay R(C; 9) có góc quay 9 không đổi và tâm quay C cố định 2 Chứng tỏ đường tròn (Ủ) ngoại tiếp APMN luôn luôn đi qua hai
điểm cố định
3 Tìm tập hợp các trung điểm J cua đoạn MN
4 Cho A và B di động Tìm tập hợp (E) các tâm quay C của phép quay R(C; 9) ở trên Giải AM = BN Tacé: 4 on BN) = 6+ k360ồ,k Ạ Z : Hình 95
Do đó Bứ là ảnh của AM trong phép quay R(C; 9) tâm C, góc quay 9, với C là giao điểm của đường tròn (B) ngoại tiếp XPAB
và trung trực A của đoạn AB
Trang 15& 4 * 63 Theo tắnh chất cu: phép quay, 1 điểm PC, M,N cùng nằm trên một đường tròn Do đó đường tron (7) ngoại tiếp VPMN đi qua hai điểm cố định P và C Xét APMN nội tiếp đương tron (a) va C ề (a) Ke CH 1 xỖx, CK | yy Ta c6: CH 1 PM CK PN va CJLMN nén 3 diém H, K, J thang hàng (Học sinh tự chứng minh)
H và K cố định suy ra tập hợp các điểm J là đường thẳng HK (Trong toán học, đường thẳng nay được gọi tên là đường thẳng Simson ứng với điêm C cua đường tròn (ơ) và cũng là đường thang Simson ung với đường tròn (|)))
Phần đảo: Học sinh tự chứng minh Ta cé: AM "5 BN Suy ra H 2K = CH = CK Nhu vay: C nam trén tia phân giác Pz của góc hợp bởi hai đường thắng xỖPx va y'Py
Do đó khi A và B dì động, ta có tập hợp C các tâm quay C 1a tia Pz
Cho tam giác ABC với ( AB; AC) = 60ồ và AC > AB
Hãy dựng một đoan thẳng MN sao cho: M ề [AB], N Ạ [AC]
BM - CN MN - lBC 2
Huong dén
Chứng minh trung trực \ của cạnh BC và trung trực AỖ cua đoạn thẳng MN cắt nhau tại một điểm I nam trên đường tròn (O)
Trang 1684
Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp AABC Gọi I là giao điểm của (O) và trung trực A của cạnh BC Ta c6: AIMB = AINC (c.g.c) => IM =IN Do đó I nằm trên trung trực A' của đoạn MN (Hình 96)
AINC là hình biến của AIMB cho
bởi phép quay Rd; 60ồ) theo chiéu
quay duong Hinh 96
Các tam giác IBC và IMN là các tam giác đều Ta có: AIMN 0 AIBC Ư MN 1 IB Ti sé déng dang: i số đồng dạng: k = ỞỞ BE = Ở > IM= Ở e Cách dựng:
- Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp AABC
- Dựng trung trực A của cạnh BC; A cắt đường tròn (O) tai I, J nằm cùng phắa với điểm A đối với BC
Ở Dung đường tròn tam I, ban kắnh p = s = = cắt AB tại M
Ở Dung điểm N ảnh của điểm M cho bởi phép quay R(1; 60ồ)
Đoạn thắng MN là đoạn thẳng phải dựng e Chứng mình: Trong phép quay R(I; 600), ta có: B ỞỞ> C M ỞỞ~N BM ỞỞ>CN (BM, CN) = 60ồ Do đó ta có: N Ạ [AC] = AIMN 0 AIBC, k = 5 => MN = 5 BC > s Biện luận:
Vì d(l, AB) <p = =: Đường tròn (1) cắt AB ở hai điểm nằm về hai phắa của A: Bài toán có một nghiệm hình
Trang 1764 Cho hai tia Ax va By khong cat nhau
Hày dựng một đương thăng \ cát Ax va By theo thu tu tai M va N sao cho: [as EN
(MN -/
flà một độ dài cho trước
Hướng dẫn: Xem bài 63 Học sinh tự giai
65 Cho tam giác ABC Vẻ phắa ngoài tam giác, dựng các tam giác đều
A'BC, BCA và CỖAB
1 So sánh các đoạn thang AAỖ, BB, CCỖ
2 Chứng tỏ AA', BBỖ CCỖ déng qui tai mét diém I
3 Giá sử I nằm trong \ABC Trên tia đối của tia BỊ, lấy đoạn
BD =]C
Chung minh rang: [A + IB + IC = AAỖ Gidi
1 Giả sử AB nam bên trái AC
Góc (AB; AC ) có số đo dương Trong phép quay R(A; -60), ta có: B` ỞỞ>ỪẠ B ỞỞC' Suy ra: BBỖ ỞỞỞ> CỖC Do đó ta cé: BBỖ = CCỖ Tương tự, ta có: AA' = BBỖ = CCỖ Hình 97 À
