Bai tap hinh hoc OXYZ

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng :Bài 1.. Viết phương trình mpP đi qua hai điểm A, B và P cắt S theo một đường tròn có bán kính bằng 1.

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng :

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương

trình : d : x y z





 1

Giải

.Đường thẳng d đi qua điểm M( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ chỉ phương u(  1 ; 1 ; 1 )

Đường thẳng d’ đi qua điểm M' ( 2 ; 3 ;  5 ) và có vectơ chỉ phương u' ( 2 ; 1 ;  1 )

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương

trình : d : x y z





 1

2

và d’ :

1

5 3

Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua d và tạo với d’ một góc 30 0

Giải

.Đường thẳng d đi qua điểm M( 0 ; 2 ; 0 ) và có vectơ chỉ phương u   (1; 1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M' ( 2 ; 3 ;  5 ) và có vectơ chỉ phương u'(2;1; 1)

2

0

2 2

3 2 2 2 A2 AC C2

C A C C A A A C A

 Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2) một góc 300

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương

trình: x2y2z22x 2y2z1 0 Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1

GiảiMặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2

Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ n a b c( , , ),(a2b2c2 0)làm véctto pháp tuyến cóPT: ax by cz  2b6c0

Bài 5 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2),

DH  ABC và DH 3 với H là trực tâm tam giác ABC Tính góc giữa (DAB) và (ABC).

Giải

Trong tam giác ABC, gọi K CH AB

Khi đó, dễ thấy AB(DCK) Suy ra góc giữa (DAB) và

(ABC) chính là góc DKH Ta tìm tọa độ điểm H rồi

=> mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3

Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D 5)

Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d I Q ;( )  R 3 10

1 9

8

D D

I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có r2 16  r 4

mặt khác ta có IO = ( ;( )) 4

3

D

d I Q   l ại c ó R2 = r2 + OI2  D5, D13

vậy mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0

Bài 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và

C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ Ctới mặt phẳng (P) bằng 3

Giải

•Gọi n (a;b;c) Olà véctơ pháp tuyến của (P)

Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0

Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c

+ (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương u1(1;3; 2)

(d’) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương u2 (2;1; 2)

Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là n u  1u2   8;6; 5 

Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q))

+ Giao điểm của d và (P) là điểm I( ;19 6 38 ; )

15 5 15Khoảng cách giữa d và d‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = 11

Giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: u d( 1 ;  2 ;  3 )

gọi n(a;b;c)(với a2+b2+c2≠0) là vectơ pháp tuyến của ()

) 2 (

2

2 2

c a

c a

7

c b

5

6 6 5

6 6

5

6 2 3 5

Đường thẳng  đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u

a

    a c 2 0  a c  0với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1  pt(P) : x + y – z = 0

Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 1

Ta có : d1 đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : u11; 1;0 

d2 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2 1; 2; 2 

m m

2

1 5 1 4

2 60

cos ) ,

B A

B A n

Giải

KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) : x 2y 2z 5  3 5  0 và (P2) : x 2y 2z 5  3 5  0

Bài 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z  2x6y 4z 2 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2), vuông góc với mặt phẳng( ) : x4y z 11 0 và tiếp xúc với (S)

Giải

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4

Véc tơ pháp tuyến của ( ) là n(1; 4;1)

Vì ( ) ( )P   và song song với giá của v nên nhận véc tơ

Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0

Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng:

Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :

3

) 2 (

2 0 2 1

5 3 5

D D

Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)

Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1  

a CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau

b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’)

Giải

a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3    

Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I 1;0;3

2 2

  hay (d) và (d’) cắt nhau (ĐPCM)b) Ta lấy v u u ' 15; 2 15; 3 15

Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).

Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng 

nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2

Giải

• (P) có véc tơ pháp tuyến n(P)  ( 1 ; 1 ;  1 ) và d có véc tơ chỉ phương .u  ( 1 ;  1 ;  3 )

) 4

; 2

; 1 ( )

t y

ptd

4

1 :

3 2 2

t

t t

IH

Bài 5.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :

5 2

1 : )

7

; 5

; 1 ( 3

t

hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa d1và d2là :

+)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)

A, B, C thẳng hàng và AB = BC  B là trung điểm của AC

Bài 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; 6; 6), B(4; 4; 4), C( 2; 10; 2) và

S(2; 2; 6) Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO

3/ Một số bài toán tổng hợp về mặt cầu:

Bài 1 Trong kg Oxyz cho đường thẳng (): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I và khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt

mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3

Giải Mặt cầu(S) có tâm I g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của(1)

Vậy có 2 mặt cầu theo ycbt :

3 1

Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0 Vì I  d nên I( t 1 ; 2t 3 ;t 3 )

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên

3

2 2 )) (

(

; (

2 2

2 2

4 1

3

) 2 11 ( 9

) 2 2

t

t t

; 2

1 2

d và đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng x 1 , yz 4  0

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với  và (P).

