on thi thptgq toan 2017

Mục lục Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1 Các Phép Toán Trên Tập Con Của R §2 Đa Thức §3 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số §4 Cực Trị Của Hàm Số §5 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số 11 §6 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số 12 §7 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số 13 Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 15 §1 Phương Pháp Tam Thức Bậc Hai 15 §2 Phương Pháp Hàm Số 16 §3 Cực Trị Của Hàm Số 16 §4 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị 17 §5 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số 19 §6 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 20 §7 Điểm Thuộc Đồ Thị & Các Bài Toán Khác 21 Chuyên đề Hình Học Không Gian 23 §1 Quan Hệ Song Song 23 §2 Quan Hệ Vuông Góc 24 §3 Thể Tích Khối Đa Diện 25 §4 Khối Chóp Và Khối Lăng Trụ 26 §5 Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu 28 Chuyên đề Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit 31 §1 Lũy Thừa 31 §2 Lôgarit 32 §3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit 33 §4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ 34 §5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit 35 §6 Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit 36 Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân 37 §1 Nguyên Hàm 37 §2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 38 §3 Tích Phân 39 §4 Phương Pháp Đổi Biến 40 §5 Tích Phân Hữu Tỉ 41 §6 Tích Phân Vô Tỉ 42 §7 Tích Phân Mũ - Lôgarit 42 §8 Tích Phân Lượng Giác 43 §9 Phương Pháp Tích Phân Từng Phần 44 §10 Ứng Dụng Của Tích Phân 45 Chuyên đề Số Phức §1 Dạng Đại Số Của Số Phức §2 Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức §3 Dạng Lượng Giác Của Số Phức 47 47 49 50 Chuyên đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian §1 Tọa Độ Trong Không Gian §2 Phương Trình Mặt Phẳng §3 Phương Trình Đường Thẳng §4 Hình Chiếu §5 Góc Và Khoảng Cách 51 51 53 55 57 59 Chuyên đề Phương Trình Lượng Giác 61 §1 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 61 §2 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp 62 §3 Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích 63 Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số 65 §1 Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức 65 §2 Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Trị Tuyệt Đối 66 §3 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn 66 §4 Hệ Phương Trình Mẫu Mực 68 §5 Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực 69 Chuyên đề 10 Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 71 §1 Tọa Độ Trong Mặt Phẳng 71 §2 Phương Trình Đường Thẳng 72 §3 Tam Giác Và Tứ Giác 73 §4 Phương Trình Đường Tròn 75 §5 Phương Trình Elip 76 Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất 77 §1 Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp 77 §2 Xác Suất 78 §3 Nhị Thức Newton 80 Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất §1 Bất Đẳng Thức §2 Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 83 83 85 Phụ Lục 87 Phụ Lục 88 Tài liệu tham khảo 89 Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1 Các Phép Toán Trên Tập Con Của R A Kỹ Năng Cơ Bản Các tập R Tên gọi ký hiệu Tập hợp Biểu diễn trục số Tập số thực (−∞; +∞) R Đoạn [a; b] {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} Khoảng (a; b) {x ∈ R|a < x < b} Nửa khoảng (a; b] {x ∈ R|a < x ≤ b} Nửa khoảng [a; b) {x ∈ R|a ≤ x < b} Nửa khoảng (−∞; b] {x ∈ R|x ≤ b} Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ R|a ≤ x} Nửa khoảng (−∞; b) {x ∈ R|x < b} Nửa khoảng (a; +∞) {x ∈ R|a < x} O [ a ( a ( a [ a ] b ) b ] b ) b ] b [ a ) b ( a Các phép toán tập hợp Phép toán Định nghĩa Biểu đồ Venn Phép giao A ∩ B = {x|x ∈ A x ∈ B} A B Phép hợp A ∪ B = {x|x ∈ A x ∈ B} A B Phép hiệu A\B = {x|x ∈ A x ∈ / B} A B Phép lấy phần bù CB A = B\A, A ⊂ B B A Tập xác định hàm số cho biểu thức f (x) Tập xác định hàm số y = f (x) tập hợp tất số thực x cho giá trị biểu thức f (x) xác định, ký hiệu D Vậy D = {x ∈ R| giá trị f (x) xác định} B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm giao, hợp, hiệu hai tập A B R • Tìm giao: Biểu diễn A B trục số; A ∩ B phần không gạch chéo • Tìm hợp: Gạch chéo A B trục số; A ∪ B toàn phần gạch chéo • Tìm hiệu: Biểu diễn A gạch chéo B trục số; A\B phần không gạch chéo Lưu ý Các kỹ làm giấy nháp, không làm vào thi Tìm tập xác định hàm số cho công thức y = f (x) • Tìm điều kiện để giá trị biểu thức f (x) xác định Từ suy tập xác định Lưu ý Đối với hàm số học ta gặp trường hợp sau: Hàm số u(x) y= v(x) y = u(x) u(x) y= v(x) Điều kiện v(x) = u(x) ≥ v(x) > C Bài Tập 1.1 Xác định tập hợp sau: a) [−1; 2] ∩ [1; 4] d) [−3; 1] ∪ [−1; 4) b) (−2; 2) ∩ (0; +∞) e) (−2; 1) ∪ [0; 1] c) [−5; 2] ∩ [2; 3) f) (−∞; 2) ∪ (0; 4) 1.2 Xác định tập hợp sau: a) (0; 5)\[2; 7) d) R\(2; +∞) b) [−3; 2]\(0; 4) e) [−3; 3) ∩ (−1; 5) ∩ [1; 7] c) [−1; 6]\(0; 6) f) [−2; 2] ∩ [0; 3) ∪ (2; 5) 1.3 Cho tập hợp A = (−3; 5], B = [1; +∞), C = (−∞; 3] D = (3; +∞) Xác định tập hợp sau: A ∩ B, C ∩ D, A\B, B ∪ C, CR A, CR D 1.4 Giải hệ bất phương trình sau: a) x−3   (x − 1)2 = 2x + ≥ x−10 3x + ≤  x+3≥0 1.5 Tìm tập xác định hàm số sau: √ √ a) y = b) y = 5x − + 3x − x √ + 2x − √ 1−x x+1 d) y = e) y = x + 4x + x + 3x −   x + > c) 2x − ≥   x−5≤0   3x − < x+1 f (x) có hai nghiệm x1 x2 (x1 < x2 ) Khi f (x) trái dấu với hệ số a với x nằm khoảng (x1 ; x2 ) (tức với x1 < x < x2 ), f (x) dấu với hệ số a với x nằm đoạn [x1 ; x2 ] (tức x < x1 x > x2 ) B Kỹ Năng Cơ Bản Chia đa thức f (x) g(x) h(x) • C1: Thực chia theo sơ đồ sau: r(x) • C2: Sử dụng sơ đồ Horner (chỉ sử dụng chia f (x) cho x − c) Xét dấu biểu thức • Nhị thức f (x) = ax + b: "Phải cùng" x f (x) −∞ −sign(a) x0 +∞ +sign(a) • Tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c: ∗ ∆ < 0: "Luôn dấu" −∞ x f (x) ∗ ∆ = 0: "Luôn dấu x = − x f (x) +∞ +sign(a) b " 2a −∞ +sign(a) x0 +∞ +sign(a) ∗ ∆ > 0: "Trong trái cùng" x f (x) −∞ +sign(a) x1 −sign(a) x2 +∞ +sign(a) • Đa thức bậc n có đủ n nghiệm: "Phải cùng, đan dấu" • Đa thức bậc n có n nghiệm: Dấu f (x) (xi ; xi+1 ) dấu f (c), c ∈ (xi ; xi+1 ) • Tích thương nhị thức tam thức: Lập bảng xét dấu chung cho nhị thức, tam thức C Bài Tập 1.7 Thực chia đa thức sau: a) f (x) = x3 + 3x2 − 4x + cho x + c) f (x) = −3x3 + 5x2 − 8x + cho x − e) f (x) = x4 + x3 − 6x − 12 cho x − g) f (x) = 2x4 + 3x2 − x + cho x2 + b) f (x) = 4x3 + x2 − x + cho x − d) f (x) = x3 + 2x2 + 7x + cho x + f) f (x) = −x4 − 3x2 − 5x + cho x − h) f (x) = x4 − 3x3 + x + cho x2 − x + 1.8 Giải phương trình sau: a) x3 − 6x2 + 9x − = c) x4 − 7x3 + 5x2 + 11x − = b) −x3 − 3x2 + 3x + = d) −x4 + 2x3 + 4x2 − 7x + = 1.9 Xét dấu biểu thức sau: a) f (x) = 2x − c) f (x) = x2 + 4x + e) f (x) = x2 − 6x + g) f (x) = x2 + x + b) f (x) = − 4x d) f (x) = −3x2 − 2x + f) f (x) = −4x2 + 4x − h) f (x) = −3x2 + x − 1.10 Xét dấu biểu thức sau: a) f (x) = x3 + 2x2 − x − c) f (x) = x4 + x3 − 3x2 − x + b) f (x) = −x3 + 3x2 + 6x − d) f (x) = x4 − x3 − 6x2 + 4x + 1.11 Xét dấu biểu thức sau: (x − 1)(3 − 4x) a) f (x) = x+2 (x − 2)(3 − x) c) f (x) = x2 + 4x − (2x + 1)(2 − x) x−3 (x − 1)(x + 4x + 4) d) f (x) = x2 − 4x − 1.12 Giải bất phương trình sau: a) 2x2 − x − ≥ c) −x2 + 2x + > e) x3 + 3x2 − x − ≤ g) x3 + x2 − x − ≥ b) x2 − 7x + 12 < d) −3x2 + x + > f) x4 − 3x3 − 7x2 + 27x − 18 < h) x4 + x3 − 6x2 − 4x + ≥ 1.13 Giải bất phương trình sau: 2x2 + x + a) ≤ x − 3x + 2x − x+1 c) > x+2 x−3 x−4 < +x−2 x+3 x−4 d) > x−2 x+1 b) f (x) = b) x2 §3 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.1 Cho K khoảng, đoạn nửa khoảng f hàm số xác định K • Hàm số f gọi đồng biến (hay tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ); • Hàm số f gọi nghịch biến (hay giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Lưu ý • Nếu hàm số đồng biến K đó, đồ thị lên; • Nếu hàm số nghịch biến K đó, đồ thị xuống Định lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng I • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ I y = f (x) đồng biến I; • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ I y = f (x) nghịch biến I; • Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ I y = f (x) không đổi I Lưu ý • Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I f (x) = hữu hạn điểm I y = f (x) đồng biến I • Khoảng I thay đoạn nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f (x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm khoảng đơn điệu hàm số • Tìm tập xác định Tính y Tìm điểm y không xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến • Tìm tập xác định Df • Tính y y ≥ 0, ∀x ∈ Df (hoặc y ≤ 0, ∀x ∈ Df ) C Bài Tập 1.14 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y = x3 − 3x2 + b) y = 2x3 − 3x2 + d) y = x − 2x + e) y = x3 − 3x2 + 4x − g) y = x3 + 3x2 + 3x h) y = −x4 + 2x3 − 2x − c) y = −2x4 + 4x2 + f) y = −x3 − 3x + i) y = x4 − 6x2 + 8x + 1.15 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: x+2 2x + x2 − 2x + a) y = b) y = c) y = x+1 x+2 x−1 √ √ x − 4x + f) y = x2 − 2x − e) y = − 4x − x2 d) y = 1−x 1.16 Tìm m để hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + x − m + đồng biến R 1.17 Tìm m để hàm số y = −x3 + (m − 1)x2 − (m − 1)x + đồng biến R 1.18 Tìm m để hàm số y = mx3 + (2m − 1)x2 + (m − 4)x − nghịch biến R 1.19 Tìm m để hàm số y = mx3 + (3 − m)x2 + 2x + đồng biến R mx − đồng biến khoảng xác định m−x mx − 1.21 Tìm m để hàm số y = nghịch biến khoảng xác định x+m−3 mx + 1.22 Tìm m để hàm số y = nghịch biến (−∞; 1) x+m mx − 1.23 Tìm m để hàm số y = đồng biến (2; +∞) x+m−4 1.20 Tìm m để hàm số y = §4 Cực Trị Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.3 Giả sử hàm số f xác định tập D x0 ∈ D • x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ⊂ D f (x) < f (x0 ), ∀x ∈ (a; b)\{x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f ; • x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ⊂ D f (x) > f (x0 ), ∀x ∈ (a; b)\{x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Định lý 1.4 Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 Khi đó, y = f (x) có đạo hàm x0 f (x0 ) = Định lý 1.5 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục khoảng (a; b) chứa x0 có đạo hàm (a; x0 ), (x0 ; b) Khi đó: • Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số y = f (x) đạt cực tiểu x0 ; • Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; b) hàm số y = f (x) đạt cực đại x0 Định lý 1.6 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp (a; b) có đạo hàm cấp hai khác x0 Khi đó: f (x0 ) = • Nếu hàm số đạt cực đại x0 ; f (x0 ) < f (x0 ) = • Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 f (x0 ) > Lưu ý Nếu f (x0 ) = hàm số đạt cực trị không đạt cực trị x0 B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm cực trị hàm số • Tìm tập xác định Tính y Tìm điểm y không xác định • Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên rút kết luận Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị • Sử dụng ĐL 1.5 ĐL 1.6 Điều kiện để hàm số đạt cực trị x0 • Tính y ; hàm số đạt cực trị x0 ⇒ y (x0 ) = ⇒ m • Tính y ; thay m x0 vào y để kết luận Lưu ý Nếu y (x0 ) = phải kiểm tra dấu y để kết luận C Bài Tập 1.24 Tìm cực trị hàm số sau: a) y = x3 − 3x + b) y = −2x3 + 3x2 + d) y = x + 3x + 4x − e) y = x4 − 8x2 − 1.25 Tìm cực trị hàm số sau: 2x − x+3 a) y = b) y = x+1 x−2 √ −x2 + 4x − d) y = e) y = −x2 + 2x + x−2 c) y = −x3 + 3x2 − 3x + f) y = 2x4 − 4x2 + x2 + 2x + x+1 √ f) y = x2 + 6x − c) y = 1.26 Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 + (m − 1)x + có cực trị 1.27 Tìm m để hàm số y = (m − 1)x3 + (m − 2)x2 − 4x + cực trị 1.28 Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(2m − 1)x2 + có cực trị 1.29 (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 có ba điểm cực trị 1.30 Tìm m để hàm số y = x3 − (m − 1)x + đạt cực tiểu x = 1.31 Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m + 1)x + đạt cực đại x = 1.32 Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(m − 2)x2 + m − đạt cực đại x = 1.33 Tìm m để hàm số y = a) Không có cực trị; x2 + mx + : x+m b) Đặt cực tiểu x = 1; 10 c) Đạt cực đại x = Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §5 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.7 Giả sử hàm số f xác định tập hợp D Khi đó: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D • M = max f (x) ⇔ ∃x0 ∈ D : M = f (x0 ) x∈D f (x) ≥ m, ∀x ∈ D • m = f (x) ⇔ ∃x0 ∈ D : m = f (x0 ) x∈D Lưu ý • Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn • Trên khoảng nửa khoảng hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [a; b] • Tính y , y = ⇒ xi ∈ [a; b] • Tính y(a), y(b), y(xi ); so sánh kết luận Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số miền D • Tính y , y = ⇒ xi ∈ D • Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên rút kết luận C Bài Tập 1.34 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = x3 − 3x2 + [−2; 3] b) y = x3 − 3x + [0; 3] c) y = 2x4 − 16x2 − [−4; 1] d) y = + 4x3 − 3x4 [−2; 1] x+2 [0; 2] e) y = f) y = x3 + 3x2 + 5x − [−1; 2] 2x + 1.35 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: √ a) y = x + cos x [0; π2 ] b) y = sin x − sin3 x [0; π] c) y = sin4 x − sin2 x + d) y = sin4 x + cos4 x 1.36 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = x3 − 6x2 + (1; 5) b) y = x3 − 3x2 + [1; 4) x−1 −2x − [−1; 2) d) y = (0; 4) c) y = x+3 x+2 1 e) y = x − + (0; +∞) f) y = x − (0; 2] x x 1.37 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = −x4 − 2x2 + b) y = x4 + 2x2 − x − 2x d) y = c) y = +√ x2 √x − e) y = − 2x2 f) y = x + − x2 1.38 Cho parabol (P ) : y = x2 điểm A (−3; 0) Tìm điểm M ∈ (P ) cho khoảng cách AM ngắn tính khoảng cách 1.39 Trong hình chữ nhật có chu vi 40, xác định hình chữ nhật có diện tích lớn 11 §6 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số A Kiến Thức Cần Nhớ Định nghĩa 1.8 Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = y0 lim f (x) = y0 x→+∞ x→−∞ Định nghĩa 1.9 Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞; lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ x→x+ x→x− x→x+ x→x− Định nghĩa 1.10 Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) gọi đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f (x) lim [f (x) − (ax + b)] = lim [f (x) − (ax + b)] = x→+∞ x→−∞ B Kỹ Năng Cơ Bản Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng • Tìm lim f (x) ⇒TCN x→±∞ • Tìm lim f (x) ⇒TCĐ x→x± Lưu ý x0 thường nghiệm mẫu Tìm tiệm cận xiên • C1: Viết lại hàm số dạng y = ax + b + g(x) Chỉ lim [y − (ax + b)] = ⇒TCX x→±∞ f (x) • C2: Tính a = lim b = lim [f (x) − ax] ⇒TCX x→∞ x→±∞ x C Bài Tập 1.40 Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng hàm số sau: x−2 x−3 a) y = b) y = x+1 −x +2 √ x+2 8x3 − 2x + d) y = e) y = x − 3x + x−1 1.41 Tìm tiệm cận xiên hàm số sau: x2 − 3x + −3x2 + x − a) y = b) y = x+1 x+2 1.42 Tìm tiệm cận (nếu có) hàm số sau: 2x − 2x − a) y = b) y = x−2 √ √x + x+3 x2 + x d) y = e) y = x+1 x−1 √ x2 − 4x + g) y = h) y = x2 + x − 1−x 1.43 Tìm m để hàm số y = 1.44 Tìm m để hàm số y = x+4 2−x √ x2 + x + f) y = 2x − c) y = c) y = c) y = √ x2 + 2x + − 4x x+1 f) y = 2x − + i) y = x + √ x x2 + 2x mx2 − 2m(m − 1)x − 3m2 + m − có tiệm cận xiên qua A(−1; −3) x+2 2x2 + (m + 1) x − có giao hai tiệm cận nằm parabol (P ) : y = x2 +2x−1 x+m 1.45 (A-08) Tìm m để góc hai tiệm cận hàm số y = 1.46 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx2 + 3m2 − x − 450 x + 3m x2 + mx − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ độ tam giác có x−1 diện tích 12 Chuyên đề 10 Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng §4 Phương Trình Đường Tròn A Kiến Thức Cần Nhớ Phương trình đường tròn √ Có tâm I (a; b) bán kính R = √R2 • Dạng 1: (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (R > 0) • Dạng 2: x2 + y − 2ax − 2by + c = a2 + b2 > c Có tâm I (a; b) bán kính R = a2 + b2 − c Tiếp tuyến với đường tròn −−→ • Tiếp tuyến M qua điểm M có vectơ pháp tuyến IM Bán kính đường tròn • Điểm M thuộc đường tròn R = IM • Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn R = d (I; ∆) B Bài Tập 10.51 (CĐ-2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho d : x + y − = 0, ∆ : x − y + = điểm M (−1; √3) Viết phương trình đường tròn qua M , có tâm thuộc d cắt ∆ hai điểm A, B cho AB = 10.52 (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + y = 45 hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1 ), biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆2 tâm K thuộc đường tròn (C) 10.53 (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2) Gọi H chân đường cao vẽ từ B M, N trung điểm AB, BC Viết phương trình đường tròn qua H, M, N 10.54 (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = √ √ 10.55 (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = d2 : 3x − y = Gọi (T ) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B,√C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T ), biết tam giác ABC có diện tích 23 điểm A có hoành độ dương 10.56 (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1 ) : x2 +y = 4, (C2 ) : x2 +y −12x+18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai điểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d 10.57 √ (A-2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường √thẳng ∆ : x − y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) 10.58 (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) đường tròn (C) : x2 + y − 2x + 