Cực và đối cực trong hình học phẳng

Chứng minh rằng cực của AP đối với O là trung điểm DD’... Các đường thẳng qua B, C lần lượt vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại D.. Xét cực và đối cực đối với O Gọi I,J,K lần lượt là giao

c t

ti p xúc không c t

b.Bằng cát tuyến:

4.Định lý cơ bản: M ∈ Δ ⇔ N ∈ Δ

A, B, C thẳng hàng     đồng quy A, B, C

Phần hai : Các bài tập về cực và đối cực

Bài 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai điểm M và N liên hiệp nhau đối với đường tròn (O) là: P M/(O) + P N/(O) = MN2

Bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi D và D’ là chân hai đường

phân giác trong và ngoài của góc A P là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và C Chứng minh rằng cực của AP đối với (O) là trung điểm DD’

Bài giải:

Gọi E là trung điểm D D’

Ta có: Δ = BC(theo cách d ̣ng tiêp tuyến)

 E ↔ P (*)

Mặt khác: AD là phân giác góc BAC và AD AD'

 A(D’DBC) = -1(chùm phân giác)

Bài 3: Cho điểm M nằm trong đường tròn (O) và khác O Hai đường thẳng qua M lần

lượt cắt (O) tại A, B và C, D Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau ở E; các tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau tại F Chứng minh rằng OM vuông góc với EF

Tương tự, vì FC và FD cũng là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có  F CD

Mà M CD nên M( )lh O F F M(2)

Từ (1) và (2), ta có M EF, suy ra OM EF

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại I ở

ngoài đường tròn Điểm M thay đổi trên (O), MA và MB cắt d lần lượt tại P và Q QA cắt (O) tại N Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định

Bài 5: Từ điểm P ngoài đường tròn (O) ta vẽ các tiếp tuyến PA và PB với đường tròn ấy

Từ B hạ đường vuông góc BD với đường kính AC Chứng minh rằng PC đi qua trung điểm BD

Bài giải:

Gọi I là giao điểm của PC và BD Kéo dài PB cắt AC tại E

Ta có: B( )lh O E (BE là tiếp tuyến)

Suy ra: IB = ID (định lí cát tuyến song song)

Vây PC đi qua trung điểm của BD.(đpcm)

Bài 6: Ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp lần lượt

tại M, N, P Đường kính qua M cắt NP tại Q Chứng minh rằng AQ qua trung điểm BC

Bài 7: Từ trung điểm I của dây cung AB của đường tròn (O) kẻ hai dây cung MN và PQ

MP và NQ lần lượt cắt AB tại J và K Chứng minh rằng I là trung điểm JK

Bài giải:

Gọi D là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của (O)

Khi đó:  D AB ( theo cách dựng đường đối cực)

IC (theo cách dựng bằng cát tuyến)

Do đó C  I Dx

Gọi E là giao điểm của PQ và Dx

Khi đó: E( )lh O  I

Suy ra: (PQIE) = -1 Do đó: C(PQIE) = -1

Mà: JK // Cx (cùng vuông góc với OI) Suy ra: IJ = JK (định lí cát tuyến song song) Vậy: I là trung điểm JK

Bài 8: Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) và I nằm trong (O) Một đường thẳng

thay đổi qua I cắt (O) tại A, A’ MA và MA’ lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai tại B B’ Chứng minh rằng BB’ đi qua điểm cố định

Ta có MO là đường trung trực của

A’B nên cũng qua J

Gọi C,D lần lượt là giao của MO với

(O) Khi đó do CD là đường kính nên

góc DAC= 90o Kết hợp với góc

A’AC = góc CAB (2 góc nội tiếp

chắn 2 cung bằng nhau) nên suy ra

chùm A(DCJM) là chùm phân giác

Ta chứng minh giao của DR và CI nằm trên  M

Khi đó ta được (MQRI) = (MJCD) = -1 Nên R cũng cố định như 2 trường hợp đầu

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A d1 và d2 là hai đường thẳng qua A Các đường thẳng qua B, C lần lượt vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại D Đường thẳng vuông góc AB tại B cắt d1 tại E; đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt d2 tại F Chứng minh rằng AD vuông góc với EF