2 Gọi I là giao điểm cua B]}' và ÓC
Ta có: (IA, IC) = (BA', BC) = 60Ợ + k180Ợ, k e Z)
>> I là giao điểm thứ hai của CC' và đường tròn (Ủ) ngoại tiếp AA'BC
Trong phép quay R(B; 60), AA' có ảnh là CC' (Hình 97)
Goi IỖ la giao diém AAỖ va CCỖ |
Ta cé: (IỖA; IỖCỖ) = (BA; BCỖ) = 60ồ + k'180Ợ (k` e Z)
ẹ (TA; ỨC) = (BA); BC) = 60ồ + k180ồ
Suy ra IỖ la giao điểm thứ hai của CCỖ va duéng tron (a) Do đó T' trùng với I nghĩa là AAỖ, BBỖ, CCỖ déng qui tai I
Trang 183 Trong phép quay R(A'; 600), CI có ảnh là BD Suy ra: AI = A'D và (AT, AT) = 609, Do d6 AAỖID đều => IAỖ = ID =IB + BD = IB + IC : Mặt khác, ta có: AA'=IA +IA' = AA' =IA +IB +IC Vay: IA + IB + IC = AAỖ
66 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R)
M là một điểm di động trên cung BC
Trên tia đối của tia BM lấy một P sao cho BP = MC và trên tia đối của tia CM lấy một điểm Q sao cho CQ = MB
Tìm tập hợp các điểm P, Q Hướng dẫn
Chứng minh MB + MC = MA *
: Giải
Trên dây AM, lấy đoạn AD = BM A Ta ching minh rang DM = MC L
Hai tam giác BCM và ACD có: O' B, = A, (Vi sao?) | BC = AC (gt) BM = AD nên bằng nhau P ABCM = AACD =MC =CD M
Ta lại có: AMC = ABC = 60ồ nén Hinh 98
Trang 19Suy ra P là ảnh của M trong phép quay RA; -60Ợ) (Hình 98)
Do đó: Khi M chạy trên cũng CB thì tấp hợp các điểm P là cung BCỖ, ảnh của cung CB cho bởi phép quay R(A; Ở60Ợ), nằm trên đường tròn (OỢ; R) vai O' la anh cua O trong phép quay trên Lưu
ý là Ơ c (O; R)
Tương tự: Tập hợp các điểm Q là cung CBH', anh của cung BC cho
bởi phép quay R(A; 60Ợ), nằm trên đương tròn (OỢ; R) với OỢ là
anh cua O va OỢ Ạ (0)
67 Cho hai trục xx và y`y vuông góc với nhau tại O; zOz là đường
phân giác của góc xÒy
Một đường tròn (ơ) di động đi qua O và C C Ạ zỖOz cố định, cắt xx tại M va yỖy tai N
1 Chứng tỏ ƠM +ỷN khơng đổi
2 Giả sử có một đường tròn cố định (J) đi qua O và C, cắt x'x tại A và y'y tai B Hỏi có tổn tại phép quay R nào biến AM thành BNứ hay không? Hướng dẫn Để ý rằng điểm C nằm trên tia phân giác z'Oz của góc xOy Giải
1 Ta có: MON = 90ồ nên MN là đường kắnh của đường tròn (o')
Trang 20*68
Tam giác CAB có A=B = 60ồ nén
Cho đoạn thẳng cố định AB, M là một điểm di động trên đoạn thẳng đó
Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, dựng các tam giác đều PAM và QMB
Gọi C là giao điểm của PA và QB
Tìm tập hợp (E) các trung điểm I của doan thang PQ
Chứng minh rằng tâm của đường tròn (Ủ) ngoại tiếp AMPQ là một điểm cố định Ề Tìm tập hgp (T) tam J của đường tròn (B) ngoại tiếp ACPQ Giải là một tam giác đều có cạnh AB = a cố định nên C cố định CPMGQ là một hình bình hành nên trung điểm I cia PQ cing là trung điểm của CM Ta 06: Ci = 5CM Suy ra I là ảnh của M trong phép vị tự Hình 100 H(C; 5) tâm C tỉ số k = z- (Hình 100)
Do đó khi M chạy trên đoạn thẳng AB = a thì tập hợp (E) các
điểm I là đoạn thẳng A'B' = 2ệ ảnh của AB cho bởi phép vị tự
H(C; 2) Với A' là trung điểm của CA và E' là trung điểm của CB;
AỖ va BỖ theo thi ty lA anh cia A va B trong phép vi ty H(C; 3)
2 Ta có:
e AP = PM, PM = CQ = AP = CQ
e (AP;CQ) = ::107ừ96::