4y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác AM N vuông cân A 10.59 (D-2013) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = đường thẳng ∆ : y − = Tam giác M N P có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc ∆, đỉnh M trung điểm M N thuộc (C) Tìm tọa độ đỉnh P 10.60 (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 4y + = đường thẳng d : 4x − 3y + m = Tìm m để d cắt (C) hai điểm A, B cho AIB = 1200 , với I tâm (C) 10.61 (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y = Gọi I tâm (C) Xác định toạ độ điểm M ∈ (C) cho IM O = 300 10.62 (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my − 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm M để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn 10.63 (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + = đường tròn (C) : x2 + y − 4x − 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến M A M B đến (C), (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác M AIB có diện tích 10 10.64 (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y − 2x − 6y + = điểm M (−3; 1) Gọi T1 , T2 tiếp điểm vẽ từ M đến (C) Lập phương trình đường thẳng T1 T2 75 §5 Phương Trình Elip A Kiến Thức Cần Nhớ y B2 A1 F1 O F2 A2 x B1 • Phương trình tắc elip: x2 y + =1 a2 b b2 = a2 − c2 • Trong đó: Các đỉnh: Các tiêu điểm: Trục lớn: Trục nhỏ: Tiêu cự: Tâm sai: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) F1 (−c; 0), F2 (c; 0) A1 A2 = 2a B1 B2 = 2b F1 F2 = 2c c e= a cx cx Bán kính qua tiêu: M F1 = a + , M F2 = a − a a Lưu ý Nếu b > a > elip có tiêu điểm nằm trục tung B Bài Tập 10.65 Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé elip sau: x2 y x2 y c) x2 + 4y = a) + = b) + = 25 10.66 Viết phương trình tắc đường elip (E) trường hợp sau: √ a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai e = b) (E) có độ dài trục bé tiêu cự √ √ c) (E) có tiêu điểm F 3; qua điểm M 1; 23 √ 10.67 (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tắc elip có tâm sai nhật sở có chu vi 20 hình chữ 10.68 (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 10.69 (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vuông 10.70 (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E) : x2 y2 + = Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC x2 y + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn √ x2 y2 10.72 (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2; elip (E) : + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hoành độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (T ); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AN F2 10.71 (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) : 76 Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất §1 Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp A Kiến Thức Cần Nhớ Quy tắc đếm • Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo hai phương án A B Phương án A thực theo n cách, phương án B thực theo m cách Khi công việc thực theo n + m cách • Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A thực theo n cách, công đoạn B thực theo m cách Khi công việc thực theo n.m cách Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp • Hoán vị: Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử A Số hoán vị tập hợp có n phần tử Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) 2.1 (Quy uớc 0! = 1) • Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A Số chỉnh hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) tập hợp có n phần tử Akn = n (n − 1) (n − 2) (n − k + 1) (Quy uớc A0n = 1) • Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A Số tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) tập hợp Ak n (n − 1) (n − 2) (n − k + 1) có n phần tử Cnk = n = (Quy ước Cn0 = 1) n! k! k • Một số công thức tổ hợp: Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n), Cn+1 = Cnk + Cnk−1 (1 ≤ k ≤ n) Lưu ý Hoán vị chỉnh hợp có phân biệt thứ thự tổ hợp không biệt thứ tự B Kỹ Năng Cơ Bản Bài toán đếm Chứng minh đẳng thức tổ hợp n! n! ; Ck = ; n! = n(n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! (n − k)! n k!(n − k)! Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) • Sử dụng công thức: Akn = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1); Cnk = k! • Sử dụng công thức: Pn = n!; Akn = C Bài Tập 11.1 Có số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác thành lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11.2 (B-05) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ ba tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ 11.3 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ ba màu 77 11.4 (B-04) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề phải có loại câu hỏi (khó, trung bình dễ) số câu hỏi dễ không 11.5 (D-06) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn bốn học sinh làm nhiệm vụ cho bốn học sinh thuộc không hai lớp Hỏi có cách chọn 11.6 Chứng minh hệ thức sau n+1 n a) An+2 n+k + An+k = k An+k c) (B-08) n+1 n+2 k Cn+1 + k+1 Cn+1 b) Pk A2n+1 A2n+3 A2n+5 = nk!A5n+5 = Cnk k−2 d) k (k − 1) Cnk = n (n − 1) Cn−2 11.7 Giải phương trình, bất phương trình sau: a) Cx1 + 6Cx2 + 6Cx3 = 9x2 − 14x x−4 ) c) A4x = 24 23 (Ax+1 − Cx e) Cn−1 − Cn−1 − 54 A3n−2 < 11.8 (D-05) Tính giá trị M = x−2 + 2Cx−1 = 7(x − 1) b) Cx+1 n−2 d) An + 2Cn ≤ 9n f) 12 A22x − A2x ≤ x6 Cx3 + 10 A4n+1 + 3A3n 2 2 biết Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 (n + 1)! 