Các phép biến hình trong mặt phẳng

SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẦN I : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1: Định nghĩa phép biến hình: 1.1: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng 1.2: Một số phép biến hình mặt phẳng: 1.2.1: Phép tịnh tiến: r r Trong mặt phẳng cho vectơ v ≠ , phép biến hình biến điểm M thành điểm r uuuuur r M’ cho MM ' = v , gọi phép tịnh tiến theo vectơ v Kí hiệu: Tvr uuuuur r Vậy: Tvr (M) = M’ ⇔ MM ' = v 1.2.2: Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho d đường thẳng trung trực đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng trục d Kí hiệu: Đd uuuuuur uuuuuu r Vậy: Đd(M) = M’ ⇔ M M ' = − M M (M0 giao điểm d với đoạn thẳng MM’) 1.2.3: Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến điểm M khác I thành điểm M’ cho I trung điểm đoạn MM’ gọi phép đối xứng tâm I Kí hiệu: ĐI uuuu r uuur Vậy: ĐI(M) = M’ ⇔ IM ' = − IM 1.2.4: Phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O góc lượng giác α , phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = α gọi phép quay tâm O, góc quay α Kí hiệu: Q(O, α ) OM = OM ' (OM , OM ') = α Vậy: Q(O, α )(M)=M’ ⇔  1.2.5: Phép đồng nhất: Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng 1.2.6: Phép vị tự: Trong mặt phẳng u cho điểm O số k ≠ 0, phép biến hình biến điểm M thành uuuu r uuuu r điểm M’ cho OM ' = kOM , gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu: V(O,k) uuuuu r uuuu r Vậy: V(O,k)(M) = M’ ⇔ OM ' = kOM Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 1/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” 1.2.7: Phép dời hình: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm gọi phép dời hình 1.2.8: Phép đồng dạng: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với điểm M,N ảnh M’,N’ tương ứng có M’N’=kMN Một số tính chất phép biến hình: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay thay đổi thứ tự ba điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Biến tam giác thành tam giác (hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc - Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR) Biểu thức toạ độ số phép biến hình: 3.1: Phép tịnh tiến: r Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho v(a, b) , M(x;y), M’(x’;y’) Khi x ' = x + a Tvr (M) = M’  y' = y +b 3.2: Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’) Khi x ' = x +) ĐOx(M) = M’  y' = −y x ' = −x +) ĐOy(M) = M’  y ' = y 3.3: Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I (a, b) , M(x;y), M’(x’;y’) Khi  x ' = 2a − x  y ' = 2b − y ĐI(M) = M’  Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 2/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép biến hình: Phương pháp chung: - Cách : Sử dụng định nghĩa - Cách : Sử dụng biểu thức toạ độ phép biến hình - Cách : Sử dụng tính chất phép biến hình Bài 1: r Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ v(−2;3) , đường thẳng d có phương trình: 3x - 5yr + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v r v Cách 1: Chọn M(-1; 0) thuộc d, M’ =T (M) =(-3; 3) M’ thuộc d’ Vì d’//d nên d’ có phương trình 3x - 5y + C = M’ thuộc d’ ⇔ C = 24 Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 3x - 5y + 24 = r x ' = x −  x = x '+ Cách 2: Từ biểu thức toạ độ T v :  y ' = y + ⇔  y = y '− thay vào phương   trình d ta được: 3x’ - 5y’ + 24 = Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 3x - 5y + 24 = Cách 3: Lấy M, N rbất kì thuộc d, tìm ảnh M’, N’ tương ứng M N qua phép tịnh tiến theo vectơ v Khi đường thẳng d’ đường thẳng M’N’ Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1; 5), đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 - 