Do đó CQ la anh của AP trong một phép quay R(oỦ; -120ồ) tam
Trang 213 Các tam giác CAB và QMB đều
Các cạnh CA va QM co chúng trung true Bx Tương tự: CB và PM có chúng trung trực Ay
Do đó tâm đường tròn ngoại tiệp XMDPQ trùng với tâm đường
tròn ngoại tiép m cua \CAB
Vậy: Tâm đường tròn ngoai tiếp \MPQ la mét điểm cố định
33 Các tam giác CPQ và MQP đối xứng nhau qua I nên hai đường
tròn ngoại tiếp cua chúng cũng đối xứng nhau qua I
Suy ra J và Ủ đối xứng nhau qua I Ta c6: wd = 2wl
J la anh cua I trong vi tu (@; 2) tam @ ti sé k = 2
Khi I chay trén đoạn thang AỖBỖ thi tap hap các diém J 1a doan
AỢBỢ song song va bang doan AB, anh cua AỖBỖ cho bd: pháp vị tự H(Ủ; 2)
69 Cho tam giác ABC
1 Xét các phép quay R(A; Ủ) và R(B; J)
Dinh a va B sao cho C bat bién trong tich R(A; a).R(B; B)
2 Goi: R, = R(A; 2a) R; = R(B; 20) Ra = R(C; 2y) Với Ủ = ( AC; AB); B = (BA; BC); y = (CB;CA ) Chứng tỏ rằng tắch Rị x Rạ x Rạ là một phép biến đổi đông nhất Giải 1 Trong phép quay RỊA; ơ), gọi
CỖ là ảnh của điểm C, suy ra C' nằm trên đường tròn (A) tâm A bán kắnh R = AC
Điểm C bất biến trong phép biến hình R(A; Ủ).R(B; j) nên C là ảnh của C cho bởi phép
quay R(B; B) (Hình 101) , Hình 101
Suy ra C' nằm trên đường tròn (B) tâm B bán kắnh R' = BC
C
Trang 22Do dé C và C' là giao điểm của hai đường tròn (A) và (B) Suy ra C và C' đối xứng với nhau qua đường thẳng AB Ta có: ja} = 2BAC ` ip| = 2ABC 2 Ta biết rằng một phép quay có thể xem là tắch của hai phép đối xứng R, = R(A; 2a) = S(AC) x S(AB) R, = R(A; 2B) = S(BA) x S(BC) Rạ = R(C; 2y) = S(CB) x S(CA)
=> R, x R, x R; = I, phép bién hinh déng nhat
70 Trong mặt phang (Oxy)
Trên trục x'Ox, lấy một điểm A cố định là một điểm M di động; trên trục y'Oy, lấy một điểm B cố định và một điểm N di động sao cho
In =OB=a
OM + ON =a
với a là một độ dài đã biết
1 Chứng minh rằng trung trực (A) của đoạn thẳng MN luôn luôn đi
qua một điểm cố định C
2 Tìm tập hợp (E) trung điểm I của đoạn thang MN 3 Gọi P là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật MONP Tìm tập hợp (T) các điểm P Hướng dẫn 1 Để ý phép biến hình f biến đổi AM thành BN 2 Vận dụng tắnh chất của phép quay 3 So s4nh cdc vecto OP va OI Gidi
1 Các vectơ AM và BN có cùng độ dài (Vì sao?) và vuông góc với
nhau nên ta có thể xem chúng suy từ nhau trong một phép quay
R(C; 90ồ) tam quay C góc quay @ = 90ồ
AM R(C20ồ) BN
Trang 232.C là giao điểm của trung trực
OJ cua đoạn thăng AH và đường tròn ngoại tiep \OMN,
trung điểm I của doan MN la
tâm đường tròn Suy ra ỳ năm trên trung trực của BC
Giới hạn: Khi M > AthiN > B Khi M > O thi N -> BỖ, OBỖ = 2a Khi N > Othi M > AỖ, OAỖ = 2a Tập hợp (E) các điểm | la đoạn thang AB (Hinh 102) 3 MONP là một hình chữ nhật nên ta có: OP = 2OI = OP = 201 P là ảnh của I trong phép vị tự H(O; 2) tâm vị tự O, tỉ số vị tự k = 2 Ta có: OA' =- 20A OBỖ = 20B
Do đó khi I chạy trên đoạn thẳng AB thì tập hợp (T) các điểm P
là đoạn thẳng A'B', ảnh cua AB cho bởi phép vị tự H(0; 2)
71 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') Lấy A, M thuộc (O) và
B, N thuộc (O'), A và B cô định, M và N di động sao cho:
(OA;OM ) = (0'B; O'N)
