PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1.Hai véctơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; ; u a a a v b b b = = là m ột cặp véc tơchỉphương (VTCP) của mặt phẳng (α) ⇔ , 0 u v ≠ ; không cùng phương và các giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) 2. Véctơ ( ) ; ; n a b c = là véc tơpháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α) ⇔(α) ⊥giá của n 3. Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô sốcặp véctơchỉphương và vô sốvéctơpháp tuyến đồng thời , n u v . Nếu ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b = =
PH ƯƠ NG TRÌNH M Ặ T PH Ẳ NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 1. Hai véct ơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; ; u a a a v b b b = = là m ộ t c ặ p véc t ơ ch ỉ ph ươ ng (VTCP) c ủ a m ặ t ph ẳ ng ( α ) ⇔ , 0 u v ≠ ; không cùng ph ươ ng và các giá c ủ a chúng song song ho ặ c n ằ m trên m ặ t ph ẳ ng ( α ) 2. Véct ơ ( ) ; ; n a b c = là véc t ơ pháp tuy ế n (VTPT) c ủ a m ặ t ph ẳ ng ( α ) ⇔ ( α ) ⊥ giá c ủ a n 3. Nh ậ n xét : M ặ t ph ẳ ng ( α ) có vô s ố c ặ p véct ơ ch ỉ ph ươ ng và vô s ố véct ơ pháp tuy ế n đồ ng th ờ i [ ] // , n u v . N ế u ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b = = là m ộ t c ặ p VTCP c ủ a mp( α ) thì VTPT là: [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b = = II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 2. Ph ươ ng trình t ổ ng quát: 2.1. Ph ươ ng trình chính t ắ c: 0 Ax By Cz D + + + = v ớ i 2 2 2 0 A B C + + > . N ế u D = 0 thì 0 Ax By Cz + + = ⇔ ( α ) đ i qua g ố c t ọ a độ . N ế u A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì ( α ): 0 By Cz D + + = s ẽ song song ho ặ c ch ứ a v ớ i tr ụ c x ’O x . N ếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì ( α ): 0Ax Cz D+ + = sẽ song song ho ặc ch ứa vớ i trục y ’O y . N ế u A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì ( α ): 0Ax By D + + = sẽ song song hoặ c ch ứa vớ i trụ c z ’O z . www. laisac. pag e. tl Đ Đ Đ Ư Ư Ư Ờ Ờ Ờ N N N G G G T T T H H H Ẳ Ẳ Ẳ N N N G G G V V V À À À M M M Ặ Ặ Ặ T T T P P P H H H Ẳ Ẳ Ẳ N N N G G G T T T R R R O O O N N N G G G K K K H H H Ô Ô Ô N N N G G G G G G I I I A A A N N N O O O X X X Y Y Y Z Z Z T S.T rần P h ươ ng 2.2. Ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) v ớ i c ặ p VTCP ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , ; ; u a a a v b b b = = hay VTPT [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a n u v b b b b b b = = là: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 2 0 0 0 2 3 3 1 1 2 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − = 2.3. Ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua 3 đ i ể m ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ; , , ; , , A x y z B x y z C x y z không th ẳ ng hàng có VTPT là: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 , , , y y z z z z x x x x y y n AB AC y y z z z z x x x x y y − − − − − − = = − − − − − − nên ph ươ ng trình là: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 0 y y z z z z x x x x y y x x y y z z y y z z z z x x x x y y − − − − − − − + − + − = − − − − − − Đặ c bi ệ t: Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng đ i qua ( ) ( ) ( ) ; 0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c là: ( ) 1 0 y x z abc a b c + + = ≠ 3. Ph ươ ng trình chùm m ặ t ph ẳ ng: Cho 2 m ặ t ph ẳ ng c ắ t nhau ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 : 0; : 0 a x b y c z d a x b y c z d α + + + = α + + + = v ớ i ( ) ( ) ( ) 1 2 ∆ = α α ∩ . M ặ t ph ẳ ng ( α ) ch ứ a ( ∆ ) là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 p a x b y c z d q a x b