Giải

Mặt cầu có tâm I( 2t 2 ;  t 1 ;  t 1 ) d

3

9 ))

0 0

90 53 9 12 6 3

t

t t

t t

t t

* Với t  0 Ta có I( 2 ;  1 ; 1 ), R  3 Suy ra phương trình mặt cầu

9 ) 1 ( ) 1 ( ) 2

37

; 53

2 2

53

129 53

143 53

37 53

minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc

chung của (d 1 ) và (d 2 ).

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) và

mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 5 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm O, A, B và có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng 53

Bài 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),

D( 4; 1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: xyz 2 0 Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳngOxy Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S)

Giải

Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)

Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là:

a b c d 0,

0dcz2by2ax2z

;2

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)

+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) (d) có vectơ chỉ phương là: n1;1;1

….Do H d (P) nên:

6

5t2

5t302t1t1t2

1

;3

5H

6

35

3136

754

29IH

R

4/ Một số bài toán tổng hợp về tìm điểm:

Bài 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có

) 1

; 3

; 1 ( ), 0

; 2

; 1 ( ),

t y

t x

C D

1 3 2 1 :

CD t

t t

D t

8 ,

3 1

2 :

3 1

1 ,

+) ABCD là hình bình hành nên AB  DC Suy ra B(3 ; 3 ; 5).

Bài 3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A( 1 ; 2 ;  1 ) và hai đường thẳng

, 2

1 1

1 1

Xác định tọa độ các điểm M, N lần lượt thuộc các

đường thẳng  1 và  2 sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng chứa điểm A và

đường thẳng  1

Giải

Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và  1

*  1 đi qua B( 1 ; 0 ; 1 ) có véctơ chỉ phương u1( 1 ; 1 ;  2 ); AB( 0 ;  2 ; 2 ).

Suy ra mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n [AB, u1]  ( 2 ; 2 ; 2 )

* M 1 M( 1 t;t; 1  2t), N 2 N(s; 1  2s;  2s)

Do đó MN  (s t 1 ; 2s t 1 ;  2s 2t 1 )

2

1 2 2 2

1 2

2

1 )

; 3

; 2 ( ),

1 ( ) 3 ( ) 2 )(

5

(

) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( )

5

(

0 0 2 0 0

0

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2

0

z z y

x x

z y

x z

y x

1 ( ) 3 ( 2 )(

5

(

) 2 ( 0

0 0 2 0 0

0

0

0

z z y x

0 0

0 0

x z

x y

Thay vào (3) ta được x02 5x0 6  0

1 ,

3

1 ,

3 ,

2

0 0

0

0 0

0

z y

x

z y

; 1

; 3 (

) 1

; 3

; 2 (

; 2

; 3

; 0 ( ), 0

; 1

; 0 ( ),

A và mặt phẳng (  ) : x 2y 2  0 Tìm toạ độ của điểm M

biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng (  ).

Giải

Giả sử M(x0;y0;z0) Khi đó từ giả thiết suy ra

5

2 2 )

2 ( ) 3 ( )

1 ( )

1

0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

x z y

x z y

) 2 2

( )

1 (

) 2 ( )

2 (

) 3 (

) 1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 (

2 0

0 2

2 2 0

2 0

2 0

2 2 2 0

2

2 2 0

2 2 2 2 0

y x

z y x

z y

x z y

x

z y

x z y x

0 0

z x y

0 0

2

0 8 10 ) ( 3 2 ) 3

(

5 x  x   x  

23

; 3

23 (

) 2

; 1

; 1 (

M M

z y x

t

y

t x

1

2 1

và mặt phẳng (P): x – y – z = 0 Tìm tọa độ hai điểm Md1, Nd2sao cho MN song song (P) và

MN = 6

Giài

) 1

; 2 ( ), 2

; (

;

; 2 1

2 2 2 1 2 2 2 1

2 t t

t t t t t t MN n MN MN

1 2

; 1 ( ), 1

; 1

; 2 ( ] ,

t y

t x

d

3 1 2 1

8

; 7

23

A

Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M( ).P

KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.

