Đinh lý pascal chứng minh hình học

NH Lí PASCAL V NG DNG Trc ht ta phỏt biu ni dung nh lý: nh lý Pascal: Cho cỏc im A, B, C, D, E, F cựng thuc P = AB ầ DE, Q = BC ầ EF, R = CD ầ FA mt ng trũn Khi ú cỏc im P, Q, R thng hng Chng minh: Gi X = EF ầ AB, Y = AB ầ CD, Z = CD ầ EF p dng nh lý Menelaus cho tam giỏc XYZ i ng thng BCQ, DEP, FAR , ta cú: (cú i th t) Gi vi cỏc Q YC.YD = YB.YA, ZF.ZE = ZD.ZC, XB.XA = XF.XE Th (4) vo (5), ta c hoỏn R CY BX QZ ì ì =1 ( 1) D CZ BY QX FZ AX RY C ì ì =1 ( 2) FX AY RZ P EZ PX DY Y B ì ì =1 ( 3) EX PY DZ Mt khỏc, theo tớnh cht phng tớch ca mt im i vi ng trũn ta cú: Nhõn (1),(2) v (3) theo v, ta c: QZ RY PX CY.BX.FZ.AX.EZ.DY ì ì ì =1 QX RZ PY CZ.BY.FX.AY.EX.DZ QZ RY PX YC.YD ZF.ZE XB.XA ì ì ì ì ì =1 QX RZ PY YB.YA ZD.ZC XF.ZE th Z E F X A ( 4) ( 5) QZ RY PX ì ì = QX RZ PY Vy P, Q, R thng hng (theo nh lý Menelaus) ng thng PQR trờn c gi l ng thng Pascal ng vi b im A, B, C, D, E, F Bng cỏch hoỏn v cỏc im A, B, C, D, E, F ta thu c rt nhiu cỏc ng thng Pascal khỏc nhau, c th ta cú ti 60 ng thng Pascal Chng hn hỡnh v bờn minh trng hp cỏc ACEBFD Ngoi cho cỏc im cú th trựng (khi ú bin thnh tam giỏc, t giỏc, ng giỏc), vớ d E F thỡ thnh tip tuyn ca ng trũn ti E , ta cũn thu thờm nhiu cỏc ng thng Pascal khỏc na C D R B Q E P A im F lc giỏc suy cnh EF tr c rt Hỡnh v di õy minh trng hp cỏc im ABCDEE, ABCCDD, AABBCC: R P Q E Q C B D C P A Y B A R D Q R A P B C Tip theo ta a cỏc bi toỏn ng dng nh lý Pascal: Bi toỏn 1: (nh lý Newton) Mt ng trũn ni tip t giỏc ABCD ln lt tip xỳc vi cỏc cnh AB, BC, CD, DA ti E, F, G, H Khi ú cỏc ng thng AC, EG, BD, FH ng quy Li gii: Gi O = EG ầ FH, X = EH ầ FG Vỡ D l giao im ca cỏc tip tuyn vi ng G, H, ỏp dng A X D nh lý Pascal cho cỏc im E, G, G, F, H, H , ta EG ầ FH = O, GG ầ HH = D, GF ầ HE = X Suy O, D, X thng hng G C trũn H E cú: O F B ti p dng nh lý Pascal cho cỏc im E, E, H, F, F, G, ta cú: EE ầ FF = B, EH ầ FG = X, HF ầ GE = O Suy B, X, O thng hng T ú ta c B, O, D thng hng Vy EG, FH, BD ng quy ti O Chng minh tng t i vi ng thng AC ta c iu phi chng minh Bi toỏn 2: Cho tam giỏc ABC ni tip mt ng trũn Gi D, E ln lt l cỏc im chớnh gia ca cỏc cung AB, AC ; P l im tu ý trờn cung BC ; DP ầ AB = Q, PE ầ AC = R Chng minh rng ng thng QR cha tõm I ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC Li gii: Vỡ D, E ln lt l im chớnh gia ca cỏc cung A D AB, AC CD, BE theo th t l cỏc ng phõn giỏc ca gúc ã ã ACB, ABC Suy I = CD ầ EB p dng nh lý cú: CD ầ EB = I ; DP ầ BA = Q; Pascal