y c z d + + + + + + + = v ớ i 2 2 0 p q + > III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG Cho 2 m ặ t ph ẳ ng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = có VTPT ( ) 1 1 1 1 , , n A B C = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = có VTPT ( ) 2 2 2 2 , , n A B C = . N ế u 1 2 , n n không cùng ph ươ ng thì ( α 1 ) c ắ t ( α 2 ). Nếu 1 2 ,n n cùng phương và ( α 1 ), ( α 2 ) không có điểm chung thì ( α 1 ) // ( α 2 ) N ế u 1 2 , n n cùng ph ươ ng và ( α 1 ), ( α 2 ) có đ i ể m chung thì ( α 1 ) ≡ ( α 2 ) IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) th ỏ a mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + + với 1 2 ,n n là 2 VTPT của ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Kho ả ng cách t ừ M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) đế n m ặ t ph ẳ ng ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + 2. Kho ả ng cách gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng song song: ( ) ( ) ( ) ; ; d d M M α β = β ∀ ∈ α ( ) ( ) ( ) ; ;d d M M α β = α ∀ ∈ β VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. L ậ p ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua A(2; 1; − 1) và vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng xác đị nh b ở i 2 đ i ể m B( − 1; 0; − 4), C(0; − 2; − 1). Mp( α ) đ i qua A nh ậ n ( ) 1; 2;3 BC = − làm VTPT nên ph ươ ng trình mp( α ) là: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 1 0 x y z − − − + + = ⇔ 2 3 3 0 x y z − + + = Bài 2. L ậ p ph ương trình tham s ố và ph ươ ng trình tổ ng quát c ủ a mp( α ) đ i qua ( ) 2; 1;4 A − , ( ) 3; 2; 1 B − và vuông góc v ớ i ( ) : 2 3 0 x y z β + + − = HD: ( ) 1;3; 5 AB = − , ( ) 1;1;2 n β = . Do mp( α ) đ i qua A, B và ( ) ( ) α ⊥ β nên ( α ) nh ậ n , b AB n làm c ặ p VTCP. Suy ra VTPT c ủ a ( α ) là: ( ) 3 5 5 1 1 3 ; ; 11; 7; 2 1 2 2 1 1 1 n − − = = − − . M ặ t khác ( α ) đ i qua ( ) 2; 1;4 A − nên ph ươ ng trình mp( α ): ( ) ( ) ( ) 11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0 x y z x y z − − + − − = ⇔ − − − = . Bài 3. L ậ p ph ươ ng trình mp( α ) đ i qua A(1; 0; 5) và // mp( γ ): 2 17 0 x y z − + − = . L ậ p ph ươ ng trình mp( β ) đ i qua 3 đ i ể m B(1; − 2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) và tính góc nhọ n ϕ tạ o bở i 2 mp( α ) và ( β ). HD: mp( α ) // ( γ ): 2 17 0 x y z − + − = có ( ) 2; 1;1 n = − ⇒ ( α ): 2 0 x y z c − + + = ( α ) đ i qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5 0 7 c c ⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT ( α ): 2 7 0 x y z − + − = mp( β ) nh ậ n 2 véc t ơ ( ) ( ) 0; 2; 1 , 1;3; 1 BC BD = − = − − làm c ặ p VTCP nên có VTPT là: ( ) 2 1 1 0 0 2 ; ; 1;1; 2 3 1 1 1 1 3 n β − − = = − − − − . V ậ y ph ươ ng trình mp( β ): ( ) 1 2 0 2 1 0 x y z x y z + − + = ⇔ + + − = ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 cos cos , 60 6 2 3 2 1 1 1 1 2 n n β ⋅ − ⋅ + ⋅ π ϕ = = = = ⇒ ϕ = = ° + + + + Bài 4. Vi ế t PT m ặ t ph ẳ ng ch ứ a đườ ng th ẳ ng ( ∆ ): 2 0 3 2 3 0 x z x y z − = − + − = và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P): 2 5 0 x y z − + + = HD: Ph ươ ng trình chùm m ặ t ph ẳ ng ch ứ a ( ∆ ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 0 , ; 0 m x z n x y z m n m n − + − + − = ∈ + > » ⇔ ( ) ( ) 3 2 2 3 0 m n x ny n m z n + − + − − = ⇒ mp( α ) ch ứ a ( ∆ ) có VTPT ( ) 3 ; 2 ; 2 u m n n n m = + − − M ặ t ph ẳ ng (P) có VPPT ( ) 1; 2;1 v = − nên để ( α ) ⊥ (P) thì 0 u v ⋅ = ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 1 2 0 m n n n m ⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 8 0 n m ⇔ − = . Cho 1 n = suy ra 8 m = , khi đ ó ph ươ ng trình mp( α ) là: 11 2 15 3 0 x y z − − − = Bài 5. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a O z và l ậ p v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( α ): 2 5 0 x y z + − = m ộ t góc 60 ° . HD: M ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a O z ⇒ (P) có d ạ ng: 0 mx ny + = ( 2 2 0 m n + > ) ⇒ VTPT ( ) ; ; 0 u m n = . M ặ t ph ẳ ng ( α ) có VTPT ( ) 2;1; 5 v = − suy ra ( ) 2 2 2 2 2. 1. 0. 5 1 cos , cos 60 2 2 1 5 m n u v m n + − = ° ⇔ = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 m n m n ⇔ + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 10 2 3 8 3 0 m mn n m n m mn n ⇔ + + = + ⇔ + − = Cho 1 n = ⇒ 2 1 3 8 3 0 3 3 m m m m + − = ⇔ = − ∨ = . V ậ y ( ) : 3 0 P x y − = ho ặ c ( ) : 3 0 P x y + = Bài 6. Vi ế t ph ươ ng trình t ổ ng quát c ủ a mp( α ) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t ạ o v ớ i (O xy ) m ộ t góc 60 ° . HD: ( α ): 0 Ax By Cz D + + + = qua M, N suy ra: 0;3 0 C D A D + = + = ⇒ 3 ; 3 C A D A = = − . M ặ t ph ẳ ng (O xy ) có VTPT là ( ) 0;0;1 suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 cos 60 36 10 2 10 C A A A B A B C A B = ° ⇔ = ⇔ = + + + + 2 2 26 26 A B B A ⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2 0 A B C + + ≠ ⇒ 0 A ≠ . Cho 1 A = suy ra mp( α ): 26 3 3 0 x y z − + − = ho ặ c 26 3 3 0 x y z + + − = Bài 7. Cho A( a ; 0; a ), B(0; b ; 0), C(0; 0; c ) v ớ i a , b , c là 3 s ố d ươ ng thay đổ i luôn luôn th ỏ a mãn 2 2 2 3 a b c + + = . Xác đị nh a , b , c sao cho kho ả ng cách t ừ O đế n m ặ t ph ẳ ng (ABC) đạ t Max. HD: (ABC): 1 0 y x z a b c + + − = . Suy ra ( ) 2 2 2 1 1 1 1 ; d O ABC a b c = + + ⇒ 2 2 2 2 1 1 1 1 d a b c = + + ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9 3 3 3 a b c a b c = + + + + ≥ ⋅ = 2 1 1 3 3 d d ⇒ ≤ ⇒ ≤ . V ớ i 1 a b c = = = thì 1 Max 3 d = Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( ) ( ) : 2 1 1 0 m P x y z m x y z+ + + + + + + = . Chứng minh rằng: (P m ) luôn đi qua (d) cố định ∀ m Tính kho ảng cách t ừ O đến (d). Tìm m để (P m ) ⊥ ( ) 0 : 2 1 0P x y z + + + = HD: V ớ i m ọ i m , (P m ) luôn đ i qua đườ ng th ẳ ng c ố đị nh (d): 2 1 0 1 0 x y z x y z + + + = + + + = M ặ t ph ẳ ng 2 1 0 x y z + + + = có VTPT: ( ) 2;1;1 u = và 1 0 x y z + + + = có VTPT ( ) 1;1;1 v = suy ra (d) có VTCP là: [ ] ( ) ; 0; 1;1 a u v = = − . M ặ t khác (d) đ i qua ( ) 0;0; 1 M − ⇒ ( ) ( ) [ ] 2 2 1 0 0 1 , 2 0 1 1 OM a d O d a ⋅ + + = = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) : 2 1 1 1 0 m P m x m y m z m + + + + + + + = có VTPT ( ) 1 2; 1; 1 n m m m = + + + ; Tr ườ ng h ợ p đặ c bi ệ t m ặ t ph ẳ ng ( ) 0 P có VTPT ( ) 2 2;1;1 n = . Để (P m ) ⊥ (P 0 ) thì ( ) ( ) ( ) 1 2 3 0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0 2 n n m m m m m − ⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ = Bài 9. Cho 3 đ i ể m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; − 1). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là m ộ t hình ch ữ nh ậ t. Cho S(9; 0; 0). Tính th ể tích chóp S.OABC. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ch ứ a AB và đ i qua trung đ i ể m OS. HD: ( ) ( ) 2; 2; 1 , 2;1; 3 AB AC = − = − ⇒ VTPT ( ) , 5; 4; 2 n AB AC = = − − Do (ABC) đ i qua A(0; 1; 2) nên ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (ABC) là: ( ) ( ) ( ) 5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0 x y z x y z − − + − − − = ⇔ − + = O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0 − + = nên O ∈ (ABC). Ta có: ( ) 0;1;2 OA = , ( ) 2; 2; 1 OC = − OC AB ⇒ = 0.2 1.2 2.1 0 OA OC ⋅ = + − = suy ra OABC là hình ch ữ nh ậ t. G ọ i H là hình chi ề u c ủ a S lên (OABC) suy ra 1 1 2 2. 