Bài giải:

Xét đường tròn tâm A, bán kính R AB AC, kí hiệu là (A)

Gọi b là đường thẳng qua B và vuông góc với AB, c là đường thẳng qua C và vuông góc với AC Khi đó: d1 b Evà d2 c F

BE là tiếp tuyến của (A) nên B   Mặt khác E AEd1BD(gt) Do đó BD   E(1)

Bài 10:Cho tam giác ABC và điểm O Các đường thẳng qua O và vuông góc với OA,

OB,OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M,N,P Chứng minh rằng M,N,P thẳng hàng

Bài giải:

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là cực của BC, CA, AB đối với đường tròn (O,R) R>0

Do BC, CA, AB không đồng quy nên A’, B’, C’ không thẳng hàng

Xét cực và đối cực đối với (O)

Ta có PM là đường đối cực của N theo cách dựng cát tuyến

Ta kí hiệu ABCDEF là lục giác ngoại tiếp (O)

Tiếp điểm của (O) trên AB, BC, CD, DE, EF, FA lần lượt là M, N, P, Q, R, S

Xét cực và đối cực đối với (O)

Gọi I,J,K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (SM,PQ) ,(MN,QR),(NP,RS) Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp MNPQRS ta có I,J,K thẳng hàng

Theo định lí cơ bản thì các đường đối cực của I,J,K đồng quy

Mà dễ thấy các đường đối cực của I,J,K lần lượt là AD, BE, CF nên ta có AD, BE, CF đồng quy

Như vậy ta có điều cần chứng minh!

Đường thẳng Giécgôn:

Tam giác ABC có (I) là đường tròn nội tiếp D, E, F là các tiếp điểm của (I) với các cạnh

BC, CA, AB tương ứng Gọi D’, E’, F’ lần lượt là các giao điểm của EF, FD, DE với BC,

CA, AB Chứng minh D’, E’, F’ thẳng hàng

Bài giải:

Ta có  A EF (tiếp tuyến), mà D'EF   A A D'

Do D’D là tiếp tuyến với (I) nên D'  AD

Tương tự : BE, CF cũng là các đường đối cực của E’, F’

Ta biết rằng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm, gọi là K, thì D’, E’, F’ phải thuộc đường đối cực của K Từ đó suy ra D’, E’, F’ thẳng hàng và đường thẳng D’E’F’ vuông góc với

IK

Đường thẳng D’E’F’ trên được gọi là đường thẳng Giécgôn và K được gọi là điểm Giécgôn

BÀI TẬP THÊM:

Trích từ tài liệu “Ứng dụng của cực và đối cực”của tác giả Hoàng Quốc Khánh

Bài toán 1:Trong tam giác ABC kẻ các đường cao AA', BB', CC' và gọi H là trực tâm

của tam giác Gọi J là một giao điểm của AA' với đường tròn (O) đường kính BC Chứng minh rằng BC,B'C' và tiếp tuyến tại J của (O) đồng quy

Giải:

Gọi giao điểm của AH với (O) J1, J2 là như hình vẽ , thế thì J sẽ là J1 hoặc J2 Ta sẽ chứng minh BC, B'C' và tiếp tuyến tại của (O) đồng quy

Xét cực và đối cực đối với (O)

Ta thấy BC không hề có cực,nên không sử dụng tính chất của định lý cơ bản để chứng minh sự đồng quy bởi sự thẳng hàng!!

Ta sẽ sử dụng một phương thức khác:

Gọi giao điểm của BC và B'C' là S

Ta thấy: AH là đường đối cực của S theo cách dựng cát tuyến

Mà AH đi qua J1 nên đường đối cực của J1 sẽ đi qua S hay tiếp tuyến tại J1 đi qua S Vậy

ta có điều cần chứng minh

Bài toán 2: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d nằm ngoài (O) Một điểm S chạy

trên (O) Từ S ta kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm ) Chứng minh rằng khi S chạy trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

Xét cực và đối cực đối với (O)