1 Chứng minh rằng trung trực A của đoạn MN luôn luôn đi qua một điểm cố định
2 Gọi M' là điểm đối tâm của điểm M
Trang 24Chương V PHÉP ĐỒNG DẠNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Tam giác đồng dạng 92 1 Định nghĩa: Hai tam giác được gọi là đồng dạng khi chúngcó: Ở Các góc bằng nhau đôi một Ở Các cạnh tương ứng tỉ lệ (Hình 103)
Nếu hai tam giác a
A'BC' và ABC đồng dạng với nhau thì ta viết: Ạ AA'BC' {2 AABC A = A;B'=- B,C =C AB BC ca, 8 CB CcỖ AB 7 BC 7 CA Hình 103 Tỉ số k của hai độ dài tương ứng của hai tam giác đồổig dang được gọi là tỉ đồng dạng
TD: Cho AA'BC' C5 AABC
Tỉ số hai đường cao tương ứng h, và hạ, tỉ số hai trurg tuyến tương ting mỖ, và mạ, ., bằng tỉ số đồng dang:
i TS TÁC TS =k * Néu hai tam giác có các
cạnh đôi một song song thì được gọi là đồng dạng trực tiếp (Hình 104)
TD: Phép vị tự H(O, k) biến B CN
AABC thanh AAỖB'CỖ déng Hinh 104
dang trực tiếp với AABC
Tỉ số déng dạng chắnh là ;
tỉ số vị tự k (Hình 105)
Cc
Trang 252 Tắnh chất
a) Mỗi tam giác đươc xem là đồng đang với chắnh nó
\ABC CD \ABC Ti so dong dang k = 1
b) Néu \A'B'CỖ WH AABC thi \ABC @ \A'B'CỖ c) Nếu ta có: \ABC WS \A'B'CỖ
va \A'B'CỖ WD AA"BCỢ
thi AABC W AA"B"CỎ 3 Dinh lắ:
Nếu một đường thăng song song với một cạnh của tam giác thì đường thăng đó hợp với hai cạnh còn lai thoặc với phần kéo dài
cua hai cạnh còn lại) một tam giác mới đồng dạng với tam giác
đã cho
4 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác (xera SGK lớp 8)
II Phép đồng dạng
1 Định nghĩa
Phép đồng dạng trong mặt phăng, gọi tắt là phép đồng dạng phẳng, là một phép biến hình, biến hai điểm A: B thuộc mp (P) thành hai điểm A`, B' thuộc mp (P) sao cho A'B' = k.AB, k là một số thực dương: k được gọi là tỉ sô đồng dạng
2 Định lắ 1:
Phép đồng dạng là tắch số của một phép vị tư dương và một phép
quay hoặc tắch số của một phép quay và một phép vị tự đương
Tâm của phép vị tự và tâm quay không bắt buộc phải trùng nhau Nếu tâm vị tự và tâm quay trùng nhau với điểm O thì phép đồng dạng được kắ hiệu là S(O; k; 0) Ta có: H(O,k) Ừ R(O; 6) =(O; k; 6) TD: s Phép dời hình là một phép đồng dạng tỉ số k = 1 e Phép vị tự là một phép đồng dạng có tỉ số bằng trị tuyệt đối của tỉ số vi tư
e Đảo ngược của phép đồng dang ti k là một phép đồng dang có tỉ số
k'=z ke
Trang 26Ta suy ra: Trong một phép đồng dạng:
+ Ảnh của một đường thẳng là một đường thẳng + Ảnh của một góc là một góc bằng nó 3 Định lắ 2: a) Dinh li thuén: AỖ, BỖ va A, B là hai cặp điểm đối ứrg trong một phép đồng dạng thì + Tỉ số giữa hai đoạn thẳng AỖBỖ va 7 AB bằng tỉ số vị tự z2 + Géc cua vecto AỖBỖ với vectơ AB 0/581 bằng góc quay (Hình 106) AI H(O,;k) x R(O,)@) A' g_H(OƯk) x R(O,) - 2, Oo Ổ Hinh 106 AB _Ở( < (AB Ẽ (AB; AB) = 6 b) Định lắ đảo: Cho hai hình phẳng (F) và (F')
Trang 27LUYEN TAP
72 Trong một phép đông dang, có một điểm bất biến gọi là tâm đồng dạng Làm thế nào để xác định tâm đồng dạng nếu biết điểm ảnh của
điểm A cho trước là điểm A'? Giải Gọi O la tâm đồng dạng của phép đồng dạng Si(O; k; 9) O bất biến nên ta có: OAỖ = kOA,k ề 1 (a) (OA; OA) - 0 (b) Goi I va J la hai diém nằm trên đường thang AAỖ sao cho: IAỖ =k.IA JAỖ =k.JA