11.9 (B-02) Cho đa giác A1 A2 A2n nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh Tìm n 11.10 (B-06) Cho tập A gồm 2n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập phần tử 20 lần số tập gồm phần tử Tìm k ∈ {1, 2, , n} cho số tập gồm k phần tử A lớn §2 Xác Suất A Kiến Thức Cần Nhớ Phép thử ngẫu nhiên • Phép thử ngẫu nhiên thí nghiệm hay hành động mà: ∗ Kết không dự đoán trước được; ∗ Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử • Tập tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử, ký hiệu Ω Biến cố • Một biến cố A liên quan tới phép thử T mô tả tập ΩA không gian mẫu Biến cố A xảy kết T thuộc ΩA Mỗi phần tử ΩA gọi kết thuận lợi cho A • Biến cố hợp: Là biến cố "A B xảy ra", ký hiệu A ∪ B Ta có ΩA∪B = ΩA ∪ ΩB • Biến cố giao: Là biến cố "Cả A B xảy ra", ký hiệu A ∩ B Ta có ΩA∩B = ΩA ∩ ΩB • Biến cố đối: Là biến cố "Không xảy A", ký hiệu A Ta có ΩA = Ω\ΩA • Biến cố xung khắc: Là hai biến cố A B mà A xảy B không xảy ngược lại • Biến cố độc lập: Là hai biến cố A B mà việc xảy hay không xảy A không ảnh hưởng đến việc xảy hay không xảy B ngược lại Xác suất biến cố • Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan đến phép thử T xác suất A số, ký hiệu P (A), xác |ΩA | định công thức P (A) = |Ω| • Tính chất: ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1, P A = − P (A) • Quy tắc cộng xác suất: Nếu A, B xung khắc P (A ∪ B) = P (A) + P (B) • Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập P (A ∩ B) = P (AB) = P (A) P (B) Biến ngẫu nhiên rời rạc • Là giá trị độc lập X = {x1 , x2 , , xn } nhận kết số, hữu hạn không dự đoán trước • Xác suất xk : P (X = xk ) = pk , (k = n) Khi p1 + p2 + + pn = 78 Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất • Bảng phân bố xác suất: X P x1 p1 x2 p2 xn pn n • Kỳ vọng: E (X) = xi pi i=1 n • Phương sai: V (X) = i=1 • Độ lệch chuẩn: σ (X) = x2i pi − E (X) V (X) B Kỹ Năng Cơ Bản Tính xác suất định nghĩa • C1: Tính trực tiếp ∗ Xác định phép thử T tính số phần tử không gian mẫu |Ω|; ∗ Xác định biến cố A tính số phần tử tập mô tả biến cố ΩA ; |ΩA | ∗ Sử dụng công thức P (A) = để tính xác suất |Ω| • C2: Tính gián tiếp thông qua biến cố đối ∗ Xác định phép thử T tính số phần tử không gian mẫu |Ω|; ∗ Xác định biến cố A, từ suy biến cố A; Ω ∗ Tính số phần tử tập mô tả biến cố ΩA tính xác suất P (A) = A ; |Ω| ∗ Xác suất biến cố A P (A) = − P (A) Tính xác suất quy tắc tính • Xác định tính xác suất biến cố sơ cấp bản; • Xác định biến cố cần tìm biểu diễn theo biến cố sơ cấp bản; • Sử dụng quy tắc cộng nhân xác suất để tính xác suất Xac suất biến ngẫu nhiên rời rạc • Xác định tập giá trị {x1 , x2 , , xn } biến ngẫu nhiên X; • Tính xác suất xk = P (X = xk ); • Lập bảng phân bố xác suất, từ tính yếu tố theo yêu cầu toán C Bài Tập 11.11 (B-2012) Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ 11.12 Một tổ có 13 học sinh, có nữ Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ có học sinh, nhóm thứ hai có học sinh, nhóm thứ ba có học sinh Tính xác suất để nhóm có học sinh nữ 11.13 Một nhóm học tập gồm nam nữ, có bạn nam A bạn nữ B Chọn ngẫu nhiên bạn để lập đội tuyển thi học sinh giỏi Tính xác suất để đội tuyển có nam nữ, phải có bạn nam A, bạn nữ B hai 11.14 (A-2013) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn 11.15 Có sách Toán, sách Lý sách Hóa Chọn ngẫu nhiên sách Tính xác suất để số sách chọn có không sách Toán 11.16 (B-2013) Có hai hộp đựng bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy có màu 11.17 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Tính xác suất để số bi lấy không đủ ba màu 79 11.18 Ba xạ thủ bắn độc lập vào bia, người bắn viên đạn Xác suất bắn trúng xạ thủ lần ượt 0,6; 0,7 0,8 Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng bia 11.19 Ba học sinh An, Bình Chi giải toán độc lập với Xác suất giải An 0,7; Bình 0,6; Chi 0,5 Tính xác suất để có học sinh không giải toán 11.20 Có hai hộp chứa viên bi khác màu Hộp thứ chứa ba bi xanh, hai bi vàng bi đỏ Hộp thứ hai chứa hai bi xanh, bi vàng ba bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để lấy hai bi xanh 11.21 Người ta sử dụng sách Toán, sách Lý, sách Hoá (các sách loại giống nhau), để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh hai sách khác loại Trong số học sinh có hai bạn Ngọc Thảo Tìm xác suất để hai bạn Ngọc Thảo có giải thưởng giống 11.22 Có hai túi Túi thứ chứa thẻ đánh số 1, 2, túi thứ hai chứa thẻ đánh số 4, 5, 6, Rút ngẫu nhiên từ túi thẻ cộng hai số ghi hai thẻ với Gọi X số thu Lập bảng phân bố xác suất X tính E(X) 11.23 Xác suất bắn trúng vòng 10 xạ thủ 0,3 Xạ thủ bắn trúng lần Gọi X số lần bắn trúng vòng 10 xạ thủ Lập bảng phân bố xác suất; tính kỳ vọng phương sai §3 Nhị Thức Newton A Kiến Thức Cần Nhớ Công thức nhị thức Newton n (a + b)n = Cnk an−k bk = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + + Cnn bn k=0 Tính chất • Có tất n + số hạng; số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk+1 = Cnk an−k bk • Số mũ giảm từ n đến 0; số mũ b tăng từ đến n; tổng số mũ a b n • Các hệ số có tính đối xứng chạy từ Cn0 đến Cnn Kỹ Năng Cơ Bản Tìm số hạng chứa xα khai triển (a + b)n • Viết khai triển (a + b)n = n Cnk an−k bk ; k=0 • Biến đổi khai triển thành (a + b)n = n A.xf (k) ; k=0 • Số hạng chứa xα tương ứng với số hạng chứa k thỏa f (k) = α Từ suy số hạng cần tìm Các toán liên quan đến Cnk Sử dụng công thức sau cách phù hợp: • (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + + Cnn xn • (1 − x)n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x2 − Cn3 x3 + + (−1)n Cnn xn • (x + 1)n = Cn0 xn + Cn1 xn−1 + Cn2 xn−2 + + Cnn−1 x + Cnn C Bài Tập 11.24 Tìm hệ số x15 khai triển đa thức P (x) = (2x − 3x2 )10 11.25 Tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển biểu thức x2 + 21 x 11.26 (D-04) Tìm số hạng không chứa x khai triển thành đa thức biểu thức √ x+ √ 4x , x > 11.27 (A-2012) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển n nx2 nhị thức Newton − , x = 14 x 80 Chuyên đề 11 Tổ Hợp - Xác Suất x3 11.28 (A-03) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển + √ x5 n n+1 n , biết Cn+4 −Cn+3 = (n + 3) 11.29 (A-02) Cho khai triển biểu thức x−1 x + 2− n = Cn0 x−1 n + Cn1 x−1 n−1 x x 2− + + Cnn 2− n biết