Gọi I là cực của d , vì d cố định nên I cố định

S thuộc d suy ra đường đối cực của S sẽ đi qua cực của d hay AB đi qua I cố định

Bài toán 3: Cho góc xOy cố định và một điểm A cố định nằm trên tia Ox Đường tròn (I)

thây đổi nhưng luôn tiếp xúc với với hai tia Ox,Oy Gọi tiếp điểm của (I) trên Ox,Oy lần lượt là B,C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D là tiếp điểm , D khác B) OI cắt BD ở E.Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với CE Chứng minh rằng khi (I) di động (nhưng thỏa mãn điều kiện bài toán) thì d luôn đi qua một điểm cố định

Từ (1),(2) và định lý cơ bản ta suy ra AF là đường đối cực của E

Theo định lí 2 ta có AF vuông góc với EI , mà chú ý EI là phân giác góc xOy nên dễ có F

cố định

Từ đó có điều cần chứng minh

Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

(ABN) cắt lại AB ở P.(CDM) cắt lại CD ở Q Chứng minh rằng AC,PQ,BD đồng quy

Giải

Khi AB//CD thì bài toán đơn giản,ta sẽ xét trường hợp còn lại:

Gọi S là giao điểm của AB và CD

Gọi d là đường đối cực của S đối với (O)

Gọi I là giao điểm của AC và BD thì dễ thấy I thuộc d (1)

Ta thấy :SM SQ SC SD SA SB ( áp dụng các tứ giác nội tiếp trong các đường tròn) Chú ý M là trung điểm của AB nên ta có (SQAB) = -1

Do đó S( )lh O Q sẽ có Q thuộc d (2)

Tương tự có P thuộc d (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra điều cần chứng minh

Bài toán 5: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lượt vẽ

các đường thẳng dA, dB ,dC và dD tương ứng vuông góc với OA, OB, OC, OD Các cặp đường thẳng dA và dB ,dB và dC ,dC và dD ,dD và dA tương ứng cắt nhau ở K, L, M, N Chứng minh rằng KM và LN cắt nhau tại O

(Trích cuộc thi toán mùa đông tại Bulgaria ,1996 )

Giải:

Xét cực và đối cực đối với (O)

Gọi I,J,P,Q lần lượt là tiếp điểm của (O) trên AB,BC,CD,DA

Gọi E,F,G,H lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng:

(OA,IQ),(OB,IJ),(OC,JP),(OD,PQ)

Ta sẽ chứng minh K,O,M thẳng hàng, còn lại tương tự

Theo giả thiết bài toán ta sẽ có:

dA là đường đối cực của E

dB là đường đối cực của F

Từ đó dễ có EF là đường đối cực của K (1)

Tương tự thì GH là đường đối cực của M (2)

Mặt khác dễ thấy EF//GH (3)

Từ (1),(2),(3) , tiên đề Euclid ta dễ có điều cần chứng minh

Bài toán 6 (MOP 95): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm thuộc các cạnh AB,

BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q AN, AP cắt (O) tại E, F Chứng minh rằng ME, QF,

AC đồng quy

Giải:

Gọi K là cực của AC Xét tứ giác nội tiếp MNPQ thì theo tính chất cực và đối cực của tứ giác nội tiếp ta có MQ và NP cắt nhau tại K Lại xét đến tứ giác nội tiếp EFPN thì cũng

có EF và NP cắt nhau tại K, suy ra MQ và EF cắt nhau tại K

Ta thấy ME và QF cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường đối cực của K tức thuộc AC hay ME,

QF, AC đồng quy

Bài toán 7: Cho tam giác ABC BB’, CC’ là các đường cao E, F là trung điểm của AC,

AB EF cắt B’C’ tại K Chứng minh rằng AK vuông góc với đường thẳng Ơle của tam giác ABC

Mở rộng ra thêm một chút, nếu như xác định các điểm K, L, M là giao điểm của các cạnh tương ứng của 2 tam giác A’B’C’ và DEF với A’, B’, C’ là chân các đường cao còn D, E,

F là trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng thì có thể thấy rằng AK, BL, CM song song với nhau và cùng vuông góc với đường thẳng Ơle của tam giác ABC