e Ty (a): Ta suy ra diém O nằm trên đường tròn (Ủ) đường kinh LJ (Đường tròn này được gọi là đường tron Apollonius) (Hinh 107) ề Từ (b), ta suy ra điểm O nằm trên cung (j) chứa góc định hướng
Trang 28Goi I là giao điểm của hai đường thang AB va AỖBỖ ta co:
(1A; IAỖ) = ẹ + m.180ồ
(IB; IBỖ) = 6 + m.180ồ
5 {ie 1AỖ) = (OA; OAỖ)
(IB; IB') = (OB; OBỖ)
Do đó tâm O là giao điểm thứ hai của các đường tròn (Ủ) ngoại tiếp AIAA' và đường tròn (B) ngoại tiếp AIBB'
74 Cho hai đường tròn không bang nhau (I; R) va (IỖ; RỖ)
96
Hai đường tròn này có tương ứng với nhau trong một phép đồng dạng nào hay không? Giải Giả sử có một phép đồng dạng S(O; k: 9) biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (T; R`) (Hình 109) Ta suy ra: ề¡ Si(O;k) , ek= a or R ồ Or =k= R Gọi J¡ và J; là điểm chia đoạn Hình 109 IIỖ theo ti k va Ởk
Do đó O ndm trén duéng tron (a) dudng kinh J,J2
jJ; và d; chắnh là hai tâm vị tự biến đường tròn (I; R) thanh đường tron (IỖ; RỖ)
Néu (I) và (I') giao nhau tai-A va B thi (a) di qua A va B (Đường tròn (Ủ) được gọi là đường tròn đông dạng của các đường tròn
(1; R) và (P; R') đã cho)
Trang 2975 Cho hình chữ nhat ABCD co:
AB = a; AD = 2a; (AB: AD) = 900+ k 360 eZ Goi I là trung diém cua cạnh BC Xác định phép đồng dạng: a) Bién vecto AB vecto BC b) Bién AB thanh ID Giai ¡, Ta có: {BC = 2AB l(AB; BC) - 90' - k360 Do đó BC là ảnh cua AB trong phép đồng dang Si(O; 2: 90 với O là giao điêm thứ ha: của các đường tròn (tư) và !JÈ! có đường kắnh theo thứ tư là AB và BC (Hình 110) Hình 110 2 Ta có: jD = ABV2 \(AB; ID) = 135Ợ + m.360" (m ẹ Z) Do đó ID là anh cua AB trong phép đồng dạng Si(O; V2; 135) với O' là
Trang 30Giải
Dựng tam giác đều ABC với: (CA; CB) = 60ồ + k.360ồ (k < Z)
=> (0A; OB) = (CA: GB) + k.360ồ
Suy ra O nằm trên cung chứa
góc định hướng 602 vẽ trên
cạnh AB
Goi I va J theo thu tu 1a cdc A TB J
điểm chia vectơ BA theo các ụ Hình 115 ae
tỉ số 2 và -2 (Hình 112) _OB _IB_ JB
Ta có: OA =~ TA 7 JA = 2)
Suy ra điểm O nằm trên đường tròn (Ủ) đường kắnh IJ (vì Ỉao?)
Do đó O là giao điểm của cung ACB chứa góc 60ồ và đường trin (ơ') Biểu thức giải tắch của phép đông dạng (thuận) trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng (Oxy), cho điểm cố định I(a; b) và mệ điểm M(x; y)
Goi MỖ(xỖ; yỖ) la anh cua diém M trong phép déng damg phang
Si(I; k; 6)
Ta có tọa độ của M' là:
ÍxỢ = xị + k(x - x,)cos9 - k(y - yẤ)sin9
y' = y, + k(x - x,)sinO + k(y Ở y,)cos0 với k là một số thực dương và Ở180ồ < 6 < 180ồ + Nếu tam I của phép đồng dạng trùng với điểm gốc O của hệ trục tọa độ, ta có: x' = k(cos9 - ysin9) ` y = k(xsin9 + ycos9) 77 1 Trong phép đồng dạng S1; 3; 60Ợ) điểm M(-1; 3) có ¡nh là điểm nào? Biết I(1; 5)
2 Diém M cé anh 1a diém nao trong phép déng dang Si(O; 3; 30")?
Trang 31Gidi 1 Van dung cong thuc
X - Xịt kắx XxIeosl kite oy isin Vv Am + ky y leost) trong do MỖ(xỖ: v) la anh cua diém Mix:y) cho bởi phép đông dang Sill; kỖ; 6) Voi 11; 5) k = 3 va 0 = 60" ta co: BLẺU = 2438 1 |x =1+ậ x = 1+ 3-1 Ls 3L: (3 3 v3 = g=B+3:1- HỘT +90 - m5 - 2-38 Vậy: M(-2 +33;2- 343!