Bài 11 .Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng 

z

t y

t x

; ) 2 , 0

1 ( 1

2 2

x z t y t x

t =

5

2 2

2 4 2 5 2 2 1

z y x

z y x

5/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz

Bài 1 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;4;2, B  1;2;4 Viết phương trìnhđường thẳng   đi qua trực tâm H của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB 

Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng OAB sao cho  MA2 MB2 nhỏ nhất.(O là gốc hệ trục toạđộ)

252

Chọn K(0;3;3) là trung điểm AB nên MA2 MB2  2KA2  2KM2

KA không đổi nên MA2 MB2 nhỏ nhất khi KM ngắn nhất khi đó M là hình chiếu của K trên

Bài 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường

Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB  A’B

(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB

t y

t x

IM

2 1 3 2 2

Suy ra maxP 21, đạt khi t  1 hay M( 1 ; 3 ;  2 ).

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm

) 6

; 1

; 2 ( ), 4

; 5

; 3 ( ), 11

Suy ra min MA MB MC  11 khi t   1  M(  1 ; 1 ; 2 ).

Bài 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 2

4 1

2 :

1

z y

8 1

10 1

Suy ra  1 ,  2 chéo nhau

Để độ dài MN nhỏ nhất thì MN là đường vuông góc chung của  1 ,  2

;0 ( 4 2 0 26 6

0 16 6

2 2

1

N M t t t t

t u

32

t z

t y

t x

Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I2t 3;t 1;t3

z

u

y

u1

4

;3

7M

Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH  HI=> HI lớn nhất khi A  I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1 ( t t t

Gọi K là hình chiếu của A trên d  K cố định;

Gọi   là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên  

Trong tam giác vuông AHK ta có AH AK.

Vậy AH max AK    là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK

Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc với d    : 2x y 2z15 0

3;1; 4

K

   là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK    :x 4y z  3 0

Bài 11 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt di động trên các tia Ox, Oy

và Oz sao cho mặt phẳng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua điểm M(1; 2; 3) Xác định tọa độ các điểm A, B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Từ giả thiết ta suy ra tọa độ các điểm A, B, C định bởi: A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c trong đó a,

b, c là các số thực dương  phương trình mp(ABC): x y z 1

Vậy Vmax 27 đạt được khi A(3;0;0), (0;6;0), (0;0;9)B C

Bài 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0

t y

t x

2 1

Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tọa

độ điểm B trên trục Ozsao cho AB//(P) và độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Giải

A(1+t;-2+t;-t)d, B(0;0;b)Oz, AB(  1  t; 2  t;bt), n ( P)( 2 ; 0 ; 1 )

t b n

; 0 ( ), 2

1

; 2

.Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị

trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất

Đường thẳng  có phương trình tham số:

1 212

Ta có    

2 2

2 2

Mặt khác, với hai vectơ u v , ta luôn có | | | | |u  v u v | Như vậy AM BM 2 29

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v , cùng hướng 3 2 5 1

3 6 2 5

t

t t

Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11  29

Bài 14 Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB

sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất

Bài 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với

a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất

Giải

Pt mp(ABC):

2 2 2

1 1 1

1 ))

(

; ( 1

c b a

ABC O d c

z b

y a

2 2

1 3 1 1 1

c b a c

3 1 1 1 3 1 1 1

2 2 2 2

2

2         d

c b a c

b a

Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1

Vậy d lớn nhất bắng 13 khi a = b = c = 1

Bài 17 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm

), 3

; 1

; 1 ( ), 2

; 1

; 2 ( ),

Giải

Ta có AB( 1 ;  1 ; 2 ), AC(  2 ; 1 ;  3 ). Suy ra pt (ABC) :x y z 1  0

Gọi tâm mặt cầu I   I( 1  t; 2t; 2  2t) Khi đó bán kính đường tròn là

2 3

6 ) 1 ( 2 3

8 4 2 )) ( , (

2 2

2

r

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t   1

Khi đó I( 2 ;  2 ; 0 ), IA 5 Suy ra pt mặt cầu ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 5

Thay tọa độ của A, B vào và tính f x y z A; A; A .f x y z B; B; B .

- Nếu f x y z A; A; A .f x y z B; B; B 0 thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi

(P)

- Nếu f x y z A; A; A .f x y z B; B; B 0 thì A, B ở cùng phía so với (P).

 Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với M  P tùy ý ta có

MA MB AB Suy ra min MA MB   AB đạt được khi M AB P

- Viết p/trình đường thẳng AB.

- Tìm giao điểm M của AB P (Giải hệ p/trình của AB và (P))

- Viết phương trình đường thẳng  d qua A và  d  P

- Giải hệ     d ; P tìm được tọa độ của  H    d  P là hình chiếu vuông góc của A trên (P).

- H là trung điểm của A A Biết tọa độ của ,A H suy ra tọa độ của A.

 Viết p/trình đường thẳng A B

 Giải hệ  A B P ;   tìm được tọa độ của M A B  P

2) Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.

 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì MA MB AB

 Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P)

A’

BM

AH