khai triển Cn3 = 5Cn1 số hạng thứ tư 20n Tìm n x 11.30 (D-07) Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức biểu thức x(1 − 2x)5 + x2 (1 + 3x)10 11.31 (A-04) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức biểu thức + x2 (1 − x) 11.32 (D-03) Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức n x2 + (x + 2)n Tìm n để a3n−3 = 26n 11.33 (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức Cn0 + 2.Cn1 + 22 Cn2 + + 2n Cnn = 243 2013 11.34 Tính tổng S = C2013 + 3C2013 + 32 C2013 + + 32013 C2013 11.35 (B-07) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển biểu thức (2 + x)n , biết 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cn2 + + (−1)n Cnn = 2048 11.36 (A-08) Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1 x + + an xn , (n ∈ N∗ ) hệ số a0 , a1 , a2 , , an thoả mãn hệ thức a0 + a21 + a42 + + a2nn = 4096 Tìm số lớn số a0 , a1 , a2 , , an 11.37 (A-06) Tìm hệ số x26 khai triển x4 + x7 n n , biết C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 = 220 − 2012 + C2013 + C2013 + + C2013 11.38 Tính tổng S = C2013 + C + + C 2n−1 = 2048 11.39 (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C2n 2n 2n 11.40 Tìm số tự nhiên n cho 1.Cn1 + 2.Cn2 + + nCnn = n.22013 2n+1 = 2005 11.41 (A-05) Tìm số nguyên dương n thỏa C2n+1 − 2.2C2n+1 + 3.22 C2n+1 + + (−1)n 22n C2n+1 11.42 Tính tổng S = 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + + (3n + 2) Cnn 11.43 Chứng minh 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + 4.3.Cn4 + + n (n − 1) Cnn = n (n − 1) 2n−2 2013 20 11.44 Tính tổng S = 12 C2013 22012 + 22 C2013 22011 + + 20132 C2013 11.45 (B-03) Cho n số nguyên dương Tính tổng Cn0 + + C + + 11.46 (A-07) Chứng minh 21 C2n 2n 11.47 Tính tổng C2014 + C2014 2 + C2014 22 − 1 23 − 2n+1 − n Cn + Cn + + Cn n+1 2n−1 2n C2n = 22n −1 2n+1 2014 + + C2014 81 82 Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất §1 Bất Đẳng Thức A Kiến Thức Cần Nhớ Tính chất bất đẳng thức • a > b b > c ⇒ a > c • a > b ⇒ a + c > b + c • Nếu c > a > b ⇒ ac > bc • Nếu c < a > b ⇒ ac < bc Bất đẳng thức Cauchy a+b √ • Đối với hai số: ≥ ab, ∀a, b ≥ Dấu xảy a = b √ √ a+b a+b Dạng khác: a + b ≥ ab; a2 + b2 ≥ 2ab; ab ≤ ; ab ≤ 2 a+b+c √ • Đối với ba số: ≥ abc, ∀a, b, c ≥ Dấu xảy a = b = c √ √ a+b+c a+b+c 3 Dạng khác: a + b + c ≥ abc; a3 + b3 + c3 ≥ 3abc; abc ≤ ; abc ≤ 3 B Phương Pháp Cơ Bản • PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương • PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy • PP3: Phương pháp hàm số Lưu ý Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu xảy suy ngược kết C Bài Tập 12.1 Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức 2a2 + b2 + c2 ≥ 2a (b + c) 12.2 Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc (a + b + c) 12.3 Cho a, b > Chứng minh bất đẳng thức a3 + b3 ≥ a2 b + ab2 12.4 Cho a, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức a+b a b ≤ + 1+a+b 1+a 1+b 12.5 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a b c + + > a+b b+c c+a 12.6 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức < 83 a b c d + + + < b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 12.7 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a+b b+c c+a + + ≥ c a b 12.8 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 1 + + ≥ a b c a+b+c 1 1 16 + + + ≥ a b c d a+b+c+d 12.9 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức 12.10 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức 12.11 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a+b+c+d ≥ abcd a b c + + ≥ b+c c+a a+b ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a √ √ √ y x z 1 12.13 Cho x, y, z > Chứng minh bất đẳng thức + + ≤ + + 2 2 x +y y +z z +x x y z 12.12 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 12.14 Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức (a + b) (b + c) (c + a) abc ≤ 12.15 Cho a, b, c > abc = Chứng minh bất đẳng thức 1 + + ≥ + c) b (c + a) c (a + b) a3 (b 12.16 Cho a, b, c > abc = Chứng minh bất đẳng thức √ 12.17 (B-05) Chứng minh bất đẳng thức 12 x + a b c +√ +√ ≥ 3 8c + 8a + 8b3 + x 15 x 20 + ≥ 3x + x + x 12.18 Cho x, y, z > thỏa mãn x+y+z = Chứng minh bất đẳng thức 12.19 Cho x, y, z thỏa 3−x + 3−y + 3−z = Chứng minh 12.20 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 12.23 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức √ √ √ + 4x + + 4y + + 4z ≥ 9x 9y 9z 3x + 3y + 3z + + ≥ 3x + 3y+z 3y + 3z+x 3z + 3x+y a3 b3 c3 + + ≥ a + b2 + c2 a+b b+c c+a 12.21 Cho x, y > Chứng minh bất đẳng thức (1 + x) + 12.22 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 729 a + b+c a+b + c y x 1+ √ y a b + + b+c c+a b+c + a ≥ 256 b c + + c+a a+b c+a ≥2 b c + a+b c > a+b a + b+c b a+c √ a b c 3 12.24 Cho a, b, c > thỏa a2 +b2 +c2 = Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ b + c2 c2 + a2 a2 + b2 2 e−x x4 12.25 Chứng minh bất đẳng thức ≤1−x+ , ∀x ∈ [0; 1] 1+x (1 + x) 12.26 (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn < a < b < Chứng minh bất đẳng thức a2 ln b − b2 ln a > ln a − ln b 12.27 (D-07) Cho a ≥ b > Chứng minh bất đẳng thức 2a + 12.28 (A-03) Cho x, y, z > thỏa x + y + z ≤ Chứng minh 84 2a x2 + b ≤ + x2 2b + 2b y2 + a + y2 z2 + √ ≥ 82 z Chuyên đề 12 Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất 12.29 (A-05) Cho x, y, z > thỏa 1 1 1 + + = Chứng minh + + ≤ x y z 2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y 12.30 (D-05) Cho x, y, z > thỏa xyz = Chứng minh + x3 + y + xy √ √ + y3 + z3 + z + x3 + ≥ 3 yz zx 12.31 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a b c + + ≥ 2a + (b + c) 2b + (c + a) 2c + (a + b) 12.32 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức 1 27 + + ≥ a (a + b) b (b + c) c (c + a) 2(a + b + c)2 12.33 (A-09) Cho x, y, z > x (x + y + z) = 3yz Chứng minh bất đẳng thức (x + y)3 + (x + z)3 + (x + y) (x + z) (y + z) ≤ 5(y + z)3 x z +√ y xyz 12.34 Cho x, y, z > Chứng minh bất đẳng thức 1+ x y 1+ y x +√ z xyz + a + b+c+d 12.35 Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức 12.36 Cho x, y, z > Chứng minh bất đẳng thức b + c+d+a y z 1+ + z y +√ x xyz c + d+a+b ≥ 12 d > a+b+c z x+y+z ≥2 1+ √ xyz x §2 Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất A Phương Pháp Cơ Bản • PP1: Sử dụng bất đẳng thức ∗ Nếu A(x) = f (x).g(x) mà f (x) + g(x) = const A(x) đạt giá trị lớn f (x) = g(x) ∗ Nếu A(x) = f (x) + g(x) mà f (x).g(x) = const A(x) đạt giá trị nhỏ f (x) = g(x) • PP2: Sử dụng phương pháp hàm số B Bài Tập √ a+b ab 12.37 Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = √ + a + b ab 12.38 Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a3 (1 − a) + b3 (1 − b) 12.39 Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = a + b + c + 12.40 Cho a, b, c > thỏa mãn a+b+c ≤ Tìm giá trị nhỏ S = 12.41 (B-07) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x a2 + + b2 x + +y yz b2 + c2 + 85 a2 z + xy x2 + 6xy + 2xy + 2y 12.44 (A-06) Cho x, y = thỏa (x + y) xy = x2 +y −xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x − 1) + y + (1 − c) (x − y) (1 − xy) (1 + x)2 (1 + y)2 12.43 (B-08) Cho x, y thoả mãn x2 +y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = 12.45 (B-06) Cho hai số x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ A = c3 abc + c2 y + +z zx 12.42 (D-08) Cho x, y > Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = + 1 + x3 y (x + 1) + y +|y + 2| 12.46 (A-07) Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) √ + √ √ + √ P = √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y √ 12.47 (B-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x + − x2 x+1 12.48 (D-03) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = √ đoạn [−1; 2] x2 + 12.49 (D-2010) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = −x2 + 4x + 21 + −x2 + 3x + 10 12.50 (B-2010) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + (ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 12.51 (CĐ-2010) Cho x, y > thay đổi thoả mãn 3x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 1 +√ x xy 12.52 (D-09) Cho x, y ≥ thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = 4x2 + 3y 4y + 3x + 25xy 12.53 (B-09) Cho x, y thỏa (x + y)3 +4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y + x2 + y −2 x2 + y +1 12.54 (B-09) (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x3 + y − 3xy 12.55 Cho x, y, z > thỏa mãn x+y+z = Tìm giá trị nhỏ P = 12.56 Cho x, y, z > thoả mãn x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) + + yz zx xy 1 + + ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x − 1) (y − 1) (z − 1) x y z 12.57 Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z > 0, x + > 0, y + > 0, z + > x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P = + + x+1 y+1 z+1 12.58 (B-2011) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + ab = (a + b) (ab + 2) Tìm giá trị a3 b3 a2 b2 nhỏ biểu thức P = + − + b a b a 12.59 (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y z + + 2x + 3y y + z z + x 12.60 (D-2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y + (xy − 1) (x + y − 2) 12.61 (B-2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x2 + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x5 + y + z 12.62 (A-2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y + 6z 12.63 (D-2013) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy < y − Tìm giá trị lớn x+y x − 2y biểu thức: P = − 2 6(x + y) x − xy + 3y 12.64 (B-2013) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P =√ a2 + b2 + c2 −4 − (a + b) (a + 2c)(b + 2c) 12.65 (A-2013) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm giá trị nhỏ √ 32a3 32b3 a2 + b2 biểu thức: P = + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c 86 Phụ Lục PHỤ LỤC 1 Các quy tắc tính đạo hàm u v v u v − uv v2 v = − v (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv (ku) = ku yx = yu ux = Bảng đạo hàm hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số y = f (x) c = Đạo hàm hàm số y = f [u(x)] (c = const) x = (xα ) = αxα−1 (uα ) = αuα−1 u 1 =− x x √ ( x) = √ x u =− u u √ u ( u) = √ u (x = 0) (x > 0) (u = 0) (u > 0) (sin x) = cos x (sin u) = u cos u (cos x) = − sin x (cos u) = −u sin u (cos x = 0) cos2 x (sin x = 0) (cot x) = − sin x u (cos u = 0) cos2 u u (sin u = 0) (cot u) = − sin u (tan x) = (tan u) = 10 (ex ) = ex (eu ) = eu 11 (ax ) = ax ln a 12 (ln x) = x 13 (loga x) = (au ) = u au ln a (0 < a = 1) (x > 0) x ln a (ln u) = (0 < a = 1, x > 0) u u (loga u) = (0 < a = 1) (u > 0) u u ln a (0 < a = 1, u > 0) Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp ax +C ln a 0dx = C ax du = dx = x + C cos xdx = sin x + C xα dx = sin xdx = − cos x + C dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C 10 xα+1 +C α+1 (α = −1) 87 (a > 0, a = 1) dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x PHỤ LỤC Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt π π π π π α 00 300 450 600 900 1800 √ cos α 1 √ √ 3 √ sin α || 3 || tan α cot α || √ 2 √ 2 √ √ Đẳng thức lượng giác sin2 α + cos2 α = 1 + tan2 α = cos2 α + cot2 α = sin2 α tan α cot α = sin α tan α = cos α cos α cot α = sin α Công thức lượng giác Công thức cộng Công thức biến đổi tích thành tổng cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b 10 cos a cos b = cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b 11 sin a sin b = [cos (a − b) − cos (a + b)] sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b 12 sin a cos b = [sin (a − b) + sin (a + b)] sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a − tan b tan (a − b) = + tan a tan b tan a + tan b tan (a + b) = − tan a tan b Công thức nhân đôi cos 2a = cos2 a − sin2 a Công thức biến đổi tổng