2 Trong phép đồng dạng SLO; 3; 60Ợ), điểm M(-1; 3) có ảnh là
điểm M\(Ểx¡; yị) với:
[ 4 - 1 v3 31 = 3V3)
| 2 35 2
Vay: M,(_ 301+ 3V3), 33 - vB) 2 8ỞỞ]
78 Trong mặt phẳng (Oxy), trên tia Ox lấy một điểm cố định A; trên
tia Oy lấy một điểm cô định B và trên đoạn thăng AB lấy một điểm M Một đường thăng A bất kì đi qua M cắt tia Ox tai C và
tia Oy tai D
Goi I va J theo thứ tự là tâm các đường tròn (Ủ) ngoại tiếp tam giác MÁC và đường tròn (|) ngoại tiếp tam giác MBD
Chứng minh rằng góc IMJ là góc vuông
Fiuémg dén: Goi N là giao điểm thứ hai của các đường tròn (Ủ) và (Bì)
Để ý: phép đồng dạng tâm N có góc đồng dạng 0 = 90ồ
Giải
(Các đường tròn (ơ) và (j) có chung nhau điểm M nên có chung mhau điểm thứ hai N
IPhép đồng dạng tâm N, góc đồng dạng 9 = 90ồ biến AC thành
BD (Hình 113)
Trang 3279 100 Phép đổng dạng SÍP, Do đó đường tròn (ự) là ảnh của dưỡng tròn (Ủ) cho bởi phép đồng dạng trên => (NI; NJ) = 90ồ + k360ồ, k e Z = IMJ = 901 + Chi y: Ta cé: IMJ = 90ồ = IM 1 JM
Ta suy ra: IM va JM theo thi tự là tiếp tuyến của các đường tròn (B) và (ơ) tại giao
điểm M
Trong toán học, tại điểm chung của hai đường cong (C;) va (C2) nếu các tiếp tuyến của (C,) va (C2) vudng
góc với nhau thì hai đường C
cong (C,) va (C2) được gọi là Hình 113
trực giao với nhau
Trong bài toán trên, hai đường tròn (Ủ) và (B) là hai đường tròn trực giao Cho hai đường tròn (O: R) và Ơ'; R`) giao nhau tại A và B mà OAO' = 90ồ, Một cát tuyến di động A đi qua A cắt các đường tròn (O) và (Ơ') theo thứ tự tại M va MỖ
Gọi Mt và M't là các tiếp tuyến tại M của (0) va tại M' của (Ô) Chứng minh rằng Mt và M't vuông góc nhau Hướng dẫn: Xét phép đồng dạng si( By Fi 90" Gia sir ((AO; AG) = 90ồ + k.360ồ, k eZ Gidi R ` ago R 90 biến đường tròn (O) thành đường wZỞ tròn (O)) Trong phép đồng dạng trên, t diém M bién thanh diém
M, tiếp tuyến MT biến thành tiếp tuyến MỖtỖ
Trang 33Do đó ta có:
Mt MỖtỖ (Hinh 114)
80 Ộrên đường tròn (O; R), cho điêm có địnE A và một điểm di động B
2ựng hình vuông ABCD sao cho [AB: AD] >0 Tìm tập hợp các điểm C va LD Giải + Tập hợp các điểm C AC = ABY2 Tacó: ', _ _ (AB; AC) = 45 - k.360'.k ẹ Z
Suy ra C là ảnh của B trong phép đồng dạng S(A; V2; 459)
Dc đó khi B chạy trên đường tròn => (O; R), ta có tập hợp các điểm C là
đường tròn (O; RVv2), ảnh của
đường tròn (O; R) cho bởi phép đồng dạng Si(A; V2; 45Ợ), với O' là ảnh của O trong phép đồng dạng trên (Hình 115) 2 Tập hợp các điểm D (Hình 116) AD = AB (AB; AD) = 90' + k.360",k ẹ Z Hinh 115 Ta có: Ta suy ra D là anh cua B trong phép R(A; 90)
Do đó khi B chạy trên đường
tron (O; R) thi tap hop các
điểm D là đường tròn (0": R), anh của đường tròn (O; l) cho bởi phép quay RA, 90Ợ)
với OỢ là ảnh cua O trong phép quay trên
81 Trong mặt phẳng (Oxy), lấy điểm A cố định trên tia Ox và điểm B cố định trên tia Oy Trên đường thẳng 1 vuông góc với đường thang AB tai A, lay một điểm đi động M Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt đường thẳng AB tại N
Hình 116
Trang 3482
Tim tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN
Hướng dẫn: Chứng minh các tam giác MON và AOB đồng dạng Giải
Ta có: AONB C2 AOMA
=> AMON ~ AAOB N
Goi J la trung điểm của đoạn
thẳng AB Ta suy ra: AOIM Ể⁄2 AOJA {OI _ OJ _ AB Taco: (OM ~ OA ~ 20A (OM: đỉ) = (OA; 03) - 6 Hinh 117 AB _,\ 20a" ồ)