cho sỏu E Q im nờn C, D, P, E, B, A, ta R I B C PE ầ AC = R Vy Q, I, R thng hng P Bi toỏn 3: (Australia 2001) Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O), ng cao nh A, B, C ln lt ct (O) ti A, B, C D nm trờn (O), DA 'ầ BC = A", DB'ầ CA = B", DC 'ầ AB = C" Chng minh rng: A, B, C, trc tõm H thng hng Li gii: p dng nh lý Pascal cho sỏu im A, A ', D, C ', C, B, ta cú: AA 'ầ C 'C = H, A ' D ầ CB = A", DC 'ầ BA = C" Vy H, A", C" thng hng Tng t suy A, B, C, H thng hng Bi toỏn 4: (IMO Shortlist 1991) A B' C' C" H B" B C D A' A" P thay i tam giỏc ABC c nh Gi P, P l hỡnh chiu vuụng gúc ca P trờn AC, BC, Q, Q l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn AP, BP, gi X = P 'Q"ầ P"Q ' Chng minh rng: X di chuyn trờn mt ng c nh Li gii: Ta cú: ã ' P = CP"P ã ã ' P = CQ"P ã CP = CQ = 900 A Nờn cỏc im C, P ', Q", P, Q ', P" cựng thuc mt ng trũn p dng nh lý Pascal cho sỏu im C, P ', Q", P, Q ', P" ta cú: P' X CP 'ầ PQ ' = A, P 'Q"ầ Q ' P" = X, Q"P ầ P"C = B B Vy A, X, B thng hng Vy X di chuyn trờn ng thng AB c nh Q" P C P" Q' Bi toỏn 5: (Poland 1997) Ng giỏc ABCDE li tha món: ã ã CD = DE, BCD = DEA = 900 im F on C R B F D AB cho AF AE = ì BF BC ã ã ã ã Chng minh rng: FCE = ADE, FEC = BDC P A E Q Li gii: Gi P = AE ầ BC , Q, R ln lt l giao im ca AD v BD vi ng trũn ng kớnh PD, G = QC ầ RE p dng nh lý Pascal cho sỏu im P, C, Q, D, R, E, ta cú: PC ầ DR = B, CQ ầ RE = G, QD ầ EP = A Vy A, G, B thng hng Li cú: ã sin GQD DA ì GQ ì ã ã AG SDAG DG.DA.sin GDQ DG = DA.GQ = DA.sin QRE = = = ã ã ã BG SDBG DB.GR DB.sin RQC DG.DB.sin GDR sin GRD DB ìGR ì DG ã ã DA.sin ADE DA.DE.sin ADE S AE = = = DAE = ã ã SDBC BC DB.sin BDC DB.DC.sin BDC AG AF ị = ị F G BG BF ã ã ã ã T ú d dng cú FCE = ADE, FEC = BDC Bi toỏn 6: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O), A, B, C l trung im BC, CA, AB Chng minh rng tõm ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AOA, BOB, COC thng hng Li gii: Gi A, B, C l trung im ca OA, OB, J tõm cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc COC Khi ú I l giao im ca cỏc trung OA, hay chớnh l giao im ca BC v tip ng trũn (O;OA) ti A Tng t vi J, A K p dng nh lý Pascal cho sỏu im A", A", B", B", C", C" ta cú: A"A"ầ B"C" = I, A"B"ầ C"C" = K, B"B"ầ C"A" = J Vy I, J, K thng hng Bi toỏn 7: (China 2005) Mt ng trũn ct cỏc cnh ca tam giỏc A" C' B B" O OC I, J, K l AOA, BOB, trc ca OA v tuyn ca K B' C" A' I C ABC theo th t ti cỏc im D1 , D2 , E1 , E , F1 , F2 D1E1 D F2 = L, E1F1 E D = M, F1D1 F2 