2x + 4y – = 0, đường thẳng d có phương trình x - 2y + = a)Tìm ảnh m,(C), d qua phép đối xứng trục Ox b)Tìm ảnh M qua phép đối xứng trục d a) Gọi M’,(C’),d’ ảnh M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox Ta có M’ (1;-5) (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = Đường tròn (C’) có tâm I’= Đ Ox(I) = (1; 2) bán kính R = Vậy phương trình (C) là: (x - 1)2 + (y - 2)2 = Gọi N’(x’; y’) ảnh N(x; y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có: x ' = x x = x ' ⇔  y' = −y y = −y' Thay vào phương trình d ta được: x’+ 2y’+ = Vậy phương trình d’ x+ 2y + = b) Đường thẳng d1 qua M vuông góc với d có phương trình là: 2x + y – = Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 3/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” Gọi M0 giao điểm d d1 toạ độ M0 nghiệm hệ: x − y + = x = ⇔ Vậy M0(2;3)  2 x + y − = y = Gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng trục d M trung điểm đoạn thẳng MM1 nên M1(3;1) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4).Hãy tìm toạ độ điểm A’ ảnh A qua phép quay tâm O góc quay 900 Giải: Gọi B(3; 0), C(0; 4) hình chiếu vuông góc A lên trục Ox,Oy Phép Q(O,900) biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB’A’C’ Ta thấy B’(0; 3), C’(- 4; 0) ⇒ A’(- 4; 3) Bài phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 2y - = 0.Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 Cách 1: V(O,k)(d)=d’ ⇒ d’//d ⇒ d’ có phương trình: 3x + 2y + C = Lấy M(0;3) thuộc d Gọi M’(x’;y’) ảnh M qua phép vị tự cho, ta có x ' = uuuuu r uuuu r OM ' = −2OM ⇔   y ' = −6 Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ ⇒ C=12 Do phương trình d’ là: 3x + 2y + 12 = Cách2: Gọi M’(x’;y’) ảnh M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có  x = − x'  x ' = − x   ⇔   y ' = −2 y y = − y'  Điểm M thuộc d ⇔ − x − y '− = ⇔ 3x '+ y '+ 12 = Vậy phương trình d’ là: 3x+2y+12=0 Cách 3: Lấy M,N d, tìm ảnh M’,N’ M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 Khi d’ đường thẳng M’N’ Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 4/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” x + y – = Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k= phép quay tâm O góc quay -450 Phép vị tự tâm I tỉ số k = biến d thành d1 ⇒ d1 có phương trình: x + y + C = ⇒ Lấy M(1;1) thuộc d, V(I, )(M)=O, O thuộc d1 d1 có phương trình: x + y = Q(O,-450)(d1) = Oy Vậy phương trình d’ là: x = Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải số toán dựng hình: Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm sau: - Cách 1: Xác định M ảnh điểm biết qua phép biến hình - Cách 2: Xem M giao điểm đường cố định với ảnh đường biết qua phép biến hình Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3) Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Giải: uuu r Giả sử điểm D(x; y) Ta có TuBAuur ( D) = C , mà BA = (−4; −2) x = −  x = −2 ⇔ Do đó:  Vậy D(-2; 1) y = 3− y =1 Bài 2: Hai thôn nằm vị trí A, B cách song (Xem hai bờ sông hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây cầu MN bắc qua song (cầu vuông góc với bờ sông) làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ) Hãy xác định vị trí cầu MN cho AM+NB ngắn Giải: Trưòng hợp 1: Coi sông hẹp Bài toán trở thành: Cho hai điểm A,B nằm hai phía khác so với đường thẳng a Tìm vị trí M A để AM+AN nhỏ Khi M giao điểm AB với a Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 5/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” Trưòng hợp 2: a//b uuuur Nhận xét: a,b cố định MN cố định uuuu r T MN (A) =A’ ⇒ A’N = AM Ta có AM + BN = A’N + uNB = A’B uuu r Cách dựng: Dựng A’=T MN (A) Nối A’ với B cắt b N Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a