Khi M chạy trên đường thang A thì tập hợp các diém I 14 đường thang AỖ, anh của đường thẳng A cho bởi phép đồng dạng trên (hình 117) Cho hai đường tròn: (C¡): x? + y?Ở 4x = 0 (Cy): x? + y? - 2y = 0 và M là một điểm di động trên (C)) Gọi I là giao điểm thứ hai của (C)) và (CƯ); IM cắt (C;) tại điểm MỖ(xỖ; yỖ) Do đó I là ảnh của điểm M trong phép đồng dạng Si|O `
1 M' là ảnh của điểm M trong phép biến hình nào? 2 Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn MM'
Giải
1 Đường tròn (C¡): x? + y? Ở 4x = 0 có tâm C¡(2; 0), ban kinh R, = 2
102
Đường tròn (C;): x? + yỖ Ở 2y = 0 c6 tam C,(0; 1), bán kắnh Rị = 1
(C;) tiếp xúc với trục tung tại O, (C;) tiếp xúc với trục hoành tại O
Trang 35MMỖ qua I nén M la anh cua diem M trong phép dong dang : 1 SiO; =: O; 3 90 | 90" | SiO: Ì: 90: M-ỞỞ 2 >M 2 Tọa độ của M': ix = 3 (xe0s90" vsin90 } << tyỖ = p(ssin90 + yeos90 } 5 - Hình 118 Suy ra tọa d6 trung diém J cua doan MMỖ v mm.Ợ a, SY ye aene 2 1 | Xx I Yu * Yu Ế 2 x + 2y yee 2 3 mm" i 5 oS By, = 4x 7 5 Ta co: x? + yỖ- 4x =0 c Om 4! , Sx - aah _ Min 25 25 + 3U Ấ 5 <> xi + yi, - 2xy-y=0 Do đó tập hợp các điểm J là đường tròn (Cy): x? + y? - 2x -y = 0 0
có tâm Cal; 5) là trung điêm của đoạn Ạ;ẹ; Nhận xét rằng đường tròn (CƯ) đi qua I
83 Trong mặt phẳng (Oxy) cho A(2; 0) và điểm B(0; 2); A là đường
thắng vuông góc với AB tại B Một đường tròn (a) di déng tam I đi qua A, B và cắt Oy tại M, A tại M'
1 Xác định phép đồng dạng biến điểm M thành điểm M' 2 So sánh các đoạn thẳng BM' và OM
Giải 1 Tam giác OAB vuông cân tại Ò
Trang 36= OBA = 45ồ => MBM' = 45ồ = MAM' = 45ồ = AMAM' vuông cân tại M (Hình 119) = AM = RV2 với R là bán kắnh đường tròn (Ủ) = am = AM 2 ẹ AM' = AM V2 Hình 119 AMỖ = AMV2 (AM; AMỖ) = -45ồ + k.360ồ, k e Z Do đó M' là ảnh của điểm M trong phép đồng dạng Si(A; V2 ;-45ồ) M | _Si/Aiv2:45ồ), yp Ta có: EV eon) 2 Phép déng dang Si(A; V2; -45ồ) bién: O Ở> B M Ở MỖ OM Ở BMỖ Do dé ta cé: BMỖ = OM V2
84 1 Trong mặt phẳng (Oxy), cho hai điểm A(1; 0) và B(3; 0) với B la anh cia A trong một phép đồng dạng tâm I và có tỉ sĩ đồng dạng k= V3
Hãy tìm tập hợp (T) các tâm đồng dạng
2 Xét trường hợp A(0; 1) và B(0; 3)
Giải
Gọi I(x; y) là tâm của phép đồng dạng đã cho
Trang 37*85 Cho xOy = 45ồ sav cho (Ox: Ov) > 0 Tren tia Ox, lấy đoạn AB = 2a; trén tia Oy lay doan CD =a A narn gitta O va B; C nam giữa O và D
Goi E và F theo thứ tự là trung điểm: cúƯ ƯAB và CD; E và F cố định khi a thay đổi
1 Xác định phép đồng dạng SiLI: k; 0 biến AB thành CD Xác định phép đồng dang SiLJ: k; +! biên AB thành DC
3 Chứng tó rằng khi a thay đôi hai điểm l và J nằm trên một đường cố định (L) Nw Giải 1 Theo giả thiết, ta có: [cD - 2AB (AB: CD) = 45" + m360.rn ẹ Z Do đó CD là ảnh của AB trong mot phep đồng dang tam I, cé tỉ số đồng đạng k = 2 và góc đồng dang 0 = 45Ợ
Tâm đồng dạng | 1a giao diém thu hai cua các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAC và OBD
2 Ta có:
CD = 2AB
(AB; DC) = -135" + m.360,m - Z
Do d6 DG la anh cua AB trong mot phep đồng dang tâm J, có ti sd déng dang kỖ= 2 va goc dong dang 0 = -135ồ (Hoc sinh tự
vé hinh)
Tâm déng dang J la giao diém thi hai cua các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAD và OBC
3 Trong các phép đồng dạng trên, trung điệm của đoạn AB biến thành trung điểm F của đoạn CD
Do đó I và J đều nằm trên đường tron ngoại tiếp AOEE