3 3 OABC ABC SABC V S SH S SH V = ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 , 6 AB AC AS = ⋅ ⋅ Ta có: ( ) 9; 1; 2 AS = − − và ( ) , 5; 4; 2 AB AC = − − ⇒ ( ) ( ) 1 1 9 5 1 4 2 2 45 15 3 3 V = − − ⋅ − − = − = Trung đ i ể m c ủ a OS là ( ) 9 ;0;0 2 M ⇒ ( ) 9 ; 1; 2 2 AM = − − ⇒ M ặt phẳng chứ a AB và đi qua M có VTPT là: [ ] ( ) 1 . 5; ; 11 2 n AB AM= = − − − ⇒ Ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng: 10 22 45 0 x y z + + − = . Bài 10. Lập phươ ng trình của mặt ph ẳng ( ) α thuộc chùm tạ o bởi hai mặt ph ẳng ( ) ( ) : 3 7 36 0; :2 15 0 P x y z Q x y z− + + = + − − = n ếu bi ết khoả ng cách từ g ố c t ọ a độ O đế n α b ằ ng 3. Gi ả i M ặ t ph ẳ ng ( ) α thu ộ c chùm t ạ o b ở i (P) và (Q) nên có ph ươ ng trình d ạ ng: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 7 36 2 15 0 0 m x y z n x y z m n − + + + + − − = + > ( ) ( ) ( ) 2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 36 15 , 3 3 2 3 7 m n d O m n n m m n − α = ⇔ = + + − + − 2 2 2 2 12 5 59 16 6 19 104 85 0 m n m mn n n mn m ⇔ − = − + ⇔ − + = ( ) ( ) 19 85 0 19 85 n m n m n m n m ⇔ − − = ⇔ = ∨ = + Cho n = m = 1 thì nhận được ( ) 1 : 3 2 6 21 0x y zα − + + = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( ) 2 : 189 28 48 591 0 x y z α + + − = . Bài 11. L ậ p ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) α đ i qua 2 đ i ể m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) và kho ả ng cách t ừ đ i ể m ( ) 1 0; 0; 2 M đế n m ặ t ph ẳ ng ( ) α b ằ ng 6 3 . Gi ả i G ọ i ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( ) α là: ( ) 2 2 2 0 0 Ax By Cz D A B C + + + = + + > Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 ; 5 0 2 A A B D B A B C D ∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + = M ặ t khác: ( ) ( ) 2 2 2 7 7 1 , 2 6 3 6 3 d M C D A B C α = ⇔ + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 27 2 49 3 C D A B C ⇔ + = + + . T ừ (1) và (2), ta có ( ) 3 2 , 2 4 C A B D B A = − − = − Th ế (4) vào (3), ta đượ c: ( ) 2 2 2 2 27.49 49 3 2 A A B A B = + + + 2 2 17 5 12 17 0 5 B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = − + Ch ọ n A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nh ậ n đượ c ( ) 1 : 5 1 0 x y z α + − − = + Ch ọ n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( ) 2 : 5 17 19 27 0 x y z α − + − = VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 1. Vi ế t PT mp( α ) ch ứ a g ố c t ọ a độ O và vuông góc v ớ i ( ) : 7 0 P x y z − + − = , ( ) : 3 2 12 5 0 Q x y z + − + = Bài 2. Vi ế t PT mp( α ) đ i qua M(1; 2;1) và ch ứ a giao tuy ế n c ủ a ( ) ( ) : 1 0, : 2 3 0 P x y z Q x y z + + − = − + = Bài 3. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ch ứ a ( ) 3 0 : 3 2 1 0 x y z x y z − + − = ∆ + + − = và vuông góc vớ i mặ t phẳng (P): 2 3 0x y z+ + − = Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi ế t PT mp(ABC). Tính kho ả ng cách t ừ g ố c O đế n (ABC). Vi ế t PT m ặ t ph ẳ ng: a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ ( α ): 2 3 1 0 x y z − + + = . b. Qua O và ⊥ ( α ), (ABC); Qua I( − 1; 2; 3) và ch ứ a giao tuy ế n c ủ a ( α ), (ABC) Bài 5. Xác đị nh các tham s ố m , n để m ặ t ph ẳng 5 4 0x ny z m + + + = thuộ c chùm m ặ t ph ẳ ng có ph ươ ng trình: ( ) ( ) 3 7 3 9 2 5 0 x y z x y z α − + − + β − − + = Bài 6. Cho 2 m ặ t ph ẳ ng ( ) : 2 3 1 0 x y z α − + + = , ( ) : 5 0 x y z β + − + = và đ i ể m M(1; 0; 5). Tính kho ả ng cách t ừ M đế n mp( α ). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) đ i qua giao tuy ế n (d) c ủ a ( α ) và ( β ) đồ ng th ờ i vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (Q): 3 1 0 x y − + = . Bài 7. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) đ i qua 3 đ i ể m A(1; 1; 3), B( − 1; 3; 2), C( − 1; 2; 3). Tính kho ả ng cách t ừ g ố c O đế n (P). Tính di ệ n tích tam giác ABC và th ể tích t ứ di ệ n OABC. Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các đ i ể m M, N l ầ n l ượ t là trung đ i ể m c ủ a OA và BC; P, Q là 2 đ i ể m trên OC và AB sao cho 2 3 OP OC = và 2 đườ ng th ẳ ng MN, PQ c ắ t nhau. Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số AQ AB . Bài 9. Cho A( a ; 0; 0), B(0; a ; 0), C( a ; a ; 0), D(0; 0; d ) v ớ i a , d > 0. G ọ i A’, B’ là hình chi ế u c ủ a O lên DA, DB. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ch ứ a 2 đườ ng OA’, OB’. Ch ứ ng minh m ặ t ph ẳ ng đ ó vuông góc CD. Tính d theo a để s ố đ o góc 45 A OB ′ ′ = ° . Bài 10. Tìm trên O y các đ i ể m cách đề u 2 m ặ t ph ẳ ng ( ) ( ) : 1 0, : 5 0 x y z x y z α + − + = β − + − = Bài 11. Tính góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q) cùng đ i qua đ i ể m I(2; 1; − 3) bi ế t (P) ch ứ a O y và (Q) ch ứ a O z . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m cách đề u 2 m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q). Bài 12. Cho ∆ OAB đề u c ạ nh a n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng (O xy ), đườ ng th ẳ ng AB // O y . Điể m A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(O xy ). Cho đ iểm ( ) 0;0; 3 a S . Xác đị nh A, B và trung đ i ể m E c ủ a OA. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a SE và song song v ớ i O x . Tính ( ) , d O P t ừ đ ó suy ra ( ) ; d Ox SE PH ƯƠ NG TRÌNH ĐƯỜ NG TH Ẳ NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN : 1. Véct ơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = là véc t ơ ch ỉ ph ươ ng (VTCP) c ủ a ( ∆ ) ⇔ ( ∆ ) // giá c ủ a a 2. Nh ậ n xét: N ế u a là m ộ t VTCP c ủ a ( ∆ ) thì ka ( k ≠ 0) c ũ ng là VTCP c ủ a ( ∆ ) t ứ c là ( ∆ ) có vô s ố VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Ph ươ ng trình tham s ố : Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ;a a a a= : ( ) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t z z a t = + = + ∈ = + » 2. Ph ươ ng trình chính t ắ c: Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = : 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = 3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) tổng quát là giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = v ớ i 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ 4. Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) đ i qua 2 đ i ể m M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ): 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − 5. Chuy ể n d ạ ng ph ươ ng trình t ổ ng quát sang d ạ ng tham s ố , chính t ắ c: Cho ( ∆ ): ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D α + + + = β + + + = ( 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C ≠ ) ⇒ VTPT c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , n A B C n A B C = = ⇒ VTCP 1 2 , a n n = Tìm điể m M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ ( α ) ∩ ( β ) ⇒ 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = . Đặ t t ỉ s ố này b ằ ng t suy ra d ạ ng tham s ố . III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. V ị trí t ươ ng đố i c ủ a 2 đườ ng th ẳ ng : Cho ( ∆ 1 ) đ i qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) v ớ i VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a = , ( ∆ 2 ) đ i qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) v ớ i VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b = N ế u [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ ≠ thì ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau. N ế u [ ] 1 2 , 0 u v M M ⋅ = và 1 2 3 1 2 3 : : : : a a a b b b ≠ thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) c ắ t nhau. N ế u [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b ⋅ = = và h ệ ph ươ ng trình c ủ a ( ) ( ) 1 2 ∆ ∆ vô nghi ệ m thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) song song nhau. N ế u [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b ⋅ = = và h ệ ph ươ ng trình c ủ a ( ) ( ) 1 2 ∆ ∆ có nghi ệ m thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) trùng nhau. 2. V ị trí t ươ ng đố i c ủ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng: Cho ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) v ớ i VTCP ( ) , , u a b c = và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = v ớ i VTPT ( ) , , n A B C = N ế u 0 n u ⋅ ≠ 0 Aa Bb Cc ⇔ + + ≠ thì ( ∆ ) c ắ t ( α ). N ế u // n u : : : : a b c A B C ⇔ = thì ( ∆ ) ⊥ ( α ). N ế u ( ) 0 0n u M ⋅ = ∉ α ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + = + + + ≠ thì ( ∆ ) // ( α ). Nếu ( ) 0 0 n u M ⋅ = ∈ α ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + = + + + = thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc gi ữ a 2 đườ ng th ẳ ng: Cho ( ∆ 1 ) đ i qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) v ớ i VTCP ( ) 1 2 3 , , u a a a = , ( ∆ 2 ) đ i qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) v ớ i VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b = Góc gi ữ a ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 , 0,90 ∆ ∆ = ϕ∈ ° xác đị nh b ở i: 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos a b a b a b u v u v a a a b b b + + ⋅ ϕ = = ⋅ + + + + 2. Góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng: Cho ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) v ớ i VTCP ( ) , , u a b c = và mp( α ): 0 Ax By Cz D + + + = v ớ i VTPT ( ) , , n A B C = Góc gi ữ a ( ) ( ) ( ) [ ] , 0,90 ∆ α = ϕ∈ ° xác định b ở i: 2 2 2 2 2 2 sin u n aA bB cC u n a b c A B C ⋅ + + ϕ = = ⋅ + + + + 3. Góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng: Góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng ( α 1 ): 1 1 1 1 0 A x B y C z D + + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0 A x B y C z D + + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) th ỏ a mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + + v ớ i 1 2 , n n là 2 VTPT c ủ a ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Kho ả ng cách t ừ 1 đ i ể m đế n 1 đườ ng th ẳ ng: Cho ( ∆ ) đ i qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) v ớ i VTCP ( ) , , u a b c = . Kho ả ng cách t ừ đ i ể m M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) đến đường th ẳng ( ∆ ) là: ( ) ( ) 0 1 1 , u M M d M u ⋅ ∆ = 2. Kho ả ng cách gi ữ a 2 đườ ng th ẳ ng chéo nhau: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , ,u a a a = , ( ∆ 2 ) đ i qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) v ớ i VTCP là ( ) 1 2 3 , , v b b b = Gi ả s ử ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ chéo nhau, khi đ ó ( ) [ ] [ ] 1 2 1 2 , ( ),( ) , u v M M d u v ⋅ ∆ ∆ = [...]... 2 i m A, B phân bi t thu c (∆ ) Xác nh hình chi u vuông góc c a A, B lên (α ) là H1, H2 Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: N u (∆ ) c t (α ): Xác Xác nh A ≡ (∆ ) ∩ (α ) L y M b t kì ∉ (∆) và M ≠ A nh hình chi u vuông góc H c a M lên (α) Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ AH Bài 1 Xác 5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0 nh hình chi u vuông góc c a (∆): x + 2z... (∆ 3) 2 D ng 2: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên m t ph ng (α) α Phương pháp: Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α) Giao i m H c a (∆ ) và (α) là