M Khi MN vị trí xây cầu Bài 3: Cho hai điểm A,B nằm phía đường thẳng d Hãy xác định điểm M d cho AM+MB bé Giải: Nhận xét: Gọi A’= Đd(A) ⇒ AM=AM’ Vậy: AM + MB =A’M + MB = A’B Cách dựng: Dựng A’= Đd(A) Nối A’ với B cắt d M, AM+MB nhỏ Giải: Nhận xét: Gọi A’ = ĐOx(A), A” = ĐOy(A) ⇒ A’B= AB, A”C = AC ⇒ AB+BC+CA=A’B+BC+A”C=AA” (nhỏ nhất) Dựng: A’ = ĐOx(A) A” = ĐOy(A) Nối A’ với A”, AA” cắt Ox Oy B C Khi chu vi tam giác ABC nhỏ · Bài 4: Cho góc nhọn xOy , điểm A nằm góc Hãy xác định điểm B Ox, điểm C Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Bài 5: · Cho góc nhọn xOy , điểm A thuộc miền góc Hãy tìm đường thẳng qua A, cắt Ox, Oy M N cho A trung điểm MN Giải: Giả sử dựng hai điểm M,N thoả mãn Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 6/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” yêu cầu toán Khi N = ĐA(M) Gọi O’x’ = ĐA(Ox), ta có N giao điểm O’x vàOy Từ ta có cách dựng: Dựng O’x’ = ĐA(Ox), gọi N giao điểm O’x Oy, M = ĐA(N) Khi M, N hai điểm cần tìm Theo cách dựng cặp điểm M,N Bài 6: Cho đường tròn (O;R) (O1;R1) cắt A B Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (O;R) (O1;R1) M M1 cho A trung điểm MM1 Giải: Giả sử dựng đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Khi ta có M1=ĐA(M) Gọi đường tròn (O’,R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A Ta có M1 giao điểm (O’;R) với đường tròn (O1,R1) Cách dựng: Dựng đường tròn (O’,R) ảnh đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A.Gọi M giao điểm (O’;R) với đường tròn (O 1,R1) không trùng với A, M=ĐA(M1) đường thẳng d đường thẳng MM1 Theo cách dựng có đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề Bài 7: Cho hai đường thẳng cắt a b, điểm C Tìm a b điểm A B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 7/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” Giải: Giả sử dựng hai điểm A,B thoả mãn điều kiện đầu Ta thấy: ·ACB =450, CB = ⇒ B ảnh A CA qua phép đồng dạng F có cách thực liên tiếp phép quay tâm C, góc quay -450, phép vị tự tâm C tỉ số Gọi a” ảnh a qua phép đồng dạng F Ta có B giao điểm b a” Cách dựng: Dựng a’ ảnh a qua phép quay tâm C, góc quay -450 Dựng a” ảnh a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số B giao điểm a” b Dựng B’ ảnh B qua phép quay tâm C, góc quay 450 Dựng A ảnh B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số ( )-1 Theo cách dựng cặp điểm A,B Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A,B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C,D nằm đường tròn Giải: Giả sử dựng hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện toán Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực PQ nên đường trung trực DC đường trung trực AB Từ suy ra, dựng hình vuông PQMN có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuông ABCD Cách dựng: Dựng hình vuông PQMN Lấy giao điểm C C’ đường thẳng IM đường tròn, lấy giao điểm D D’ IN đường tròn( ta kí hiệu cho hai điểm C, D nằm phía đường thẳng PQ) Gọi điểm B,A,B’,A’ hình chiếu điểm C,D,C’,D’ đường thẳng PQ Ta hình vuông ABCD A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện toán M N C D O P Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB A B A' B' Q I C' D' Trang 8/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải số toán tìm tập hợp điểm Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm ảnh hình biết qua phép biến hình Bài 1: Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi đường tròn(O) Gọi M1 điểm đối xứng M qua A, M điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 M2 Giải: B Gọi D trung điểm MM3 ABCD hình bình hành Do điểm D cố định M1 Phép đối xứng qua điểm D biến M thành C M3 O Do Quỹ tích điểm M ảnh A đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D M D M3 Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC đường kính) đường tròn (O), điểm A di động (O) Chứng minh A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Giải: A Cách1: D Gọi H trực tâm tam giác ABC, M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn (O) D Ta có · =900 nên DC//AH, AD//CH ⇒ tứ giác ADCH BCD uuur uuur uuuu r O ⇒ AH = DC = 2OM hìnhuuu bình hành u r uuuu r H Vì OM không đổi ⇒ T2 OM (A) = H Vậy A di chuyển đường tròn (O) H di C chuyển đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép M uuuu r B tịnh tiến theo OM Cách 2: A Gọi H trực tâm tam giác ABC D Gọi I, H’ giao điểm tia AH với đoạn thẳng BC vả đường tròn (O) Ta có: · · · · ; BAH BAH = HCB = BCH ' O Do tam giác HCH’ cân C ⇒ H H’ đối xứng H qua BC Khi A chạy đường (O) H’ chạy C I đường tròn (O) => A di động (O) B trực tâm tam giác ABC di động đường tròn H' ảnh (O) qua phép đối xứng trục BC Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 9/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” Cách 3: Gọi H trực tâm tam giác ABC, I trung điểm BC Tia AO BO cắt (O) M D Theo chứng minh cách 1ta có uuur uuur uur AH = DC = 2OI Trong tam giác AHM có OI//AH OI = A D O AH ⇒ OI đường trung bình tam giác AHM ⇒ I trung điểm HM ⇒ H M đối xứng qua I Vì BC cố định H C I B M nên I cố định Khi A di động (O) M di chuyển (O) Do A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I Bài 3: Cho đường tròn (O;R), I cố định khác O Một điểm M thay đổi (O) Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ điểm N Giải: · Vì ON tia phân giác góc MOI nên MN OM IM − IN OM = = hay (O), I cố định NI OI IN OI OM nên =k( k số, k ≠ 0) OI IM − IN ⇒ = k ⇔ IN = IM IN k +1 uur uuur ⇒ IN = IM k +1 Vậy phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm M thành k +1 M N I O điểm N Do M chạy đường tròn (O) N di động đường tròn (O’) ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số k +1 Bài 4: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường tròn Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Giải: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 10/11 SKKN: “Ứng dụng phép biến hình mặt phẳng vào giải toán hình học” Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho AM=AB=AD Khi đó, ta có: P AM AB = = AC AC Ngoài ra; (AM,AB)=450 (AM,AD) = - 450 Suy ra, phép vị tự V tâm A, tỉ số k = B biến điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A góc quay 450 biến điểm M thành điểm B Vậy gọi F phép hợp thành V Q F biến C thành B Vì quỹ tích C đường tròn (O), nên quỹ tích B ảnh đường tròn qua phép đồng dạng F A R O M C Q D Đường tròn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính đường tròn (O) PQ đường kính (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu điểm P, Q cho (AR, AP) = 45 0) Khi ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích điểm B đường tròn đường kính AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường tròn đường kính AQ Bài 5: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Một đường thẳng thay uuuu r uuu r uuu r đổi qua P, cắt (O) hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm M cho: PM = PA + PB Giải: uuu r uuu r uur Gọi I trung điểm AB PI = uuuu r uuu r uuu r uur PA + PB Bởi PM = PA + PB = PI Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k=2 V biến điểm I thành điểm M Vì I trung điểm AB nên OI ⊥ AB Suy quỹ tích điểm I đường tròn (C) đường kính PO Vậy quỹ tích điểm M đường tròn B I P (C) O' O (C') A uuuu r uuur (C’) ảnh (C) qua phép vị tự V Nếu ta lấy O’ cho PO ' = PO (C’) đường tròn đường kính PO’ Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 11/11