Vậy: Khi a thay đổi, hai điểm I và 2J luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định
86 Cho một đường thắng cố định D và một cố định ỳ nằm ngoài
đường thẳng D, M là một điểm di động trên D Dựng tam giác
vuông can MIN dinh M vai (IM; IN] > 0
Trang 381 Tìm tập hợp (T) các điểm N
2 Tìm tập hợp (E) các trọng tâm G của tam giác MIN khi M di
AMIN vuông cân tại M động trên đường thẳng D Suy ra: IN = IMV2 va MIN = 45ồ Ta có: IN = IMy2ồ (IM; IN) = 45" + m.360Ợ (m e Z) Hình 120 Ta suy ra:
N là ảnh của điểm M trong phép đồng dạng Si(I; v2; 48")
Do đó khi M chạy trên đường thang D thi tap hợp (T) các điểm N là đường thắng D, ảnh của đường thẳng D cho bởi phép đồng
dạng Si; V2; 45")
(Dựng IH L D tại H và dựng tam giác HIH' vuông cân tại H, He D Kẻ đường thẳng D' vuông góc với IH' tại H, D' là anh của D Dĩ nhiên D' đi qua Nì) (Hình 120)
2 Gọi J là trung điểm của MN va MIJ =a
106
Ta có: ẹ tana = Md = 5 =a khong déi véi O <a < 90ồ
ey? = IM? + Mg? = EM? 1y Ấ IMv5 ỘẼ = 3 V5 Ic - im ion tus BS 3 (IM: ỉ8) - ụ a
Ta suy ra G là ảnh của điểm M trong phép đồng dang si 7 a Do đó khi M chạy trên đường D thì tập hợp (E) các diém G la
Trang 3987 Cho một điểm cố định P va mot duong tron di dong (O)
Qua P, ke cae tiép tuvén PT, PT với đường tron (Ô) Tìm tập hợp cae diém T, TỖ
1 Khi Q di động trên đương thăng cô định \ 3 Khi O di động trên đường tron cố định 0Ì: RỈ
Biết rằng góc TPT = Ư khong đôi
Hướng dẫn: Cần nhơ rằng PO là phản giác cua góc TPT Đề ý phép đồng dạng tâm A yoc dong dang 0) = - 5 Giải Gia sit (PT; PT) = 0 + 860! vik ẹ 2 = (PO; PT) = 5 + m.360Ợ với mặ Z T CU XTPO vuông tại T = PT =engt vú ax \ l uong tarT = pg = 65 > 9 4 Ug Do do T là anh cua diém 0 Se | trong phép đồng dang
SP: cosy; aI" Hinh 121
1 Khi O đi động trên đường thẳng A thì tập hợp các điểm T là đường thẳng A', ảnh của đường thăng \ cho bởi phép đồng dạng
Sil P; cosg: Z | (Hình 121)
2 Khi O di động trên đường tron (1; R) thi tap hop các điểm T là đường tròn (['; R'), ảnh của đường tròn (1; R) cho bởi phép đồng dạng SIÍP: cOSS: Ơ 5ì 5 với [` là ảnh cua | trong phép đồng dang trên và R = Reos 5
* Tập hợp các điểm T: Hoe sinh tu giai
*88 Cho một đường thăng cô đình A và một điểm cõ định A có khoảng cách đến A một đoạn d: M là một điểm di động trên đường thẳng A 1 Tim tập hợp các điêm P và P' được xác định như sau:
Trang 402
(MA; MP) = -90ồ |(Mã: wP) = 90ồ
với k là một số thực dương cho trước
Chứng minh rằng đường tròn (Ủ) ngoại tiếp tam giác -APP' luôn luôn đi qua một điểm cố định B khác A
(an = kMA {me -4Ma
a)
3 Tim tập hợp các điểm B khi k thay đổi, A cố định 4
108
Giả sử A di động trên một đường thắng cố định D không song
song với A và k > 0 không đổi Tìm tập hợp các điểm B Hướng dẫn: Từ giả thiết, ta suy ra được điều gì? e 3 điểm P, M, P' thẳng hàng ệề AADD' có gì đặc biệt? e AM? = AP.AP' AAPP? Giải Từ giả thiết, ta suy ra 3 điểm P, M, P' thẳng hàng và M nằm giữa P, P' Ta lại có: AM? = AP.AP' AM i PPỖ Suy ra AAPP' vuông tại A Dat MAP =a => Pe = tana
=> tga =k > a khong đổi
Gia su: (AM; AP) =a+k.360ồ".keZ Hình 729 ap = -L AM ` Ta có: cosỦ (AM, AP) = Ủ + k.360, k e Z \
Ta suy ra P là ảnh của điểm M trong phép đồng dạng Si( A; Ở a}
Do đó khi điểm M di động trên đường thang A thi tap hợp các điểm P là đường thang 4Ỗ, ảnh của đường thẳng A cho bởi phép