hình chi u vuông góc c a M lên (α) Bài 1 Tìm hình chi u vuông góc c a M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0 3 D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (α) α Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H... 2 = 0 Bài 6 Tính kho ng cách gi a 2 m t ph ng (α): 2x + y + z – 1 = 0 và (β):2x + y + z + 10 = 0 n BC Bài 7 Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính kho ng cách t D(−1; 5; 0) n (ABC) 12.2 Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c: Bài 1 Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0 Tìm M∈Oy sao cho kho ng cách t M n (α) b ng 4 Bài 2 Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz sao cho kho ng cách t M n (α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 b ng MA Bài 3... + MB) min y + z − 5 = 0 Bài 6 Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) y −1 z + 2 sao cho (MA + MB) min Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 = = 1 2 −1 A(1;2; −1) y−2 z −2 Bài 7 Cho Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 = sao cho (MA + MB) min = 3 2 −2 B ( 7; −2;3) Bài 8 Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) x + y + z − 2 = 0 sao cho (MA + MB) min Tìm M∈ ( ∆ ) : x − y + z − 2 = 0 13 D ng 13: Các bài toán v góc Bài 1 Xác nh góc gi a 2 m... 7 D ng 7: Xác nh hình chi u song song c a ư ng th ng (∆1) lên (α) ∆ α ∆ theo phương (∆2) c t (α) α Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chi u song song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) và // (∆2 ) Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) Bài 1 Xác 7 x + y... thì bài toán vô nghi m N u (α) c t (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) N u MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghi m, n u MN c t (∆1 ) suy ra ư ng th ng c n tìm là (∆) ≡ MN Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) N u (∆) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆1 ) ho c (∆ 2) thì bài toán vô nghi m Bài. .. + 3t z = −3 + 3t 1 2 Bài 4 VPT ư ng vuông góc chung c a 3 x − 2 y − 8 = 0 ( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t} x = 2 + t x + 2z − 2 = 0 Bài 5 Cho ( ∆ 1 ) : y = 1 − t và ( ∆ 2 ) : y − 3 = 0 z = 2t u (∆ 1) và (∆2) Vi t phương trình m t ph ng cách 12 D ng 12: Các bài toán v kho ng cách 12.1 Tính kho ng cách: Bài 1 Tính kho ng cách t M(1;... 2; 3) y +1 z −1 n (∆) : x − 1 = = 2 1 3 Bài 2 Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính kho ng cách t A Bài 3 Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng x + y = 0 ( ∆ 1 ) : x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t} Bài 4 Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng − ( ∆1 ) : x 1 1 = y −2 z −3 = , 2 3 x + 2 y − z = 0 ( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0 Bài 5 Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng... z = 3 − 3t} 6 D ng 6: Xác ∆ α nh hình chi u vuông góc c a ư ng th ng (∆) lên m t ph ng (α) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆ ) lên (α ) là i m H≡ (∆) ∩ (α ) TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆ ) lên (α ) là ư ng th ng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc v i (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆ ) và (β ) ⊥ (α ) Hình chi u vuông góc c a (∆) lên... M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 (MA + MB) min;|MA – MB| max Bài 2 Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ m t ph ng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài 3 Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài 4 Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài 5 Cho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) x + y + z − 3