E = N Chng minh rng AL, BM, CN ng quy Li gii: P A E2 F1 M N E1 F2 C L Z Q B D1 D2 R Gi D1F1 D E = P, E1D1 E F2 = Q, F1E1 F2 D = R p dng nh lý Pascal cho sỏu im E , E1 , D1 , F1 , F2 , D ta cú: E E1 ầ F1F2 = A, E1D1 ầ F2 D2 = L, D1F1 ầ D E = P Suy A, L, P thng hng Tng t B, M, Q thng hng, C, N, R thng hng E E1 D1F2 = CA D1F2 = X, F2 F1 E1D = AB E1D = Y, D D1 F1E = BC F1E = Z p dng nh lý Pascal cho sỏu im F1 , E1 , D1 , D , F2 , E ta cú: F1E1 ầ D2 F2 = R, E1D1 ầ F2 E = Q, D1D2 ầ E F1 = Z Suy Q, R, Z thng hng Tng t P, Q, Y thng hng, Z, P, X thng hng Xột cỏc tam giỏc ABC, PQR cú: X = CA RP, Y = AB PQ, Z = BC QR p dng nh lý Desargues suy cỏc ng thng AP AL, BQ BM, CR CN ng quy Bi toỏn 8: (nh lý Brianchon) Lc giỏc ABCDEF ngoi tip mt ng Khi ú AD, BE, CF ng quy N M H C I B Li gii: Ta s chng minh nh lý ny bng cc v thy rng Pascal v Brianchon l hai kt ca Gi cỏc tip im trờn cỏc cnh ln lt l K, L Khi ú GH, HI, IJ, JK, KL, LG ln cc ca B, C, D, E, F, A Gi GH JK = N, HI KL = P, IJ LG=M P trũn D J E G K i cc qu liờn hp A L F G, H, I, J, lt l i Theo Pascal cho lc giỏc GHIJKL ta cú M, N, P thng hng M M, N, P ln lt l i cc ca AD, BE, CF nờn suy AD, BE, CF ng quy ti cc ca ng thng MNP Bi toỏn 9: Cho tam giỏc ABC, cỏc phõn giỏc v ng cao ti nh B, C l BD, CE, BB, CC ng trũn ni tip (I) tip xỳc vi AB, AC ti N, M Chng minh rng MN, DE, BC ng quy Li gii: Gi hỡnh chiu ca C trờn BD l P, hỡnh chiu ca A B trờn CE l Q B' P D chng minh: M C' A ã ã NMI ã ã Q N NMI = = ICP + PMI = 180 D S E Nờn M, N, P thng hng I Tng t suy M, N, P, Q thng hng p dng nh lý Pascal cho sỏu im B ', C ', B, P, Q, C, ta cú: C B B 'C 'ầ PQ = S, C ' B ầ QC = E, BP ầ CB' = D Vy S, E, D thng hng, hay l MN, DE, BC ng quy ti S Bi toỏn 10: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ca (O) ti A, B ct ti S Mt cỏt tuyn quay quanh S ct CA, CB ti M, N, ct (O) ti P, Q Chng minh rng M, N, P, Q l hng im iu hũa Li gii: K V tip tuyn ME, MD ca (O) ct SA, SB ti K, L p dng nh lý Newton cho t giỏc ngoi tip SKML ta cú E BE, AD, SM, KL ng quy A A, D, E, E, B, C, p dng nh lý Pascal cho sỏu im ta cú: AD ầ EB = I, DE ầ BC = N ', EE ầ CA = M Vy I, N ', M thng hng, hay N N ' , tc Do DE l i cc ca M i vi (O) nờn M, im iu hũa S I P C Q N M B l N DE N, P, Q l hng D L Bi toỏn 11: (nh lý Steiner) ng thng Pascal ca cỏc lc giỏc ABCDEF, ADEBCF, ADCFEB ng quy Li gii: P Gi AB DE = P1 , BC EF = Q1 , AD BC = P2 , DE CF = Q , AD FE = P3 , CF AB = Q3 p dng nh lý Pascal cho sỏu im A, B, C, F, E, D, P1Q3 ầ Q1P3 = AB