thành tích u+v u−v 13 cos u + cos v = cos cos 2 u+v u−v 14 cos u − cos v = −2 sin sin 2 u+v u−v 15 sin u + sin v = sin cos 2 u+v u−v 16 sin u − sin v = cos sin 2 Công thức nhân ba 8a cos 2a = 2cos2 a − 17 sin 3a = sin a − 4sin3 a 8b cos 2a = − 2sin2 a tan a tan 2a = − tan2 a Công thức hạ bậc + cos 2a 8c cos2 a = − cos 2a 8d sin2 a = − cos 2a 8e tan2 a = + cos 2a 18 cos 3a = 4cos3 a − cos a sin 2a = sin a cos a [cos (a − b) + cos (a + b)] Công thức khác 19 sin x + cos x = 20 sin x − cos x = √ √ sin x + π sin x − π 21 sin4 x + cos4 x = − 12 sin2 2x 22 sin6 x + cos6 x = − 34 sin2 2x 88 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh, Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 [3] Nguyễn Phú Khánh, Kiến thức ôn tập kinh nghiệm làm thi đạt điểm 10 môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, 2012 [4] Phạm Trọng Thư, Các chuyên đề Đại số, NXB Đại học Sư phạm, 2010 [5] Phan Huy Khải, Phương pháp Giải toán trọng tâm NXB Đại học Sư phạm, 2011 [6] Lê Hoành Phò, 1234 tập tự luận điển hình Đại số - Giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội, 2008 [7] Lê Hoành Phò, 1234 tập tự luận điển hình Hình học - Lượng giác, NXB ĐHQG Hà Nội, 2008 [8] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề Luyện thi đại học môn toán - Phương trình Lượng giác, NXB Hà Nội, 2008 [9] Nguyễn Văn Dũng, Hướng dẫn giải nhanh dạng tập toán Hình học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2011 [10] Võ Anh Dũng, Giải toán Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam, 2008 [11] Trần Thành Minh, Giải toán Đại số Giải tích 11, NXB Giáo dục, 2005 [12] Trần Thành Minh, Giải toán Hình học 11, NXB Giáo dục, 2005 [13] Bộ Giáo dục Đào tạo, Đề thi Tuyển sinh Đại học, 2002 - 2013 [14] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tạp chí Toán học Tuổi trẻ, 2011 - 2013 [15] Diễn đàn Toán học, http://diendantoanhoc.net, 2013 [16] Diễn đàn Toán Trung học Phổ thông, http://k2pi.net, 2013 89 [...]... tuyến của ba mặt phẳng 4 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Chỉ ra đường thẳng song song với một đường thẳng chứa trong mặt phẳng 5 Chứng minh hai mặt phẳng song song Chỉ ra mặt phẳng này song song với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng kia B Bài Tập 3.1 Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song và M là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD Xác định giao tuyến của các... tìm thi t diện của hình chóp cắt bởi (CGM ) c) Tìm thi t diện của hình chóp cắt bởi (AGM ) 3.4 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD a) Chứng minh M N song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD) b) Gọi P là trung điểm SA, chứng minh SB, SC đều song song với mặt phẳng (M N P ) c) Gọi G1 , G2 là trọng tâm các tam giác ABC và SBC, chứng minh G1 G2 song song... Hệ Song Song A Kỹ Năng Cơ Bản 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng Đường thẳng qua hai điểm chung là giao tuyến 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng TH1: Nếu trong (α) chứa b cắt a tại I thì giao điểm của a với (α) là I TH2: Nếu chưa có b thì tìm (β) chứa a và cắt (α) theo b Giao điểm của a và (α) là giao của a và b 3 Chứng minh hai đường thẳng song song C1:... lượt là trung điểm SA, CD a) Chứng minh hai mặt phẳng (OM N ) và (SBC) song song với nhau b) Gọi I trung điểm SC; J nằm trên (ABCD) và cách đều AB, CD, chứng minh IJ song song (SAB) 23 §2 Quan Hệ Vuông Góc A Kỹ Năng Cơ Bản 1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chỉ ra đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng 2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc C1: Chỉ ra một mặt... −x + 3 biết tiếp tuyến song song với đường 2x − 1 phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ 2.77 (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = 2x + 3 , biết d vuông góc với đường x+1 thẳng y = x + 2 1 2 2.78 (D-05) Cho hàm số y = 13 x3 − m 2 x + 3 có đồ thị (Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x... sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1 Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 − k = 0 2.88 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 − 6x2 − m = 0 2.89 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 − 2x2 + m − 1 = 0 2.90 Khảo sát sự biến thi n và vẽ... mặt phẳng vuông góc Chỉ ra một đường thẳng chứa trong mặt này và vuông với mặt kia 4 Tìm góc giữa hai đường thẳng Tìm b song song b và cắt a Góc giữa a và b bằng góc giữa a và b 5 Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Xác định hình chiếu của đường lên mặt phẳng Góc cần tìm là góc giữa đường thẳng và hình chiếu 6 Tìm góc giữa hai mặt phẳng Tìm a, b nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến... trung điểm của SC Mặt phẳng (P ) đi qua AC và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B , D Tính thể tích của khối chóp S.AB C D 3.35 (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt... xung quanh và thể tích hình nón 3.73 Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2a và khoảng cách giữa hai đáy bằng a Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng a Tính diện tích thi t diện tạo thành 3.74 Cắt hình trụ tròn xoay bởi mặt phẳng (α) được thi t diện ABCD là hình vuông cạnh a Biết (α) tạo với đáy một góc 450 , tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ 3.75 (A-06) Cho... Cơ Bản 1 Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f (x) = k(m) • Vẽ đồ thị hàm số (C) : y = f (x) và đường thẳng y = k(m) song song với trục Ox • Số nghiệm phương trình f (x) = k(m) là số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k(m) • Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận 2 Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|) • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy • Đối xứng phần đồ