ầ FE = P, P2 P1 P1Q2 ầ Q1P2 = BC ầ ED = Q, Q3 Q Q3 ầ P2 P3 = CF ầ DA = R Vy P, Q, R thng hng p dng nh lý Desargues suy cỏc ng thng P1Q1 , P2 Q , P3Q3 ng quy Hay ng thng Pascal ca cỏc lc giỏc ABCDEF, ADCFEB ng quy ta cú: Q2 B Q1 C Q D P3 E R A F ADEBCF, Bi toỏn 12: (nh lý Kirkman) ng thng Pascal ca cỏc lc giỏc ABFDCE, AEFBDC, ABDFEC ng quy Ta ó bit trờn l cú 60 ng thng Pascal C ng mt ng quy to 20 im Steiner Trong 20 im Steiner c im mt li nm trờn mt ng thng to 15 ng thng Plucker Ngoi 60 ng thng Pascal ú li c ng mt ng quy to 60 im Kirkman Mi im Steiner li thng hng vi im Kirkman trờn 20 ng thng Cayley Trong 20 ng thng Cayley, c ng mt li ng quy to 15 im Salmon kt thỳc xin a mt s bi toỏn khỏc ỏp dng nh lý Pascal: Bi toỏn 13: (MOSP 2005) Cho t giỏc ni tip ABCD, phõn giỏc gúc A ct phõn giỏc gúc B ti E im P, Q ln lt nm trờn AD, BC cho PQ i qua E v PQ song song vi CD Chng minh rng AP + BQ = PQ Bi toỏn 14: ã ã Cỏc im P, Q tam giỏc ABC cho BP = CP, BQ = CQ, ABP + ACQ = 1800 ã ã Chng minh rng BAP = CAQ Bi toỏn 15: (IMO Shortlist 2007) Cho tam giỏc ABC c nh, cỏc trung im A1 , B1 , C1 ca BC, CA, AB tng ng im P thay i trờn ng trũn ngoi tip tam giỏc Cỏc ng thng PA1 , PB1 , PC1 ct li ng trũn ti A, B, C tng ng Gi s cỏc im A, B, C, A, B, C ụi mt phõn bit v cỏc ng thng AA, BB, CC to mt tam giỏc Chng minh rng din tớch ca tam giỏc ú khụng ph thuc vo v trớ ca P Bi toỏn 16: Hai tam giỏc ABC, ABC cú cựng ng trũn ngoi tip Cỏc cnh ca hai tam giỏc ct ti im to mt hỡnh lc giỏc Chng minh rng cỏc ng chộo ca hỡnh lc giỏc ú ng quy Bi toỏn 17: (IMO 2010) im P nm tam giỏc ABC vi CA CB Cỏc ng AP, BP, CP ct li ng trũn ngoi tip ti K, L, M Tip tuyn ca ng trũn ngoi tip ti C ct AB S Gi s SC = SP Chng minh rng MK = ML Bi toỏn 18: (MEMO 2010) ng trũn ni tip tam giỏc ABC tip xỳc cỏc cnh BC, CA, AB ti D, E, F tng ng K l i xng ca D qua tõm ng trũn ni tip DE ct FK ti S Chng minh rng AS song song BC  ...Hỡnh v di õy minh trng hp cỏc im ABCDEE, ABCCDD, AABBCC: R P Q E Q C B D C P A Y B A R D Q R A P B C Tip theo ta a cỏc bi toỏn ng dng nh lý Pascal: Bi toỏn 1: (nh lý Newton) Mt ng trũn... ng G, H, ỏp dng A X D nh lý Pascal cho cỏc im E, G, G, F, H, H , ta EG ầ FH = O, GG ầ HH = D, GF ầ HE = X Suy O, D, X thng hng G C trũn H E cú: O F B ti p dng nh lý Pascal cho cỏc im E, E, H,... dng nh lý Desargues suy cỏc ng thng AP AL, BQ BM, CR CN ng quy Bi toỏn 8: (nh lý Brianchon) Lc giỏc ABCDEF ngoi tip mt ng Khi ú AD, BE, CF ng quy N M H C I B Li gii: Ta s chng minh nh lý ny